因式分解与分式化简求值

因式分解与分式化简求值

因式分解的几种常用方法

(1)提公因式法

(2)运用公式法： ①平方差公式：a -b =(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a ±2ab+b=(a±b)

(3)二次三项式型：x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；及十字相乘法

(4)分组分解法： ①分组后能提公因式；

②分组后能运用公式.

(5)求根公式法：

因式分解的一般步骤

可归纳为：一提二公三分组，十字相乘要彻底；若遇二次三项式，求根公式来帮忙。

(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。

(2)二“公”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式) ，第二步则看能不能用公式法用x +(p+q)x+pq型分解。

(3)三“分组”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“公”，当然要注意其要分解到底才能结束。

(4)十字相乘法、求根公式法均针对二次三项式的因式分解。

(5)“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。

(6)若有几个因式乘积再加减单项式的，可以先将几个因式的乘积求出，再进行多项式的因式分解。

(7)要注意整体思想的应用。

典型试题解析：

【例1】 因式分解：

(1)-4xy+2xy-12xy ；

(4)81a-1；

(7)m+2m-9m-18；

专题二 有效分组再分解因式

【例2】（2007年广东中山）因式分解1-4x -4y +8xy ，正确的分组是（ ）

A ． （1-4x ）-（4y -8xy ）

C ．（1+8xy ) -(4x +4y ) [***********] (2)3x(a-b)-x(b-a)； 2 (3)9(x+y)-4(x-y)； 22 (5)(x+2x)+2(x+2x)+1； 222 (6)(a+b) -4a b . 22222 (8)a-b -c -2bc ； (9) x -5x+4； 22242(10) x-2x -5x+6. 32 B．（1-4x -4y ）+8xy D．1-(4x +4y -8xy )

22222专题三 在实数范围内分解因式 【例3】（2007年潍坊市）在实数范围内分解因式：4m +8m－4= ．

分式化简求值：

一、填空题

m 2-4mn +4n 2

1．（2009年滨州）化简：= ． m 2-4n 2

x +y x 2-y 2

2．(2009年成都) 化简：1-＝_______ ÷22x -3y x -6xy +9y

1⎫a ⎛3．（2009年佳木斯）计算 1+2= ÷⎪a -1a -1⎝⎭二、选择题

b 2a 1. （2009年陕西省8．）化简(a -) ⋅的结果是 （ a a -b

11A ．a -b B ．a +b C ． D ． a -b a +b ）

a ⎫4-a 2⎛a 2．（2009年黄冈市4．）化简 的结果是（ -⎪⋅a -2a +2a ⎝⎭

A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a ）

⎛x 2-42-x ⎫x 3. （2009年内蒙古包头）化简 2，其结果是（ ） +÷⎪⎝x -4x +4x +2⎭x -2

8888A ．- B ． C ．- D ． x -2x +2x -2x +2

xy -2y 4. （2009年吉林省）化简2的结果是（ ） x -4x +4

x x y y A ． B ． C ． D ． x +2x -2x +2x -2

x 2-6x +95. （2009年深圳市）化简的结果是（ 2x -6）

D ．x -3 2x +3A ． 2x 2+9B ． 2x 2-9C ． 2

x +32-x +2” x +2x -4

(x +3)(x -2) x -2x 2+x -6-x -2x 2-8-2==2小明的做法是：原式=； x 2-4x -4x 2-4x -4

22小亮的做法是：原式=(x +3)(x -2) +(2-x ) =x +x -6+2-x =x -4； x +3x -2x +31x +3-1-=-==1． 小芳的做法是：原式=x +2(x +2)(x -2) x +2x +2x +26. （2009烟台市）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：

其中正确的是（ ）

A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的

⎛x 2-42-x ⎫x 7. （2009年包头）化简 2，其结果是（ ） +÷⎪⎝x -4x +4x +2⎭x -2

8888A ．- B ． C ．- D ． x -2x +2x -2x +2

b 24a 2

+8．（2009临沂）化简的结果是（ ） 2a -b b -2a

A ．-2a -b B ．b -2a C ．2a -b D ．b +2a

三、解答题

1．（2009年株洲市）先化简，再求值：x +33+，其中x =-1． 2x -9x -3

2．（2009年重庆市江津区）先化简，再求值：

42x ÷+ ，其中 x = 3 ． x 2-16x -4x +4

x 24x -2-) ÷3．（2009年泸州）化简：( x +2x +2x

x 2-4x +2x ÷-4．（2009仙桃）先化简，再求值：2，其中x ＝2－． x -4x +4x +1x -2

5. （2009年常德市）化简:

y -35÷(y +2-) 4y -8y -2

11x +y -(x 2-y 2+) ，其中x =y =3． 2x x +

y 2x 6．（2009年桂林市、百色市）先化简，再求值：

⎛x 214⎫1x =7. （2009重庆綦江）先化简，再求值： ，其中． -⨯⎪24⎝x -2x -2⎭x +2x

x 2-4x +4⋅(x +2) ，其中x =8. （(2009年安顺）先化简，再求值：2x -

4

x x 2+2x +1x 2-1-÷9. （2009年贵州省黔东南州）先化简，再求值：，其中x =-2． x +2x +2x -1

x 2-2x ⎛2x -4⎫10. （2009恩施市）求代数式的值：2÷ x -2-⎪，其中x =2 x -4⎝x +2⎭

11. （2009年娄底）先化简，再求值：

x -44x +2÷，其中x

x -2x -4x +4x -2

x 2-6x +92x -6÷212. （2009年清远）化简： 9-x 2x +3x

a 2-b 2⎛2ab +b 2⎫13. （2009 黑龙江大兴安岭）先化简：2，当b =-1时，请你为a 任选一个适当的⎪÷ a +⎪a a -ab ⎝⎭

数代入求值．

因式分解与分式化简求值

因式分解的几种常用方法

(1)提公因式法

(2)运用公式法： ①平方差公式：a -b =(a+b)(a-b)

②完全平方公式：a ±2ab+b=(a±b)

(3)二次三项式型：x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；及十字相乘法

(4)分组分解法： ①分组后能提公因式；

②分组后能运用公式.

(5)求根公式法：

因式分解的一般步骤

可归纳为：一提二公三分组，十字相乘要彻底；若遇二次三项式，求根公式来帮忙。

(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。

(2)二“公”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式) ，第二步则看能不能用公式法用x +(p+q)x+pq型分解。

(3)三“分组”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“公”，当然要注意其要分解到底才能结束。

(4)十字相乘法、求根公式法均针对二次三项式的因式分解。

(5)“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。

(6)若有几个因式乘积再加减单项式的，可以先将几个因式的乘积求出，再进行多项式的因式分解。

(7)要注意整体思想的应用。

典型试题解析：

【例1】 因式分解：

(1)-4xy+2xy-12xy ；

(4)81a-1；

(7)m+2m-9m-18；

专题二 有效分组再分解因式

【例2】（2007年广东中山）因式分解1-4x -4y +8xy ，正确的分组是（ ）

A ． （1-4x ）-（4y -8xy ）

C ．（1+8xy ) -(4x +4y ) [***********] (2)3x(a-b)-x(b-a)； 2 (3)9(x+y)-4(x-y)； 22 (5)(x+2x)+2(x+2x)+1； 222 (6)(a+b) -4a b . 22222 (8)a-b -c -2bc ； (9) x -5x+4； 22242(10) x-2x -5x+6. 32 B．（1-4x -4y ）+8xy D．1-(4x +4y -8xy )

22222专题三 在实数范围内分解因式 【例3】（2007年潍坊市）在实数范围内分解因式：4m +8m－4= ．

分式化简求值：

一、填空题

m 2-4mn +4n 2

1．（2009年滨州）化简：= ． m 2-4n 2

x +y x 2-y 2

2．(2009年成都) 化简：1-＝_______ ÷22x -3y x -6xy +9y

1⎫a ⎛3．（2009年佳木斯）计算 1+2= ÷⎪a -1a -1⎝⎭二、选择题

b 2a 1. （2009年陕西省8．）化简(a -) ⋅的结果是 （ a a -b

11A ．a -b B ．a +b C ． D ． a -b a +b ）

a ⎫4-a 2⎛a 2．（2009年黄冈市4．）化简 的结果是（ -⎪⋅a -2a +2a ⎝⎭

A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a ）

⎛x 2-42-x ⎫x 3. （2009年内蒙古包头）化简 2，其结果是（ ） +÷⎪⎝x -4x +4x +2⎭x -2

8888A ．- B ． C ．- D ． x -2x +2x -2x +2

xy -2y 4. （2009年吉林省）化简2的结果是（ ） x -4x +4

x x y y A ． B ． C ． D ． x +2x -2x +2x -2

x 2-6x +95. （2009年深圳市）化简的结果是（ 2x -6）

D ．x -3 2x +3A ． 2x 2+9B ． 2x 2-9C ． 2

x +32-x +2” x +2x -4

(x +3)(x -2) x -2x 2+x -6-x -2x 2-8-2==2小明的做法是：原式=； x 2-4x -4x 2-4x -4

22小亮的做法是：原式=(x +3)(x -2) +(2-x ) =x +x -6+2-x =x -4； x +3x -2x +31x +3-1-=-==1． 小芳的做法是：原式=x +2(x +2)(x -2) x +2x +2x +26. （2009烟台市）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：

其中正确的是（ ）

A ．小明 B ．小亮 C ．小芳 D ．没有正确的

⎛x 2-42-x ⎫x 7. （2009年包头）化简 2，其结果是（ ） +÷⎪⎝x -4x +4x +2⎭x -2

8888A ．- B ． C ．- D ． x -2x +2x -2x +2

b 24a 2

+8．（2009临沂）化简的结果是（ ） 2a -b b -2a

A ．-2a -b B ．b -2a C ．2a -b D ．b +2a

三、解答题

1．（2009年株洲市）先化简，再求值：x +33+，其中x =-1． 2x -9x -3

2．（2009年重庆市江津区）先化简，再求值：

42x ÷+ ，其中 x = 3 ． x 2-16x -4x +4

x 24x -2-) ÷3．（2009年泸州）化简：( x +2x +2x

x 2-4x +2x ÷-4．（2009仙桃）先化简，再求值：2，其中x ＝2－． x -4x +4x +1x -2

5. （2009年常德市）化简:

y -35÷(y +2-) 4y -8y -2

11x +y -(x 2-y 2+) ，其中x =y =3． 2x x +

y 2x 6．（2009年桂林市、百色市）先化简，再求值：

⎛x 214⎫1x =7. （2009重庆綦江）先化简，再求值： ，其中． -⨯⎪24⎝x -2x -2⎭x +2x

x 2-4x +4⋅(x +2) ，其中x =8. （(2009年安顺）先化简，再求值：2x -

4

x x 2+2x +1x 2-1-÷9. （2009年贵州省黔东南州）先化简，再求值：，其中x =-2． x +2x +2x -1

x 2-2x ⎛2x -4⎫10. （2009恩施市）求代数式的值：2÷ x -2-⎪，其中x =2 x -4⎝x +2⎭

11. （2009年娄底）先化简，再求值：

x -44x +2÷，其中x

x -2x -4x +4x -2

x 2-6x +92x -6÷212. （2009年清远）化简： 9-x 2x +3x

a 2-b 2⎛2ab +b 2⎫13. （2009 黑龙江大兴安岭）先化简：2，当b =-1时，请你为a 任选一个适当的⎪÷ a +⎪a a -ab ⎝⎭

数代入求值．