2009年 第48卷 第9期 数学通报21
李秉彝谈数学精英教育给我们的启示
方均斌
(温州大学 325035)
2009年6月15日, 新加坡的李秉彝先生①到
生活上很可能会出现诸如孤立等一些不良现象, 所以最后决定把这些优生不单独培养, 同时, 也把.
, 最近, . 与所谓的差生相比, 优生往往在各方面都有优越感, 但他们不能总“抬着头”而不“低下头”, 因为他们最终还是要服务社会的, 这个也是我们关心的一个问题. 从我所见到的其它国家情况而言, 就这两样:一是单独培养, 二是混合培养. 这两种方法很多国家都有采纳. 我们早前是同校培养, 现在发现有抽出来单独培养的需要, 但是我们现在的做法不是只做这种情况, 两种情况都有.
1. 2 更新观念 开放思维
南京师范大学访问, 笔者有幸单独与他进行了一次关于数学精英教育的长谈. 70多岁的李先生思维敏捷、观点深刻、视野开阔、言语幽默、富有激情, 由于是长谈, 范围广泛. 因此, 行了整理, 征得他的同意, , 希望对读者有所启发.
1 李秉彝先生谈数学精英教育1. 1 开阔视野 兼容并蓄
方:李先生, 以前我们都是谈普及教育的问题, 即大众化数学教育, 最近一段时间我们国内有个声音:关于精英教育的问题. 一些教育工作者逐步达成一种共识, 就是说, 一个国家真的要繁荣, 精英的作用不可忽视. 因为您是数学及数学教育方面的一个精英, 请您结合新加坡的做法以及本人的体会谈谈您的见解.
李:过去, 新加坡可以把所谓好的学生都放在同一个学校里培养, 但也一直没有这样做, 现在开始有分流培养的趋势. 就是说, 不仅有学校培养特别好的学生, 也有学校培养特别差的学生. 这还是刚刚开始, 还没有走完一个完整的过程, 就是说还没有特别差的学校毕业生出来, 还不是十分有数.
关于精英(教育) 的事情, 我们教育部人员进行特别测试. 即, 从小学离校考试成绩优秀的学生里选出来参加特别测试, 考得好才进入优生班(这些学生不超过总毕业生的百分之二) . 当然, 选出来的未必是优生, 可至少优生可能性是很高的, 而且优生多半是在这个百分之二里面. 很早以前, 我们原来可以把这些学生统一集中培养, 但出于这样的一个观点:不仅要考虑学生的学习问题, 还要考虑他们的生活. 假如你把这百分之二学生进行单独培养, 尽管他们在学习上可以搞得很好, 但是
方:我们国内也曾经试图培养一些优秀的学生, 比如我们进行奥林匹克数学竞赛, 早期的还有少年班, 我们都想培养一些优秀的学生. 从上世纪八十年代开始, 我们就在做这个事情, 试图让他们成为数学家, 但是, 他们都远离数学而去, 他们得出的结论是:学数学太辛苦! 那么从您自己学数学的这个经历和体验, 您认为对小孩子的这个早期培养, 应该要注意什么?
李:我想, 现在对数学的解读应该是不一样吧?! 过去数学就是数学, 但是现在情况不一样, 就是一些似乎不是数学的学科也有很多数学成分, 你不能说, 他不念数学就不是搞与数学有关的
①1938年出生. 1965年考获英国女皇大学数学博士学位.
曾任教非洲马拉威大学(1965-67) , 新西兰奥克兰大学(1967-71) , 南洋大学(1971-81) , 新加坡国立大学(1981-94) , 南洋理
工大学属下国立教育学院(1994-) , 新加坡教育部课程修订委员会成员. 曾任职东南亚数学学会会长(1981-82) , 国际数学教育委员会副主席(1987-90,1991-94) . 曾访问中国多次, 获聘西北师范大学客座教授(1985) . 指导过二十多位博士生, 著作有关于Henstock 积分等中英文著作多种, 发表学术论文一百余篇.
22数学通报 2009年 第48卷 第9期
1. 3 学会宽容 因势利导
东西. 过去是说, 你在数学系里面念的才是数学. 现在情况不一样了! 你不在数学系里面, 你很可
能念的就是数学! 他搞来搞去还是数学, 假如你这样想的话, 他还在念数学, 还是(观念) 要开放, 我们不能够把门关起来“:你不能出去! ”还是要开放. 其实, 也要鼓励一些在数学方面能力比较强的学生, 让他能够搞“不同的数学”, 也可以说是搞应用数学. 就数学而言, 我们也不需要(数学优秀学生) 将来全部都搞数学. 过去我们比较刻意地培训数学优秀学生, 这些学生数学念得比较多, 当然也比较辛苦. 我想, 现在已经不是这回事了, 所以, 我在新加坡提出这样的说法:让更多的人念比较基础的数学. , ) 不会多, 有些数学系就可能要关门. 其实, 一些学生并不想过早专业化, 念数学专业也只认为是一个过渡手段. 所以, 我们要观念开放.
方:能不能把这个观念提高到另外的一个角度来看, 我们大学里面的数学系培养的学生或者是研究生, 乃至博士研究生, 他们应该只是获得数学的一个新的平台?
李:是呀! 他去做经济也是完全可以的呀! 应该是鼓励的. 培养师资的话, 并不是只培养师资呀! 假如你培养的师资将来去做别的事情, 只有好, 没有坏.
就我们教育学院而言, 培养出来的老师, 他往往只教了五年就做别的东西. 对这种现象可能有两种看法:一是浪费, 就是说, 我(辛辛苦苦) 培养的老师都走了; 另外一个观点则认为, 这些人都还在啊! 他去做别的东西, 他还是对国家有贡献的! 国家是一个整体, 他(只要) 对国家社会做贡献就可以了, 他不一定要去教书. 所以, 我们观念要跨界. 你不能说“:要做这个就要做一辈子!" 这是过去的一种观念. 现在, 我们必须要看到, 不能够把人家锁起来, 我们要门开着他不出去, 那些就是好的学生, 就会留下来把数学研究搞得好, 反而强制把他留下来做, 往往就做不出来, 这不是一个好办法, 所以要开放, 要扩大人才的自由流动, 这是我的想法.
方:您的想法很好, 那么, 我能否问得直白一点, 就是说, 从您自己成长的道路上来看, 您为什么对数学一直很感兴趣?
李:容易嘛! 我的一生讲得简单一点就是按照自己(觉得) 最容易走的路走下去(笑) , 往阻力最小的路走下去, 这是我对自己的评价.
方:也就是说, 您感觉自己在数学上做得还是比较顺利的? 有没有碰到过阻力?
李:一种解读是, 如(笑) ; 另, 方:现在我们国内比较急, 象华人数学家陶哲轩这样比较有名的数学家国内就很少, 早期象在国际上影响比较大的华罗庚、苏步青等一批数学家, 接下去几十年来很少见到.
李:培养运动员有两种培养方法. 一是选准人才, 专业训练, 这是一种培养方法. 假如经济能力不足, 条件不好, 这是一种可以考虑的选择, 因为你不可能全面动员. 澳洲人口并不是很多, 但它在运动方面有很好的成绩, 它采取的是全民运动. 另外一个做法是尽量提供一个好的环境, 让那些有兴趣的往前走, 出好成绩的概率就会很大. 假如国家有条件的话, 人口众多的中国, 如果提供一个好的学习数学环境, 肯定会有好的结果. 当然, 我不是说把这两种训练方案对立起来, 它们可以互补结合. 首先, 提供一个好的环境容易出现一批优秀后备人才, 出现这些优秀后备人才后, 不是放任不管, 而是要集中培训. 我们往往寄希望于出现黑马式天才“:这个家伙真是厉害! 不管怎么压都压他不住! ”但天才不多, 需要创造一个好的环境, 使人人参与, 催化黑马式天才的产生.
方:对! 刚才我们讲的, 我国早期奥赛(获奖) 的那一批学生, 当时我们老师认为他们也是天才, 比如我的一个学生, 他现在在美国搞理论物理去了. 我们认为他当时是搞数学的天才, 我刚才所说的远离数学而去, 并不是说他在物理方面做贡献是不可以的, 但是我们感觉他在做纯的数学方面还有更大的发展, 但是他觉得做数学很辛苦, 最后选择“改行”. 您应该最有体会的, 数学有时在关键点的时候, 这是一个最难爬的一个地方, 那需要一
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定的天分, 尽管勤劳是重要的, 但是天分也是非常重要的.
李:我始终有这样的一个看法, 就是搞教育是不能够太有效的(即:太急功近利的) . 鸡瘟、猪瘟就是(饲养追求) 太有效才出现的. 很多东西我们是不能预见的, 我们在处理一个不能预见的情况就得开放, 不能够(追求) 太有效, 否则把可能发展的路都拦住了! 从某种情况上讲, 我们就只能模糊, 教育有时本身就是一个模糊的(东西) .
方:您就是说, 我们知道某个学生在某些方面是有天分时, 我们培养的(方法) 应该是疏导而不是强压?
李:对! 有没有(只着眼单科的) ? , 这个不多. 不过, 学科挂钩的, , , 有没有(可能出) 成绩呢? , 也有人做出很好的成绩, 但是, 多半是因为他跨界, 跨学科等, 假如他太专业的话, 他(往往) 是跨不过去的. 1. 4 讲究策略 注重方法
方:对. 我们很多中学老师有这样的一个体会, 他们发现一些学生在中学是一匹黑马, 是搞数学的料, 我也遇到过, 您能否对这些老师提一些建议?
李:前面我们讲过, 首先对学生要开放, 要开着门. 其次, 要适当增加吸引他们的数学相关课程, 现在外面有很多数学的新发展, 比如经济数学、生物数学等很多课程, 这些新课程让学生去念有什么不好的? 把数学课程开得丰富多彩, 让它们具有极大的吸引力, 我不叫他他也来, 我们能做到(这一点) 吗? 是可以做到的, 这样就会把好人才留住.
在六十年代有统计学这门新课程, 现在还在; 七十年代有离散数学, 七十年代有人曾经就想(用) 离散数学取代微积分但没有成功; 八十年代(的课程) 是什么? 八十年代新添的课程是计算数学. 那我问你:近二十年来, 大学有什么新课程呢? 有, 经济数学, 随机分析. 但是, 没有象我刚才提的那三个落地生根, 能否落地生根呢? 有些课程你一定要考虑, 你考虑之后可以不做, 这是完全可以的, 但是, 你没有考虑是不可以的. 这几十年数学在不断现代化, 你过去十年、二十年内, 在课程编排上, 有现代化没有? 为什么人家会跑去隔壁, 因
为隔壁好呀! 有很多新的东西呀! 它有很大的吸引力呀! 你还是在讲二十年前的东西, 落伍了!
我们能否做到让我们的课程也具有吸引力?
方:我举个例子, 虽然我没有听过您的数学课, 但您早上对河海大学的两位老师的谈数学话题我就领教了, 您能够旁征博引, 视野非常宽, 能够把生活道理与我们非常抽象的数学相挂钩, 而且融进了幽默的因素, 象您这样的老师, 那学生肯定是“逃不了”, 他不会远离我们数学而去. 我们数学教学, . 我现在发现, , 他往往, 就擦. ……. 他们甚至还不屑, 我有时去听他们的课的时候, 尽管他们的课我们对部分内容有一些生疏, 我们也能够知道一个大概, 并在课后提一些建议, 但是他们感觉还是无所谓, 您认为怎么样把学生吸引住, 对这些方面您有什么建议? 因为您教了四五十年的书了, 而且课上得非常生动, 您自己的体会是什么?
李:举个例子, 这是我周四要到河海(大学) 的讲稿, 话题是“知错能改的信息编码”. 我就从最古
(为例) 入手, 用烽火戏诸老的信息编码“:烽火台”
侯的有趣故事入手, 这样讲就比较讲究教育方法, 我这个就是“儿童版”的, 不管是数学还是非数学的, 都能够听懂的, 这个编码的背后实际上是群论! 如果你硬邦邦地讲群论, 不把听众吓跑才怪! 1971年, 送去火星的人造卫星, 它从火星送回的照片是不得了的一件大事, 它是怎么完成的呢? 它就是靠这个hamming 编码, 这是群论里面的一个部分, 所以我讲群论的时候是从讲线性编码入手的. 否则一般学生就会感觉很无聊, 其实这不是无聊, 完全有道理的, 有血有肉的.
方:对. 你刚才讲的是教育载体的多样性问题, 即教育内容重要, 这很重要, 这是核心问题, 你刚才说的是抓住了主要问题, 还有一个问题是, 同样的内容, 老师讲解的方法也有差异的.
李:这个当然是第二部分了, 第一部分你先要材料好了! 第二个才是你的烹饪技术! 你材料不好, 技术好, 怎么搭也是有问题呀!
方:对, 巧媳妇难煮无米之炊. 我感兴趣的还是您的教学艺术, 您对数学老师是不是在教学方
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2 李先生谈话给我们的启示
面开动思维上提一些建议? 因为您在教学中能够很好地借鉴中国古代的一些东西.
李:(笑) 烽火台呀! 儿童版呀!
方:对呀! 能够让大家感觉到通俗易懂. 现在我们的一些老师就是不太注重这些.
李:是这样子, 现在中国的新课程改革, 很多高等数学走进中学, 如果教的方法就是根据大学方法教, 那就难了! 而且就不容易吸收, 但是, 是可以把它讲好! 有的老师下了很多功夫, 就教得比较通俗易懂, 用学生的语言来(组织教学) . 就是要让“小提琴讲中国话”, 这是我在西安遇到从重庆来的一个老师讲的一个例子. 我有一套教微积分的讲稿, , 的微积分”, (ε-δ语言, 几年下来, 结果发现学生很好理解, 也没有影响那些需要在数学上进一步发展的学生. 这个跟烧菜一样, 我这个厨师几十年就是要用这个材料, 没有这个材料怎么能够烧得出来? 你如果还是用原来材料烧菜, 尽管味道很地道, 但顾客不喜欢, 他们欣赏不了! 怎么办? 现在是一个选择的问题. 一是不改, 就被顾客解雇抛弃; 另一种就是改, 生存! 那你选择哪一个? 假如你选不改, 那是你的选择, 无话可说;
δ搞给我选, 我选生存之路. 你或许会说“:你把ε、
不见了, 我以后怎么过日子? ”话说回来, 假如你的
δ, 所学生以后不当数学家的话, 他根本不需要ε、以你日子还是好过的. 好, 你以后要当数学家, 我
δ, 我(这样教) 现在不教你, 你以后迟早要接触ε、
会害了你一生吗? 没有, 怎么没有呢? 你需要证明的, 有兴趣的话你就去证明, 我也会针对学生情况提出个别乃至全体的要求并给予必要的指导或教学的. 又回到我刚才讲的那句话:你要面铺得宽, 里面一定会有人才出来. 所以, 为什么世界选美的都是大国选中的? 它人多! 新加坡小姐要选
(人数) 太中的概率不是太高! 因为它的“底盘”小.
方:谢谢您! 听了您的话, 我觉得视野开阔了很多!
李:不客气.
李秉彝先生祖籍数学家故乡———浙江温州, 他本人也是一位数学家, 他曾经担任东南亚数学会主席, 同时, 他很关心数学教育, 教学水平非常高, 曾经担任过国际数学教育委员会副主席的职务. 这位数学及数学教育界的精英关于数学精英教育的谈话给笔者很多的启发, 相信读者也有同感.
2. 1 大众化普及教育是精英教育的重要手段
:把! , 数学, 从某种程度上, , 数学精“数学苗子”. 实际上, 很多数学家早期的数学才能表现并不显眼, 华罗庚小学数学成绩不及格, 丘成桐初中数学成绩也不理想, 但他们后来在数学上所做的贡献是他们当时的数学教师所无法想象的, 倒是一些我们认为早期在数学上似乎很有天赋的“数学竞赛苗子”, 后期在数学上的表现往往让人们大跌眼镜!
值得指出的是, 由于应试教育必须要考数学, 所有的中小学生都要学习数学, 这给我们造成学习数学人数“底盘很大”的错觉. 实际上, 如果学生认为学习数学是为了应付考试, 往往抱着应付的心态学习数学, 在他们的眼里, 数学只是在考试的时候才有用, 一旦通过考试, 就将数学抛弃. 09年6月高考前夕, 某校学生集体撕废练习卷(按常理, 里面的数学试卷肯定不少) 抛向空中形成茫茫
①
“雪花”就是一个让人感到心寒的例子. 因此, 我们不仅要看表面上学习数学的人数, 而应该看学
习数学有兴趣的人数, 大众化普及教育必须从培养学生学习数学兴趣入手, 只有这样才能把学习数学的“底盘”真正做大. 以往, 我们提倡数学大众教育, 似乎不提精英数学教育, 按照李秉彝先生的说法, 实际上提倡数学大众教育是精英教育的一个很重要的措施, 大众数学教育是精英教育的重要手段, 精英教育并非只是关注我们似乎已经盯准的几个“数学希望
①德州之窗综合. 高考结束 考生撕书发泄. http :∥
news. dzwindows. com/ht ml/2009-06-11/10232431. sht ml
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苗子”, 而是要求眼界更广一些, 将来出现的“黑马”也应在我们的“情理之中”. 2. 2 学科精英教育不能忽略学生的身心健康
我们经常发现一些“早慧”的孩子, 从我国历史发展来看“, 早慧”的孩子被爱才心切的大人捧杀的概率非常大, 由于环境的变化及这些孩子的身心发展不协调, 大人愿望良好的一些举措往往成为这些“早慧”孩子的“杀手”. 比如:大人情不自禁而不分场合的表扬, 把这些孩子弄到一个具有不适合他们发展的更强竞争力环境、不注意他们的青春期身心变化与学习的冲突、……, 等. 就数学这一学科而言, 学生表现出来的早慧往往是较早地“适应”, . 皆知, 1) ; (2) 具体的数字及运算到抽象的代数系统; (3) 静态的代数式及方程到动态及联系的函数; (4) 具有现实世界直观模型的四维以下的几何系统到高于三维的抽象向量空间系统; (5) 确定的现象到不确定的随机现象; (6) 具有直观现象支撑的演绎系统到似乎违背直观的纯粹假设而形成的演绎系统; (7) 纯粹演绎并逐级抽象的过程, 期间还夹杂着很高技巧, 并包括对个体的洞察力、想象力以及各种数学思想方法掌握和领悟的挑战, 等等. 一些在数学上早慧的孩子的学科智力上的超常发展与一般规律的心理、生理发展的不协调以及与社会按照一般人的思维、心理、生理发展的群体办学模式的冲突, 往往使得他们因无法自身解决的种种矛盾而使他们在数学学科上的发展半途“夭折”.
有经验的数学教师往往有这样的体会:一些学生在某个时期的数学思维非常活跃, 但过了一段时期, 他们的脑子却忽然不怎么灵活. 我们认为, 出现这样的情况的原因非常复杂, 主要有这么几个可能存在的因素:思维发展、心理发展、生理变化、教学手段、环境因素、数学内容等, 这仅是我们的臆测并无确凿证据的因素, 但学生的身心变化与数学内容的变化不协调是很可能的决定性因素. 我们以前对学生所表现出来的早慧现象, 由于过多关注智商而对情商缺乏足够重视的教训是我们所必须吸取的, 求才心切而往往拔苗助长, 李秉彝先生所说的“:他们将来要服务于社会呀! ”、“他
们不能老是抬头, 也要学会低头. ”是要好好让我们反思.
2. 3 开放与宽容是精英教育不可忽视的心态
爱才之心人皆有之, 长期接触数学使得我们对数学产生了特殊的情感, 寻找“接班人”的潜意识使得我们对数学表现出色的学生在心理天平上产生了一定的倾斜, 但我们切不可忘记, 学生并非与我们一样对数学有如此长的时间接触, 况且, 他们面临着的是众多的学科, 数学仅为这些众多学科之一, , . 上时期, 吸引这些数学精英也是社会大环境的需要, 按照李秉彝先生的说法, 他们“搞的还是数学! ”, 因为计算机本身就是数学的产物. 换句话说, 即使这些学生将来搞与数学“毫不相干”的学科, 比如文学与艺术学科, 那就为这些学科注入了一股“新鲜力量”, 因为这些学科缺乏的往往是懂得数学的人才, 一些跨学科的人才往往就在这些人中产生, 按照李秉彝先生的说法“:培养精英要善于跨界”. 李秉彝先生认为“:我们要开着门进行数学教育, 只有开着门的情况下学生还不愿意离开, 这些学生在数学上才有真正的培养前途. ”2. 4 教学内容及艺术决定着精英教育的成败
数学在不断变化中, 当然, 数学课程改革也必须日新月异, 我们只有通过课程改革来吸引学生, 当然, 数学教学艺术是很重要的“招数”. 这是李秉彝先生在本次谈话中所强调的一个理念, 因材施教也是这位老先生所坚持的观念. 新加坡有一种“特校”, 小学离校考试(相当于我们的小学毕业会考) 多次不及格的学生将在这种“特校”中学习, 这个“特校”的数学与传统数学编排方式截然不同, 按照老先生的介绍, 是以生活情境来编排的数学, 教师是边教学边编写教材, 据说目前教学效果非常好, 很多家长想把孩子放在特校中学习, 李先生开玩笑说“:那, 你的孩子得考不及格! ”尽管属于另一类特殊教育的范畴, 但足以说明新加坡在关注数学特殊教育方面是下了功夫的. 笔者访学的导师张奠宙教授对笔者坦言“:新加坡的‘特校’在我国很可能行不通, 我们以前曾经有过类似的做
(下转第29页)
2009年 第48卷 第9期 数学通报29
数学思维的结晶和概括, 是解决数学问题的灵魂和根本策略. 并且数学思想随着其在不同知识中的体现, 自身的内涵不断丰富. 所以, 对数学思想的渗透要有一个渐进的和反复的过程. 例如极限思想、数形结合思想几乎贯穿了整个高等数学的教学, 讲授时就要做到逐渐渗透与反复运用相结合.
(4) 东西结合———既关注东方(主要指中国)
归不能只是一句口号, 要落实到数学课程的教学中. 数学文化教育作为数学教育改革的方向和新
的教育精神是无可争议的, 应把数学作为科学的数学、文化的数学和教育的数学, 并将“科学———文化———教育”三者有机地融为一体, 以数学的内容、思想、方法、精神来影响学生的思想、观念、行为、态度和精神, 实现“以数学来育人”的目的.
参考文献
的数学文化, 也介绍西方的数学文化. 如在教学
中, 展示我国悠久的数学历史, 如介绍祖氏父子的数学成就、刘徽的割圆术《、九章算术》、《张邱建算经》等, 也介绍国外的数学史, 如微积分的发展历史, 17、18世纪牛顿、等. , ; 发展, , 在追寻历史的同时引导学生比较东西方数学文化的发展, 进一步提高大学生的使命感和责任感.
总之, 我们强调数学教育中“数学文化”的回
(上接第25页)
1 黄秦安. [J ].数学教育学报,
, 10(:12-17
2. 数学学科
[], , 2005(3) :4-9
. 论大学数学教育中的人文精神[J ].大学数
学, 2005, 8(4) :20-23
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P 17
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2008, 6(3) :78-80
法, 但由于家长很要面子, 结果半途夭折. ”相比于精英教育, 我国也存在一些类似的观念问题. 例如, 不合时宜地加压、加量, 让学生超负荷地参加各种数学比赛和集训, 使原本以好奇心为出发点学习数学的意图转化为以好胜心为目的的数学学习, 学生的压力无形中被加大, 最后在没有具体竞赛目标的情况下由于对数学产生畏惧或反感而远离数学. 笔者有一个同事曾经说“:我很喜欢吃苹果, 最近血压有点高, 我爱人听说吃苹果有利于降血压, 于是就规定并督促我每天至少吃一个苹果, 这两天我看到苹果就怕! ”是呀! 假如他爱人不采取规定和督促的方法, 并且已经知道他喜欢吃苹果, 就经常在家里多摆放一些不同品种苹果, 并告诉吃苹果有利于降血压的道理, 这位同事肯定不会对苹果产生反感. 数学精英教育也是如此, 与一些对数学感兴趣的学生多讨论数学问题, 为他们多提供一些适合他们阅读的数学参考书, 少一些强制性集训和学习任务, 这或许是一种比较好的方法. 尽管一些集中培训能够提高学生的竞赛成绩, 但笔者认为, 这种模式如果运用不当, 很可能使得一些数学好苗子“夭折”. 新加坡尽管在国际
奥赛成绩不如中国, 按照人口基数的观点, 新加坡
的“人数底盘”不够大, 但他们在TIMSS 、PISA 上的成绩让全世界刮目相看, 这是我们中国所需要认真思考和研究的.
值得提出的是, 在教学内容的课程改革中, 我们原来的严谨逻辑体系出现了松动现象, 这与美国等一些西方国家正在反思他们的数学课程是否过于松散形成鲜明的对比. 中国数学会教育工作委员会主任张英伯教授在评价中学数学课程标准时说①“中国大陆的国情可能不同于西方国家, 西方的课标是学生掌握知识的最低标准, 学校的课程可以超越这一标准, 还可以有各种精英中学. 但我们国家课标基本上是唯一标准, 因为高考是统一进行的, 无论重点中学还是一般中学, 无论学生的程度如何, 都只能遵循这一标准. 因此, 这个标准就更加不能丢掉系统性和逻辑性, 否则我们将无法培养精英. ”
数学精英教育, 任重而道远.
①易蓉蓉. 基础数学教育改革在路上. 科学时报,2008,1,
21
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李秉彝谈数学精英教育给我们的启示
方均斌
(温州大学 325035)
2009年6月15日, 新加坡的李秉彝先生①到
生活上很可能会出现诸如孤立等一些不良现象, 所以最后决定把这些优生不单独培养, 同时, 也把.
, 最近, . 与所谓的差生相比, 优生往往在各方面都有优越感, 但他们不能总“抬着头”而不“低下头”, 因为他们最终还是要服务社会的, 这个也是我们关心的一个问题. 从我所见到的其它国家情况而言, 就这两样:一是单独培养, 二是混合培养. 这两种方法很多国家都有采纳. 我们早前是同校培养, 现在发现有抽出来单独培养的需要, 但是我们现在的做法不是只做这种情况, 两种情况都有.
1. 2 更新观念 开放思维
南京师范大学访问, 笔者有幸单独与他进行了一次关于数学精英教育的长谈. 70多岁的李先生思维敏捷、观点深刻、视野开阔、言语幽默、富有激情, 由于是长谈, 范围广泛. 因此, 行了整理, 征得他的同意, , 希望对读者有所启发.
1 李秉彝先生谈数学精英教育1. 1 开阔视野 兼容并蓄
方:李先生, 以前我们都是谈普及教育的问题, 即大众化数学教育, 最近一段时间我们国内有个声音:关于精英教育的问题. 一些教育工作者逐步达成一种共识, 就是说, 一个国家真的要繁荣, 精英的作用不可忽视. 因为您是数学及数学教育方面的一个精英, 请您结合新加坡的做法以及本人的体会谈谈您的见解.
李:过去, 新加坡可以把所谓好的学生都放在同一个学校里培养, 但也一直没有这样做, 现在开始有分流培养的趋势. 就是说, 不仅有学校培养特别好的学生, 也有学校培养特别差的学生. 这还是刚刚开始, 还没有走完一个完整的过程, 就是说还没有特别差的学校毕业生出来, 还不是十分有数.
关于精英(教育) 的事情, 我们教育部人员进行特别测试. 即, 从小学离校考试成绩优秀的学生里选出来参加特别测试, 考得好才进入优生班(这些学生不超过总毕业生的百分之二) . 当然, 选出来的未必是优生, 可至少优生可能性是很高的, 而且优生多半是在这个百分之二里面. 很早以前, 我们原来可以把这些学生统一集中培养, 但出于这样的一个观点:不仅要考虑学生的学习问题, 还要考虑他们的生活. 假如你把这百分之二学生进行单独培养, 尽管他们在学习上可以搞得很好, 但是
方:我们国内也曾经试图培养一些优秀的学生, 比如我们进行奥林匹克数学竞赛, 早期的还有少年班, 我们都想培养一些优秀的学生. 从上世纪八十年代开始, 我们就在做这个事情, 试图让他们成为数学家, 但是, 他们都远离数学而去, 他们得出的结论是:学数学太辛苦! 那么从您自己学数学的这个经历和体验, 您认为对小孩子的这个早期培养, 应该要注意什么?
李:我想, 现在对数学的解读应该是不一样吧?! 过去数学就是数学, 但是现在情况不一样, 就是一些似乎不是数学的学科也有很多数学成分, 你不能说, 他不念数学就不是搞与数学有关的
①1938年出生. 1965年考获英国女皇大学数学博士学位.
曾任教非洲马拉威大学(1965-67) , 新西兰奥克兰大学(1967-71) , 南洋大学(1971-81) , 新加坡国立大学(1981-94) , 南洋理
工大学属下国立教育学院(1994-) , 新加坡教育部课程修订委员会成员. 曾任职东南亚数学学会会长(1981-82) , 国际数学教育委员会副主席(1987-90,1991-94) . 曾访问中国多次, 获聘西北师范大学客座教授(1985) . 指导过二十多位博士生, 著作有关于Henstock 积分等中英文著作多种, 发表学术论文一百余篇.
22数学通报 2009年 第48卷 第9期
1. 3 学会宽容 因势利导
东西. 过去是说, 你在数学系里面念的才是数学. 现在情况不一样了! 你不在数学系里面, 你很可
能念的就是数学! 他搞来搞去还是数学, 假如你这样想的话, 他还在念数学, 还是(观念) 要开放, 我们不能够把门关起来“:你不能出去! ”还是要开放. 其实, 也要鼓励一些在数学方面能力比较强的学生, 让他能够搞“不同的数学”, 也可以说是搞应用数学. 就数学而言, 我们也不需要(数学优秀学生) 将来全部都搞数学. 过去我们比较刻意地培训数学优秀学生, 这些学生数学念得比较多, 当然也比较辛苦. 我想, 现在已经不是这回事了, 所以, 我在新加坡提出这样的说法:让更多的人念比较基础的数学. , ) 不会多, 有些数学系就可能要关门. 其实, 一些学生并不想过早专业化, 念数学专业也只认为是一个过渡手段. 所以, 我们要观念开放.
方:能不能把这个观念提高到另外的一个角度来看, 我们大学里面的数学系培养的学生或者是研究生, 乃至博士研究生, 他们应该只是获得数学的一个新的平台?
李:是呀! 他去做经济也是完全可以的呀! 应该是鼓励的. 培养师资的话, 并不是只培养师资呀! 假如你培养的师资将来去做别的事情, 只有好, 没有坏.
就我们教育学院而言, 培养出来的老师, 他往往只教了五年就做别的东西. 对这种现象可能有两种看法:一是浪费, 就是说, 我(辛辛苦苦) 培养的老师都走了; 另外一个观点则认为, 这些人都还在啊! 他去做别的东西, 他还是对国家有贡献的! 国家是一个整体, 他(只要) 对国家社会做贡献就可以了, 他不一定要去教书. 所以, 我们观念要跨界. 你不能说“:要做这个就要做一辈子!" 这是过去的一种观念. 现在, 我们必须要看到, 不能够把人家锁起来, 我们要门开着他不出去, 那些就是好的学生, 就会留下来把数学研究搞得好, 反而强制把他留下来做, 往往就做不出来, 这不是一个好办法, 所以要开放, 要扩大人才的自由流动, 这是我的想法.
方:您的想法很好, 那么, 我能否问得直白一点, 就是说, 从您自己成长的道路上来看, 您为什么对数学一直很感兴趣?
李:容易嘛! 我的一生讲得简单一点就是按照自己(觉得) 最容易走的路走下去(笑) , 往阻力最小的路走下去, 这是我对自己的评价.
方:也就是说, 您感觉自己在数学上做得还是比较顺利的? 有没有碰到过阻力?
李:一种解读是, 如(笑) ; 另, 方:现在我们国内比较急, 象华人数学家陶哲轩这样比较有名的数学家国内就很少, 早期象在国际上影响比较大的华罗庚、苏步青等一批数学家, 接下去几十年来很少见到.
李:培养运动员有两种培养方法. 一是选准人才, 专业训练, 这是一种培养方法. 假如经济能力不足, 条件不好, 这是一种可以考虑的选择, 因为你不可能全面动员. 澳洲人口并不是很多, 但它在运动方面有很好的成绩, 它采取的是全民运动. 另外一个做法是尽量提供一个好的环境, 让那些有兴趣的往前走, 出好成绩的概率就会很大. 假如国家有条件的话, 人口众多的中国, 如果提供一个好的学习数学环境, 肯定会有好的结果. 当然, 我不是说把这两种训练方案对立起来, 它们可以互补结合. 首先, 提供一个好的环境容易出现一批优秀后备人才, 出现这些优秀后备人才后, 不是放任不管, 而是要集中培训. 我们往往寄希望于出现黑马式天才“:这个家伙真是厉害! 不管怎么压都压他不住! ”但天才不多, 需要创造一个好的环境, 使人人参与, 催化黑马式天才的产生.
方:对! 刚才我们讲的, 我国早期奥赛(获奖) 的那一批学生, 当时我们老师认为他们也是天才, 比如我的一个学生, 他现在在美国搞理论物理去了. 我们认为他当时是搞数学的天才, 我刚才所说的远离数学而去, 并不是说他在物理方面做贡献是不可以的, 但是我们感觉他在做纯的数学方面还有更大的发展, 但是他觉得做数学很辛苦, 最后选择“改行”. 您应该最有体会的, 数学有时在关键点的时候, 这是一个最难爬的一个地方, 那需要一
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定的天分, 尽管勤劳是重要的, 但是天分也是非常重要的.
李:我始终有这样的一个看法, 就是搞教育是不能够太有效的(即:太急功近利的) . 鸡瘟、猪瘟就是(饲养追求) 太有效才出现的. 很多东西我们是不能预见的, 我们在处理一个不能预见的情况就得开放, 不能够(追求) 太有效, 否则把可能发展的路都拦住了! 从某种情况上讲, 我们就只能模糊, 教育有时本身就是一个模糊的(东西) .
方:您就是说, 我们知道某个学生在某些方面是有天分时, 我们培养的(方法) 应该是疏导而不是强压?
李:对! 有没有(只着眼单科的) ? , 这个不多. 不过, 学科挂钩的, , , 有没有(可能出) 成绩呢? , 也有人做出很好的成绩, 但是, 多半是因为他跨界, 跨学科等, 假如他太专业的话, 他(往往) 是跨不过去的. 1. 4 讲究策略 注重方法
方:对. 我们很多中学老师有这样的一个体会, 他们发现一些学生在中学是一匹黑马, 是搞数学的料, 我也遇到过, 您能否对这些老师提一些建议?
李:前面我们讲过, 首先对学生要开放, 要开着门. 其次, 要适当增加吸引他们的数学相关课程, 现在外面有很多数学的新发展, 比如经济数学、生物数学等很多课程, 这些新课程让学生去念有什么不好的? 把数学课程开得丰富多彩, 让它们具有极大的吸引力, 我不叫他他也来, 我们能做到(这一点) 吗? 是可以做到的, 这样就会把好人才留住.
在六十年代有统计学这门新课程, 现在还在; 七十年代有离散数学, 七十年代有人曾经就想(用) 离散数学取代微积分但没有成功; 八十年代(的课程) 是什么? 八十年代新添的课程是计算数学. 那我问你:近二十年来, 大学有什么新课程呢? 有, 经济数学, 随机分析. 但是, 没有象我刚才提的那三个落地生根, 能否落地生根呢? 有些课程你一定要考虑, 你考虑之后可以不做, 这是完全可以的, 但是, 你没有考虑是不可以的. 这几十年数学在不断现代化, 你过去十年、二十年内, 在课程编排上, 有现代化没有? 为什么人家会跑去隔壁, 因
为隔壁好呀! 有很多新的东西呀! 它有很大的吸引力呀! 你还是在讲二十年前的东西, 落伍了!
我们能否做到让我们的课程也具有吸引力?
方:我举个例子, 虽然我没有听过您的数学课, 但您早上对河海大学的两位老师的谈数学话题我就领教了, 您能够旁征博引, 视野非常宽, 能够把生活道理与我们非常抽象的数学相挂钩, 而且融进了幽默的因素, 象您这样的老师, 那学生肯定是“逃不了”, 他不会远离我们数学而去. 我们数学教学, . 我现在发现, , 他往往, 就擦. ……. 他们甚至还不屑, 我有时去听他们的课的时候, 尽管他们的课我们对部分内容有一些生疏, 我们也能够知道一个大概, 并在课后提一些建议, 但是他们感觉还是无所谓, 您认为怎么样把学生吸引住, 对这些方面您有什么建议? 因为您教了四五十年的书了, 而且课上得非常生动, 您自己的体会是什么?
李:举个例子, 这是我周四要到河海(大学) 的讲稿, 话题是“知错能改的信息编码”. 我就从最古
(为例) 入手, 用烽火戏诸老的信息编码“:烽火台”
侯的有趣故事入手, 这样讲就比较讲究教育方法, 我这个就是“儿童版”的, 不管是数学还是非数学的, 都能够听懂的, 这个编码的背后实际上是群论! 如果你硬邦邦地讲群论, 不把听众吓跑才怪! 1971年, 送去火星的人造卫星, 它从火星送回的照片是不得了的一件大事, 它是怎么完成的呢? 它就是靠这个hamming 编码, 这是群论里面的一个部分, 所以我讲群论的时候是从讲线性编码入手的. 否则一般学生就会感觉很无聊, 其实这不是无聊, 完全有道理的, 有血有肉的.
方:对. 你刚才讲的是教育载体的多样性问题, 即教育内容重要, 这很重要, 这是核心问题, 你刚才说的是抓住了主要问题, 还有一个问题是, 同样的内容, 老师讲解的方法也有差异的.
李:这个当然是第二部分了, 第一部分你先要材料好了! 第二个才是你的烹饪技术! 你材料不好, 技术好, 怎么搭也是有问题呀!
方:对, 巧媳妇难煮无米之炊. 我感兴趣的还是您的教学艺术, 您对数学老师是不是在教学方
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2 李先生谈话给我们的启示
面开动思维上提一些建议? 因为您在教学中能够很好地借鉴中国古代的一些东西.
李:(笑) 烽火台呀! 儿童版呀!
方:对呀! 能够让大家感觉到通俗易懂. 现在我们的一些老师就是不太注重这些.
李:是这样子, 现在中国的新课程改革, 很多高等数学走进中学, 如果教的方法就是根据大学方法教, 那就难了! 而且就不容易吸收, 但是, 是可以把它讲好! 有的老师下了很多功夫, 就教得比较通俗易懂, 用学生的语言来(组织教学) . 就是要让“小提琴讲中国话”, 这是我在西安遇到从重庆来的一个老师讲的一个例子. 我有一套教微积分的讲稿, , 的微积分”, (ε-δ语言, 几年下来, 结果发现学生很好理解, 也没有影响那些需要在数学上进一步发展的学生. 这个跟烧菜一样, 我这个厨师几十年就是要用这个材料, 没有这个材料怎么能够烧得出来? 你如果还是用原来材料烧菜, 尽管味道很地道, 但顾客不喜欢, 他们欣赏不了! 怎么办? 现在是一个选择的问题. 一是不改, 就被顾客解雇抛弃; 另一种就是改, 生存! 那你选择哪一个? 假如你选不改, 那是你的选择, 无话可说;
δ搞给我选, 我选生存之路. 你或许会说“:你把ε、
不见了, 我以后怎么过日子? ”话说回来, 假如你的
δ, 所学生以后不当数学家的话, 他根本不需要ε、以你日子还是好过的. 好, 你以后要当数学家, 我
δ, 我(这样教) 现在不教你, 你以后迟早要接触ε、
会害了你一生吗? 没有, 怎么没有呢? 你需要证明的, 有兴趣的话你就去证明, 我也会针对学生情况提出个别乃至全体的要求并给予必要的指导或教学的. 又回到我刚才讲的那句话:你要面铺得宽, 里面一定会有人才出来. 所以, 为什么世界选美的都是大国选中的? 它人多! 新加坡小姐要选
(人数) 太中的概率不是太高! 因为它的“底盘”小.
方:谢谢您! 听了您的话, 我觉得视野开阔了很多!
李:不客气.
李秉彝先生祖籍数学家故乡———浙江温州, 他本人也是一位数学家, 他曾经担任东南亚数学会主席, 同时, 他很关心数学教育, 教学水平非常高, 曾经担任过国际数学教育委员会副主席的职务. 这位数学及数学教育界的精英关于数学精英教育的谈话给笔者很多的启发, 相信读者也有同感.
2. 1 大众化普及教育是精英教育的重要手段
:把! , 数学, 从某种程度上, , 数学精“数学苗子”. 实际上, 很多数学家早期的数学才能表现并不显眼, 华罗庚小学数学成绩不及格, 丘成桐初中数学成绩也不理想, 但他们后来在数学上所做的贡献是他们当时的数学教师所无法想象的, 倒是一些我们认为早期在数学上似乎很有天赋的“数学竞赛苗子”, 后期在数学上的表现往往让人们大跌眼镜!
值得指出的是, 由于应试教育必须要考数学, 所有的中小学生都要学习数学, 这给我们造成学习数学人数“底盘很大”的错觉. 实际上, 如果学生认为学习数学是为了应付考试, 往往抱着应付的心态学习数学, 在他们的眼里, 数学只是在考试的时候才有用, 一旦通过考试, 就将数学抛弃. 09年6月高考前夕, 某校学生集体撕废练习卷(按常理, 里面的数学试卷肯定不少) 抛向空中形成茫茫
①
“雪花”就是一个让人感到心寒的例子. 因此, 我们不仅要看表面上学习数学的人数, 而应该看学
习数学有兴趣的人数, 大众化普及教育必须从培养学生学习数学兴趣入手, 只有这样才能把学习数学的“底盘”真正做大. 以往, 我们提倡数学大众教育, 似乎不提精英数学教育, 按照李秉彝先生的说法, 实际上提倡数学大众教育是精英教育的一个很重要的措施, 大众数学教育是精英教育的重要手段, 精英教育并非只是关注我们似乎已经盯准的几个“数学希望
①德州之窗综合. 高考结束 考生撕书发泄. http :∥
news. dzwindows. com/ht ml/2009-06-11/10232431. sht ml
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苗子”, 而是要求眼界更广一些, 将来出现的“黑马”也应在我们的“情理之中”. 2. 2 学科精英教育不能忽略学生的身心健康
我们经常发现一些“早慧”的孩子, 从我国历史发展来看“, 早慧”的孩子被爱才心切的大人捧杀的概率非常大, 由于环境的变化及这些孩子的身心发展不协调, 大人愿望良好的一些举措往往成为这些“早慧”孩子的“杀手”. 比如:大人情不自禁而不分场合的表扬, 把这些孩子弄到一个具有不适合他们发展的更强竞争力环境、不注意他们的青春期身心变化与学习的冲突、……, 等. 就数学这一学科而言, 学生表现出来的早慧往往是较早地“适应”, . 皆知, 1) ; (2) 具体的数字及运算到抽象的代数系统; (3) 静态的代数式及方程到动态及联系的函数; (4) 具有现实世界直观模型的四维以下的几何系统到高于三维的抽象向量空间系统; (5) 确定的现象到不确定的随机现象; (6) 具有直观现象支撑的演绎系统到似乎违背直观的纯粹假设而形成的演绎系统; (7) 纯粹演绎并逐级抽象的过程, 期间还夹杂着很高技巧, 并包括对个体的洞察力、想象力以及各种数学思想方法掌握和领悟的挑战, 等等. 一些在数学上早慧的孩子的学科智力上的超常发展与一般规律的心理、生理发展的不协调以及与社会按照一般人的思维、心理、生理发展的群体办学模式的冲突, 往往使得他们因无法自身解决的种种矛盾而使他们在数学学科上的发展半途“夭折”.
有经验的数学教师往往有这样的体会:一些学生在某个时期的数学思维非常活跃, 但过了一段时期, 他们的脑子却忽然不怎么灵活. 我们认为, 出现这样的情况的原因非常复杂, 主要有这么几个可能存在的因素:思维发展、心理发展、生理变化、教学手段、环境因素、数学内容等, 这仅是我们的臆测并无确凿证据的因素, 但学生的身心变化与数学内容的变化不协调是很可能的决定性因素. 我们以前对学生所表现出来的早慧现象, 由于过多关注智商而对情商缺乏足够重视的教训是我们所必须吸取的, 求才心切而往往拔苗助长, 李秉彝先生所说的“:他们将来要服务于社会呀! ”、“他
们不能老是抬头, 也要学会低头. ”是要好好让我们反思.
2. 3 开放与宽容是精英教育不可忽视的心态
爱才之心人皆有之, 长期接触数学使得我们对数学产生了特殊的情感, 寻找“接班人”的潜意识使得我们对数学表现出色的学生在心理天平上产生了一定的倾斜, 但我们切不可忘记, 学生并非与我们一样对数学有如此长的时间接触, 况且, 他们面临着的是众多的学科, 数学仅为这些众多学科之一, , . 上时期, 吸引这些数学精英也是社会大环境的需要, 按照李秉彝先生的说法, 他们“搞的还是数学! ”, 因为计算机本身就是数学的产物. 换句话说, 即使这些学生将来搞与数学“毫不相干”的学科, 比如文学与艺术学科, 那就为这些学科注入了一股“新鲜力量”, 因为这些学科缺乏的往往是懂得数学的人才, 一些跨学科的人才往往就在这些人中产生, 按照李秉彝先生的说法“:培养精英要善于跨界”. 李秉彝先生认为“:我们要开着门进行数学教育, 只有开着门的情况下学生还不愿意离开, 这些学生在数学上才有真正的培养前途. ”2. 4 教学内容及艺术决定着精英教育的成败
数学在不断变化中, 当然, 数学课程改革也必须日新月异, 我们只有通过课程改革来吸引学生, 当然, 数学教学艺术是很重要的“招数”. 这是李秉彝先生在本次谈话中所强调的一个理念, 因材施教也是这位老先生所坚持的观念. 新加坡有一种“特校”, 小学离校考试(相当于我们的小学毕业会考) 多次不及格的学生将在这种“特校”中学习, 这个“特校”的数学与传统数学编排方式截然不同, 按照老先生的介绍, 是以生活情境来编排的数学, 教师是边教学边编写教材, 据说目前教学效果非常好, 很多家长想把孩子放在特校中学习, 李先生开玩笑说“:那, 你的孩子得考不及格! ”尽管属于另一类特殊教育的范畴, 但足以说明新加坡在关注数学特殊教育方面是下了功夫的. 笔者访学的导师张奠宙教授对笔者坦言“:新加坡的‘特校’在我国很可能行不通, 我们以前曾经有过类似的做
(下转第29页)
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数学思维的结晶和概括, 是解决数学问题的灵魂和根本策略. 并且数学思想随着其在不同知识中的体现, 自身的内涵不断丰富. 所以, 对数学思想的渗透要有一个渐进的和反复的过程. 例如极限思想、数形结合思想几乎贯穿了整个高等数学的教学, 讲授时就要做到逐渐渗透与反复运用相结合.
(4) 东西结合———既关注东方(主要指中国)
归不能只是一句口号, 要落实到数学课程的教学中. 数学文化教育作为数学教育改革的方向和新
的教育精神是无可争议的, 应把数学作为科学的数学、文化的数学和教育的数学, 并将“科学———文化———教育”三者有机地融为一体, 以数学的内容、思想、方法、精神来影响学生的思想、观念、行为、态度和精神, 实现“以数学来育人”的目的.
参考文献
的数学文化, 也介绍西方的数学文化. 如在教学
中, 展示我国悠久的数学历史, 如介绍祖氏父子的数学成就、刘徽的割圆术《、九章算术》、《张邱建算经》等, 也介绍国外的数学史, 如微积分的发展历史, 17、18世纪牛顿、等. , ; 发展, , 在追寻历史的同时引导学生比较东西方数学文化的发展, 进一步提高大学生的使命感和责任感.
总之, 我们强调数学教育中“数学文化”的回
(上接第25页)
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法, 但由于家长很要面子, 结果半途夭折. ”相比于精英教育, 我国也存在一些类似的观念问题. 例如, 不合时宜地加压、加量, 让学生超负荷地参加各种数学比赛和集训, 使原本以好奇心为出发点学习数学的意图转化为以好胜心为目的的数学学习, 学生的压力无形中被加大, 最后在没有具体竞赛目标的情况下由于对数学产生畏惧或反感而远离数学. 笔者有一个同事曾经说“:我很喜欢吃苹果, 最近血压有点高, 我爱人听说吃苹果有利于降血压, 于是就规定并督促我每天至少吃一个苹果, 这两天我看到苹果就怕! ”是呀! 假如他爱人不采取规定和督促的方法, 并且已经知道他喜欢吃苹果, 就经常在家里多摆放一些不同品种苹果, 并告诉吃苹果有利于降血压的道理, 这位同事肯定不会对苹果产生反感. 数学精英教育也是如此, 与一些对数学感兴趣的学生多讨论数学问题, 为他们多提供一些适合他们阅读的数学参考书, 少一些强制性集训和学习任务, 这或许是一种比较好的方法. 尽管一些集中培训能够提高学生的竞赛成绩, 但笔者认为, 这种模式如果运用不当, 很可能使得一些数学好苗子“夭折”. 新加坡尽管在国际
奥赛成绩不如中国, 按照人口基数的观点, 新加坡
的“人数底盘”不够大, 但他们在TIMSS 、PISA 上的成绩让全世界刮目相看, 这是我们中国所需要认真思考和研究的.
值得提出的是, 在教学内容的课程改革中, 我们原来的严谨逻辑体系出现了松动现象, 这与美国等一些西方国家正在反思他们的数学课程是否过于松散形成鲜明的对比. 中国数学会教育工作委员会主任张英伯教授在评价中学数学课程标准时说①“中国大陆的国情可能不同于西方国家, 西方的课标是学生掌握知识的最低标准, 学校的课程可以超越这一标准, 还可以有各种精英中学. 但我们国家课标基本上是唯一标准, 因为高考是统一进行的, 无论重点中学还是一般中学, 无论学生的程度如何, 都只能遵循这一标准. 因此, 这个标准就更加不能丢掉系统性和逻辑性, 否则我们将无法培养精英. ”
数学精英教育, 任重而道远.
①易蓉蓉. 基础数学教育改革在路上. 科学时报,2008,1,
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