第一章
13. a a 21b b 21c ； c 21b b 2
1111
c −a c = 0b −a
c −a c −b 0c 20
1
解： a
a 2
=(b−a)(c−a)(c−b)
a -b -c 2a 2a 4. 2b b -c -a 2b ；
2c 2c c -a -b a −b −c 2a 2a 解： 2b b −c −a 2b
2c 2c c −a −b 111
=（a +b +c ） 2b b −c −a 2b
2c 2c c −a −b 111
=（a +b +c ） 0−a −b −c 0
00−a −b −c =（a+b+c）*1*（-a-b-c ）*（-a-b-c ） =（a +b +c ）
3
111-1115.
-1-11-1-1-111； 11
11
解： −11
−1−1−1−11= 000
1200
1220
111−111 11
12 22
=1*2*2*2 =8
126. 34
2341341241 23
10解： 10
10101=10 1
111=10 0
00
2341
23413412
341241 23
41 23
23411−3 0−4400−4
=10*1*1*（-4）*（-4） =160
118. 11
[**************]
11110123
解：=
0259039191= 000
1100
1210
13 31
=1*1*1*1 =1
第二章
1. 已知A 为四阶方阵，且|A |=2，求：(1) |- A|；(2) |2A |；(3) |AA T |； (4)| A 2|.
解:（1）|- A|=(−1) 4 A =2 (2) |2A |=24 A =32
(3) |AA T |= A AT = A A =2×2=4 (4)| A 2|= A A =2×2=4
⎛21⎫
2. 设矩阵A = , E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +E ，⎪
⎝-12⎭
求|B |
解：∵BA=B+E ∴B(A-1)=E
111011
((A−1) , E ) → →
−110102
T
T 1
1010
→ 1101
1212
−
12
12
∵ B
T
= 21
2
−
12
12
1112
2
1 2
所以可得：B=
1
112
2
−
B =
2
−
111112
1 =2ⅹ22ⅹ2=22
3. 设A ，B 均为三阶方阵，且已知|A |=4，|B |=5，求|2AB |. 解： 2AB = 2A B =23 A B =8ⅹ4ⅹ5 =160
⎛14⎫⎛20⎫⎛31⎫
6. 已知矩阵A = ，矩阵X 满足 , B = , C = ⎪⎪⎪
⎝-12⎭⎝-11⎭⎝0-1⎭
AXB =C ，求解X .
解：AXB=C AX=CB−1 (B，En) →(En，B−1)
102010
有： →
−110101
1
12
12
01
即B
−1
= 21
2−1
01
10101421
11 (A，C B) → → →（E2，X）
−12−2−1014010
可得：X= 10
4
⎛010⎫⎛1-1⎫
7.设A = -111⎪, B = 20⎪，且X 满足X =AX +B ，求X .
⎪ ⎪ -10-1⎪ 5-3⎪⎝⎭⎝⎭
解：X=AX+B X(E-A)=B
111125
((E−A) T , B T ) → −100−10−3 →
0−12000
100103
44
0100 33
22
001033
103
440T
得：X = 33
220
3
3
1∴X= 0
3
第三章
00
4343
23 23
1. 已知α1=(1,2,3) , α2=(3,2,1) α, 3=-(2,0,2) α, 4=(1)3α1+2α2-5α3+4α4；(2) 5α1+2α2-α3-α4. 解：(1) 3α1+2α2-5α3+4α4
，求： (1,2,4)
=（3，6，9）+（6，4，2）-（-10，0，10）+（4，8，16） =（23，18，17） (2)5α1+2α2-α3-α4
=（5，10，15）+（6，4，2）-（-2，0，2）-（1，2，4） =(12，12，11)
2. 已知α1=(1,1,0,-1) , α2=(-2,1,0,0) , α3=(-1,2,0,1) ，又β满足3(α1-β) +2(α3+β) =5(α2+β) ，求β.
解：设β=（b1，b2，b3，b4） 有3(α1-β) +2(α3+β) =5(α2+β)
3（1-b1，1-b2，-b3，-1-b4）+2（-1+b1，2+b2，b3，1+b4）=5（-2+b1，1+b2，b3，b4）
1−2b1=−10+5b17 −b2 = 5+5b2整理可得：
−b3=5b3−1−b4=5b4 b1=7 b=1
23 得
b3=0 1b=− 46
即：β=(，，0，−
7
3
6
11
1
1
11
3. 设向量α, β, γ满足5(α-γ) +3(β+γ) =o ，其中
α=(-2, -1,3,0),
β=(-2, -1,0,3) 求α+β+γ.
解：设γ=(a1，a2，a3，a4) 由5(α-γ) +3(β+γ) =o 可得 5（-2-a1，−1−a2，3−a3，−a4)+3（-2+a1，−1+a2，a3，3+a4）=o
（-10-5a1，−5−5a2，15−5a3，−5a4) +（-6+3a1，−3+3a2，3a3，9+3a4）=o
−16−2a1=0−8−2a2=0
15−2a3=09−2a4=0
a1=−8 a=−4 2
得a3=15
2
a=9 4
2
所以γ=(-8，-4，，)
2
2
159
4. 将向量β=(5,0,7) T 表示成向量组α1=(1,-1,0) T , α2=(2,1,3)T ,
α3=(3,1,2)T 的线性组合.
解：设β=K1a1+K2a2+K3a3
有(5,0,1)T=K1(1,−1,0) T+K2(2,1,3)T+K3(3,1,2)T
K1+2K2+3K3=5
−K1+K2+K3=0
3K2+2K3=1
K1=1
得： K2=−1
K3=2即β=a1−a2+2a3
5. 将下列各题中向量β表示为其他向量的线性组合. (1)β=(3,5,-6) , α1=(1,0,1) , α2=(1,1,1) , α3=(0,-1, -1) ； 解：设β=K1a1+K2a2+K3a3
有（3,5,-6）=K1(3,5,−6) +K2(1,1,1)+K3(0,−1, −1)
3K1+K2=3
5K1+K2−K3=5 −6K1+K2−K3=−6
K1=1得 K2=0 K3=0即β=5a1
(2)β=(2,-1,5,1) , ε1=(1,0,0,0), ε2=(0,1,0,0), ε3=(0,0,1,0),
ε4=(0,0,0,1) .
解：设β=K1ε1+K2ε2+K3ε3+K4ε4
（2,-1,5,1）=K1(1,0,0,0)+K2(0,1,0,0)+K3(0,0,1,0)+K4(0,0,0,1) K1=2K2=−1有
K3=5K4=1
即β=2K1−K2+5K3+K4
第四章
2. 求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
⎧x 1+2x 2+4x 3=3⎪
2x 2+2x 3=3； (1)⎨
⎪2x +2x +6x =3
23⎩1
1
解：（A ，b ）= 0
2
10202433
223 → 011
2
0000263
x1+2x3=0x1=−2x3
3→ 3原方程组同解方程组
x2+x3=x2=−x3
2
2
令x3=0得一特解
0η= 2
原方程的导出组同解方程组
∗
3
x=−2x3 1
x2=−x3
令x3=1有
−2ξ1= −1
1
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1其中k1属于任意实数
⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=1⎪
(2)⎨2x 1+4x 2+x 3+x 4=5； ⎪-x -2x -2x +x =-4
234⎩1
12
解：（A ，b ）= 24
−1−212012−121
115 → 001−11
00000−21−4
x1=2−2x2−x4
x+2x2+x4=2x2=x2
原方程组同解方程组 1→
x3−x4=1x3=1+x4
x4=x4令x2=x4=0得一特解
2η∗= 0
10
原方程组导出组同解方程组
x1=−2x2−x4
x2=x2 x3=x4x4=x4
−2
令x2=1 ，x4=0有ξ1= 1
00
−1
令x2=0 ，x4=1有ξ2= 0
11
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1(3)⎪
⎨3x 1+2x 2-3x 3+4x ⎪4=4； ⎩x 1
+2x 2-9x 3-8x 4=0
解:（A ，b ）= 11
32
−3−11
112−344 → 0−9−80
0原方程组同解方程组
x+3xx1=2−3x3−6x4
−x1
3+6x4=22+6x3+7x4=1
→ x2=6xx3+7x4−1x3=x3 4=x4
令x3=x4=0得一特解
2
η∗= −01
原方程组导出组同解方程组
x1=−3x3−6x x2=x6x+7x434 x3=xx3
4=4
−3
令x3=1，x4=0 ξ1= 61
0−6
令x3=0，x4=1 ξ2= 70
1
0−1306
062
71 00
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
⎧x 1-5x 2+2x 3+3x 4=11⎪
(4)⎨-3x 1+13x 2-4x 3-3x 4=-23. ⎪-x +3x +3x 4=-1⎩12
解：（A ，b ）
10−3−12−141−52311
= −313−4−3−23 → 01−1−3−5
00 0 0 0−1303−1原方程组同解方程组
x1=−14+3x3+12x4
x1−3x3−12x4=−14x2=x3+3x4−5→ x3=x3x2−x3−3x4=−5
x4=x4
令x3=x4=0得一特解
−14η∗= −5
00
x1=3x3+12x4x=x3+3x4原方程导出组同解方程组 2x= x33
x4=x43
令x3=1，x4=0 ξ1= 1
1012
令x3=0，x4=1 ξ1= 3
01
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
⎧x 1+x 2+x 3=0⎪
3. 已知齐次线性方程组⎨x 1+2x 2+x 3=0，当a 为何值时，方程
⎪ax +x +x =0⎩123
组只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示) ．
11101010解： 1210 → 0100
a110a−1000当r(A)=n 时，只有零解 a-1≠0 a ≠1
即：当a ≠1时，只有零解 同理当a=1时，有非零解
101 010
x1=−x3
x1+x3=0
→ x2=0
x2=0x=x
令x3=1
−1
得ξ1= 0
1
即其通解为η=k1ξ1 其中k1属于实数
⎧ax 1+x 2+x 3=0⎪
4. 设3元齐次线性方程组⎨x 1+ax 2+x 3=0，
⎪x +x +ax =0
3⎩12(1) 当a 为何值时，方程组有非零解；
(2) 当方程组有非零解时，求出它的基础解系并表示出通解． a
(1)解： A = 1
1
1a1
1
1 =(a+2)(a−1) 2 a
3
3
当 A =0时有非零解 即a=-2或a=1时有非零解
111111
(2)当a=1时A= 111 → 000
000111
x1=−x2−x3
得x1+x2+x3=0→ x2=x2
x3=x3−1
令x2=1，x3=0 ξ1= 1
0−1
令x2=0，x3=1 ξ2= 0
1
方程的通解为η=k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。 −2
当a=-2时 A= 1
1
1110−1−21 → 01−1
0001−2
x1=x3
x1−x3=0同解方程组 → x2=x3
x2−x3=0x3=x3令x3=1 1
得ξ1= 1
1
原方程的通解为η=k1ξ1其中k1属于实数
+2x 3=-1⎧x 1 ⎪
5. 已知线性方程组⎨-x 1+x 2-3x 3=2，
⎪2x -x +5x =a
3⎩12
(1)求当a 为何值时，方程组无解、有解；(2)当方程组有解时，求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) ．
1
(1)解： −1
2
02−1102 −1 1−32 → 01−1 1 −15a000 a+3
当a=-3时，r(A)
（2）由（1）可知方程组有解时有
102−1
01−11
x1=−1−2x3
x1+2x3=−1原方程同解方程组 → x2=1+x3 x2−x3=1
x3=x3令x3=0得一特解
−1η∗= 1
x1=−2x3
原方程导出组同解方程组 x2=x3
x3=x3令x3=1 −2
得ξ1= 1
1
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1其中k1属于实数
+x 2+λx 3=-2⎧x 1 ⎪
6. 已知线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=-2，
⎪λx +x +x =λ-3
3⎩12
(1)求当λ为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解； (2)当方程组有无穷多解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) ．
1
解： A = 1
λ
1λ
λ1 =-( λ+2) (λ−1) 2 11
（1）当 A ≠0时，λ≠-2且λ≠1方程组有唯一解
1
当λ=-2时= 1
−21−2−211−21−2 → 0−31001−5−2−2
30 0−9
由于r(≠r(A)=2 所以方程组无解 111
当λ=1时= 111
111
11−2
−2 → 00
00−2
1−2
00 00
由于r(所以方程组有无穷多解 （2）当λ=1有无穷多解，同解方程组x1=−2−x2−x3 −2
令x2=x3=0得一特解η∗= 0
0导出组同解方程组x1=−x2−x3
−1−1x210
令 x 分别取 ， 得ξ1= 1 ，ξ2= 0
013
01
故原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
第五章
⎛12⎫
1. 设A = ，求B =A 2-A +2E 所有的特征值. ⎪
⎝05⎭
λ−1
解： λE−A =
0−2
=( λ−1)( λ−5)=0 λ−5
所以A 的特征值为1 ， 5
由于B =A 2-A +2E 所以B 得特征值为2 ， 22
⎛12⎫
2. 设A = ，求出A 的所有特征值和特征向量. ⎪
⎝24⎭
λ−1−2
解： λE−A = =λ（λ-5）=0
−2λ−4A 的特征值为λ1=0 ，λ2= 5 −1
当λ1=0时
−2
1−2
→ −40−2
1
1
1
x1=−2x22
有
x2=x20
令x2=1得P1=
4−21−x=x22有 12当λ2=5时 →
−21x2=x200令x2=1得P2= 2
1
故：A 的特征值为λ1=0 ，λ2= 5 特征向量k1P1= k2P2= 2 k1 ,k2为任意的非零常数
1
1
1
−2 ，1
⎛200⎫
3. 求矩阵A = 111⎪的特征值和特征向量.
⎪ 1-13⎪⎝⎭λ−2
解： λE−A = −1
−1
00
λ−1−1 =(λ−2) 3=0 1λ−3
所以A 得特征值为λ1=λ2=λ3=2 当λ1=λ2=λ3=2时
−1−1
0011−1 → 0
01−1
−11
00 00
x1=x2−x3−1可得 x2=x2令x2=0 x3=1 有 P1= 0
x3=x311
令x2=1 x3=0 有 P2= 1
−1
故：A 的特征值为λ1=λ2=λ3=2 特征向量为k1 P1= 0
11
k2 P2= 1 k1 ,k2为任意的非零常数
⎛110⎫
4. 求矩阵A = 112⎪的特征值和特征向量.
⎪ 002⎪⎝⎭λ−1
解： λE−A = −1
−10
λ−1−2 =λ(λ−2) 2=0 0λ−2
即A 的特征值为λ1=0 ，λ2=λ3=2 −1
当λ1=0时， −1
x1=−x2
可得 x2=x2令x2
x3=0
−1−10
011−2 → 00−200
1 0
−1
=1有 P1= 1
1−101−10
当λ2=λ3=2时， −11−2 → 001
000000
x1=x21
x2=1有 P2= 1 可得 x2=x2令
x3=00−1
1 0
故：A 的特征值为λ1=0 ，λ2=λ3=2特征向量为k1 P1=
1
k2 P2= 1 k1 ,k2为任意的非零常数
⎛122⎫
5. 设矩阵A = 0-1-2⎪，(1)求A 的特征值和特征向量；(2)
⎪ 0-2-1⎪⎝⎭
判断矩阵A 是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩阵P 及对角矩阵Λ.
λ−1
（1）解： λE−A = 0
3）(λ−1) 2
−2−2λ+12 =（λ+2λ+1
所以A 的特征值为λ1=−3 ，λ2=λ3=1 −4−2−210
当λ1=−3 时， 0−22 → 01
02−200
x1=−x3−1有 x2=x3令x3=1 得 P1= 1
x3=x31
1
−1 0
0−2−2011
当λ2=λ3=1时， 022 → 000
022000
x1=x11
x1=1，x3=0 得 P2= 0 有 x2=−x3令
x3=x300令x1=0，x3=1 得 P3= −1
1
故：A 的特征值为λ1=−3，λ2=λ3=1特征向量为k1 P1=−110
1 ，k2 P2= 0 ，k3 P3= −1 k1 ,k2，k3为任意的非零常数
011
（2）因为三阶矩阵A 有三个线性无关特征向量 P1， P2， P3所以A 能相似于对角矩阵，且
−11
P=( P1 P2 P3)= 10
10
第六章
0−3−1 Λ= 1
1
1
1. 写出下列二次型所对应的矩阵：
22
(1)f (x ) =x 12-2x 1x 2+6x 1x 3-2x 2； +8x 2x 3+3x 3
解：由题易得 1−13A= −1−24
343
2
(2)f (x ) =x 1x 2-x 1x 3+2x 2x 3+x 4.
解：由题易得
12
1010 A= 21
−1002
0001
22
3. 判断二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3是
−2
1
否为正定二次型.
22解：由题可知A= 25
−2−4
−2−4 5
∵K1= 2 =2>0
2K2= 2
22−2K3= 25−4 =10>0
−2−45
可判断f(x1，x2，x3) 为正定二次型
2224. 设f (x 1, x 2, x 3, x 4) =λx 12+λx 2+λx 3+x 4+2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3， 2 =6>0 5
当λ>2时，判断f 是否是正定二次型.
λ11 0
解：由题易得A= 1λ−10 1−1λ 00 0 0 1
当λ>2时，A 的各阶顺序主子式都大于零，所以f 是正定二次型。
5. 求a 的值，使下列二次型为正定二次型.
22(1)x 12+x 2+5x 3+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3
1a解：A= a1−12−12
5
要使二次型为正定二次型，则
K1= 1 =1>0
K2= 1aa =1−a>0 1
1aK3= a1−12
即 −12 =−5a2−4a>0 51−a>0 −5a2−4a>0
45整理得−
当−
22(2)5x 12+x 2+ax 3+4x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3 452−1解：A= 21−1
−1−1a
K1= 5 =5>0
5K2= 22 =1>0 1
52−1K3= 21−1 = a -2>0
−1−1a
若A 为正定二次型，必有a -2>0 ，即a>2
226. 设f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+3x 3-4x 1x 2-4x 2x 3，用正交变换法化
二次型为标准形，并写出所作的正交替换.
1−20解：由题可知A= −22−2
0−23
λ−1 λE−A = 2
=0 02λ−2202 =（λ+1）（λ−2）（λ−5）λ−3
即A 的特征值为λ1=−1，λ2=2，λ3=5 当λ1−22010=−1 时，有 2−32 → 01
02−40022 1
x1=2x32有 x2=2x3令x3=1 得特征向量P1= 2 x3=x31同理：当λ2
当λ3−2=2时，得特征向量 P2= 1 21=5时，得特征向量P3= −2
2
=11 ，P=22 P P2321 P=1 P P1121=1 3−2111 1 ，P3= P P3=3 −2 322 P= P1，P2，P3 =23 2 31 3−3132322 −3 2313
做正交变换x=Py得二次标准型为:−y2+2y2+5y2
第一章
13. a a 21b b 21c ； c 21b b 2
1111
c −a c = 0b −a
c −a c −b 0c 20
1
解： a
a 2
=(b−a)(c−a)(c−b)
a -b -c 2a 2a 4. 2b b -c -a 2b ；
2c 2c c -a -b a −b −c 2a 2a 解： 2b b −c −a 2b
2c 2c c −a −b 111
=（a +b +c ） 2b b −c −a 2b
2c 2c c −a −b 111
=（a +b +c ） 0−a −b −c 0
00−a −b −c =（a+b+c）*1*（-a-b-c ）*（-a-b-c ） =（a +b +c ）
3
111-1115.
-1-11-1-1-111； 11
11
解： −11
−1−1−1−11= 000
1200
1220
111−111 11
12 22
=1*2*2*2 =8
126. 34
2341341241 23
10解： 10
10101=10 1
111=10 0
00
2341
23413412
341241 23
41 23
23411−3 0−4400−4
=10*1*1*（-4）*（-4） =160
118. 11
[**************]
11110123
解：=
0259039191= 000
1100
1210
13 31
=1*1*1*1 =1
第二章
1. 已知A 为四阶方阵，且|A |=2，求：(1) |- A|；(2) |2A |；(3) |AA T |； (4)| A 2|.
解:（1）|- A|=(−1) 4 A =2 (2) |2A |=24 A =32
(3) |AA T |= A AT = A A =2×2=4 (4)| A 2|= A A =2×2=4
⎛21⎫
2. 设矩阵A = , E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +E ，⎪
⎝-12⎭
求|B |
解：∵BA=B+E ∴B(A-1)=E
111011
((A−1) , E ) → →
−110102
T
T 1
1010
→ 1101
1212
−
12
12
∵ B
T
= 21
2
−
12
12
1112
2
1 2
所以可得：B=
1
112
2
−
B =
2
−
111112
1 =2ⅹ22ⅹ2=22
3. 设A ，B 均为三阶方阵，且已知|A |=4，|B |=5，求|2AB |. 解： 2AB = 2A B =23 A B =8ⅹ4ⅹ5 =160
⎛14⎫⎛20⎫⎛31⎫
6. 已知矩阵A = ，矩阵X 满足 , B = , C = ⎪⎪⎪
⎝-12⎭⎝-11⎭⎝0-1⎭
AXB =C ，求解X .
解：AXB=C AX=CB−1 (B，En) →(En，B−1)
102010
有： →
−110101
1
12
12
01
即B
−1
= 21
2−1
01
10101421
11 (A，C B) → → →（E2，X）
−12−2−1014010
可得：X= 10
4
⎛010⎫⎛1-1⎫
7.设A = -111⎪, B = 20⎪，且X 满足X =AX +B ，求X .
⎪ ⎪ -10-1⎪ 5-3⎪⎝⎭⎝⎭
解：X=AX+B X(E-A)=B
111125
((E−A) T , B T ) → −100−10−3 →
0−12000
100103
44
0100 33
22
001033
103
440T
得：X = 33
220
3
3
1∴X= 0
3
第三章
00
4343
23 23
1. 已知α1=(1,2,3) , α2=(3,2,1) α, 3=-(2,0,2) α, 4=(1)3α1+2α2-5α3+4α4；(2) 5α1+2α2-α3-α4. 解：(1) 3α1+2α2-5α3+4α4
，求： (1,2,4)
=（3，6，9）+（6，4，2）-（-10，0，10）+（4，8，16） =（23，18，17） (2)5α1+2α2-α3-α4
=（5，10，15）+（6，4，2）-（-2，0，2）-（1，2，4） =(12，12，11)
2. 已知α1=(1,1,0,-1) , α2=(-2,1,0,0) , α3=(-1,2,0,1) ，又β满足3(α1-β) +2(α3+β) =5(α2+β) ，求β.
解：设β=（b1，b2，b3，b4） 有3(α1-β) +2(α3+β) =5(α2+β)
3（1-b1，1-b2，-b3，-1-b4）+2（-1+b1，2+b2，b3，1+b4）=5（-2+b1，1+b2，b3，b4）
1−2b1=−10+5b17 −b2 = 5+5b2整理可得：
−b3=5b3−1−b4=5b4 b1=7 b=1
23 得
b3=0 1b=− 46
即：β=(，，0，−
7
3
6
11
1
1
11
3. 设向量α, β, γ满足5(α-γ) +3(β+γ) =o ，其中
α=(-2, -1,3,0),
β=(-2, -1,0,3) 求α+β+γ.
解：设γ=(a1，a2，a3，a4) 由5(α-γ) +3(β+γ) =o 可得 5（-2-a1，−1−a2，3−a3，−a4)+3（-2+a1，−1+a2，a3，3+a4）=o
（-10-5a1，−5−5a2，15−5a3，−5a4) +（-6+3a1，−3+3a2，3a3，9+3a4）=o
−16−2a1=0−8−2a2=0
15−2a3=09−2a4=0
a1=−8 a=−4 2
得a3=15
2
a=9 4
2
所以γ=(-8，-4，，)
2
2
159
4. 将向量β=(5,0,7) T 表示成向量组α1=(1,-1,0) T , α2=(2,1,3)T ,
α3=(3,1,2)T 的线性组合.
解：设β=K1a1+K2a2+K3a3
有(5,0,1)T=K1(1,−1,0) T+K2(2,1,3)T+K3(3,1,2)T
K1+2K2+3K3=5
−K1+K2+K3=0
3K2+2K3=1
K1=1
得： K2=−1
K3=2即β=a1−a2+2a3
5. 将下列各题中向量β表示为其他向量的线性组合. (1)β=(3,5,-6) , α1=(1,0,1) , α2=(1,1,1) , α3=(0,-1, -1) ； 解：设β=K1a1+K2a2+K3a3
有（3,5,-6）=K1(3,5,−6) +K2(1,1,1)+K3(0,−1, −1)
3K1+K2=3
5K1+K2−K3=5 −6K1+K2−K3=−6
K1=1得 K2=0 K3=0即β=5a1
(2)β=(2,-1,5,1) , ε1=(1,0,0,0), ε2=(0,1,0,0), ε3=(0,0,1,0),
ε4=(0,0,0,1) .
解：设β=K1ε1+K2ε2+K3ε3+K4ε4
（2,-1,5,1）=K1(1,0,0,0)+K2(0,1,0,0)+K3(0,0,1,0)+K4(0,0,0,1) K1=2K2=−1有
K3=5K4=1
即β=2K1−K2+5K3+K4
第四章
2. 求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).
⎧x 1+2x 2+4x 3=3⎪
2x 2+2x 3=3； (1)⎨
⎪2x +2x +6x =3
23⎩1
1
解：（A ，b ）= 0
2
10202433
223 → 011
2
0000263
x1+2x3=0x1=−2x3
3→ 3原方程组同解方程组
x2+x3=x2=−x3
2
2
令x3=0得一特解
0η= 2
原方程的导出组同解方程组
∗
3
x=−2x3 1
x2=−x3
令x3=1有
−2ξ1= −1
1
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1其中k1属于任意实数
⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=1⎪
(2)⎨2x 1+4x 2+x 3+x 4=5； ⎪-x -2x -2x +x =-4
234⎩1
12
解：（A ，b ）= 24
−1−212012−121
115 → 001−11
00000−21−4
x1=2−2x2−x4
x+2x2+x4=2x2=x2
原方程组同解方程组 1→
x3−x4=1x3=1+x4
x4=x4令x2=x4=0得一特解
2η∗= 0
10
原方程组导出组同解方程组
x1=−2x2−x4
x2=x2 x3=x4x4=x4
−2
令x2=1 ，x4=0有ξ1= 1
00
−1
令x2=0 ，x4=1有ξ2= 0
11
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1(3)⎪
⎨3x 1+2x 2-3x 3+4x ⎪4=4； ⎩x 1
+2x 2-9x 3-8x 4=0
解:（A ，b ）= 11
32
−3−11
112−344 → 0−9−80
0原方程组同解方程组
x+3xx1=2−3x3−6x4
−x1
3+6x4=22+6x3+7x4=1
→ x2=6xx3+7x4−1x3=x3 4=x4
令x3=x4=0得一特解
2
η∗= −01
原方程组导出组同解方程组
x1=−3x3−6x x2=x6x+7x434 x3=xx3
4=4
−3
令x3=1，x4=0 ξ1= 61
0−6
令x3=0，x4=1 ξ2= 70
1
0−1306
062
71 00
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
⎧x 1-5x 2+2x 3+3x 4=11⎪
(4)⎨-3x 1+13x 2-4x 3-3x 4=-23. ⎪-x +3x +3x 4=-1⎩12
解：（A ，b ）
10−3−12−141−52311
= −313−4−3−23 → 01−1−3−5
00 0 0 0−1303−1原方程组同解方程组
x1=−14+3x3+12x4
x1−3x3−12x4=−14x2=x3+3x4−5→ x3=x3x2−x3−3x4=−5
x4=x4
令x3=x4=0得一特解
−14η∗= −5
00
x1=3x3+12x4x=x3+3x4原方程导出组同解方程组 2x= x33
x4=x43
令x3=1，x4=0 ξ1= 1
1012
令x3=0，x4=1 ξ1= 3
01
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
⎧x 1+x 2+x 3=0⎪
3. 已知齐次线性方程组⎨x 1+2x 2+x 3=0，当a 为何值时，方程
⎪ax +x +x =0⎩123
组只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示) ．
11101010解： 1210 → 0100
a110a−1000当r(A)=n 时，只有零解 a-1≠0 a ≠1
即：当a ≠1时，只有零解 同理当a=1时，有非零解
101 010
x1=−x3
x1+x3=0
→ x2=0
x2=0x=x
令x3=1
−1
得ξ1= 0
1
即其通解为η=k1ξ1 其中k1属于实数
⎧ax 1+x 2+x 3=0⎪
4. 设3元齐次线性方程组⎨x 1+ax 2+x 3=0，
⎪x +x +ax =0
3⎩12(1) 当a 为何值时，方程组有非零解；
(2) 当方程组有非零解时，求出它的基础解系并表示出通解． a
(1)解： A = 1
1
1a1
1
1 =(a+2)(a−1) 2 a
3
3
当 A =0时有非零解 即a=-2或a=1时有非零解
111111
(2)当a=1时A= 111 → 000
000111
x1=−x2−x3
得x1+x2+x3=0→ x2=x2
x3=x3−1
令x2=1，x3=0 ξ1= 1
0−1
令x2=0，x3=1 ξ2= 0
1
方程的通解为η=k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。 −2
当a=-2时 A= 1
1
1110−1−21 → 01−1
0001−2
x1=x3
x1−x3=0同解方程组 → x2=x3
x2−x3=0x3=x3令x3=1 1
得ξ1= 1
1
原方程的通解为η=k1ξ1其中k1属于实数
+2x 3=-1⎧x 1 ⎪
5. 已知线性方程组⎨-x 1+x 2-3x 3=2，
⎪2x -x +5x =a
3⎩12
(1)求当a 为何值时，方程组无解、有解；(2)当方程组有解时，求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) ．
1
(1)解： −1
2
02−1102 −1 1−32 → 01−1 1 −15a000 a+3
当a=-3时，r(A)
（2）由（1）可知方程组有解时有
102−1
01−11
x1=−1−2x3
x1+2x3=−1原方程同解方程组 → x2=1+x3 x2−x3=1
x3=x3令x3=0得一特解
−1η∗= 1
x1=−2x3
原方程导出组同解方程组 x2=x3
x3=x3令x3=1 −2
得ξ1= 1
1
原方程的通解为η=η∗+k1ξ1其中k1属于实数
+x 2+λx 3=-2⎧x 1 ⎪
6. 已知线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=-2，
⎪λx +x +x =λ-3
3⎩12
(1)求当λ为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解； (2)当方程组有无穷多解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) ．
1
解： A = 1
λ
1λ
λ1 =-( λ+2) (λ−1) 2 11
（1）当 A ≠0时，λ≠-2且λ≠1方程组有唯一解
1
当λ=-2时= 1
−21−2−211−21−2 → 0−31001−5−2−2
30 0−9
由于r(≠r(A)=2 所以方程组无解 111
当λ=1时= 111
111
11−2
−2 → 00
00−2
1−2
00 00
由于r(所以方程组有无穷多解 （2）当λ=1有无穷多解，同解方程组x1=−2−x2−x3 −2
令x2=x3=0得一特解η∗= 0
0导出组同解方程组x1=−x2−x3
−1−1x210
令 x 分别取 ， 得ξ1= 1 ，ξ2= 0
013
01
故原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。
第五章
⎛12⎫
1. 设A = ，求B =A 2-A +2E 所有的特征值. ⎪
⎝05⎭
λ−1
解： λE−A =
0−2
=( λ−1)( λ−5)=0 λ−5
所以A 的特征值为1 ， 5
由于B =A 2-A +2E 所以B 得特征值为2 ， 22
⎛12⎫
2. 设A = ，求出A 的所有特征值和特征向量. ⎪
⎝24⎭
λ−1−2
解： λE−A = =λ（λ-5）=0
−2λ−4A 的特征值为λ1=0 ，λ2= 5 −1
当λ1=0时
−2
1−2
→ −40−2
1
1
1
x1=−2x22
有
x2=x20
令x2=1得P1=
4−21−x=x22有 12当λ2=5时 →
−21x2=x200令x2=1得P2= 2
1
故：A 的特征值为λ1=0 ，λ2= 5 特征向量k1P1= k2P2= 2 k1 ,k2为任意的非零常数
1
1
1
−2 ，1
⎛200⎫
3. 求矩阵A = 111⎪的特征值和特征向量.
⎪ 1-13⎪⎝⎭λ−2
解： λE−A = −1
−1
00
λ−1−1 =(λ−2) 3=0 1λ−3
所以A 得特征值为λ1=λ2=λ3=2 当λ1=λ2=λ3=2时
−1−1
0011−1 → 0
01−1
−11
00 00
x1=x2−x3−1可得 x2=x2令x2=0 x3=1 有 P1= 0
x3=x311
令x2=1 x3=0 有 P2= 1
−1
故：A 的特征值为λ1=λ2=λ3=2 特征向量为k1 P1= 0
11
k2 P2= 1 k1 ,k2为任意的非零常数
⎛110⎫
4. 求矩阵A = 112⎪的特征值和特征向量.
⎪ 002⎪⎝⎭λ−1
解： λE−A = −1
−10
λ−1−2 =λ(λ−2) 2=0 0λ−2
即A 的特征值为λ1=0 ，λ2=λ3=2 −1
当λ1=0时， −1
x1=−x2
可得 x2=x2令x2
x3=0
−1−10
011−2 → 00−200
1 0
−1
=1有 P1= 1
1−101−10
当λ2=λ3=2时， −11−2 → 001
000000
x1=x21
x2=1有 P2= 1 可得 x2=x2令
x3=00−1
1 0
故：A 的特征值为λ1=0 ，λ2=λ3=2特征向量为k1 P1=
1
k2 P2= 1 k1 ,k2为任意的非零常数
⎛122⎫
5. 设矩阵A = 0-1-2⎪，(1)求A 的特征值和特征向量；(2)
⎪ 0-2-1⎪⎝⎭
判断矩阵A 是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩阵P 及对角矩阵Λ.
λ−1
（1）解： λE−A = 0
3）(λ−1) 2
−2−2λ+12 =（λ+2λ+1
所以A 的特征值为λ1=−3 ，λ2=λ3=1 −4−2−210
当λ1=−3 时， 0−22 → 01
02−200
x1=−x3−1有 x2=x3令x3=1 得 P1= 1
x3=x31
1
−1 0
0−2−2011
当λ2=λ3=1时， 022 → 000
022000
x1=x11
x1=1，x3=0 得 P2= 0 有 x2=−x3令
x3=x300令x1=0，x3=1 得 P3= −1
1
故：A 的特征值为λ1=−3，λ2=λ3=1特征向量为k1 P1=−110
1 ，k2 P2= 0 ，k3 P3= −1 k1 ,k2，k3为任意的非零常数
011
（2）因为三阶矩阵A 有三个线性无关特征向量 P1， P2， P3所以A 能相似于对角矩阵，且
−11
P=( P1 P2 P3)= 10
10
第六章
0−3−1 Λ= 1
1
1
1. 写出下列二次型所对应的矩阵：
22
(1)f (x ) =x 12-2x 1x 2+6x 1x 3-2x 2； +8x 2x 3+3x 3
解：由题易得 1−13A= −1−24
343
2
(2)f (x ) =x 1x 2-x 1x 3+2x 2x 3+x 4.
解：由题易得
12
1010 A= 21
−1002
0001
22
3. 判断二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3是
−2
1
否为正定二次型.
22解：由题可知A= 25
−2−4
−2−4 5
∵K1= 2 =2>0
2K2= 2
22−2K3= 25−4 =10>0
−2−45
可判断f(x1，x2，x3) 为正定二次型
2224. 设f (x 1, x 2, x 3, x 4) =λx 12+λx 2+λx 3+x 4+2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3， 2 =6>0 5
当λ>2时，判断f 是否是正定二次型.
λ11 0
解：由题易得A= 1λ−10 1−1λ 00 0 0 1
当λ>2时，A 的各阶顺序主子式都大于零，所以f 是正定二次型。
5. 求a 的值，使下列二次型为正定二次型.
22(1)x 12+x 2+5x 3+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3
1a解：A= a1−12−12
5
要使二次型为正定二次型，则
K1= 1 =1>0
K2= 1aa =1−a>0 1
1aK3= a1−12
即 −12 =−5a2−4a>0 51−a>0 −5a2−4a>0
45整理得−
当−
22(2)5x 12+x 2+ax 3+4x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3 452−1解：A= 21−1
−1−1a
K1= 5 =5>0
5K2= 22 =1>0 1
52−1K3= 21−1 = a -2>0
−1−1a
若A 为正定二次型，必有a -2>0 ，即a>2
226. 设f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+3x 3-4x 1x 2-4x 2x 3，用正交变换法化
二次型为标准形，并写出所作的正交替换.
1−20解：由题可知A= −22−2
0−23
λ−1 λE−A = 2
=0 02λ−2202 =（λ+1）（λ−2）（λ−5）λ−3
即A 的特征值为λ1=−1，λ2=2，λ3=5 当λ1−22010=−1 时，有 2−32 → 01
02−40022 1
x1=2x32有 x2=2x3令x3=1 得特征向量P1= 2 x3=x31同理：当λ2
当λ3−2=2时，得特征向量 P2= 1 21=5时，得特征向量P3= −2
2
=11 ，P=22 P P2321 P=1 P P1121=1 3−2111 1 ，P3= P P3=3 −2 322 P= P1，P2，P3 =23 2 31 3−3132322 −3 2313
做正交变换x=Py得二次标准型为:−y2+2y2+5y2