圆锥曲线+直线与椭圆面积及最值

1．（本小题共14分）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2+3y 2=4上，C 在直线l ：y =x +2上，且AB //l ．

（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；

（Ⅱ）当∠ABC =90，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．

x 2y 222．已知点A (1, 2) 是离心率为的椭圆C 2+2=1(a >b >0) 上的一点．斜率为2b a 2

的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）∆ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

东城

2008高考

12. 解：（Ⅰ）因为AB //l ，且AB 边通过点(0，0) ，所以AB 所在直线的方程为y =x ．设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ．由⎧x 2+3y 2=4，得⎨⎩y =x x =±1．所

以

又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．

所以h =AB =1-x 2=1S △ABC =AB h =2． 2

22x 2+3y 2=4，4x +6mx +3m -4=0．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m ，由⎧得⎨⎩y =x +m

因为A ，B 在椭圆上，所以∆=-12m 2+64>0．设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，则3m x 1+x 2=-2，3m 2-4x 1x 2=4，所

以

．又因为BC 的长等于点(0AB =1-x 2=，m ) 到直线l

的距离，即22222．所以AC =AB +BC =-m -2m +10=-(m +1) +11．所以当BC =m =-1时，AC 边最长，（这时∆=-12+64>0）此时AB 所在直线的方程为y =x -1．

2. 解：（Ⅰ） e =122c =， 2+2=1，a 2=b 2+c 2∴a =2，b =2，c =2 b a 2a

x 2y 2

=1． ∴+24

（Ⅱ）设直线BD 的方程为y =

2⎧2x +b 22⇒4x +22bx +b -4=0 2x +b ∴⎨y =22⎩2x +y =4b 2-42b , ----① x 1x 2=∴∆=-8b +64>0 ⇒-22

-----②

∆64-8b 26 BD =+(2) x 1-x 2===8-b 2， 442

b 设d 为点A 到直线BD ：y =2x +b 的距离，∴d = 2

∴S ∆ABD = 12BD d =(8-b 2) b 2≤2 ，当且仅当b =±2∈(-22, 22) 时， 24∆ABD 的面积最大，最大值为2