高二理科数学复习：直线与圆锥曲线的位置关系
【基础预习】
1. 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线公共点的个数问题，解决的方法： 消元后转化为 ，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究。 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算
（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用 求弦长。 （2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组对，得到关于x （或y ）的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)两点，则弦长公式为：
AB =AB =实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧。 3. 弦的中点问题：
x 2y 2
设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)是椭圆2+2=1上不同两点且x 1≠x 2，x 1+x 2≠0，M 是其
a b x 12y 12x 22y 22y 1-y 2y 1+y 2b 2
中点，则2+2=1，2+2=1 两式做差可得⋅=-2
a b a b x 1-x 2x 1+x 2a
其中
y 1-y 2y +y 2
可以看作 ，而1是 。这种方法叫点差法，
x 1-x 2x 1+x 2
最后需要检验直线与曲线是否相交。
【例题导引】例1已知双曲线C ：x 2-y 2=4，讨论直线l :y =k (x -1)与C 的交点个数. 【分析】联立方程组，从方程解的个数来判断直线与曲线交点的个数。 【解】由方程组⎨
⎧⎪y =k (x -1)2222
消去y 可得(1-k )x +2k x -k -4=0
22⎪⎩x -y =4
2
（1）当1-k =0时，即k =±1时，方程化为2x =5，此时直线与双曲线仅有一个交点。 22
（2）当1-k ≠0时即k ≠±1时，∆=2k
()
2
+4(1-k 2)(k 2+4)=4(4-3k 2)
2
⎧∆=44-3k ()>0即-
233⎪⎩
1-k ≠02
⎧⎪∆=4(4-3k )=0②若⎨即k =时，直线与双曲线只有一个交点；
2⎪⎩
1-k ≠02
⎧⎪∆=4(4-3k )
k
2⎪⎩
1-k ≠0
【变式1】直线l :y =kx +1与双曲线C :2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B. 求实数k 的取值范围。
y 2x |x |-=1的交点个数是 . 【变式2】直线y =x +3与曲线94
x 2y 2
+=1内一点M （2，1）引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在例2 过椭圆
164
的直线的方程。
[解]法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k+1)x-(2k-k)x+4(2k-1)-16=0„„„„„„*
设直线与椭圆的交点为A （x 1,y 1）,B(x2,y 2) ，则x 1,x 2是上述方程的两根，于是有：x 1+x2=
2
2
2
2
8(2k 2-k )4k +1
2
又M 为AB 的中点，所以x 1+x2 =
8(2k 2-k )4k +1
2
=4
解得k=-
1
代入*式，∆>0 故所求直线方程为x+2y-4=0 2
法二：设直线与椭圆的交点为A （x 1,y 1）,B(x2,y 2) 因为M 为AB 的中点，，所以x 1+x2 =4, y1+y2 =2 又A 、B 两点在椭圆上，则有 22222222
x 1+4y1=16 x2+4y2=16 两式相减，得x 1-x 2+4(y1-y 2)=0, (x1+x2)(x1-x 2)+4(y1+y2)(y1-y 2)=0 所以
11x 1+x 2y 1-y 2
=-=- 即K AB =-
22x 1-x 24y 1+y 2此时方程为 x+2y-4=0 代入椭圆方程，∆>0 故所求直线方程为x+2y-4=0
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x,y ），由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-x,2-y)
2222
因为A 、B 两点都在椭圆上，所以x +4y=16„„① (4-x)+4(2-y)=16„„② ①-②, 整理，得 x+2y-4=0
由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y-4=0. 【拓展运用】
y 2
=1的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求【问题1】已知F 1, F 2为椭圆x +2
2
∆ABF 2面积的最大值。
【分析】∆ABF 2的面积是由直线AB 的斜率k 确定的，因此可构建以k 为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值。
【探究1】如何求∆AOB 面积的最大值（O 为原点）？
【探究2】若弦AB 过原点，四边形AF 1BF 2面积的最大值是多少？
【探究3】若弦AB 过点 ,1⎪，∆AOB 面积的最大值是多少？并求此时直线AB 的方程.
【问题2】（2006北京）已知点M (-2,0), N (2,0)，动点P
满足条件|PM |-|PN |=．记动点P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；
【探究】若直线y =kx +1与W 交于A , B 两点，且OA ⋅OB >2，求k 的范围。
【巩固训练】
2
1. 过点(-1, -6) 的直线l 与抛物线y =4x 交于A , B 两点，若P (,0) ，|AP |=|BP |，求直
⎛1⎫⎝2⎭
（Ⅱ）若A , B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ⋅OB 的最小值．
92
线l 的斜率．
2. 已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线y =2px 上， △ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合。 （1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.
2
x 2y 22
3. 如图，已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为，以该椭圆上的点和椭
2a b
圆的左、右焦点F 1, F 2为顶点的三角形的周长为4(2+1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1⋅k 2=1； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得AB +CD =λAB ⋅CD 恒成立？
若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
x 2y 2
4、设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，
a b
点P 在椭圆上且在x 轴上方，|PF 1|=7,|PF 2|=5,cos ∠F 1F 2P =（1）求椭圆C 的方程；
（2）抛物线D :y =4mx (m >0) 过点P ，连结PF 2并延长与抛物线D 交于点Q ，M 是抛物线D 上一动点（且M 在P 与Q 之间运动），求∆MPQ 面积的最大值．
2
1． 5
直线与圆锥曲线的位置关系
参考答案
【基础预习】
1. 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线公共点的个数问题，解决的方法是转化为 一元二次方程（进行消元），进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究。 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算
（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用 两点距离公式 求弦长。 （2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组对，得到关于x （或y ）的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)两点，则弦长公式为：
AB
AB
实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧。 3、k AB ，k OM （O 为坐标原点） 【例题导引】
变式1 解：解：将直线l 的方程y =kx +1代入双曲线方程2x 2-y 2=1整理后得：
(k 2-2) x 2+2kx +2=0. „„① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故
⎧k 2-
2≠0, ⎪22
⎪∆=(2k ) -8(k -2) >0, ⎪2k
解得k 的取值范围是-2, . ⎨-2>0
⎪k -2⎪2
>0. ⎪2
⎩k -2
(变式2 解：根据题意画出图形，可知有三个交点。 【拓展运用】
【问题1】解：由题意，F 1(0,1)，FF 12=2，设A (x A , y A )，B (x B , y B )，
2222
设直线AB 的方程为y =kx +1代入椭圆方程2x +y =2得k +2x +2kx -1=0则
()
2k 1
x A +x B =-2，x A x B =-2所以x A -x B
=k +
2k +2
S
ABF
2
11==
F
1F 2x A -x B =
2
2k +2
≤1
=2
=
即k =
0【探究1】解：由问题1
知S ∆AOB
11=OF 1⋅x A -x B ==S ∆ABF 2,
2k 2+22
故S ∆AOB ≤
当且仅当k =0时取等号. 2
【探究2】解：由问题1知S ∆AF 1BF 2=2S ∆AF 1F 2=FF 12⋅x A =2x A , 由题知直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y =kx ,
2y 222
=2=1，得x A 代入椭圆x +，∴S ∆AF 1BF 2=2x A =2≤2，2
k +22k +2
2
当且仅当k =0时取等号.
【探究3】解：当直线AB 的斜率存在，设为k ，则y =k x -
⎛
⎝1⎫
⎪+1， 2⎭
y 2k 2222
=1，得2+k x +2k -k x +-k -1=0, 代入椭圆x +24
2
()()
故∆=6k +8k +8>0，设A (x A , y A )，B (x B , y B )，
2
k 2
-k -1k 2-2k
由韦达定理知，x A +x B =2，x A x B =2.
k +2k +2
当ｘ＝０时，y =1-
11⎫⎛
k ，则直线ＡＢ与ｙ轴交点M 为 0, 1-k ⎪. 22⎭⎝
S ∆AOB
1∆111
==⋅-k ⋅x A -x B ==⋅2-k ⋅2
422k +24
(k -2)26k 2+8k +8k 2+2
=
142
2k 2-8k +8+6k 2+8k +8
2k 2-8k +86k 2+8k +812≤=, 2
2k 2+2k +242
当且仅当2k -8k +8=6k +8k +8, 即k =0或-4时，取得等号.
22
当直线AB 斜率不存在时，直线AB 方程为：x =
11162
22242
所以，S ∆
AOB 面积的最大值为
，此时直线AB 的方程为：y=1或4x+y-3=0. 2
【问题2】解一： （Ⅰ）由|PM |-|PN
P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a
c =2。故虚半轴长b
=
x 2y 2
-=1, x ≥所以W
的方程为22
（Ⅱ）设A 、B 的坐标分别为（x 1y 1），（x 2y 2）．
当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2, y 1=y 2，从而OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2。 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得
(9-k )x
2
2
-2kmx -m 2-2=0，
2km m 2+2, x 1x 2=2故x 1+x 2= 2
1-k k -1
OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )
所以=(1+k ) x 1x 2+km (x 1+x 2) +m
2
2
(1+k 2)(m 2+2) 2k 2m 22
=++m
k 2-11-k 2
2k 2+24=2=2+2
k -1k -1
又因为x 1x 2>0，所以k -1>0，从而OA ⋅OB >2． 综上，当AB ⊥x 轴时，OA ⋅OB 取得最小值2． 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1), (y 1, y 2)，则 x i =y i =(x i +y i )(x i -y i ) =2(i =1,2) 令s i =x i +y i , t i =x i -y i ，
则s i t i =2，且s i >0，t i >0(i =1,2) ，所以
2
2
2
OA ⋅OB =x 1x 2+y y 1
=
2
11
(s 1+t 1)(s 2+t ) 2+(s -1t )(s 1-t 2) 4411
=s 1s 2+t t 1≥=212222
2
⎧x 1=x 2
当且仅当s 1s 2=t 1t 2，即⎨时“=”成立．
y =-y ⎩12
所以OA ⋅OB 的最小值是2．
【探究】若直线y =kx +1与W 交于A , B 两点，且OA ⋅OB >2，求k 的范围。
⎛⎫⎛k ∈ --1⋃ 1, ⎪ ⎪ 2⎝⎭⎝2⎭
【巩固训练】
1、解：由题意，直线l 的斜率必存在且不为零，设斜率为k ，则直线l 方程为：
y =k (x +1) -6，代入y 2=4x 得k 2x 2+[2k (k -6) -4]x +(k -6) 2=0 ∵直线l 与抛物线交于A , B 两点，∴∆=[2k (k -6) -4]2-4k 2(k -6) 2>0
即3
∴(x 1-) -(x 2-) +4x 1-4x 2=0，化简得：(x 1-x 2)(x 1+x 2-5) =0 ∵x 1≠x 2, ∴x 1+x 2=5，又x 1+x 2=
92
22
92
22
92
2
92
2
4-2k (k -6) 4-2k (k -6)
=5 ， ∴22
k k
22
得k =2或k =-
，∵3
77
∴所求直线l 的斜率为2． 2. 解：（1）由点A （2，8）在抛物线y 2=2px 上，有82=2p ⋅2，
解得p=16. 所以抛物线方程为y 2=32x ，焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的
AF
定比分点，且=2，设点M 的坐标为(x 0, y 0) ，则
FM
2+2x 08+2y 0
=8, =0，解得x 0=11, y 0=-4， 1+21+2
所以点M 的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在
的直线不垂直于x 轴. 设BC 所在直线的方程为：y +4=k (x -11)(k ≠0). 由⎧y +4=k (x -11), 消x 得ky 2-32y -32(11k +4) =0，
⎨2
⎩y =32x
所以y 1+y 2=32，由（2）的结论得y 1+y 2=-4，解得k =-4.
2
因此BC 所在直线的方程为：4x +y -40=0.
k
3. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，由题意知
c =a +2c =1) a 2
所以a =c =2又a 2=b 2+c 2，因此b =2.
x 2y 2
=1 „„2分 故椭圆的标准方程为+
84x 2y 2
由题意设等轴双曲线的标准方程为2-2=1(m >0) ，
m m
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m =2
x 2y 2
=1 „„4分 因此双曲线的标准方程为-
44
（Ⅱ）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (x 0, y 0) 则k 1=
y 0y 0
, k 2=
x 0+2x 0-2
22
因为点P 在双曲线x 2-y 2=4上， 所以x 0-y 0=4.
因此k 1k 2=
y 0y y
⋅0=20=1 即k 1k 2=1. „„7分 x 0+2x 0-2x 0-4
（Ⅲ）由于PF 1的方程为y =k 1(x +2) ，将其代入椭圆方程得
8k 128k 12-8
(2k +1) x +8k x +8k -8=0，由违达定理得x 1+x 2=-2, x 1x 2=2
2k 1+12k 1+1
2
1
2
21
21
所以|AB |=
=
„„10分 =1
同理可得|CD |= 由AB +CD =λAB ⋅CD
22
+1112k 12+12k 2
则λ=
+=2+2) „„12分 又k 1k 2=1，
|AB ||CD |k 1+1k 2+1
2
+12222
2k +1k 2k +1k +211则 +=21+1) =21+12) =
1|AB ||CD |k 1+18k 1+1k 1+18+1k 12
故|AB |+|CD |=
|AB |⋅|CD |
8
因此，存在λ=
， 8
使|AB |+|CD |=λ|AB |⋅|CD |恒成立。„„14分
4、解：（1）由椭圆的定义有：2a =|PF 1|+|PF 2|=12, a =6-------------------------------1分 又由余弦定理知道:在∆PF 1F 2中，
|PF 1|2=|PF 2|2+F 1F 2-2|PF 2|⋅F 1F 2cos ∠F 1F 2P
所以
2
2
----------------------------------------------2分
（舍去） ∴c =3. ---3分
F 1F 2-2⋅F 1F 2-24=0
2
2
2
解得
FF 12=6
或
F 1F 2=-4
x 2y 2∴b =a -c =27∴所以，所求的椭圆方程C :+=1. -------------------------------4分
3627
(2) 设P (x 0, y 0) ，则x 0=OF 2-PF 2cos ∠FF 12P =2
42y 024
) --------------------5分
∴+=1，又P 在x
轴上方，∴y 0=
∴P (26
363627
把P 代入抛物线y 2=4mx (m >0) ，得抛物线D 方程为y 2=12x -----------------6分 ∴直线PQ
的斜率为：k PQ =k PF 2=-
∴直线PQ
的方程为：+y -=0.------------------------------------------------------------7分
2⎧9⎪y =12x 联立⎨，得2x 2-13x +18=0 解得x 1=2, x 2=--------------------------8分
2⎪⎩y =-x -3)
∴Q 的横坐标为x Q =
99
，代入抛物线方程y Q =-
∴Q (, -----------------------9分
22
25
PQ ==
2 ----------------------------------------------------10分 ∴
t 2
设点M (, t ) 到直线PQ
：+y -=0的距离为d ，
12
则d =
66275(t +) -，又M 在P 与Q
之间运动，∴t ∈(- -----------12分 3022
∴当t =-
6 --------------------------------------------------------------13分 时，d
2
∴S ∆
MPQ 的最大值为(S ∆MPQ ) max =125. -------------------------------14分 ⋅=22
高二理科数学复习：直线与圆锥曲线的位置关系
【基础预习】
1. 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线公共点的个数问题，解决的方法： 消元后转化为 ，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究。 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算
（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用 求弦长。 （2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组对，得到关于x （或y ）的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)两点，则弦长公式为：
AB =AB =实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧。 3. 弦的中点问题：
x 2y 2
设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)是椭圆2+2=1上不同两点且x 1≠x 2，x 1+x 2≠0，M 是其
a b x 12y 12x 22y 22y 1-y 2y 1+y 2b 2
中点，则2+2=1，2+2=1 两式做差可得⋅=-2
a b a b x 1-x 2x 1+x 2a
其中
y 1-y 2y +y 2
可以看作 ，而1是 。这种方法叫点差法，
x 1-x 2x 1+x 2
最后需要检验直线与曲线是否相交。
【例题导引】例1已知双曲线C ：x 2-y 2=4，讨论直线l :y =k (x -1)与C 的交点个数. 【分析】联立方程组，从方程解的个数来判断直线与曲线交点的个数。 【解】由方程组⎨
⎧⎪y =k (x -1)2222
消去y 可得(1-k )x +2k x -k -4=0
22⎪⎩x -y =4
2
（1）当1-k =0时，即k =±1时，方程化为2x =5，此时直线与双曲线仅有一个交点。 22
（2）当1-k ≠0时即k ≠±1时，∆=2k
()
2
+4(1-k 2)(k 2+4)=4(4-3k 2)
2
⎧∆=44-3k ()>0即-
233⎪⎩
1-k ≠02
⎧⎪∆=4(4-3k )=0②若⎨即k =时，直线与双曲线只有一个交点；
2⎪⎩
1-k ≠02
⎧⎪∆=4(4-3k )
k
2⎪⎩
1-k ≠0
【变式1】直线l :y =kx +1与双曲线C :2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B. 求实数k 的取值范围。
y 2x |x |-=1的交点个数是 . 【变式2】直线y =x +3与曲线94
x 2y 2
+=1内一点M （2，1）引一条弦，使该弦被点M 平分，求这条弦所在例2 过椭圆
164
的直线的方程。
[解]法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k+1)x-(2k-k)x+4(2k-1)-16=0„„„„„„*
设直线与椭圆的交点为A （x 1,y 1）,B(x2,y 2) ，则x 1,x 2是上述方程的两根，于是有：x 1+x2=
2
2
2
2
8(2k 2-k )4k +1
2
又M 为AB 的中点，所以x 1+x2 =
8(2k 2-k )4k +1
2
=4
解得k=-
1
代入*式，∆>0 故所求直线方程为x+2y-4=0 2
法二：设直线与椭圆的交点为A （x 1,y 1）,B(x2,y 2) 因为M 为AB 的中点，，所以x 1+x2 =4, y1+y2 =2 又A 、B 两点在椭圆上，则有 22222222
x 1+4y1=16 x2+4y2=16 两式相减，得x 1-x 2+4(y1-y 2)=0, (x1+x2)(x1-x 2)+4(y1+y2)(y1-y 2)=0 所以
11x 1+x 2y 1-y 2
=-=- 即K AB =-
22x 1-x 24y 1+y 2此时方程为 x+2y-4=0 代入椭圆方程，∆>0 故所求直线方程为x+2y-4=0
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x,y ），由于中点为M （2，1），则另一个交点为B(4-x,2-y)
2222
因为A 、B 两点都在椭圆上，所以x +4y=16„„① (4-x)+4(2-y)=16„„② ①-②, 整理，得 x+2y-4=0
由于过A 、B 的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y-4=0. 【拓展运用】
y 2
=1的两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求【问题1】已知F 1, F 2为椭圆x +2
2
∆ABF 2面积的最大值。
【分析】∆ABF 2的面积是由直线AB 的斜率k 确定的，因此可构建以k 为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值。
【探究1】如何求∆AOB 面积的最大值（O 为原点）？
【探究2】若弦AB 过原点，四边形AF 1BF 2面积的最大值是多少？
【探究3】若弦AB 过点 ,1⎪，∆AOB 面积的最大值是多少？并求此时直线AB 的方程.
【问题2】（2006北京）已知点M (-2,0), N (2,0)，动点P
满足条件|PM |-|PN |=．记动点P 的轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；
【探究】若直线y =kx +1与W 交于A , B 两点，且OA ⋅OB >2，求k 的范围。
【巩固训练】
2
1. 过点(-1, -6) 的直线l 与抛物线y =4x 交于A , B 两点，若P (,0) ，|AP |=|BP |，求直
⎛1⎫⎝2⎭
（Ⅱ）若A , B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ⋅OB 的最小值．
92
线l 的斜率．
2. 已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线y =2px 上， △ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合。 （1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.
2
x 2y 22
3. 如图，已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的离心率为，以该椭圆上的点和椭
2a b
圆的左、右焦点F 1, F 2为顶点的三角形的周长为4(2+1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1⋅k 2=1； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得AB +CD =λAB ⋅CD 恒成立？
若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
x 2y 2
4、设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，
a b
点P 在椭圆上且在x 轴上方，|PF 1|=7,|PF 2|=5,cos ∠F 1F 2P =（1）求椭圆C 的方程；
（2）抛物线D :y =4mx (m >0) 过点P ，连结PF 2并延长与抛物线D 交于点Q ，M 是抛物线D 上一动点（且M 在P 与Q 之间运动），求∆MPQ 面积的最大值．
2
1． 5
直线与圆锥曲线的位置关系
参考答案
【基础预习】
1. 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线公共点的个数问题，解决的方法是转化为 一元二次方程（进行消元），进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究。 另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算
（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用 两点距离公式 求弦长。 （2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组对，得到关于x （或y ）的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)两点，则弦长公式为：
AB
AB
实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧。 3、k AB ，k OM （O 为坐标原点） 【例题导引】
变式1 解：解：将直线l 的方程y =kx +1代入双曲线方程2x 2-y 2=1整理后得：
(k 2-2) x 2+2kx +2=0. „„① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故
⎧k 2-
2≠0, ⎪22
⎪∆=(2k ) -8(k -2) >0, ⎪2k
解得k 的取值范围是-2, . ⎨-2>0
⎪k -2⎪2
>0. ⎪2
⎩k -2
(变式2 解：根据题意画出图形，可知有三个交点。 【拓展运用】
【问题1】解：由题意，F 1(0,1)，FF 12=2，设A (x A , y A )，B (x B , y B )，
2222
设直线AB 的方程为y =kx +1代入椭圆方程2x +y =2得k +2x +2kx -1=0则
()
2k 1
x A +x B =-2，x A x B =-2所以x A -x B
=k +
2k +2
S
ABF
2
11==
F
1F 2x A -x B =
2
2k +2
≤1
=2
=
即k =
0【探究1】解：由问题1
知S ∆AOB
11=OF 1⋅x A -x B ==S ∆ABF 2,
2k 2+22
故S ∆AOB ≤
当且仅当k =0时取等号. 2
【探究2】解：由问题1知S ∆AF 1BF 2=2S ∆AF 1F 2=FF 12⋅x A =2x A , 由题知直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y =kx ,
2y 222
=2=1，得x A 代入椭圆x +，∴S ∆AF 1BF 2=2x A =2≤2，2
k +22k +2
2
当且仅当k =0时取等号.
【探究3】解：当直线AB 的斜率存在，设为k ，则y =k x -
⎛
⎝1⎫
⎪+1， 2⎭
y 2k 2222
=1，得2+k x +2k -k x +-k -1=0, 代入椭圆x +24
2
()()
故∆=6k +8k +8>0，设A (x A , y A )，B (x B , y B )，
2
k 2
-k -1k 2-2k
由韦达定理知，x A +x B =2，x A x B =2.
k +2k +2
当ｘ＝０时，y =1-
11⎫⎛
k ，则直线ＡＢ与ｙ轴交点M 为 0, 1-k ⎪. 22⎭⎝
S ∆AOB
1∆111
==⋅-k ⋅x A -x B ==⋅2-k ⋅2
422k +24
(k -2)26k 2+8k +8k 2+2
=
142
2k 2-8k +8+6k 2+8k +8
2k 2-8k +86k 2+8k +812≤=, 2
2k 2+2k +242
当且仅当2k -8k +8=6k +8k +8, 即k =0或-4时，取得等号.
22
当直线AB 斜率不存在时，直线AB 方程为：x =
11162
22242
所以，S ∆
AOB 面积的最大值为
，此时直线AB 的方程为：y=1或4x+y-3=0. 2
【问题2】解一： （Ⅰ）由|PM |-|PN
P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a
c =2。故虚半轴长b
=
x 2y 2
-=1, x ≥所以W
的方程为22
（Ⅱ）设A 、B 的坐标分别为（x 1y 1），（x 2y 2）．
当AB ⊥x 轴时，x 1=x 2, y 1=y 2，从而OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12-y 12=2。 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，与W 的方程联立，消去y 得
(9-k )x
2
2
-2kmx -m 2-2=0，
2km m 2+2, x 1x 2=2故x 1+x 2= 2
1-k k -1
OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )
所以=(1+k ) x 1x 2+km (x 1+x 2) +m
2
2
(1+k 2)(m 2+2) 2k 2m 22
=++m
k 2-11-k 2
2k 2+24=2=2+2
k -1k -1
又因为x 1x 2>0，所以k -1>0，从而OA ⋅OB >2． 综上，当AB ⊥x 轴时，OA ⋅OB 取得最小值2． 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设A 、B 的坐标分别为(x 1, y 1), (y 1, y 2)，则 x i =y i =(x i +y i )(x i -y i ) =2(i =1,2) 令s i =x i +y i , t i =x i -y i ，
则s i t i =2，且s i >0，t i >0(i =1,2) ，所以
2
2
2
OA ⋅OB =x 1x 2+y y 1
=
2
11
(s 1+t 1)(s 2+t ) 2+(s -1t )(s 1-t 2) 4411
=s 1s 2+t t 1≥=212222
2
⎧x 1=x 2
当且仅当s 1s 2=t 1t 2，即⎨时“=”成立．
y =-y ⎩12
所以OA ⋅OB 的最小值是2．
【探究】若直线y =kx +1与W 交于A , B 两点，且OA ⋅OB >2，求k 的范围。
⎛⎫⎛k ∈ --1⋃ 1, ⎪ ⎪ 2⎝⎭⎝2⎭
【巩固训练】
1、解：由题意，直线l 的斜率必存在且不为零，设斜率为k ，则直线l 方程为：
y =k (x +1) -6，代入y 2=4x 得k 2x 2+[2k (k -6) -4]x +(k -6) 2=0 ∵直线l 与抛物线交于A , B 两点，∴∆=[2k (k -6) -4]2-4k 2(k -6) 2>0
即3
∴(x 1-) -(x 2-) +4x 1-4x 2=0，化简得：(x 1-x 2)(x 1+x 2-5) =0 ∵x 1≠x 2, ∴x 1+x 2=5，又x 1+x 2=
92
22
92
22
92
2
92
2
4-2k (k -6) 4-2k (k -6)
=5 ， ∴22
k k
22
得k =2或k =-
，∵3
77
∴所求直线l 的斜率为2． 2. 解：（1）由点A （2，8）在抛物线y 2=2px 上，有82=2p ⋅2，
解得p=16. 所以抛物线方程为y 2=32x ，焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的
AF
定比分点，且=2，设点M 的坐标为(x 0, y 0) ，则
FM
2+2x 08+2y 0
=8, =0，解得x 0=11, y 0=-4， 1+21+2
所以点M 的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在
的直线不垂直于x 轴. 设BC 所在直线的方程为：y +4=k (x -11)(k ≠0). 由⎧y +4=k (x -11), 消x 得ky 2-32y -32(11k +4) =0，
⎨2
⎩y =32x
所以y 1+y 2=32，由（2）的结论得y 1+y 2=-4，解得k =-4.
2
因此BC 所在直线的方程为：4x +y -40=0.
k
3. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，由题意知
c =a +2c =1) a 2
所以a =c =2又a 2=b 2+c 2，因此b =2.
x 2y 2
=1 „„2分 故椭圆的标准方程为+
84x 2y 2
由题意设等轴双曲线的标准方程为2-2=1(m >0) ，
m m
因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m =2
x 2y 2
=1 „„4分 因此双曲线的标准方程为-
44
（Ⅱ）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (x 0, y 0) 则k 1=
y 0y 0
, k 2=
x 0+2x 0-2
22
因为点P 在双曲线x 2-y 2=4上， 所以x 0-y 0=4.
因此k 1k 2=
y 0y y
⋅0=20=1 即k 1k 2=1. „„7分 x 0+2x 0-2x 0-4
（Ⅲ）由于PF 1的方程为y =k 1(x +2) ，将其代入椭圆方程得
8k 128k 12-8
(2k +1) x +8k x +8k -8=0，由违达定理得x 1+x 2=-2, x 1x 2=2
2k 1+12k 1+1
2
1
2
21
21
所以|AB |=
=
„„10分 =1
同理可得|CD |= 由AB +CD =λAB ⋅CD
22
+1112k 12+12k 2
则λ=
+=2+2) „„12分 又k 1k 2=1，
|AB ||CD |k 1+1k 2+1
2
+12222
2k +1k 2k +1k +211则 +=21+1) =21+12) =
1|AB ||CD |k 1+18k 1+1k 1+18+1k 12
故|AB |+|CD |=
|AB |⋅|CD |
8
因此，存在λ=
， 8
使|AB |+|CD |=λ|AB |⋅|CD |恒成立。„„14分
4、解：（1）由椭圆的定义有：2a =|PF 1|+|PF 2|=12, a =6-------------------------------1分 又由余弦定理知道:在∆PF 1F 2中，
|PF 1|2=|PF 2|2+F 1F 2-2|PF 2|⋅F 1F 2cos ∠F 1F 2P
所以
2
2
----------------------------------------------2分
（舍去） ∴c =3. ---3分
F 1F 2-2⋅F 1F 2-24=0
2
2
2
解得
FF 12=6
或
F 1F 2=-4
x 2y 2∴b =a -c =27∴所以，所求的椭圆方程C :+=1. -------------------------------4分
3627
(2) 设P (x 0, y 0) ，则x 0=OF 2-PF 2cos ∠FF 12P =2
42y 024
) --------------------5分
∴+=1，又P 在x
轴上方，∴y 0=
∴P (26
363627
把P 代入抛物线y 2=4mx (m >0) ，得抛物线D 方程为y 2=12x -----------------6分 ∴直线PQ
的斜率为：k PQ =k PF 2=-
∴直线PQ
的方程为：+y -=0.------------------------------------------------------------7分
2⎧9⎪y =12x 联立⎨，得2x 2-13x +18=0 解得x 1=2, x 2=--------------------------8分
2⎪⎩y =-x -3)
∴Q 的横坐标为x Q =
99
，代入抛物线方程y Q =-
∴Q (, -----------------------9分
22
25
PQ ==
2 ----------------------------------------------------10分 ∴
t 2
设点M (, t ) 到直线PQ
：+y -=0的距离为d ，
12
则d =
66275(t +) -，又M 在P 与Q
之间运动，∴t ∈(- -----------12分 3022
∴当t =-
6 --------------------------------------------------------------13分 时，d
2
∴S ∆
MPQ 的最大值为(S ∆MPQ ) max =125. -------------------------------14分 ⋅=22