第四节 二元函数的极值
教学目的：1、掌握二元函数无条件极值的定义。
2、掌握二元函数极值的求法。
教学重点：二元函数极值的求法及其应用。 教学过程：
多元函数的极值在经济中具有广泛的应用，下面以二元函数为例来介绍极值的概念和求法.
一、二元函数极值的概念及求法
二元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似，定义如下：
定义6.6 设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于
(x 0, y 0) 的点(x , y ) ：如果不等式
f (x , y )
恒成立，则称函数在点(x 0, y 0) 有极大值；如果不等式
f (x , y ) >f (x 0, y 0)
恒成立，则称函数在点(x 0, y 0) 有极小值. 极大值和极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1
函数z 0，0）有极小值. 如图6-8.
图6-8
例2 函数z =-(x 2+y 2) 在点（0，0）有极大值. 因为在点（0，0）的函数值z =0，而在点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都小于零.
例3 z =2xy 在（0，0）不取极值. 因为在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.
二元函数z =f (x , y ) 的极值，一般可用偏导数来求，下列两个定理给出了二元函数极值存在的条件和求法.
定理6.8 （必要条件）设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数，且在点(x 0, y 0) 处有极值，则它在该点的偏导数必为零.
使f x '(x , y ) =0，f y '(x , y ) =0同时成立的点(x 0, y 0) 称为函数的驻点.
定理6.9 （充分条件）设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内连续且具有一阶、二阶偏导数，又f x '(x 0, y 0) =0，f y '(x 0, y 0) =0，令
''(x 0, y 0) ，B =f xy ''(x 0, y 0) ，C =f yy ''(x 0, y 0) A =f xx
则f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 是否取得极值的条件如下：
（1）当AC -B 2>0时，取得极值，且当A 0时有极小值；
（2）当AC -B 2
（3）当AC -B 2=0时，可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.
例4 求函数z =x 3-y 2-27x 的极值
'=3x 2-27解 z x ，z 'y =-2y
'=3x 2-27⎧=0⎪z x
令 ⎨
'z =-2y =0 ⎪⎩y
得驻点为（-3，0）和（3，0）. 又
''=6x , B =z xy ''=0, C =z ''A =z xx yy =-2
C -B 2=36>0，在点（-3，0）处，A =-18, B =0, C =-2，而A 所以函数z =x 3-y 2-27x
在点（-3，0）处取得极大值；
C -B 2=-36
在点（3，0）不取得极值.
二、二元函数最大值和最小值
本章第一节已经指出，如果函数z =f (x , y ) 在闭区域D 上连续，那么它在D 上一定有最大值和最小值. 二元函数的最大值和最小值的求法与一元函数类似，可用极值来求. 特别在实际问题中，如果根据问题的性质就可判定函数z =f (x , y ) 在D 内一定有最大值和最小值，而函数在D 内又只有一个驻点，则该驻点的函数值就是函数
z =f (x , y ) 在D 内的最大值或最小值.
例5 设某厂一年内生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，其总成本为
C =2x 2+2y 2
且甲产品每件售价1000元，乙产品每件售价2000元，问该厂一年内生产甲产品、乙产品各多少件时，才能使利润最大？并求最大利润.
解 因为收入函数
R =1000x +2000y 所以
L =R -C =1000x +2000y -2x 2-2y 2
又
'=1000-4x ，L y '=2000-4y L x
''=-4, B =L xy ''=0, C =L yy ''=-4 A =L xx
'=100-0x 4=0⎧L x
令 ⎨
'=200-0y 4=0⎩L y
得唯一驻点为（250，500）.
又根据实际问题，L 在x >0, y >0内一定有最大值，且L 在x >0, y >0内又只有一个驻点（250，500），所以L 在点（250，500）取得最大值，即当甲产品生产250件，
乙产品生产500件时，才能使利润最大，最大利润为62.5万元.
三、条件极值
前面在求二元函数z =f (x , y ) 的极值时，自变量只在定义域内变化，而对自变量没有其它的限定条件，这样的极值叫无条件极值. 但有时会遇到对自变量有附加条件的极值. 如在x +y ++z +1=0的条件下求二元函数u =x 3-3xy +z 的极值，象这种对自变量有附加条件的极值叫条件极值.
条件极值的求法有两种方法：
1．转化为无条件极值
对于一些简单的条件极值，可以利用附加条件，消去函数中的某些变量，转化为无条件极值. 如在x +y +z +1=0的条件下二元函数u =x 3-3xy +z 的极值，可利用附加条件x +y +z +1=0求出z =-x -y -1，消去函数u =x 3-3xy +z 中的z 后，转化为求函数
z =x 3-3xy -x -y -1
这时自变量x , y 就不再有附加条件了，因而也就转化为无条件极值了.
2．拉格朗日乘数法
有些条件极值利用附加条件，消去函数中的某些变量，转化为无条件极值很困难. 拉格朗日乘数法.
假设我们来求在ϕ(x , y ) =0的条件下二元函数z =f (x , y ) 的极值. 方法为： （1）构造辅助函数
F (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y )
（2）求偏导数
F x '=f ', y +) λϕ'x (x , y ) x (x
F y '=f y '(x , y ) +λϕ'y (x , y )
F λ'=ϕ(x , y )
（3）令
⎧F '=f '(x , y ) +λϕ'(x , y ) =0
x x
⎪x ⎪'
⎨F y =f y '(x , y ) +λϕ'y (x , y ) =0 ⎪
F '=ϕ(x , y ) =0 ⎪⎩λ
求出此方程组的解x =x 0, y =y 0，则点(x 0, y 0) 就是函数z =f (x , y ) 在ϕ(x , y ) =0的条件下的可能极值点. 这种方法叫拉格朗日乘数法.
例6 求表面积为a 2而体积最大的长方体.
解 设长方体的长、宽、高分别为x , y , z ，则所要解决的问题就是在条件
2xy +2yz +2zx =a 2 （1）
下求函数
V =xyz (x >0, y >0, z >0)
的最大值.
构造辅助函数
F (x , y , z , λ) =xyz +λ(2xy +2yz +2zx -a 2)
求其对x , y , z 的偏导数，并使偏导数为零，得
⎧F x '(x , y , z , λ) =yz +2λ(y +z ) =0 ⎪F '(x , y , z , λ) =xz +2λ(x +z ) =0 ⎪y
⎨
'F (x , y , z , λ) =xy +2λ(y +x ) =0 ⎪z
2⎪⎩F λ'(x , y , z , λ) =2xy +2yz +2zx -a =0
解得
x =y =z
（2）
将（2）代入（1）得唯一可能的极值点为
x =y =z a
又根据问题知V 的最大值在x >0, y >0, z >0内一定存在，所以V 的最大值就在这个可能的极值点处取得. 因此表面积为a
2体的体积为最大，最大体积为V =
3. 的正方
第四节 二元函数的极值
教学目的：1、掌握二元函数无条件极值的定义。
2、掌握二元函数极值的求法。
教学重点：二元函数极值的求法及其应用。 教学过程：
多元函数的极值在经济中具有广泛的应用，下面以二元函数为例来介绍极值的概念和求法.
一、二元函数极值的概念及求法
二元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似，定义如下：
定义6.6 设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于
(x 0, y 0) 的点(x , y ) ：如果不等式
f (x , y )
恒成立，则称函数在点(x 0, y 0) 有极大值；如果不等式
f (x , y ) >f (x 0, y 0)
恒成立，则称函数在点(x 0, y 0) 有极小值. 极大值和极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
例1
函数z 0，0）有极小值. 如图6-8.
图6-8
例2 函数z =-(x 2+y 2) 在点（0，0）有极大值. 因为在点（0，0）的函数值z =0，而在点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都小于零.
例3 z =2xy 在（0，0）不取极值. 因为在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.
二元函数z =f (x , y ) 的极值，一般可用偏导数来求，下列两个定理给出了二元函数极值存在的条件和求法.
定理6.8 （必要条件）设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 具有偏导数，且在点(x 0, y 0) 处有极值，则它在该点的偏导数必为零.
使f x '(x , y ) =0，f y '(x , y ) =0同时成立的点(x 0, y 0) 称为函数的驻点.
定理6.9 （充分条件）设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 的某个邻域内连续且具有一阶、二阶偏导数，又f x '(x 0, y 0) =0，f y '(x 0, y 0) =0，令
''(x 0, y 0) ，B =f xy ''(x 0, y 0) ，C =f yy ''(x 0, y 0) A =f xx
则f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 是否取得极值的条件如下：
（1）当AC -B 2>0时，取得极值，且当A 0时有极小值；
（2）当AC -B 2
（3）当AC -B 2=0时，可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.
例4 求函数z =x 3-y 2-27x 的极值
'=3x 2-27解 z x ，z 'y =-2y
'=3x 2-27⎧=0⎪z x
令 ⎨
'z =-2y =0 ⎪⎩y
得驻点为（-3，0）和（3，0）. 又
''=6x , B =z xy ''=0, C =z ''A =z xx yy =-2
C -B 2=36>0，在点（-3，0）处，A =-18, B =0, C =-2，而A 所以函数z =x 3-y 2-27x
在点（-3，0）处取得极大值；
C -B 2=-36
在点（3，0）不取得极值.
二、二元函数最大值和最小值
本章第一节已经指出，如果函数z =f (x , y ) 在闭区域D 上连续，那么它在D 上一定有最大值和最小值. 二元函数的最大值和最小值的求法与一元函数类似，可用极值来求. 特别在实际问题中，如果根据问题的性质就可判定函数z =f (x , y ) 在D 内一定有最大值和最小值，而函数在D 内又只有一个驻点，则该驻点的函数值就是函数
z =f (x , y ) 在D 内的最大值或最小值.
例5 设某厂一年内生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，其总成本为
C =2x 2+2y 2
且甲产品每件售价1000元，乙产品每件售价2000元，问该厂一年内生产甲产品、乙产品各多少件时，才能使利润最大？并求最大利润.
解 因为收入函数
R =1000x +2000y 所以
L =R -C =1000x +2000y -2x 2-2y 2
又
'=1000-4x ，L y '=2000-4y L x
''=-4, B =L xy ''=0, C =L yy ''=-4 A =L xx
'=100-0x 4=0⎧L x
令 ⎨
'=200-0y 4=0⎩L y
得唯一驻点为（250，500）.
又根据实际问题，L 在x >0, y >0内一定有最大值，且L 在x >0, y >0内又只有一个驻点（250，500），所以L 在点（250，500）取得最大值，即当甲产品生产250件，
乙产品生产500件时，才能使利润最大，最大利润为62.5万元.
三、条件极值
前面在求二元函数z =f (x , y ) 的极值时，自变量只在定义域内变化，而对自变量没有其它的限定条件，这样的极值叫无条件极值. 但有时会遇到对自变量有附加条件的极值. 如在x +y ++z +1=0的条件下求二元函数u =x 3-3xy +z 的极值，象这种对自变量有附加条件的极值叫条件极值.
条件极值的求法有两种方法：
1．转化为无条件极值
对于一些简单的条件极值，可以利用附加条件，消去函数中的某些变量，转化为无条件极值. 如在x +y +z +1=0的条件下二元函数u =x 3-3xy +z 的极值，可利用附加条件x +y +z +1=0求出z =-x -y -1，消去函数u =x 3-3xy +z 中的z 后，转化为求函数
z =x 3-3xy -x -y -1
这时自变量x , y 就不再有附加条件了，因而也就转化为无条件极值了.
2．拉格朗日乘数法
有些条件极值利用附加条件，消去函数中的某些变量，转化为无条件极值很困难. 拉格朗日乘数法.
假设我们来求在ϕ(x , y ) =0的条件下二元函数z =f (x , y ) 的极值. 方法为： （1）构造辅助函数
F (x , y , λ) =f (x , y ) +λϕ(x , y )
（2）求偏导数
F x '=f ', y +) λϕ'x (x , y ) x (x
F y '=f y '(x , y ) +λϕ'y (x , y )
F λ'=ϕ(x , y )
（3）令
⎧F '=f '(x , y ) +λϕ'(x , y ) =0
x x
⎪x ⎪'
⎨F y =f y '(x , y ) +λϕ'y (x , y ) =0 ⎪
F '=ϕ(x , y ) =0 ⎪⎩λ
求出此方程组的解x =x 0, y =y 0，则点(x 0, y 0) 就是函数z =f (x , y ) 在ϕ(x , y ) =0的条件下的可能极值点. 这种方法叫拉格朗日乘数法.
例6 求表面积为a 2而体积最大的长方体.
解 设长方体的长、宽、高分别为x , y , z ，则所要解决的问题就是在条件
2xy +2yz +2zx =a 2 （1）
下求函数
V =xyz (x >0, y >0, z >0)
的最大值.
构造辅助函数
F (x , y , z , λ) =xyz +λ(2xy +2yz +2zx -a 2)
求其对x , y , z 的偏导数，并使偏导数为零，得
⎧F x '(x , y , z , λ) =yz +2λ(y +z ) =0 ⎪F '(x , y , z , λ) =xz +2λ(x +z ) =0 ⎪y
⎨
'F (x , y , z , λ) =xy +2λ(y +x ) =0 ⎪z
2⎪⎩F λ'(x , y , z , λ) =2xy +2yz +2zx -a =0
解得
x =y =z
（2）
将（2）代入（1）得唯一可能的极值点为
x =y =z a
又根据问题知V 的最大值在x >0, y >0, z >0内一定存在，所以V 的最大值就在这个可能的极值点处取得. 因此表面积为a
2体的体积为最大，最大体积为V =
3. 的正方