关注新高考，研究新对策
陶维林
第一部分 他山之石
一、新课改考卷的基本情况
共有3套6份试卷．这些省份考试特点有： 1．文、理科分卷； 2．对于系列4的专题：
广东是填空题，理科“3选2”( 10分) ，文科“2选1”( 5分) ．总分150分． 海南（宁夏）是一道大题，文、理科都占10分（10/150）：理科22题的A ，B ，C 三题中选1题作答（几何证明选讲，坐标系与参数方程，不等式选讲）；文科22题的A ，B 两题中选1题作答（几何证明选讲，坐标系与参数方程）．
山东没有考查． 2008年江苏（猜测）：
（1）160分划线内容是文科要求．据说，减少选择题，增加填空题．南京的猜测：6＋10＋6．考虑到与原高考的衔接，2008年试卷形式有改变也不会太大，可能是8＋8＋6．
（2）理科附加40分．系列1与系列2非公共部分可能出2＋1，或3道填空题．系列4可能向广东学习，出4道题（省教研室推荐了4个专题）选做2道．南京的猜测是2+（2/4）+1．又说是2道“简答题”．
二、新高考、新内容试题赏析
160分划线内容：
（1）必修部分：三视图、算法、统计、概率（要求低）．
（2）选修部分：推理与证明，复数，导数（要求与以前不同），统计案例． 属于附加题的内容：
（1）选修系列1与系列2非公共部分．主要有：空间向量与立体几何，数学归纳法，导数，定积分，计数原理，概率（随机变量，几种分布，均值与方差）.
（2）选修系列4的4个专题中选两个专题． 1．算法——3个省都有考题
（广东）理6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学
155)内的学生人数）生人数依次记为A 1，A 2，„，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，．图
2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含
160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
Ａ．i ＜9 Ｂ．i ＜8 Ｃ．i ＜7 Ｄ．i ＜6
图1 图2
（山东）理（10）阅读右边
的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T
的值依次是（ ） A ．2500，2500
B ．2550，2550
C ．2500，2550 D ．2550，2500
（海南、宁夏）5．如果执
行右面的程序框图，那么
输出的S =（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550
Ｄ．2652
2．统计——3个省都有考题
(山东) 理（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；„„第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）
A ．0.9，35 B ．0.9，45 C ．0.1，35 D ．0.1，45
（海南、宁夏）11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
s 1，s 2，s 3，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ．s 3＞s 1＞s 2 Ｂ．s 2＞s 1＞s 3 Ｃ．s 1＞s 2＞s 3 Ｄ． s 2＞s 3＞s 1 （广东）文18，理17（本小题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．
（1）请画出上表数据的散点图；
+a ； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5＋4×3＋6×4.5＝66.5） 3．导数——3个省都有考题
（海南、宁夏）文10．曲线y ＝ e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
92
e 4
Ｂ．2e 2 Ｃ．e 2
Ｄ．
12e 2
（海南、宁夏）文19．（本小题满分12分）
设函数f （x ）＝2ln （2x ＋3）＋x 2．
（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （出现复合函数的导数？） （Ⅱ）求f （x ）在区间⎢-⎥的最大值和最小值．
44
（山东）文21．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0． 证明：当ab ＞0时，函数f （x ）没有极值点；当ab ＜0时，函数f （x ）有且只有一个极值点，并求出极值．
（广东）文科倒数第2题（20），理科最后1题（21）
已知函数f （x ）＝x 2＋x －1，α，β是方程f （x ）＝0的两个根（α＞β），f '(x ) 是f （x ）
⎡31⎤
⎣⎦
的导数，设a 1＝1，a n ＋1＝a n －
f (a n )
（n ＝1，2，3，„）
f ' (a n )
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n ＞α；（文科不需证明，作为第（3）题的条件） （3）记b n ＝ln
a n -β
（n ＝1，2，3，„），求数列{b n }的前n 项和S n ．
a n -α
这是以牛顿法求方程的近似解为背景的大题．人教版在“探究与发现”栏目介绍了这一方法，而苏教版没有（介绍圆锥曲线光学性质）．其中理科第(2)问用数学归纳法证明.
4．复数——3省都有，不难
过去复数在《选修Ⅱ》中，《选修Ⅰ》没有复数，所以，近几年江苏一直不讲复数，因此，复数成了新内容．
（广东）理2．若复数（1＋b i ）（2＋i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b ＝（ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．-
1 2
D ．-2
（海南、宁夏）文15．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋„＋8i 8＝ ．（用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R ）
（海南、宁夏）理15．i 是虚数单位，
-5+10i
（用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R ） = ．
3+4i
5．概率——3省都有，都不难
因为不讲两个计数原理，不涉及排列、组合．
（广东）文8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标 注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
Ａ．
3 10
Ｂ．
11 Ｃ． 510
Ｄ．
1
12
（山东）文12．设集合A ={1，2}，B ={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a ，b ）落在直线x +y =n 上”为事件C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）
A ．3 B ．4 C ．2和5 D ．3和4 （海南、宁夏）文20．（本小题满分12分）
设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．
（Ⅰ）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
南京08届高三题：
一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______．
6．立体几何的考查
都有对视图的考查，推理要求明显降低．
（山东）理（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④
（海南，宁夏）8．已知某个几何体的三视图如下， 根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何 体的体积是（ ） Ａ．
40003
cm 3
Ｂ．
80003
cm 3
Ｃ．2000 cm3 Ｄ．4000 cm3
（广东）文17（本小题满分12分）
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S ．
（山东）理19（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知 DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．
（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：D 1E ∥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角A 1－BD － C 1的余弦值． （线面平行、二面角）
（海南、宁夏）文18．（本小题满分12分）
如图，A ，B ，C ，D 为空间四点．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝2．等边三角形ADB 以AB 为轴转动．
（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；
（Ⅱ）当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论． 7．关注应用
（广东理7）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A ，B ，C ，D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A ，B ，C ，D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ）
Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18
其余2省在余弦定理、正弦定理上有大题．海上航行问题（山东理），求塔高（海南、宁夏）． 8．大题（都6道）涉及内容
三角（应用）；立体几何（计算——角，体积、推理）；圆锥曲线；概率、统计；数列（递推）；导数（函数单调性，极值，最值）；应用（与导数、统计等结合）． （山东）理（18）（本小题满分12分）
设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0
实根的
个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率． （海南、宁夏）20．（本小题满分12分）
如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为
m
S ，n
假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；
（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估 计值与实际值之差在区间（－0.03，0.03）内的概率． 附表：P (k ) =
∑C
t =0
k
t
10000
⨯0.25t ⨯0.7510000-t
三、几点启示 （1）算法
肯定要考，但不难，都局限于（读懂）框图．算法语句考的可能性不大，这是因为，同一种算法，同一种框图，所使用的语言不同，算法语句就不同．考查由算法步骤画出框图的可能性也不大，根据同一算法步骤，可以画出不同的框图，批改很麻烦，甚至可能造成评分不公． 结论：算法必须全面复习，但重心在读懂框图，尤其是条件结构、循环结构． （2）统计
4省都有考题．广东把统计与框图整合到一起，内容涉及频率直方图、计算标准差（方差）等，并且有大题占12分（计算线性回归方程的系数）．
结论：统计全面理解有抽样、分析（均值、方差，直方图等）、拟合、回归、预测（应用）等，体现算法思想．注意省要求，经历全过程．弄清基本概念，原理，计算方法，等． （3）立体几何
变化较大，文科局限于《必修2》的要求．
强调“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”．推理证明要求降低了，仍不可忽视，但难度不必大，掌握一些最基本的推理证明就可以了．这届学生推理论证的能力比较薄弱，加强训练是必要的．
围绕判定定理、性质定理的简单应用．
三垂线定理不要作为定理要求，因此，对三垂线定理的应用不要去搞．
学习立体几何的根本目的是培养空间想象能力．考视图、与视图结合的计算以及简单的推理论证是正确的．
空间向量出现在40分中的可能性不大( ？) 南京高三练习题： 如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩 形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝1，AB ＝3，
点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动． （1）求三棱锥E －P AB 的体积；
（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面
P AC 的关系，并说明理由； （3）求证：PE ⊥AF ．
涉及计算、线面平行、线面垂直（线线垂直）． （4）概率
文科未学两个计数原理，计算上不会太复杂，但是原理还是要清楚．有古典概型，几何概型，互斥事件、对立事件，随机模拟等．
理科还有：两个计数原理、条件概率，分布列，期望与方差，几个分布等．
统计、概率对于现代社会（经济发达）越来越显得重要，也是学生由确定性数学向不确定性（随机性）数学的一个转变，有着基本的重要性，考查是必然的． （5）导数及其应用
对江苏来说，与以往不同的是，增加了正弦、余弦、指数、对数的导数，还有积的导数，商的导数．对理科另外还有求形如f (ax +b ) 的复合函数导数．
高校教师熟悉导数，历来是命题的热点（江苏2003年21题就很难），加上新增加许多函数的导数，2008年大题考导数可能性极大． （6）圆锥曲线文、理科要求稍有不同
对于文科, 一是不强调曲线与方程的概念，二是不要求直线与圆锥曲线之间的关系．重点在各圆锥曲线的意义与几何性质．在概念内涵的把握、知识的理解上下功夫． （7）递推数列
“要懂一点递推”．那些不增加知识点，但是有一定能力要求，体现数学思想方法的内容要认真复习．
例1 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋„＋3n -1a n ＝（Ⅰ）求数列{a n }的通项； （Ⅱ）设b n =
n
，a ∈N*． 3
n
，求数列{b n }的前n 项和S n ．（山东理科第17题） a n
例2 已知各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列的前n 项和，对于任意n ∈N*，有2S n ＝2pa n ＋p an －p （p ∈R ）． （1）求常数p 的值；
（2）求数列{a n }的通项公式； （3）记b n ＝
2
4S n
·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．（南京08届高三测试题） n +3
共同特点是：
1．试卷特点实现平稳过渡；
2．降低试题难度，适应当前需要； 3．支持“课改”，凸现新课标要求； 4．注重学习差异（选择性）；
5．注重对基础知识和基本技能的考查；
6．突出数学思想方法考查，提高学生的“数学思维能力”； 7．注重考查学生的应用意识和创新意识。 四、认真学习《江苏省高中数学教学要求》，把握教学要求
《江苏省高中数学教学要求》对教学内容都提出了具体要求，要认真学习． 避免提高要求，做些无用功．
椭圆、双曲线、抛物线的教学，应将重点放在如何建立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的几何性质上．例如，对于求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的一类问题，只要通过一些简单的例题，让学生学会正确地选择方程的类型，并能运用待定系数法等方法求出方程中有关参数的值，从而规范地写出方程就可以了，要避免繁杂的计算，防止追求变形的技巧和提高运算量来增加问题的难度．
南京08届高三练习题
x 2y 2
如图，椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1F 2，过F 1的直线l 与椭圆相交于A ，
a b
B 两点．
（1）若∠AF 1F 2＝60°，且AF 1⋅AF 2＝0，求椭圆的方程； （2）若a ＝2，b ＝1，求F 2A ⋅F 2B 的最大值和最小值．
第（2）题对文科可能超出要求．
第二部分 关于数学复习的思考
下面，把我怎样认识高考复习以及怎样组织复习向大家做一个汇报．乐意与大家交流，回答老师们提出的问题．
教师多一分思考，多一分辛劳，学生就省一分力气，增强一分效果． 能否少做一些题，效果也不错，减轻学生的负担．不赞成搞“题海”．要研究高考，研究复习，提高复习水平．
一、我的一些基本观点（并不全面）：
（1）不能以高考卷最后两题的难度组织复习．
重视基础，扎扎实实．谁钻难题，谁整垮自己！ 扎实的基础，指：
基础知识要熟悉；基本技能要熟练； 基本思想要领会；基本方法要掌握．
（2）学生主要缺什么？能力的提高才是根本！有利于提高能力的事多做．比如，组织交流，组织讨论．
（3）知识方面的问题主要是不够系统，理解不透，掌握不牢，思想未领会．帮助学生整理，形成良好的认知结构．
（4）不能光练，教师要讲. 讲什么？怎样讲？
澄清概念，归纳方法，教会思考．用准确、简洁的语言，讲清复杂、难懂的问题． 讲知识，要讲联系（横向，纵向，内部，外部）；讲方法，要讲思想（讲原理，讲从何想起）；讲结果，要讲过程（不仅关注答案，更讲来源、过程）；讲解题过程，要讲思维过程（怎么想到的？）；讲习题，要讲变化；讲成功，也讲失败；总之，讲数量，更讲质量．
（5）复习中，哪些是教师要做的，哪些该让学生去做？要想清楚．该学生做的教师不要替代，该教师做的教师要认真准备．
（6）良好的习惯是成功的一半．必须帮助学生形成良好的解题习惯，掌握与数学题打交道的招招式式．
（7）必须培养学生主动学习的习惯．主动读题，主动思考．让学生先想一想，做一做（尝试教学法）．
（8）习题课怎么上？对答案，讲题目？ （9）学生已经有准备的课怎么上？
（10）认真学习省编《课程标准教学要求》，也不能丢掉教材． „„
科学的试卷应让遵循数学教学规律的老师有好报．
高考试题中有许多考查基础的好题，高考复习仍然是最好的例题． 二、重视基础，不钻难题！
惟有抓好基础，才能以不变应万变．
没有几个人能听懂的题，讲了又有什么用？ 立足基础题、中低档题，降低复习重心． 难题，得分率很低的题等于没有出．
1983年高考试卷分析，第9题我校得分率与南京某校一样，都是2.83．但是我校一位老教师几乎猜到了这道题．
2003年第22（满分14分）的得分率是0.03．共3个小题，分别是0.08，0，0．复习时不要心里老惦记着这些题．有些考生考完是哭着走出考场的．
2006年的最后一题（满分14分）据说30几万考生只有8人做出来．是因为你教的吗？ 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：b n ＝ a n －a n －2，c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2（n ＝1，2，3，„）， 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n ＋1（n ＝1，2，3，„）.
三、必须重视能力培养
要始终把对能力培养与提高放在十分重要的位置，尤其是思维能力．要经常想一想，学生离开你怎么办？不是自己的知识是无用的知识．你讲得再好，可能还是你的，想想怎样才能成为学生的．
怎样提高能力？
一定要让学生参与到教学过程中来．参与解题策略制定的过程，让学生暴露思维的过程．要民主，不要越俎代庖，不要让学生成为“书记员”．
让学生讲．尤其对于学生已经有了准备的问题． 让学生板演．板演可以暴露问题，纠正错误．
让学生之间开展交流，搞成讨论班怎么样？讲的人、听的人都受益． 提高思维能力？其中一个做法是挖掘学生解题背后的思维过程．（当然教师要暴露思维过程），要不放过一切可能提高思维能力的材料．经常问一问？“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？” 例1 矩形ABCD 内接于半径为r 的圆，求矩形面积最大值．
找出答案并不困难．在学生已经给出5种解法之后怎么办？ 学生画了龙，教师未点睛． 体现函数的本质．归纳出解决一类问题（怎样解函数应用问题）的方法．发挥一道题的作用．否则该题的作用未达到．
问题1在教师的提问、启发下，学生中出现了五、六种解法．但是，教师缺少： （1）缺少归纳整理．比如大致来源于选择边为自变量或者角做自变量；（2）也缺少各种方法优劣的比较；（3）缺少提升（算法步骤）；（4）更缺少对学生思维过程的挖掘．
2006江苏考题：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
先让学生想一想，不要把题目往黑板上一写就开始分析起来，头头是道．那是你教师在分析，学生是分析不起来的．不要用教师的过早的“引导”限制、代替学生的思维．可以师生共做．要先让学生熟悉题意，重视思维过程的指导，暴露如何想？怎样做？谈来龙去脉．在方法的选择中，重视通性通法的运用．
题目写完后，学生就开始写起来，画起来，那是主动学习的表现，若抬头等你讲，那是思维懒惰的表现．要培养学生主动学习的习惯．
也不要题目刚写好就请学生回答起来． 讲方法、讲原理，而不仅是“解题术”．把思考问题的原理，解决问题的出发点教给学生（老虎吃天从何下口？不仅是“解题术”）
多让学生感到自然，少强加于学生．努力使学生觉得，你老师想得到，我也差不多能想到．少让学生感到，只有你老师想得到，我怎么搞也想不到．使学生真正理解你的教学，否则教学是无效的．
四、帮助学生形成良好的认知结构
通过复习，做到“清清楚楚几条线，而不是模模糊糊一大片”． 以图、表等形式，构建知识网络，形成良好的知识结构与经验体系．对于新课程更要如此．知识要形成网络，相互支撑，利于理解、记忆与掌握，便于迁移与运用．
注意打歼灭战，段段清．某一章或者一部分内容复习完了，学生能够脱离课本、笔记本说出这一章、这一节主要讲了一些什么？哪些概念？哪些主要内容？哪些重要方法，等等．让学生用举例的方法来说明问题，有载体．老师要（引导学生）整理、归纳．使学生从整体上把握所复习的内容、数学思想方法，形成良好的知识结构与能力结构．
知识形成的主要过程虽然在高一、高二已经完成，但是，未必理解，未必掌握牢固．尤其缺少对所学知识的前后联系，缺少对知识的系统认识．因此，复习中要注意加强知识之间的逻辑联系（横向的纵向的）．
一年做三件事：整理知识，归纳方法，学会思考．
1．要重视概念复习
例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（ ）
3211 A ． B ． C D 4324
考查椭圆概念，离心率的概念．
教育部考试中心命题时，提倡“多想少算”．这些都是典型的“多想少算”题．
在选择、填空题中，使用一下概念，经过简单的计算就可以作出判断或者得到答案的题并不少见．
概念是思维的细胞，判断的依据，解题的指导（对解题方案的制定，解题的过程有直接的指导作用）．
数学概念属于陈述性知识．要弄清形成过程，讲发生，讲发展，讲理解，讲清楚．
●概念复习要抓住六个字：准确、完整、理解．
2例2 设f （x ）＝lg （＋a ）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是( ) 1－x
A ．（－1，0） B ．（1，1）
C ．（－∞，0） D ．（－∞，0）∪（1，＋∞）
⎡12⎤⎡1⎤－例3 已知矩阵A ＝⎢的一个特征值为λ，⎢⎥是A 的属于λ的一个特征向量，则A 1⎥⎣c 1⎦⎣0⎦
＝______．（南京市2008届高三第一次测试）
关键是求c ．条件怎么用？ 特征方程λ-1
c 2λ-1＝（λ－1）2－2c ＝0的一个根是λ．
⎧(λ-1) x +2y =0, ⎡1⎤“⎢⎥是A 的属于λ的一个特征向量”反映的信息是方程组⎨有一个解是（m ，cx +(λ-1) y =00⎩⎣⎦
0），即y ＝0时，x 可以取任意值．这样，c ＝0．是解决问题的关键．
会求⎢⎡12⎤⎡1-2⎤的逆矩阵⎥⎢01⎥． 01⎣⎦⎣⎦
这道题充分说明了概念对解题的指导作用．
●讲概念要讲理解，在“理解”二字上下功夫．
例4 已知函数y ＝f （－x ）的图像，画出函数y ＝f （－x －1）的图像．
可以组织系列小题，让学生通过正确运用、产生失误等各种方式达到对概念理解的目的．
●讲概念要讲联系．比如，倾斜角、斜率、方向向量（选修2－1）都是用来刻画坐标系中直线的倾斜程度的．既然是用来刻画同一件事物的，因此，它们本质上是一致的．要揭示这一本质，打通它们之间的关系．知道其中一个，要能够根据需要立即转换成另一个．
●讲概念，要讲必要性，合理性，讲形成过程，即讲发生，发展．
为什么要定义倾斜角？范围为什么是[0，π）？斜率又是怎么回事？直线与平面所成角的概念，它的范围为什么是[0，π]？二面角的范围为什么是[0，π]？等等． 2
复习时，要在基础知识的“理解”上下功夫．“读死书，死读书”是不行的．
概念复习形式多样化．以问题为载体复习，这样学生感受比较深，以后想起这个概念时就可能想到了某道题．做辨析练习，做概念运用小题（选择或填空），教师归纳讲解．帮助学生理解概念的题不要求难，太多弯弯绕会干扰对本质的理解，达不到目的．
2．做到“段段清”
系统的知识，容易理解与掌握．对每一个所复习过的问题必须到位．教师要帮助学生整理、规范，使得对每一个问题都有一个明晰的答案．
如“函数单调性”，要明确：
（1）“函数单调性”是函数在定义区间上的性质，是函数的局部性质．
（2）“函数单调性”特别强调“区间”这一形式．
（3）如何证明一个函数是增函数或者减函数？
（4）单调性有哪些应用？如比较两个数的大小；求函数的最值；证明不等式等等．
1 以简单的例子为载体，给学生的理解以“抓手”．比如f （x x
关于数列：
（1）等差数列与等比数列；定义，通项公式，求和公式，中项，性质等．
（2）数列求和的各种方法；倒序；错位相减；分解；裂项；分类；归纳等．
（3）数列与函数、不等式；
（4）数列的应用；
（5）递推问题．高考常考．
3．专题复习，打好歼灭战
如图象及其变换．
例5 熟悉下列函数图象、性质以及有关它们的处理方法吗？
mx 2+nx +p cx -d b ①y ＝（ad ≠bc ）；②y ＝； ③ y ＝ax ＋（a ＞0，b ≠0）； 2ax -b x ax +bx +c
④y ＝ax +bx +c ； ⑤ y ＝Ax ＋B ax +b ．等等．
五、重视数学思想方法的复习（归纳方法）
命题意向：“能力为中心，知识为平台，方法为通道．”
充分展现： “三基”，即基本知识，基本方法，基本观念（思想）；
数形结合，分类讨论，函数与方程，化归与转化．
分析法、综合法、消元法、降次法、配方法、换元法、比较法、归纳法、反证法、同一法、待定系数法、归纳与猜想、合情与逻辑；有限与无限，精确与估计，随机与确定等．
内容是载体，方法是核心． 2
◆数形结合
例1（南京市2008届第一次试题（6））函数f （x ）＝⎨⎧-x +3-3a , x
（－∞，＋∞）上的减函数，则a 的取值范围是 ( )
22A ．（1，＋∞） B ．（0，] C ．[，1） D ．（0，1） 33
信息：（1）a ∈（0，1）；
（2）x ≥0起于x ＝0，图像过（0，1）点；
（3）直线y ＝－x ＋3－3a 在y 轴上的截距3－3a 满足3－3a ≥1．
◆基础知识的理解与掌握
例2 设函数f (x ) =-x ，集合N ＝{y y =f (x ), x ∈M }，(x ∈R ) ，区间M ＝[a ，b ]（a
则使M ＝N 成立的实数对（a ，b ）有 （ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个
◆函数思想
例3 （2006全国理科第20题）设函数f （x ）＝（x ＋1）ln （x ＋1），若对所有的x ≥0都有f （x ）≥ax 成立，求实数a 的范围．
令g (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) －ax ，
于是不等式f (x ) ≥ax 成立即为g (x ) ≥g (0)成立．
对函数g (x ) 求导数：g ′(x ) ＝ln(x ＋1) ＋1－a
a －1令g ′(x ) ＝0，解得x ＝e －1，
a －1当x ＞e －1时，g ′(x ) ＞0，g (x ) 为增函数，
a －1当－1＜x ＜e －1，g ′(x ) ＜0，g (x ) 为减函数，
a －1所以要对所有x ≥0都有g (x ) ≥g (0)充要条件为e －1≤0．
由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]．
本质是函数的最值问题．函数是统帅！统帅方程与不等式．形成模式，简缩思维．比如，含参数的不等式恒成立，求参数范围的方法．
◆换元法
例4 函数y ＝3+x ＋4-x 的最大值是__________．
22 令3+x =u , 4-x =v , 则() +() =2, 再进行三角代换. u
3v 4
◆化归与转化
例5（2007江苏，10） 在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为
11A ．2 B ．1 C ． D ． 24
思考：
（1）集合A 所表示的平面上区域是什么？（很容易）．
（2）集合B 所表示的区域是什么？也就是点M （x ＋y ，x －y ）在哪里？
11（3）设x ＋y ＝u ，x －y ＝v ． x ＝（u ＋v ），y ＝（u －v ）． 22
（4）条件有几个？数一数！3个！
（5）x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1还告诉你什么？
（6）u ＋v ≥0，u －v ≥0，0≤u ≤1，在直角坐标系uOv 中所表示的区域在哪里？
（7）巧解：原先的三个顶点（0，0），（1，0），（0，1）变成了什么？
●讲方法，要讲“何时用、怎样用”．
●特别要重视教材内容所体现的思想和方法．
比如等差数列求和的倒序求和，分解求和，错位相减等
解析几何中的降维（点到直线距离等）
●把思考问题的原理教给学生．
讲具体的方法，更要讲原理，讲思维的出发点．比如轨迹问题思维出发点．
●讲通性通法，淡化特殊技巧．
六、必须培养良好的解题习惯
“读题一遍不要，动笔出错好笑，看到成绩心跳”．失分原因之一是解题习惯不好，而不仅是数学知识掌握的缺陷．
教学生学会思考，看到题目不怕，从题海中解脱出来．
1．弄清问题，分析条件
（1）读题多遍，弄清题意．（2）数一数题设中有几个条件，揭示每一个条件的本质．
（3）注意条件之间的联系．（4）选择一个（认为）恰当的条件使用方法．
2．明确任务，制订策略
（5）明确任务，明确“干什么”，突出“目标意识”．
（6）能否化归为另一个任务？能否分解为几个小的任务．
（7）为什么不画个图，列个表呢？（8）与已知条件之间的关系．
（9）见过类似的问题吗？
3．规范表达，实施计划
（10）运算准确，推理严密，不跳步骤．（11）规范的表述，完整的步骤．
4．验算结果，回顾反思
（12）有无归纳、总结性语言． （13）是否利用了所有条件（或者发现多余条件）？
（14）验证结论．结论合理吗？ （15）有没有其他更简便的方法？
（16）你最多能给出几种解法？
认真审题，弄清有什么；明确任务，弄清干什么；选择方法，弄清怎样干．
审题是重要的一个环节．真正养成好的解题习惯，需要教师长期坚持“按章办事”．
例1 （2007年江苏卷第20题,16分）已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，a 1＝b 1，a 2＝b 2≠a 1．记S n 为数列{b n }的前n 项和．
（1）若b k ＝a m （m ，k 是大于2的正整数），求证：S k －1＝（m －1）a 1；（4分）
（2）若b 3＝a i （i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{b n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）
怎么思考：
有什么？
{a n }：a 1，a 2，a 3，„ a n ＝ a 1＋（n －1）d ．a 2－a 1＝d ，
－{b n }：a 1，a 2，b 3，„ b n ＝ a 1q n 1． a 2＝a 1q ．
d ＝ a 1（q －1）．联结两个数列的最关键的条件．
先看第（1）小题．
b k ＝a m 是什么？揭示它！
－a 1q k 1＝ a 1＋（m －1）d ．
－a 1q k 1＝ a 1＋（m －1）a 1（q －1）
－ q k 1＝ 1＋（m －1）（q －1）．
a 1(1-q k -1) 干什么？求S k －1＝． 1-q
怎么干？由q k －11-q k -1
＝ 1＋（m －1）（q －1）得＝m －1． 1-q
再看第（2）小题．
有什么？
a 1q 2＝ a 1＋（i －1）d ．
a 1(q 2－1) ＝（i －1）a 1（q －1）．
干什么？证q 是整数？表示出来看一看．
q ＋1＝i －1． （i ≥3）
还要干什么？
证明：数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项．
－ a 1q n 1＝a 1＋（m －1）d ．
能找出这样的整数m 就行（m ≥3）．这是任务！
－ a 1q n 1＝a 1＋（m －1）a 1（q －1）．
1-q n -1
－m －1＝＝1＋q ＋q 2＋„＋q n 2． 1-q
（公式的从右到左的认识．）
－q 是整数，m ＝2＋q ＋q 2＋„＋q n 2，是整数吗？
再看第（3）小题．
①a 1，a 2，b 3行不行？
a 1＋a 1q 2＝2a 1q ．q 2－2q ＋1＝0，q ＝1．不行．
②a 1，a 2，b 4行不行？
a 1＋a 1q 3＝2a 1q ， q 3－2q ＋1＝0．有一个根是1！
（q －1）（q 2＋q －1）＝0． q 2＋q －1＝0，取q ＝5-1．找到了一个！ 2
●讲思路，订策略 不是做给学生看，而是“想”给学生“听”．与学生一道分析问题，找到解决问题的思路，把解决问题的钥匙交给学生．
▲画个图，列个表
例2 某顾客第一次在商店买x 件商品花去y 元，第2次再去买该商品时发现该商品已经降价，且120件正好降价8元，因此他比第一次多买了10件，一共花去2元．若顾客第一次花去的不少于1
元，那么他第一次至少买商品多少件？
根据（－）（x ＋10）＝2，y ≥1，解得 x ≥5．难题变得容易了． x 120
▲画龙点睛，研究问题
差的老师是告诉学生，做给学生看；好的教师使用元认知提示语，启发学生自我监察，自我调控，自我分析，自我预测，自我评价，发展学生的认识力．培养学生主动学习．
例3 已知{a n }是等差数列，a 1＝5，公差d ≠0．{b n }是等比数列，b n ＞0，且a 1，a 4，a 16分别是b 1，b 3，b 5．
（1）求S ＝a 1＋a 2＋a 3＋„＋a 100；
S （2）{b n }的各项不大于，求{b n }项数的最大值N ； 2
（3）若a 1＋a 2＋a 3＋„＋a n ＝S n ，b 1＋b 2＋b 3＋„＋b n ＝T n ，是否存在自然数m ，使得S m ＝T N ？ 反思：
（1）条件作用在哪里？这就是元认知提示．
已知条件“a 1，a 4，a 16分别是b 1，b 3，b 5”提供了数列{a n }的公差，因为a 1＝5，因此数列{a n }是确定的（除项数n ）．
（2）在等比数列中，序号等差数列的项成等比数列，这是等比数列的性质，教师可以通过这道题又复习了等比数列．
（3）a 1，a 4，a 16，a 64，„成等比数列吗？a 1，a 2，a 4，a 8，a 16，„也成等比数列吗？什么样的等差数列，当序号成等比数列时，这些项也成等比数列？
开发学生的智力，把学生教聪明起来，注意力会不集中？
做好题后一定要小结，哪怕只有一两句话．是思路的整理、概括．回顾这道题是经历了哪些过程解出来的，甚至鼓励提出其他问题．
“提出问题、研究问题、解决问题”你属于哪一类？
在解题过程中不断进行这样的思考和操作，使“运用数学知识分析问题和解决问题的能力”得到有效提高．
七、精选例题，讲练得法
●精选例题，提高针对性
（1）源于课本，高于课本——变换背景、改变图形位置、增减题设或结论．
（2）历届高考题仍然是训练的最好选题．陈题新解、熟题重温．
（3）各地市高三测试题．情景新颖，高于课本．
（4）体现概念理解、知识覆盖、思想方法．
（5）自编题．易迷惑、易出错的问题；“会而不对，对而不全”的题.
坚决摒弃“偏、怪、奇”的题，高考绝对不会考的题．如，三角形三边长a ，b ，c 分别是8，
A C 10，12．求tan y ＝x -3+-x 是否为函数，细枝末节！ 22
●注意知识的交汇点
要注意知识的交汇点，跨学科（代数、几何、三角）；要注意复习后面内容时附带着前面的内容．
例1 设函数（f x ）＝cos （3x ＋φ）（0＜φ＜π) ，若（f x ）+ f’（x ）是奇函数，则φ＝____．（小综合）
就是好题目．简单综合了导数、函数的奇偶性，甚至简单三角方程，等．
●开放条件，死题变活
例2 两相同的正四棱锥组成同底的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 ．．．
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个（江苏2006高考题）
●给出错解，分析错因
x 2y 2
例3 椭圆2＋2＝1（a ＞b ＞0）上哪个点P 到顶点B （0，b ）的距离最远？ a b
先指出下列解答的错误之处，再解答本题：
x 2y 2
错解：由椭圆方程2＋2＝1与x 2＋（y －b ）2＝r 2消去x ，得 a b
（a 2－b 2）y 2＋2b 3y ＋b 2r 2－a 2b 2－b 4＝0． ①
a 2
由y ∈R ，方程①根的判别式△≥0，得r （a －b ）≤a ，即有 r ≤（∵a 2－b 2＝c 2）． c 2224
a 2b 3
错误在于：当r ＝时，方程①的两根相等，即有y 1＝y 2＝－2．而注意到变量y 的a -b 2c
b 3
取值范围是－b ≤y ≤b ，要使△≥0中等号成立必须－b ≤－2＜0，即必须a ≥2b ．a ＞b 2a -b
但未必a ≥2b ． y 2x 2
正确解答是由＋2＝1与x 2＋（y －b ）2＝r 2消去x ，把r 2表示为y 的二次函数来研究，a b
或者三角代换转化为三角函数的值域问题．
应该彻底弄清楚：判别式法的本质是什么？怎样发现使用它发生了错误，发生错误又怎样纠正？
●改变条件，提醒方法局限性
例4 已知方程x 2＋mx ＋m ＋1＝0的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m 的取值范围．
⎧∆=m 2-4m -4≥0⎪解：设此两根为tan A 和tan B ，那么有 ⎨tan A +tan B =-m ,
⎪tan A tan B =m +1, ⎩
由tan A ＋tan B ＝－m ，tan A ·tan B ＝m ＋1，∴tan （A ＋B ）＝
又∵0°＜A ＋B ＜180°，∴A ＋B ＝45°．A 、B 都是锐角．
很容易得到m ∈（－1，2－22]． tan A +tan B ＝1， 1-tan A tan B
题目改成：已知方程x 2－mx ＋m ＋1＝0的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m 的取值范围．
这样就会得到A ＋B ＝135°，A 、B 不一定都是锐角．
这样就可以看出前面那个解法不具一般性！定性不定量．
好的解法（前一题）：
－m ＝tan A ＋tan B ＝2sin(A +B ) ＝ 2cos A cos B cos A cos B
＝22＝． cos(A -B ) +cos(A +B ) cos(2A -45 ) +1
－45°＜2A －45°＜45°，2cos （2A －45°）＋1∈（2，2＋1]，
－m ∈[22－2，1），m ∈（－1，2－2]，
由△＝m 2－4m －4≥0，得m ≤2－22或m ≥2＋22．
综合以上，m ∈（－1，2－22]．
解法二：由tan A ＋tan B ＝－m ，tan A ·tan B ＝m ＋1，
∴tan （A ＋B ）＝tan A +tan B ＝1，又∵0°＜A ＋B ＜180°，∴ A ＋B ＝45°． 1-tan A tan B
2m 2m 2
原方程在（0，1）上有两实根．设f （x ）＝x ＋mx ＋m ＋1＝（x ＋）－＋m ＋1， 42
m ⎧f (-) ≤0, ⎪2⎪m ⎪ 则⎨00, ⎪⎪⎩f (1) >0.
●类比引申，触类旁通
例5 如图，PQ 是经过椭圆的焦点F 2的弦，l 是相应于F 2的椭圆的准线，l 交x 轴于K ．经过点P ，Q 分别作l 的垂线，垂足分别为N ，M ，求证：PM 一定平分F 2K ．
证明：如图，连接NQ 交PM 于点C ’．
因为PN ⊥l ，QM ⊥l ，所以△PNC ’∽△MQC ’， 于是PF 2PN PN PC ' ＝．由椭圆的定义，得＝，
F 2Q QM QM C ' M
所以PF 2PF 2PC ' F C ' ＝，于是F 2C ’∥QM ，＝2． F 2Q C ' M F 2Q QM
PF 2F C F C F C ' ＝2，所以2＝2． F 2Q QM QM QM 因为
所以C 与C ’重合，三点N 、C 、Q 在一条直线上．
换成抛物线、双曲线呢？（解析几何的问题都应该提出这样的反思）
●解答一道题研究一类题
例6 设f （x ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f （x ＋2）＝－f （x ），当0≤x ≤1时，f (x ) x ，则f （7.5）等于（ ）
A ．0.5 B ．－0.5 C ．1.5 D ．－1.5
这个函数周期是4．那么，周期函数还有哪些等价说法呢？研究问题．
●比较类似问题，避免形成思维定势
例7 （学校模拟考试题）已知f （x ）＝x 3＋ax ＋b 的定义区间是[－1，1]，
且f （0）＝f （1），设x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1≠x 2．
（1）求证：|f （x 1）－f （x 2）|＜2| x 1－x 2|；
（2）若0≤x 1＜x 2≤1，求证：|f （x 1）－f （x 2）|＜1． 2
证明：（1）由f （0）＝f （1），得a ＝－1．所以f （x ）＝ x 3－x ＋b ．
|f （x 1）－f （x 2）|＝| x 1－x 2||x 1＋ x 1x 2＋x 2－1|＜2| x 1－x 2|．
只要证明 －2＜x 1＋x 1x 2＋x 2－1＜2． ①
①式左边，即证明x 1＋x 1x 2＋x 2＋1＞0，即（x 1＋
[1**********]2x 2）＋ x 2＋1＞0，显然成立． 2422 ①式右边，即证明x 1＋x 1x 2＋x 2＜3．由于|x i |＜1（i ＝1，2），所以x 1＋x 1x 2＋x 2＜3显然成立．
综合以上知，不等式成立．
（2）但是用同样的方法很难证明第（2）小题．
对f （x ）＝ x 3－x ＋b 求导数，得f ’（x ）＝ 3x 2－1．
令f ’（x ）＝0，得x ＝3（只需要考虑区间（0，1））． 3
在（0，）上，f ’（x ）＜0，函数递减；在（，1）上，f ’（x ）＞0，函数递增． 33
332）＝－＋b ＝－3＋b ． 3939在区间（0，1）上，f （x ）的最小值是f （
又f （x ）的最大值是f （1）＝b ，所以，| f max （x ）－ f min （x ）|＝21＜． 29
从第（1）小题的思维方式中摆脱出来不是件容易的事．
不是“练”得不够，要“变”．变解法，变提法，变条件，变结论，变情境„
一题多解，一题多变，一法多用，深挖细究，在解题的质量上下功夫．
（1）从画出函数y ＝|x ＋3|的图像说起．
（2）y ＝log a 1+x 22的奇偶性，y ＝log a （－1）的奇偶性，y ＝log a （＋m ）是奇函1-x 1-x 1-x
数，m ＝_______．
变式教学是培养思维能力的有效途径，学生在这个过程构建起自己的经验体系．
——一定要进行解题的反思、回顾、总结，概括、提炼（基本思想、基本方法）．由浅入深，变式变形、深化推广、引伸创新，由封闭到开放．力求“解一题，会一类”．
这说明，不是老师不要讲，问题是怎么讲？讲什么？讲结果，更要讲过程，讲思维的过程；讲“是什么”，更要讲“为什么”．
●暴露教师的思维过程
解题训练，不等于思维训练！ 思维过程来自哪里？可以来自教师（最好来自学生．无论如何，必须讲思维过程！）
例8 设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），方程f （x ）－x ＝0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜1． a
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明：x ＜f （x ）＜x 1；
（2）设函数f （x ）的图象关于x ＝x 0对称，证明：x 0＜
标准答案是这样的:
(1)令F (x ) =f (x ) -x , 则F (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) , 当0＜x 1＜x 2＜1时F (x ) >0. a x ．（1997年） 2
x 1-f (x ) =x 1-(x +f (x )) =(x 1-x )(1+a (x -x 2)) =(x 1-x )(ax +(1-ax 2)) >0.
(2)x 1, x 2是方程 ax +(b -1) x +c =0 的二根, 故x 1+x 2=-
而 x 0=-2b -1, a b 11x =(x 1+x 2-)
我与学生共同分析这道题：
把f （x ）＜x 1转化为f （x ）＜f （x 1），化简后发现只需证明ax 1＋b ＞0．不会证明．又去证明第（2）小题，因为x 0＝－x b b ，要证明－＜1，也即证明ax 1＋b ＞0．（1）与（2）本质上是2a 2a 2
1未用！ a 一致的！这时已经没有退路，怎么办？重新读题分析条件，发现条件x 1＜
由0＝F （x 1）＜F （
经整理，得（x 1－121112）．即ax 1＋bx 1＋c －x 1＜a () ＋b ·＋c －． a a a a 11）（ax 1＋b ）＜0．∵ x 1＜，∴ ax 1＋b ＞0．命题得证． a a
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●学生已有准备的习题课怎么上？
教师组织学生交流．交流思路，交流方法．
教师归纳，理清思路，明确谁的解法好，好在哪里？
延伸、推广、开放等．
学生“画龙”，教师“点睛”．
尤其是不必再板演．
因为这时的板演是在抄写他事先准备的解答过程．如果需要展示某个学生的解答过程（代表一种意图），只要用实物展示台就可以了，否则板演浪费了课堂宝贵的时间．再就是，由于其他同学都已经课前做了，往往不关心板演情况，而这时又没有什么新的任务，许多学生就显得无所事事．这样一来，课堂45分钟的教学效益可能就值得研究．教师要提高对课堂的掌控能力．有学生一直在睡觉，教师却未能发现．课堂上，教师要关注有没有人不听我的课？
●如何评讲试卷？
不仅是为了解法与答案，是又一次学习的过程．
（1）请学生讲．讲怎么想的，不是简单说解答．不论对于本人还是对其他同学都有很好的教育作用．不同解法交流，体现“一题多解”，表扬一些学生独到的解法．
（2）不必面面俱到讲．分类归纳，集中讲评．
抓住重要的，带普遍性的问题讲．
（3）抓大是大非，居高临下．
抓重要概念上的失误，思想方法运用不到位．
要从学生所犯错误的性质上看问题．是概念不清，知识掌握不牢固，还是方法选择不当，不得要领，还是运算错误．
上成对答案的过程，意义不大．
还要强调表达规范．
（4）亲自做一遍，与学生交流思维过程．
不是由自己命题，要事先亲自做一遍．
属于40分的主要内容：
1．圆锥曲线与方程：
（1）理科，椭圆、抛物线是“掌握”要求，文科只有椭圆是“掌握”要求；
（2）直线与圆锥曲线间的关系（坐标法解决简单问题）；
（3）了解曲线与方程概念．
2．空间向量与立体几何．
3．复合函数f (ax b ) 的导数；定积分．
4．数学归纳法．
5．两个计数原理（排列、组合）．
6．二项式定理．
7．随机变量及其分布（几种分布、均值与方差等）．
8．系列4的4个专题（4-1，几何证明选讲；4-2，矩阵与变换；4-4，坐标系与参数方程；4-5，
不等式选讲）.
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关注新高考，研究新对策
陶维林
第一部分 他山之石
一、新课改考卷的基本情况
共有3套6份试卷．这些省份考试特点有： 1．文、理科分卷； 2．对于系列4的专题：
广东是填空题，理科“3选2”( 10分) ，文科“2选1”( 5分) ．总分150分． 海南（宁夏）是一道大题，文、理科都占10分（10/150）：理科22题的A ，B ，C 三题中选1题作答（几何证明选讲，坐标系与参数方程，不等式选讲）；文科22题的A ，B 两题中选1题作答（几何证明选讲，坐标系与参数方程）．
山东没有考查． 2008年江苏（猜测）：
（1）160分划线内容是文科要求．据说，减少选择题，增加填空题．南京的猜测：6＋10＋6．考虑到与原高考的衔接，2008年试卷形式有改变也不会太大，可能是8＋8＋6．
（2）理科附加40分．系列1与系列2非公共部分可能出2＋1，或3道填空题．系列4可能向广东学习，出4道题（省教研室推荐了4个专题）选做2道．南京的猜测是2+（2/4）+1．又说是2道“简答题”．
二、新高考、新内容试题赏析
160分划线内容：
（1）必修部分：三视图、算法、统计、概率（要求低）．
（2）选修部分：推理与证明，复数，导数（要求与以前不同），统计案例． 属于附加题的内容：
（1）选修系列1与系列2非公共部分．主要有：空间向量与立体几何，数学归纳法，导数，定积分，计数原理，概率（随机变量，几种分布，均值与方差）.
（2）选修系列4的4个专题中选两个专题． 1．算法——3个省都有考题
（广东）理6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学
155)内的学生人数）生人数依次记为A 1，A 2，„，A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，．图
2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含
160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）
Ａ．i ＜9 Ｂ．i ＜8 Ｃ．i ＜7 Ｄ．i ＜6
图1 图2
（山东）理（10）阅读右边
的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T
的值依次是（ ） A ．2500，2500
B ．2550，2550
C ．2500，2550 D ．2550，2500
（海南、宁夏）5．如果执
行右面的程序框图，那么
输出的S =（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550
Ｄ．2652
2．统计——3个省都有考题
(山东) 理（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；„„第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）
A ．0.9，35 B ．0.9，45 C ．0.1，35 D ．0.1，45
（海南、宁夏）11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
s 1，s 2，s 3，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ．s 3＞s 1＞s 2 Ｂ．s 2＞s 1＞s 3 Ｃ．s 1＞s 2＞s 3 Ｄ． s 2＞s 3＞s 1 （广东）文18，理17（本小题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．
（1）请画出上表数据的散点图；
+a ； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =bx
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5＋4×3＋6×4.5＝66.5） 3．导数——3个省都有考题
（海南、宁夏）文10．曲线y ＝ e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
92
e 4
Ｂ．2e 2 Ｃ．e 2
Ｄ．
12e 2
（海南、宁夏）文19．（本小题满分12分）
设函数f （x ）＝2ln （2x ＋3）＋x 2．
（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （出现复合函数的导数？） （Ⅱ）求f （x ）在区间⎢-⎥的最大值和最小值．
44
（山东）文21．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0． 证明：当ab ＞0时，函数f （x ）没有极值点；当ab ＜0时，函数f （x ）有且只有一个极值点，并求出极值．
（广东）文科倒数第2题（20），理科最后1题（21）
已知函数f （x ）＝x 2＋x －1，α，β是方程f （x ）＝0的两个根（α＞β），f '(x ) 是f （x ）
⎡31⎤
⎣⎦
的导数，设a 1＝1，a n ＋1＝a n －
f (a n )
（n ＝1，2，3，„）
f ' (a n )
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n ＞α；（文科不需证明，作为第（3）题的条件） （3）记b n ＝ln
a n -β
（n ＝1，2，3，„），求数列{b n }的前n 项和S n ．
a n -α
这是以牛顿法求方程的近似解为背景的大题．人教版在“探究与发现”栏目介绍了这一方法，而苏教版没有（介绍圆锥曲线光学性质）．其中理科第(2)问用数学归纳法证明.
4．复数——3省都有，不难
过去复数在《选修Ⅱ》中，《选修Ⅰ》没有复数，所以，近几年江苏一直不讲复数，因此，复数成了新内容．
（广东）理2．若复数（1＋b i ）（2＋i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b ＝（ ）
A ．2
B ．
1
2
C ．-
1 2
D ．-2
（海南、宁夏）文15．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋„＋8i 8＝ ．（用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R ）
（海南、宁夏）理15．i 是虚数单位，
-5+10i
（用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R ） = ．
3+4i
5．概率——3省都有，都不难
因为不讲两个计数原理，不涉及排列、组合．
（广东）文8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标 注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
Ａ．
3 10
Ｂ．
11 Ｃ． 510
Ｄ．
1
12
（山东）文12．设集合A ={1，2}，B ={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a ，b ）落在直线x +y =n 上”为事件C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）
A ．3 B ．4 C ．2和5 D ．3和4 （海南、宁夏）文20．（本小题满分12分）
设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．
（Ⅰ）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
南京08届高三题：
一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______．
6．立体几何的考查
都有对视图的考查，推理要求明显降低．
（山东）理（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④
（海南，宁夏）8．已知某个几何体的三视图如下， 根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何 体的体积是（ ） Ａ．
40003
cm 3
Ｂ．
80003
cm 3
Ｃ．2000 cm3 Ｄ．4000 cm3
（广东）文17（本小题满分12分）
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S ．
（山东）理19（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知 DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．
（Ⅰ）设E 是DC 的中点，求证：D 1E ∥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角A 1－BD － C 1的余弦值． （线面平行、二面角）
（海南、宁夏）文18．（本小题满分12分）
如图，A ，B ，C ，D 为空间四点．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝2．等边三角形ADB 以AB 为轴转动．
（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；
（Ⅱ）当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论． 7．关注应用
（广东理7）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A ，B ，C ，D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A ，B ，C ，D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ）
Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18
其余2省在余弦定理、正弦定理上有大题．海上航行问题（山东理），求塔高（海南、宁夏）． 8．大题（都6道）涉及内容
三角（应用）；立体几何（计算——角，体积、推理）；圆锥曲线；概率、统计；数列（递推）；导数（函数单调性，极值，最值）；应用（与导数、统计等结合）． （山东）理（18）（本小题满分12分）
设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0
实根的
个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率． （海南、宁夏）20．（本小题满分12分）
如图，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为
m
S ，n
假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，以X 表示落入M 中的点的数目． （I ）求X 的均值EX ；
（II ）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估 计值与实际值之差在区间（－0.03，0.03）内的概率． 附表：P (k ) =
∑C
t =0
k
t
10000
⨯0.25t ⨯0.7510000-t
三、几点启示 （1）算法
肯定要考，但不难，都局限于（读懂）框图．算法语句考的可能性不大，这是因为，同一种算法，同一种框图，所使用的语言不同，算法语句就不同．考查由算法步骤画出框图的可能性也不大，根据同一算法步骤，可以画出不同的框图，批改很麻烦，甚至可能造成评分不公． 结论：算法必须全面复习，但重心在读懂框图，尤其是条件结构、循环结构． （2）统计
4省都有考题．广东把统计与框图整合到一起，内容涉及频率直方图、计算标准差（方差）等，并且有大题占12分（计算线性回归方程的系数）．
结论：统计全面理解有抽样、分析（均值、方差，直方图等）、拟合、回归、预测（应用）等，体现算法思想．注意省要求，经历全过程．弄清基本概念，原理，计算方法，等． （3）立体几何
变化较大，文科局限于《必修2》的要求．
强调“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”．推理证明要求降低了，仍不可忽视，但难度不必大，掌握一些最基本的推理证明就可以了．这届学生推理论证的能力比较薄弱，加强训练是必要的．
围绕判定定理、性质定理的简单应用．
三垂线定理不要作为定理要求，因此，对三垂线定理的应用不要去搞．
学习立体几何的根本目的是培养空间想象能力．考视图、与视图结合的计算以及简单的推理论证是正确的．
空间向量出现在40分中的可能性不大( ？) 南京高三练习题： 如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩 形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝1，AB ＝3，
点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动． （1）求三棱锥E －P AB 的体积；
（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面
P AC 的关系，并说明理由； （3）求证：PE ⊥AF ．
涉及计算、线面平行、线面垂直（线线垂直）． （4）概率
文科未学两个计数原理，计算上不会太复杂，但是原理还是要清楚．有古典概型，几何概型，互斥事件、对立事件，随机模拟等．
理科还有：两个计数原理、条件概率，分布列，期望与方差，几个分布等．
统计、概率对于现代社会（经济发达）越来越显得重要，也是学生由确定性数学向不确定性（随机性）数学的一个转变，有着基本的重要性，考查是必然的． （5）导数及其应用
对江苏来说，与以往不同的是，增加了正弦、余弦、指数、对数的导数，还有积的导数，商的导数．对理科另外还有求形如f (ax +b ) 的复合函数导数．
高校教师熟悉导数，历来是命题的热点（江苏2003年21题就很难），加上新增加许多函数的导数，2008年大题考导数可能性极大． （6）圆锥曲线文、理科要求稍有不同
对于文科, 一是不强调曲线与方程的概念，二是不要求直线与圆锥曲线之间的关系．重点在各圆锥曲线的意义与几何性质．在概念内涵的把握、知识的理解上下功夫． （7）递推数列
“要懂一点递推”．那些不增加知识点，但是有一定能力要求，体现数学思想方法的内容要认真复习．
例1 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋„＋3n -1a n ＝（Ⅰ）求数列{a n }的通项； （Ⅱ）设b n =
n
，a ∈N*． 3
n
，求数列{b n }的前n 项和S n ．（山东理科第17题） a n
例2 已知各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列的前n 项和，对于任意n ∈N*，有2S n ＝2pa n ＋p an －p （p ∈R ）． （1）求常数p 的值；
（2）求数列{a n }的通项公式； （3）记b n ＝
2
4S n
·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．（南京08届高三测试题） n +3
共同特点是：
1．试卷特点实现平稳过渡；
2．降低试题难度，适应当前需要； 3．支持“课改”，凸现新课标要求； 4．注重学习差异（选择性）；
5．注重对基础知识和基本技能的考查；
6．突出数学思想方法考查，提高学生的“数学思维能力”； 7．注重考查学生的应用意识和创新意识。 四、认真学习《江苏省高中数学教学要求》，把握教学要求
《江苏省高中数学教学要求》对教学内容都提出了具体要求，要认真学习． 避免提高要求，做些无用功．
椭圆、双曲线、抛物线的教学，应将重点放在如何建立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的几何性质上．例如，对于求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的一类问题，只要通过一些简单的例题，让学生学会正确地选择方程的类型，并能运用待定系数法等方法求出方程中有关参数的值，从而规范地写出方程就可以了，要避免繁杂的计算，防止追求变形的技巧和提高运算量来增加问题的难度．
南京08届高三练习题
x 2y 2
如图，椭圆2+2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1F 2，过F 1的直线l 与椭圆相交于A ，
a b
B 两点．
（1）若∠AF 1F 2＝60°，且AF 1⋅AF 2＝0，求椭圆的方程； （2）若a ＝2，b ＝1，求F 2A ⋅F 2B 的最大值和最小值．
第（2）题对文科可能超出要求．
第二部分 关于数学复习的思考
下面，把我怎样认识高考复习以及怎样组织复习向大家做一个汇报．乐意与大家交流，回答老师们提出的问题．
教师多一分思考，多一分辛劳，学生就省一分力气，增强一分效果． 能否少做一些题，效果也不错，减轻学生的负担．不赞成搞“题海”．要研究高考，研究复习，提高复习水平．
一、我的一些基本观点（并不全面）：
（1）不能以高考卷最后两题的难度组织复习．
重视基础，扎扎实实．谁钻难题，谁整垮自己！ 扎实的基础，指：
基础知识要熟悉；基本技能要熟练； 基本思想要领会；基本方法要掌握．
（2）学生主要缺什么？能力的提高才是根本！有利于提高能力的事多做．比如，组织交流，组织讨论．
（3）知识方面的问题主要是不够系统，理解不透，掌握不牢，思想未领会．帮助学生整理，形成良好的认知结构．
（4）不能光练，教师要讲. 讲什么？怎样讲？
澄清概念，归纳方法，教会思考．用准确、简洁的语言，讲清复杂、难懂的问题． 讲知识，要讲联系（横向，纵向，内部，外部）；讲方法，要讲思想（讲原理，讲从何想起）；讲结果，要讲过程（不仅关注答案，更讲来源、过程）；讲解题过程，要讲思维过程（怎么想到的？）；讲习题，要讲变化；讲成功，也讲失败；总之，讲数量，更讲质量．
（5）复习中，哪些是教师要做的，哪些该让学生去做？要想清楚．该学生做的教师不要替代，该教师做的教师要认真准备．
（6）良好的习惯是成功的一半．必须帮助学生形成良好的解题习惯，掌握与数学题打交道的招招式式．
（7）必须培养学生主动学习的习惯．主动读题，主动思考．让学生先想一想，做一做（尝试教学法）．
（8）习题课怎么上？对答案，讲题目？ （9）学生已经有准备的课怎么上？
（10）认真学习省编《课程标准教学要求》，也不能丢掉教材． „„
科学的试卷应让遵循数学教学规律的老师有好报．
高考试题中有许多考查基础的好题，高考复习仍然是最好的例题． 二、重视基础，不钻难题！
惟有抓好基础，才能以不变应万变．
没有几个人能听懂的题，讲了又有什么用？ 立足基础题、中低档题，降低复习重心． 难题，得分率很低的题等于没有出．
1983年高考试卷分析，第9题我校得分率与南京某校一样，都是2.83．但是我校一位老教师几乎猜到了这道题．
2003年第22（满分14分）的得分率是0.03．共3个小题，分别是0.08，0，0．复习时不要心里老惦记着这些题．有些考生考完是哭着走出考场的．
2006年的最后一题（满分14分）据说30几万考生只有8人做出来．是因为你教的吗？ 设数列{a n }、{b n }、{c n }满足：b n ＝ a n －a n －2，c n ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2（n ＝1，2，3，„）， 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是{c n }为等差数列且b n ≤b n ＋1（n ＝1，2，3，„）.
三、必须重视能力培养
要始终把对能力培养与提高放在十分重要的位置，尤其是思维能力．要经常想一想，学生离开你怎么办？不是自己的知识是无用的知识．你讲得再好，可能还是你的，想想怎样才能成为学生的．
怎样提高能力？
一定要让学生参与到教学过程中来．参与解题策略制定的过程，让学生暴露思维的过程．要民主，不要越俎代庖，不要让学生成为“书记员”．
让学生讲．尤其对于学生已经有了准备的问题． 让学生板演．板演可以暴露问题，纠正错误．
让学生之间开展交流，搞成讨论班怎么样？讲的人、听的人都受益． 提高思维能力？其中一个做法是挖掘学生解题背后的思维过程．（当然教师要暴露思维过程），要不放过一切可能提高思维能力的材料．经常问一问？“你是怎么想到的？”“你凭什么这么说？” 例1 矩形ABCD 内接于半径为r 的圆，求矩形面积最大值．
找出答案并不困难．在学生已经给出5种解法之后怎么办？ 学生画了龙，教师未点睛． 体现函数的本质．归纳出解决一类问题（怎样解函数应用问题）的方法．发挥一道题的作用．否则该题的作用未达到．
问题1在教师的提问、启发下，学生中出现了五、六种解法．但是，教师缺少： （1）缺少归纳整理．比如大致来源于选择边为自变量或者角做自变量；（2）也缺少各种方法优劣的比较；（3）缺少提升（算法步骤）；（4）更缺少对学生思维过程的挖掘．
2006江苏考题：请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？
先让学生想一想，不要把题目往黑板上一写就开始分析起来，头头是道．那是你教师在分析，学生是分析不起来的．不要用教师的过早的“引导”限制、代替学生的思维．可以师生共做．要先让学生熟悉题意，重视思维过程的指导，暴露如何想？怎样做？谈来龙去脉．在方法的选择中，重视通性通法的运用．
题目写完后，学生就开始写起来，画起来，那是主动学习的表现，若抬头等你讲，那是思维懒惰的表现．要培养学生主动学习的习惯．
也不要题目刚写好就请学生回答起来． 讲方法、讲原理，而不仅是“解题术”．把思考问题的原理，解决问题的出发点教给学生（老虎吃天从何下口？不仅是“解题术”）
多让学生感到自然，少强加于学生．努力使学生觉得，你老师想得到，我也差不多能想到．少让学生感到，只有你老师想得到，我怎么搞也想不到．使学生真正理解你的教学，否则教学是无效的．
四、帮助学生形成良好的认知结构
通过复习，做到“清清楚楚几条线，而不是模模糊糊一大片”． 以图、表等形式，构建知识网络，形成良好的知识结构与经验体系．对于新课程更要如此．知识要形成网络，相互支撑，利于理解、记忆与掌握，便于迁移与运用．
注意打歼灭战，段段清．某一章或者一部分内容复习完了，学生能够脱离课本、笔记本说出这一章、这一节主要讲了一些什么？哪些概念？哪些主要内容？哪些重要方法，等等．让学生用举例的方法来说明问题，有载体．老师要（引导学生）整理、归纳．使学生从整体上把握所复习的内容、数学思想方法，形成良好的知识结构与能力结构．
知识形成的主要过程虽然在高一、高二已经完成，但是，未必理解，未必掌握牢固．尤其缺少对所学知识的前后联系，缺少对知识的系统认识．因此，复习中要注意加强知识之间的逻辑联系（横向的纵向的）．
一年做三件事：整理知识，归纳方法，学会思考．
1．要重视概念复习
例1 若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（ ）
3211 A ． B ． C D 4324
考查椭圆概念，离心率的概念．
教育部考试中心命题时，提倡“多想少算”．这些都是典型的“多想少算”题．
在选择、填空题中，使用一下概念，经过简单的计算就可以作出判断或者得到答案的题并不少见．
概念是思维的细胞，判断的依据，解题的指导（对解题方案的制定，解题的过程有直接的指导作用）．
数学概念属于陈述性知识．要弄清形成过程，讲发生，讲发展，讲理解，讲清楚．
●概念复习要抓住六个字：准确、完整、理解．
2例2 设f （x ）＝lg （＋a ）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是( ) 1－x
A ．（－1，0） B ．（1，1）
C ．（－∞，0） D ．（－∞，0）∪（1，＋∞）
⎡12⎤⎡1⎤－例3 已知矩阵A ＝⎢的一个特征值为λ，⎢⎥是A 的属于λ的一个特征向量，则A 1⎥⎣c 1⎦⎣0⎦
＝______．（南京市2008届高三第一次测试）
关键是求c ．条件怎么用？ 特征方程λ-1
c 2λ-1＝（λ－1）2－2c ＝0的一个根是λ．
⎧(λ-1) x +2y =0, ⎡1⎤“⎢⎥是A 的属于λ的一个特征向量”反映的信息是方程组⎨有一个解是（m ，cx +(λ-1) y =00⎩⎣⎦
0），即y ＝0时，x 可以取任意值．这样，c ＝0．是解决问题的关键．
会求⎢⎡12⎤⎡1-2⎤的逆矩阵⎥⎢01⎥． 01⎣⎦⎣⎦
这道题充分说明了概念对解题的指导作用．
●讲概念要讲理解，在“理解”二字上下功夫．
例4 已知函数y ＝f （－x ）的图像，画出函数y ＝f （－x －1）的图像．
可以组织系列小题，让学生通过正确运用、产生失误等各种方式达到对概念理解的目的．
●讲概念要讲联系．比如，倾斜角、斜率、方向向量（选修2－1）都是用来刻画坐标系中直线的倾斜程度的．既然是用来刻画同一件事物的，因此，它们本质上是一致的．要揭示这一本质，打通它们之间的关系．知道其中一个，要能够根据需要立即转换成另一个．
●讲概念，要讲必要性，合理性，讲形成过程，即讲发生，发展．
为什么要定义倾斜角？范围为什么是[0，π）？斜率又是怎么回事？直线与平面所成角的概念，它的范围为什么是[0，π]？二面角的范围为什么是[0，π]？等等． 2
复习时，要在基础知识的“理解”上下功夫．“读死书，死读书”是不行的．
概念复习形式多样化．以问题为载体复习，这样学生感受比较深，以后想起这个概念时就可能想到了某道题．做辨析练习，做概念运用小题（选择或填空），教师归纳讲解．帮助学生理解概念的题不要求难，太多弯弯绕会干扰对本质的理解，达不到目的．
2．做到“段段清”
系统的知识，容易理解与掌握．对每一个所复习过的问题必须到位．教师要帮助学生整理、规范，使得对每一个问题都有一个明晰的答案．
如“函数单调性”，要明确：
（1）“函数单调性”是函数在定义区间上的性质，是函数的局部性质．
（2）“函数单调性”特别强调“区间”这一形式．
（3）如何证明一个函数是增函数或者减函数？
（4）单调性有哪些应用？如比较两个数的大小；求函数的最值；证明不等式等等．
1 以简单的例子为载体，给学生的理解以“抓手”．比如f （x x
关于数列：
（1）等差数列与等比数列；定义，通项公式，求和公式，中项，性质等．
（2）数列求和的各种方法；倒序；错位相减；分解；裂项；分类；归纳等．
（3）数列与函数、不等式；
（4）数列的应用；
（5）递推问题．高考常考．
3．专题复习，打好歼灭战
如图象及其变换．
例5 熟悉下列函数图象、性质以及有关它们的处理方法吗？
mx 2+nx +p cx -d b ①y ＝（ad ≠bc ）；②y ＝； ③ y ＝ax ＋（a ＞0，b ≠0）； 2ax -b x ax +bx +c
④y ＝ax +bx +c ； ⑤ y ＝Ax ＋B ax +b ．等等．
五、重视数学思想方法的复习（归纳方法）
命题意向：“能力为中心，知识为平台，方法为通道．”
充分展现： “三基”，即基本知识，基本方法，基本观念（思想）；
数形结合，分类讨论，函数与方程，化归与转化．
分析法、综合法、消元法、降次法、配方法、换元法、比较法、归纳法、反证法、同一法、待定系数法、归纳与猜想、合情与逻辑；有限与无限，精确与估计，随机与确定等．
内容是载体，方法是核心． 2
◆数形结合
例1（南京市2008届第一次试题（6））函数f （x ）＝⎨⎧-x +3-3a , x
（－∞，＋∞）上的减函数，则a 的取值范围是 ( )
22A ．（1，＋∞） B ．（0，] C ．[，1） D ．（0，1） 33
信息：（1）a ∈（0，1）；
（2）x ≥0起于x ＝0，图像过（0，1）点；
（3）直线y ＝－x ＋3－3a 在y 轴上的截距3－3a 满足3－3a ≥1．
◆基础知识的理解与掌握
例2 设函数f (x ) =-x ，集合N ＝{y y =f (x ), x ∈M }，(x ∈R ) ，区间M ＝[a ，b ]（a
则使M ＝N 成立的实数对（a ，b ）有 （ ）
A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个
◆函数思想
例3 （2006全国理科第20题）设函数f （x ）＝（x ＋1）ln （x ＋1），若对所有的x ≥0都有f （x ）≥ax 成立，求实数a 的范围．
令g (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) －ax ，
于是不等式f (x ) ≥ax 成立即为g (x ) ≥g (0)成立．
对函数g (x ) 求导数：g ′(x ) ＝ln(x ＋1) ＋1－a
a －1令g ′(x ) ＝0，解得x ＝e －1，
a －1当x ＞e －1时，g ′(x ) ＞0，g (x ) 为增函数，
a －1当－1＜x ＜e －1，g ′(x ) ＜0，g (x ) 为减函数，
a －1所以要对所有x ≥0都有g (x ) ≥g (0)充要条件为e －1≤0．
由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]．
本质是函数的最值问题．函数是统帅！统帅方程与不等式．形成模式，简缩思维．比如，含参数的不等式恒成立，求参数范围的方法．
◆换元法
例4 函数y ＝3+x ＋4-x 的最大值是__________．
22 令3+x =u , 4-x =v , 则() +() =2, 再进行三角代换. u
3v 4
◆化归与转化
例5（2007江苏，10） 在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为
11A ．2 B ．1 C ． D ． 24
思考：
（1）集合A 所表示的平面上区域是什么？（很容易）．
（2）集合B 所表示的区域是什么？也就是点M （x ＋y ，x －y ）在哪里？
11（3）设x ＋y ＝u ，x －y ＝v ． x ＝（u ＋v ），y ＝（u －v ）． 22
（4）条件有几个？数一数！3个！
（5）x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1还告诉你什么？
（6）u ＋v ≥0，u －v ≥0，0≤u ≤1，在直角坐标系uOv 中所表示的区域在哪里？
（7）巧解：原先的三个顶点（0，0），（1，0），（0，1）变成了什么？
●讲方法，要讲“何时用、怎样用”．
●特别要重视教材内容所体现的思想和方法．
比如等差数列求和的倒序求和，分解求和，错位相减等
解析几何中的降维（点到直线距离等）
●把思考问题的原理教给学生．
讲具体的方法，更要讲原理，讲思维的出发点．比如轨迹问题思维出发点．
●讲通性通法，淡化特殊技巧．
六、必须培养良好的解题习惯
“读题一遍不要，动笔出错好笑，看到成绩心跳”．失分原因之一是解题习惯不好，而不仅是数学知识掌握的缺陷．
教学生学会思考，看到题目不怕，从题海中解脱出来．
1．弄清问题，分析条件
（1）读题多遍，弄清题意．（2）数一数题设中有几个条件，揭示每一个条件的本质．
（3）注意条件之间的联系．（4）选择一个（认为）恰当的条件使用方法．
2．明确任务，制订策略
（5）明确任务，明确“干什么”，突出“目标意识”．
（6）能否化归为另一个任务？能否分解为几个小的任务．
（7）为什么不画个图，列个表呢？（8）与已知条件之间的关系．
（9）见过类似的问题吗？
3．规范表达，实施计划
（10）运算准确，推理严密，不跳步骤．（11）规范的表述，完整的步骤．
4．验算结果，回顾反思
（12）有无归纳、总结性语言． （13）是否利用了所有条件（或者发现多余条件）？
（14）验证结论．结论合理吗？ （15）有没有其他更简便的方法？
（16）你最多能给出几种解法？
认真审题，弄清有什么；明确任务，弄清干什么；选择方法，弄清怎样干．
审题是重要的一个环节．真正养成好的解题习惯，需要教师长期坚持“按章办事”．
例1 （2007年江苏卷第20题,16分）已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，a 1＝b 1，a 2＝b 2≠a 1．记S n 为数列{b n }的前n 项和．
（1）若b k ＝a m （m ，k 是大于2的正整数），求证：S k －1＝（m －1）a 1；（4分）
（2）若b 3＝a i （i 是某个正整数），求证：q 是整数，且数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{b n }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）
怎么思考：
有什么？
{a n }：a 1，a 2，a 3，„ a n ＝ a 1＋（n －1）d ．a 2－a 1＝d ，
－{b n }：a 1，a 2，b 3，„ b n ＝ a 1q n 1． a 2＝a 1q ．
d ＝ a 1（q －1）．联结两个数列的最关键的条件．
先看第（1）小题．
b k ＝a m 是什么？揭示它！
－a 1q k 1＝ a 1＋（m －1）d ．
－a 1q k 1＝ a 1＋（m －1）a 1（q －1）
－ q k 1＝ 1＋（m －1）（q －1）．
a 1(1-q k -1) 干什么？求S k －1＝． 1-q
怎么干？由q k －11-q k -1
＝ 1＋（m －1）（q －1）得＝m －1． 1-q
再看第（2）小题．
有什么？
a 1q 2＝ a 1＋（i －1）d ．
a 1(q 2－1) ＝（i －1）a 1（q －1）．
干什么？证q 是整数？表示出来看一看．
q ＋1＝i －1． （i ≥3）
还要干什么？
证明：数列{b n }中的每一项都是数列{a n }中的项．
－ a 1q n 1＝a 1＋（m －1）d ．
能找出这样的整数m 就行（m ≥3）．这是任务！
－ a 1q n 1＝a 1＋（m －1）a 1（q －1）．
1-q n -1
－m －1＝＝1＋q ＋q 2＋„＋q n 2． 1-q
（公式的从右到左的认识．）
－q 是整数，m ＝2＋q ＋q 2＋„＋q n 2，是整数吗？
再看第（3）小题．
①a 1，a 2，b 3行不行？
a 1＋a 1q 2＝2a 1q ．q 2－2q ＋1＝0，q ＝1．不行．
②a 1，a 2，b 4行不行？
a 1＋a 1q 3＝2a 1q ， q 3－2q ＋1＝0．有一个根是1！
（q －1）（q 2＋q －1）＝0． q 2＋q －1＝0，取q ＝5-1．找到了一个！ 2
●讲思路，订策略 不是做给学生看，而是“想”给学生“听”．与学生一道分析问题，找到解决问题的思路，把解决问题的钥匙交给学生．
▲画个图，列个表
例2 某顾客第一次在商店买x 件商品花去y 元，第2次再去买该商品时发现该商品已经降价，且120件正好降价8元，因此他比第一次多买了10件，一共花去2元．若顾客第一次花去的不少于1
元，那么他第一次至少买商品多少件？
根据（－）（x ＋10）＝2，y ≥1，解得 x ≥5．难题变得容易了． x 120
▲画龙点睛，研究问题
差的老师是告诉学生，做给学生看；好的教师使用元认知提示语，启发学生自我监察，自我调控，自我分析，自我预测，自我评价，发展学生的认识力．培养学生主动学习．
例3 已知{a n }是等差数列，a 1＝5，公差d ≠0．{b n }是等比数列，b n ＞0，且a 1，a 4，a 16分别是b 1，b 3，b 5．
（1）求S ＝a 1＋a 2＋a 3＋„＋a 100；
S （2）{b n }的各项不大于，求{b n }项数的最大值N ； 2
（3）若a 1＋a 2＋a 3＋„＋a n ＝S n ，b 1＋b 2＋b 3＋„＋b n ＝T n ，是否存在自然数m ，使得S m ＝T N ？ 反思：
（1）条件作用在哪里？这就是元认知提示．
已知条件“a 1，a 4，a 16分别是b 1，b 3，b 5”提供了数列{a n }的公差，因为a 1＝5，因此数列{a n }是确定的（除项数n ）．
（2）在等比数列中，序号等差数列的项成等比数列，这是等比数列的性质，教师可以通过这道题又复习了等比数列．
（3）a 1，a 4，a 16，a 64，„成等比数列吗？a 1，a 2，a 4，a 8，a 16，„也成等比数列吗？什么样的等差数列，当序号成等比数列时，这些项也成等比数列？
开发学生的智力，把学生教聪明起来，注意力会不集中？
做好题后一定要小结，哪怕只有一两句话．是思路的整理、概括．回顾这道题是经历了哪些过程解出来的，甚至鼓励提出其他问题．
“提出问题、研究问题、解决问题”你属于哪一类？
在解题过程中不断进行这样的思考和操作，使“运用数学知识分析问题和解决问题的能力”得到有效提高．
七、精选例题，讲练得法
●精选例题，提高针对性
（1）源于课本，高于课本——变换背景、改变图形位置、增减题设或结论．
（2）历届高考题仍然是训练的最好选题．陈题新解、熟题重温．
（3）各地市高三测试题．情景新颖，高于课本．
（4）体现概念理解、知识覆盖、思想方法．
（5）自编题．易迷惑、易出错的问题；“会而不对，对而不全”的题.
坚决摒弃“偏、怪、奇”的题，高考绝对不会考的题．如，三角形三边长a ，b ，c 分别是8，
A C 10，12．求tan y ＝x -3+-x 是否为函数，细枝末节！ 22
●注意知识的交汇点
要注意知识的交汇点，跨学科（代数、几何、三角）；要注意复习后面内容时附带着前面的内容．
例1 设函数（f x ）＝cos （3x ＋φ）（0＜φ＜π) ，若（f x ）+ f’（x ）是奇函数，则φ＝____．（小综合）
就是好题目．简单综合了导数、函数的奇偶性，甚至简单三角方程，等．
●开放条件，死题变活
例2 两相同的正四棱锥组成同底的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 ．．．
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个（江苏2006高考题）
●给出错解，分析错因
x 2y 2
例3 椭圆2＋2＝1（a ＞b ＞0）上哪个点P 到顶点B （0，b ）的距离最远？ a b
先指出下列解答的错误之处，再解答本题：
x 2y 2
错解：由椭圆方程2＋2＝1与x 2＋（y －b ）2＝r 2消去x ，得 a b
（a 2－b 2）y 2＋2b 3y ＋b 2r 2－a 2b 2－b 4＝0． ①
a 2
由y ∈R ，方程①根的判别式△≥0，得r （a －b ）≤a ，即有 r ≤（∵a 2－b 2＝c 2）． c 2224
a 2b 3
错误在于：当r ＝时，方程①的两根相等，即有y 1＝y 2＝－2．而注意到变量y 的a -b 2c
b 3
取值范围是－b ≤y ≤b ，要使△≥0中等号成立必须－b ≤－2＜0，即必须a ≥2b ．a ＞b 2a -b
但未必a ≥2b ． y 2x 2
正确解答是由＋2＝1与x 2＋（y －b ）2＝r 2消去x ，把r 2表示为y 的二次函数来研究，a b
或者三角代换转化为三角函数的值域问题．
应该彻底弄清楚：判别式法的本质是什么？怎样发现使用它发生了错误，发生错误又怎样纠正？
●改变条件，提醒方法局限性
例4 已知方程x 2＋mx ＋m ＋1＝0的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m 的取值范围．
⎧∆=m 2-4m -4≥0⎪解：设此两根为tan A 和tan B ，那么有 ⎨tan A +tan B =-m ,
⎪tan A tan B =m +1, ⎩
由tan A ＋tan B ＝－m ，tan A ·tan B ＝m ＋1，∴tan （A ＋B ）＝
又∵0°＜A ＋B ＜180°，∴A ＋B ＝45°．A 、B 都是锐角．
很容易得到m ∈（－1，2－22]． tan A +tan B ＝1， 1-tan A tan B
题目改成：已知方程x 2－mx ＋m ＋1＝0的两个根为一个三角形两内角的正切值，试求m 的取值范围．
这样就会得到A ＋B ＝135°，A 、B 不一定都是锐角．
这样就可以看出前面那个解法不具一般性！定性不定量．
好的解法（前一题）：
－m ＝tan A ＋tan B ＝2sin(A +B ) ＝ 2cos A cos B cos A cos B
＝22＝． cos(A -B ) +cos(A +B ) cos(2A -45 ) +1
－45°＜2A －45°＜45°，2cos （2A －45°）＋1∈（2，2＋1]，
－m ∈[22－2，1），m ∈（－1，2－2]，
由△＝m 2－4m －4≥0，得m ≤2－22或m ≥2＋22．
综合以上，m ∈（－1，2－22]．
解法二：由tan A ＋tan B ＝－m ，tan A ·tan B ＝m ＋1，
∴tan （A ＋B ）＝tan A +tan B ＝1，又∵0°＜A ＋B ＜180°，∴ A ＋B ＝45°． 1-tan A tan B
2m 2m 2
原方程在（0，1）上有两实根．设f （x ）＝x ＋mx ＋m ＋1＝（x ＋）－＋m ＋1， 42
m ⎧f (-) ≤0, ⎪2⎪m ⎪ 则⎨00, ⎪⎪⎩f (1) >0.
●类比引申，触类旁通
例5 如图，PQ 是经过椭圆的焦点F 2的弦，l 是相应于F 2的椭圆的准线，l 交x 轴于K ．经过点P ，Q 分别作l 的垂线，垂足分别为N ，M ，求证：PM 一定平分F 2K ．
证明：如图，连接NQ 交PM 于点C ’．
因为PN ⊥l ，QM ⊥l ，所以△PNC ’∽△MQC ’， 于是PF 2PN PN PC ' ＝．由椭圆的定义，得＝，
F 2Q QM QM C ' M
所以PF 2PF 2PC ' F C ' ＝，于是F 2C ’∥QM ，＝2． F 2Q C ' M F 2Q QM
PF 2F C F C F C ' ＝2，所以2＝2． F 2Q QM QM QM 因为
所以C 与C ’重合，三点N 、C 、Q 在一条直线上．
换成抛物线、双曲线呢？（解析几何的问题都应该提出这样的反思）
●解答一道题研究一类题
例6 设f （x ）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f （x ＋2）＝－f （x ），当0≤x ≤1时，f (x ) x ，则f （7.5）等于（ ）
A ．0.5 B ．－0.5 C ．1.5 D ．－1.5
这个函数周期是4．那么，周期函数还有哪些等价说法呢？研究问题．
●比较类似问题，避免形成思维定势
例7 （学校模拟考试题）已知f （x ）＝x 3＋ax ＋b 的定义区间是[－1，1]，
且f （0）＝f （1），设x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1≠x 2．
（1）求证：|f （x 1）－f （x 2）|＜2| x 1－x 2|；
（2）若0≤x 1＜x 2≤1，求证：|f （x 1）－f （x 2）|＜1． 2
证明：（1）由f （0）＝f （1），得a ＝－1．所以f （x ）＝ x 3－x ＋b ．
|f （x 1）－f （x 2）|＝| x 1－x 2||x 1＋ x 1x 2＋x 2－1|＜2| x 1－x 2|．
只要证明 －2＜x 1＋x 1x 2＋x 2－1＜2． ①
①式左边，即证明x 1＋x 1x 2＋x 2＋1＞0，即（x 1＋
[1**********]2x 2）＋ x 2＋1＞0，显然成立． 2422 ①式右边，即证明x 1＋x 1x 2＋x 2＜3．由于|x i |＜1（i ＝1，2），所以x 1＋x 1x 2＋x 2＜3显然成立．
综合以上知，不等式成立．
（2）但是用同样的方法很难证明第（2）小题．
对f （x ）＝ x 3－x ＋b 求导数，得f ’（x ）＝ 3x 2－1．
令f ’（x ）＝0，得x ＝3（只需要考虑区间（0，1））． 3
在（0，）上，f ’（x ）＜0，函数递减；在（，1）上，f ’（x ）＞0，函数递增． 33
332）＝－＋b ＝－3＋b ． 3939在区间（0，1）上，f （x ）的最小值是f （
又f （x ）的最大值是f （1）＝b ，所以，| f max （x ）－ f min （x ）|＝21＜． 29
从第（1）小题的思维方式中摆脱出来不是件容易的事．
不是“练”得不够，要“变”．变解法，变提法，变条件，变结论，变情境„
一题多解，一题多变，一法多用，深挖细究，在解题的质量上下功夫．
（1）从画出函数y ＝|x ＋3|的图像说起．
（2）y ＝log a 1+x 22的奇偶性，y ＝log a （－1）的奇偶性，y ＝log a （＋m ）是奇函1-x 1-x 1-x
数，m ＝_______．
变式教学是培养思维能力的有效途径，学生在这个过程构建起自己的经验体系．
——一定要进行解题的反思、回顾、总结，概括、提炼（基本思想、基本方法）．由浅入深，变式变形、深化推广、引伸创新，由封闭到开放．力求“解一题，会一类”．
这说明，不是老师不要讲，问题是怎么讲？讲什么？讲结果，更要讲过程，讲思维的过程；讲“是什么”，更要讲“为什么”．
●暴露教师的思维过程
解题训练，不等于思维训练！ 思维过程来自哪里？可以来自教师（最好来自学生．无论如何，必须讲思维过程！）
例8 设二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0），方程f （x ）－x ＝0的两个根x 1、x 2满足0＜x 1＜x 2＜1． a
（1）当x ∈（0，x 1）时，证明：x ＜f （x ）＜x 1；
（2）设函数f （x ）的图象关于x ＝x 0对称，证明：x 0＜
标准答案是这样的:
(1)令F (x ) =f (x ) -x , 则F (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) , 当0＜x 1＜x 2＜1时F (x ) >0. a x ．（1997年） 2
x 1-f (x ) =x 1-(x +f (x )) =(x 1-x )(1+a (x -x 2)) =(x 1-x )(ax +(1-ax 2)) >0.
(2)x 1, x 2是方程 ax +(b -1) x +c =0 的二根, 故x 1+x 2=-
而 x 0=-2b -1, a b 11x =(x 1+x 2-)
我与学生共同分析这道题：
把f （x ）＜x 1转化为f （x ）＜f （x 1），化简后发现只需证明ax 1＋b ＞0．不会证明．又去证明第（2）小题，因为x 0＝－x b b ，要证明－＜1，也即证明ax 1＋b ＞0．（1）与（2）本质上是2a 2a 2
1未用！ a 一致的！这时已经没有退路，怎么办？重新读题分析条件，发现条件x 1＜
由0＝F （x 1）＜F （
经整理，得（x 1－121112）．即ax 1＋bx 1＋c －x 1＜a () ＋b ·＋c －． a a a a 11）（ax 1＋b ）＜0．∵ x 1＜，∴ ax 1＋b ＞0．命题得证． a a
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●学生已有准备的习题课怎么上？
教师组织学生交流．交流思路，交流方法．
教师归纳，理清思路，明确谁的解法好，好在哪里？
延伸、推广、开放等．
学生“画龙”，教师“点睛”．
尤其是不必再板演．
因为这时的板演是在抄写他事先准备的解答过程．如果需要展示某个学生的解答过程（代表一种意图），只要用实物展示台就可以了，否则板演浪费了课堂宝贵的时间．再就是，由于其他同学都已经课前做了，往往不关心板演情况，而这时又没有什么新的任务，许多学生就显得无所事事．这样一来，课堂45分钟的教学效益可能就值得研究．教师要提高对课堂的掌控能力．有学生一直在睡觉，教师却未能发现．课堂上，教师要关注有没有人不听我的课？
●如何评讲试卷？
不仅是为了解法与答案，是又一次学习的过程．
（1）请学生讲．讲怎么想的，不是简单说解答．不论对于本人还是对其他同学都有很好的教育作用．不同解法交流，体现“一题多解”，表扬一些学生独到的解法．
（2）不必面面俱到讲．分类归纳，集中讲评．
抓住重要的，带普遍性的问题讲．
（3）抓大是大非，居高临下．
抓重要概念上的失误，思想方法运用不到位．
要从学生所犯错误的性质上看问题．是概念不清，知识掌握不牢固，还是方法选择不当，不得要领，还是运算错误．
上成对答案的过程，意义不大．
还要强调表达规范．
（4）亲自做一遍，与学生交流思维过程．
不是由自己命题，要事先亲自做一遍．
属于40分的主要内容：
1．圆锥曲线与方程：
（1）理科，椭圆、抛物线是“掌握”要求，文科只有椭圆是“掌握”要求；
（2）直线与圆锥曲线间的关系（坐标法解决简单问题）；
（3）了解曲线与方程概念．
2．空间向量与立体几何．
3．复合函数f (ax b ) 的导数；定积分．
4．数学归纳法．
5．两个计数原理（排列、组合）．
6．二项式定理．
7．随机变量及其分布（几种分布、均值与方差等）．
8．系列4的4个专题（4-1，几何证明选讲；4-2，矩阵与变换；4-4，坐标系与参数方程；4-5，
不等式选讲）.
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