第14卷第2期2000年6月
山 东 轻 工 业 学 院 学 报
JOURNALOFSHANDONGINSTITUTEOFLIGHTINDUSTRYVol.14No.2
June2000
范德蒙行列式在行列式计算中的应用
冯锡刚
(山东省农业管理干部学院基础部,济南 250100)
摘要:范德蒙行列式是一种重要的行列式,利用各种方法将一些特殊的或近似于范德蒙行列
式的行列式转化为范德蒙行列式,是行列式计算过程中不易掌握的方法,本文通过一些例题来阐述这些方法。
范德蒙行列式;升阶法关键词:
中图法分类号:O171 文献标识码:A 文章编号:1004-4280(2000)02-0077-04
范德蒙行列式的形状为
1a1
D=
a21
-1
an1
1a2a22
-1
an2
1a3a23
-1
an3
…………
1ana2n
-1
ann
=
1≤j
∏
(ai-aj)
在行列式的计算过程中,有一些非范德蒙行列式可以利用各种方法将其化成范德蒙行列式,然后利用范德蒙行列式的结果,把它计算出来,本文从以下三个方面来论述这些方法。
1 利用行列式的性质求解
例1 计算n+1阶行列式
a1
D=
an2an+1
式,于是
n
n
a1b1
-1
an2b2
n-1
a1
n-22
b1
……
a1b1
n-1
b1bn2bn+1
n
n
-22
anb22-1
a2bn2
n
an+1bn+1
n
n-1
an+1bn+1
n-22
…an+1bn+1
n-1
解 从第i行提取公因子ai(i=1,2,…,n+1)就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列
n
∏ai
D=
例2 计算行列式
收稿日期:1998-12-06
i=11≤j
∏
bibj
-aiaj
作者简介:冯锡刚(1965-),男,山东省昌乐县人,山东省农业管理干部学院讲师,大学,主要从事方程研究。
78
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 第14卷
x1
x1-1
x2
D=x2-1
nxn-1
x1x2
x21x22
……
-1
xn1-1xn2
xn
x2n
…
xnn-1
解 从第i行提出(i=1,2,…,n),然后再把第1列加到第2列,之后,第2列加到
xi-1
第3列,……,第n-1列加到第n列,就得到范德蒙行列式,于是
n
D=
例3 计算n+1阶行列式
n
(2n-1)
i=1
∏xi
xi
(xi-xj)
-11≤j∏
…………
nn
n
(2n)
n
(2n-2)
n-1n-1
(2n-1)(2n-2)n-1
nn-1(2n)
D=
2n-11
2n-21
n1
2n1
解 将第n+1行依次与上行交换到第1行,第n行依次交换到第2行,……,第2行与
第1行交换,于是共经过n+n-1+n-2+…+2+1=n(n+1)/2次行的交换,得到
1
D
=(-112n-2
n-1
(2n-2)n(2n-2)
…………
1nnn-1nn
12n
n-1
(2n)n(2n)
2n-1
n
(2n-1)n(2n-1)
n
=(-1)1!2!…n!
2 利用乘法规则求解
例4 计算行列式
n
(a0+b0)
n
(a0+b1)n(a1+b1)
n
…(a0+bn)n…(a1+bn)
n
(a1+b0)
D=
n(an+b0)n
(an+b1)n
…(an+bn)
解 在此行列式中,每一个元素都可以利用二项式定理展开,从而变成乘积的和。根据行列式的乘法规则,D=D1·D2。
第2期冯锡刚:范德蒙行列式在行列式计算中的应用
C0n
其中D1=
C0nC0nbn0
D2=
b0
n-1
79
C1na0C1na1C1nanbn1b1
n-1
………………
bn
n
Cnna0nCnna1
nCnnan
bnn
n-1
11
D
2
=D1·D2=C1nCn
1………
an0an1ann
1
1
1b1b1
n
对D2进行例3中的行的交换,就得到范德蒙行列式,于是
a0a1an
………
1bnbn
n
…Cnn
11
·(-12
b0b0
n
2n
=C1nCn…Cn
0≤j
∏∏
(ai-aj)·(-1n(n+1)
0≤j
∏
(bi-bj)
=CnCn…Cn
12n
0≤j
(ai-aj)(bi-bj)
3 利用升阶法求解
例5 计算n阶行列式
11D=
1111
■n+1=
111
xn-1xnx1x2xn-1xnx
x2n-1x2nx21x22x2n-1xnx2
2
x1x2
x21x22
………………………
-2
xn1-2xn2
xn1xn2xnn-1xnn
-1
xn1-1xn2
-2
xnn-1-2xnn
解 将D升阶为下面的n+1阶行列式
-2xn1-2xn2
xn1xn2xnn-1xnxn
n
-2xnn-1-1
xnn-1
xn
n-2
xn
n-1
xn-2xn-1
即插入一行与一列,使■n+1是关于x1,x2,…,xn,x的n+1阶范德蒙行列式,此处x是变
数。于是■n+1=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)∏(xi-xj)故■n+1是一个关于x的n次1≤j
80
■n+1=
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 第14卷
1≤j
∏
(xi-xj){xn+(-1)(x1+x2+…+xn)xn-1+…}
另一方面,将■n+1按其第n+1行展开,即得
■n+1=
1≤j
∏(xi
2n+1
-xj)xn+(-1)Dxn-1+…
比较■n+1中关于xn-1的系数,即得
D=(x1+x2+…+xn)
参考文献:
〔1〕 毛纲源.线性代数解题方法和技巧〔M〕.武汉:湖南大学出版社,1987.〔2〕 屠伯埙.线性代数方法导论〔M〕.上海:复旦大学出版社,1984.
1≤j
∏
(xi-xj)
ToapplythedeterminantofVandermonderto
thecalculationofdeterminant
FENGXi-gang
(ShandongAgriculturalmanagementcadrescollege,Jinan,250100)
Abstract BeinganimportantdeterminantofVandermonder.Wecanchangthedeterminantspecialorsimilartoitintooneofit,butitisuneasytograsp,thispapergivesseveralexamples.
Keywords thevandermonderdeterminant;step-lifting
第14卷第2期2000年6月
山 东 轻 工 业 学 院 学 报
JOURNALOFSHANDONGINSTITUTEOFLIGHTINDUSTRYVol.14No.2
June2000
范德蒙行列式在行列式计算中的应用
冯锡刚
(山东省农业管理干部学院基础部,济南 250100)
摘要:范德蒙行列式是一种重要的行列式,利用各种方法将一些特殊的或近似于范德蒙行列
式的行列式转化为范德蒙行列式,是行列式计算过程中不易掌握的方法,本文通过一些例题来阐述这些方法。
范德蒙行列式;升阶法关键词:
中图法分类号:O171 文献标识码:A 文章编号:1004-4280(2000)02-0077-04
范德蒙行列式的形状为
1a1
D=
a21
-1
an1
1a2a22
-1
an2
1a3a23
-1
an3
…………
1ana2n
-1
ann
=
1≤j
∏
(ai-aj)
在行列式的计算过程中,有一些非范德蒙行列式可以利用各种方法将其化成范德蒙行列式,然后利用范德蒙行列式的结果,把它计算出来,本文从以下三个方面来论述这些方法。
1 利用行列式的性质求解
例1 计算n+1阶行列式
a1
D=
an2an+1
式,于是
n
n
a1b1
-1
an2b2
n-1
a1
n-22
b1
……
a1b1
n-1
b1bn2bn+1
n
n
-22
anb22-1
a2bn2
n
an+1bn+1
n
n-1
an+1bn+1
n-22
…an+1bn+1
n-1
解 从第i行提取公因子ai(i=1,2,…,n+1)就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列
n
∏ai
D=
例2 计算行列式
收稿日期:1998-12-06
i=11≤j
∏
bibj
-aiaj
作者简介:冯锡刚(1965-),男,山东省昌乐县人,山东省农业管理干部学院讲师,大学,主要从事方程研究。
78
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 第14卷
x1
x1-1
x2
D=x2-1
nxn-1
x1x2
x21x22
……
-1
xn1-1xn2
xn
x2n
…
xnn-1
解 从第i行提出(i=1,2,…,n),然后再把第1列加到第2列,之后,第2列加到
xi-1
第3列,……,第n-1列加到第n列,就得到范德蒙行列式,于是
n
D=
例3 计算n+1阶行列式
n
(2n-1)
i=1
∏xi
xi
(xi-xj)
-11≤j∏
…………
nn
n
(2n)
n
(2n-2)
n-1n-1
(2n-1)(2n-2)n-1
nn-1(2n)
D=
2n-11
2n-21
n1
2n1
解 将第n+1行依次与上行交换到第1行,第n行依次交换到第2行,……,第2行与
第1行交换,于是共经过n+n-1+n-2+…+2+1=n(n+1)/2次行的交换,得到
1
D
=(-112n-2
n-1
(2n-2)n(2n-2)
…………
1nnn-1nn
12n
n-1
(2n)n(2n)
2n-1
n
(2n-1)n(2n-1)
n
=(-1)1!2!…n!
2 利用乘法规则求解
例4 计算行列式
n
(a0+b0)
n
(a0+b1)n(a1+b1)
n
…(a0+bn)n…(a1+bn)
n
(a1+b0)
D=
n(an+b0)n
(an+b1)n
…(an+bn)
解 在此行列式中,每一个元素都可以利用二项式定理展开,从而变成乘积的和。根据行列式的乘法规则,D=D1·D2。
第2期冯锡刚:范德蒙行列式在行列式计算中的应用
C0n
其中D1=
C0nC0nbn0
D2=
b0
n-1
79
C1na0C1na1C1nanbn1b1
n-1
………………
bn
n
Cnna0nCnna1
nCnnan
bnn
n-1
11
D
2
=D1·D2=C1nCn
1………
an0an1ann
1
1
1b1b1
n
对D2进行例3中的行的交换,就得到范德蒙行列式,于是
a0a1an
………
1bnbn
n
…Cnn
11
·(-12
b0b0
n
2n
=C1nCn…Cn
0≤j
∏∏
(ai-aj)·(-1n(n+1)
0≤j
∏
(bi-bj)
=CnCn…Cn
12n
0≤j
(ai-aj)(bi-bj)
3 利用升阶法求解
例5 计算n阶行列式
11D=
1111
■n+1=
111
xn-1xnx1x2xn-1xnx
x2n-1x2nx21x22x2n-1xnx2
2
x1x2
x21x22
………………………
-2
xn1-2xn2
xn1xn2xnn-1xnn
-1
xn1-1xn2
-2
xnn-1-2xnn
解 将D升阶为下面的n+1阶行列式
-2xn1-2xn2
xn1xn2xnn-1xnxn
n
-2xnn-1-1
xnn-1
xn
n-2
xn
n-1
xn-2xn-1
即插入一行与一列,使■n+1是关于x1,x2,…,xn,x的n+1阶范德蒙行列式,此处x是变
数。于是■n+1=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)∏(xi-xj)故■n+1是一个关于x的n次1≤j
80
■n+1=
山 东 轻 工 业 学 院 学 报 第14卷
1≤j
∏
(xi-xj){xn+(-1)(x1+x2+…+xn)xn-1+…}
另一方面,将■n+1按其第n+1行展开,即得
■n+1=
1≤j
∏(xi
2n+1
-xj)xn+(-1)Dxn-1+…
比较■n+1中关于xn-1的系数,即得
D=(x1+x2+…+xn)
参考文献:
〔1〕 毛纲源.线性代数解题方法和技巧〔M〕.武汉:湖南大学出版社,1987.〔2〕 屠伯埙.线性代数方法导论〔M〕.上海:复旦大学出版社,1984.
1≤j
∏
(xi-xj)
ToapplythedeterminantofVandermonderto
thecalculationofdeterminant
FENGXi-gang
(ShandongAgriculturalmanagementcadrescollege,Jinan,250100)
Abstract BeinganimportantdeterminantofVandermonder.Wecanchangthedeterminantspecialorsimilartoitintooneofit,butitisuneasytograsp,thispapergivesseveralexamples.
Keywords thevandermonderdeterminant;step-lifting