关于数学新课程的几个为什么——访孙晓天教授
记者：新课程推进以来，很多人发现，中小学数学实验教材的数学味儿不浓了，不那么“数学”了，如一些数学课的标题：小学教材里的“畅游花果山”、中学教材中的“我怎么胖了”，等等，乍一看都不像数学教材了，为什么要把教材写成这样?
孙晓天：这是一个好问题，我已经被多次问到，正好借你给我提供的机会谈谈个人的一些看法。先不说数学教材，先说说数学教育大家弗兰登塔尔。说他是“大家”，是因为国际数学教育领域的最高奖——弗兰登塔尔奖就是以他的名字命名的。他曾经写了一本名为《播种与除草》的书，如果不知道弗兰登塔尔是何许人也，读者一定会认为这是一本农学方面的著作。其实，这是一本分析数学教育基本理论的著作。我想用这个例子说明，一本书也好，一套教材也好，标题虽然重要，关键还在内容，进入内容之后再回头看标题，才能辨出味道。《播种与除草》研究了皮亚杰的“认知结构理论”和布卢姆的“教育目标分类学”等教育学说。这些学说的哪些部分可以在数学教育园地里“播种”，哪些部分要成为数学教育园地里“除草”的对象，弗兰登塔尔都做了相当深入的分析，读过书后再看标题，觉得真是再生动、贴切不过了。所以，诸如“我怎么胖了”之类的课题有没有数学味儿，要通过具体内容判断。
围绕这个问题我想多说几句。教材是课程的载体，数学教材应该是什么样子往往与课程的类型有关，其面貌大体上可由课程类型决定。而课程有学科课程与经验课程之分。
学科课程依托的是数学作为一个学科的科学体系，所以依据学科课程编写的教材通常是由从定义出发的逻辑链条构建而成，一般要分科，且结构清晰，文字简练，叙述清楚，要点鲜明，教师用起来比较顺手。特别是，使用这样的教材比较容易实现教师在备课过程中预先设计的课堂教学目标，短短一节数学课总能按计划完成一个、两个甚至多个具体任务。另一方面，这种教材的面貌一般会比较抽象，题材离学生熟悉的生活比较远，留给学生思考与想象的空间不大，教师虽然好教，但可能对学生有挑战性，他们未必容易学。长期以来，我国的中小学数学教材比较接近这个样式。这个样式也经常成为人们衡量新教材的参照系。
经验课程依托的是学生的经验，所以依据经验课程编写的教材通常是从具体的情景出发。这些情景有的是学生生活中熟知的真情实景，有的可能是学生喜欢的童话、传说、科幻故事中的现成题材，有的就是学生自己已有的数学知识积累。从情景出发的教材通常把新的数学内容隐含在情景后面，把原本在学科课程里条理清晰的不同学科方向和盘托出。在这样的教材里，几何、代数和统计往往相互交织在一起出现。用这样的教材教学，往往是情景中蕴含着什么内容，就讲什么内容，教学过程也是在几何、代数和统计相互交织的情况下进行的。这样的教材一般都题材丰富，读起来引人人胜。由于教学的空间主要依赖于学生对情景问题的理解和分析，离不开学生自己的新发现，所以教起来的难度实在是很大，灌输式的教学方法基本无效，就连启发式教学往往也不起作用。迄今为止，我国还没有出现纯粹的经验课程教材，广大教师甚至许多从事数学教育研究的专业人员对这种类型的教材也很生疏。我曾经系统地研究过一套名为《情景数学》(美国教育百科全书出版社1998年出版) 的教材。这是一套为美国10岁～14岁(介于我国小学高年级和初中低年级之间) 学生编写的、彻头彻尾的经验课程教材。整个教材的标题系统没有一点数学的味道，都是诸如“上上下下”、“影子的故事”、“干和湿”等，从标题几乎看不出这是一套数学教材，如果不深入进去，也无法判断这些标题下面讲的是什么数学内容，只有看完了、读懂了才会为其中精巧的设计而折服。这套教材从头至尾是用一串串的问题组成的，通过一个接一个地提出问题，一步一步引导学生走入由代数、几何和统计构成的数学世界。我通过上网查询，知道了在美国用这套教材的学校还真不少。可惜没有机会亲眼看看他们是怎么用这套教材开展课堂教学的。虽然没有身临其境，可以想象出使甩这套
教材的教学进度一定很慢，课堂秩序一定有点乱，学生思维可能很活跃，但数学的基本功可能很一般，想在一节课里实现一个具体目标，大概基本上做不到。
除了学科型和经验型的课程外，大多数课程介于两者之间。有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的把丰富的情景问题沿数学学科的主线镶嵌与展开，我称这样的课程为“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”，“学科”与“经验”哪个在前，依据各自的分量而定。我认为我国数学新课程实验教材基本上应属于这样的类型。由于这种教材与我们习惯上对数学教材的认识有较大出入，乍一接触可能觉得难以接受。从课程的角度，前面提到的“我怎么胖了”等还是符合课程要求的，教材编写者之所以在这里插入经验的成分，是试图揭示数学就在学生周边的生活中，是努力引起学生学习兴趣的新尝试。至于教材本身做得好不好，要另当别论。我想，即便做得不那么好，这个方向应当提倡，这样的尝试应当鼓励。就我个人而言，我真的希望我们的教材中多一些经验，多一些情景，少一点枯燥，淡化一些体系。因为，对中小学生来讲，数学结构的精巧和体系的美他们尚难体味，喜欢和好奇应该是学生学习数学的基本动力，而包含经验的课程恰与这一点契合。我们目前在数学教材方面遇到的问题不是经验多了，情景多了、滥了，而是这方面的研究不够，缺少积累，情景单薄，运用得也不够贴切，浅尝辄止。特别是有的时候标题虽然十分引人，内容处理却未必那么入胜，多少让人失望。这些都说明，方向虽然没有问题，可我们对什么是经验类课程理解得还不够，对如何构建“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”，无论是研究、理解还是准备等方面都不足。这是今后课程设计者、研究者、教材编写者和广大教师都要共同思考、积极探索的大问题。
说得不少了，我想就这个问题最后明确一下我的观点：
学科课程有利于学生比较迅速地得到结果、介入前沿，对有数学潜质、天赋的学生来说，确实可能通过它感受到数学内在的美，感受到数学的力量，有助于孕育数学精英。无论到什么时候，这种课程我们都是需要的。但学科课程结构清晰的体系，有时候和数学发现、发展的过程不搭界。学生学了不少数学，可除了考试不知道怎么用，也不知道往哪儿用，这多少都与这种课程类型本身有关系。所以这种课程需要的批量不会也不应该太大。
“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”是学科课程与经验课程的良性嫁接，恰好互为补充，应该是我国数学课程的主流。广大教师长期以来积累的经验和实施新课程以来所做的探索在这种类型的数学课程中都有发挥的空间，都可能在传承中凸显新意。对于绝大多数未必以数学或科学为职业目标的学生来说，在保持学科主线的背景下，让教材里多一些经验，多一些情景，时而有不同学科知识交织在一起出现，时而又交织在一起解决现实中遇到的大、中、小问题，将对他们未来无论从事什么工作都是有用的。我们应该鼓励教材编写者多做点这方面的尝试，教师要为如何教好这样的内容多做一些思考，努力摸索出经验。虽然会给教师增加一些负担，可在教学生涯里同样也会留下创新的印记。
记者：不少几何图形的性质在现在的教材里都是用折纸或者其他借助生活经验与动手的方式导入和解释的，减弱了推理、证明的分量，使数学新课程的数学味道减少了很多，数学的难度、深度也随之下降，这会不会造成学生整体的数学水准，特别是基础知识与基本技能的下降?
孙晓天：你说的是几何，其实问的是新课程会不会影响“双基”这么一个敏感问题。“双基”的概念太模糊，很少有人能把它说清楚。我想我们还是说“数学的基本功”吧。说得简单一点，数学的基本功包括“算”。当然这个“算”不仅仅是指数值计算，还包括“式”的推导和演绎推理。在“算”的方面工夫扎实的学生通常在其他各方面都不错，这也能从另一个角度说明“算”的确是数学学习的基本功。通过“算”产生过不少有名的数学家，哪怕是中小学生，通过“算”也可以显示出他们的才华来。不会“算”，在科学上就不会有什么成就。在如何“算”、如何教学生“算”的问题上，我国的数学教育积累了不少经验，
广大教师在实际教学工作中也摸索出不少方法，这些都应肯定，都没有疑义。问题是前面所说的“算”不是数学基本功的全部。学数学还需要有眼光、有想法，要有从现实问题中发现数学问题的能力，有找到解决问题的方法的思路，不然，我们“算”什么呢? 如果都是“算”现成的问题，发现的能力就无论如何也没办法形成了。还有，现实问题中包含的数学信息在很多时候可以用图形、图表、数据的形式表示，所以，把握图形、收集数据、整理信息就成了“算”所必需的前期准备。把上面这些和“算”结合在一起，数学的基本功就比较完整了。我们过去抓“算”没有错，但留给学生思考的空间小，比较忽视提问题和想点子，也不大关注数学和现实生活之间的联系，这就是缺陷了。新课程就是要试图弥补这一缺陷。 再说几何，数学新课程对几何是这样处理的：首先是直观和经验。接着是抽象，最后是演绎。例如，用折纸的办法归纳出几何图形的一些特征、性质，这带有发现的意义；再用演绎推理的方法证明这些性质，练的就是“算”的基本功了。在这里直观和推理两者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。说起来比较容易，但如何在教材层面衔接得自然，使教师和学生都认识到这两种形式之间的联系与区别及其一致性，就不那么容易了。把某种直线形或圆的同一个性质在经验、直观和证明过程中反复出现这件事呈现得自然，分出层次，使学生理解既要折纸又要论证，认识到是在通过两种工夫实现同一个目的，的确是我们在教材编写和教学实践中面临的一个难题。在教学过程中常看到：折纸就像是在做手工，证明就像在“依样画葫芦”，两者都不解渴，都形不成基本功，因此产生数学基础弱化了的想法也就不足为怪。现在不同版本的实验教材都在这方面做出了一些尝试，尚在实验之中，“硬骨头”还在啃。
问题归问题，真正需要考量的是新课程对几何课程的设计有没有问题，因为这关系到我们推进新课程的信心。说到这儿，阐明一下我的观点：新一轮数学课程改革对几何的重视程度是在加强，丝毫没有减弱。在《数学课程标准(实验稿) 》里，采取直观几何和推理几何并重的方针，其中直观部分的触角已经伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容差不多还是完整地呈现。如果说有所弱化，就是具体要求降低了。这种降低主要体现在两个方面，一个是对推理几何的难度有所限制；另外是大大弱化了圆(包括圆与直线之间的关系) 这块内容，希望把相关内容挪到高中去。这个思路，兼顾了数学基本功应当包括的各个方面，我认为是对头的。从你提到的问题看，至少目前这个思路的落实情况不够理想。这其中牵涉到教材应该怎么编、素材应该怎么选、教师应该怎么教等一系列问题，又是一篇大文章，以后有机会可以再细谈。
记者：在公众的眼里，数学通常是比较难的，而且很抽象，那么“大众数学”的提法现实么? 在我们国家能行得通么? 会不会影响数学精英的培养?
孙晓天：你的问题是越来越尖锐了。大众数学首先是一个国际化的提法，不是我们中国人发明的。1984年的国际数学教育大会(ICME5)的主题就是“Mathematics for all”，意思是“为了每一个人的数学”，这大概是我国大众数学的源头。在我们的脑海里，数学似乎需要一点天赋，的确不是每一个人都能学好的，为什么还要提“for all”呢? 这就要提到一些背景了。那时在西方国家尤其是在美国，如果数学学得不好或数学学分修得少，上大学的可能性和选择学校及专业的空间就会大大缩小，从而今后就业的竞争力就连带着大受影响，数学在某种程度上成了职业的筛子。特别是有人把美国的少数族裔升学难、就业难与数学联系在了一起，不“for all”的话数学就失去了教育的公平性。这可就不是小问题了。所以，“Mathematics for all”这一理念的提出，首先考虑的是人的社会生活和职业的需要，强调的是数学和人的生存质量之间的关系，数学教育应该“for all”，一个都不能少。后来我国的学者结合中国的数学教育现实、社会现状，根据中国数学教育发展的需要，开展了具有一定规模的和比较深入、系统的研究，提出了在中国实行区别于精英数学的“大众数学”的概念。这一研究，也成了今天数学新课程的起点。数学新课程主张，数学教育不仅要为学生接受进一步的教育做准备，更重要的是要与每一个学生的生活和职业相关联，要从数学的角度为学生提供成为一个好公民的价值观基础。这样看来，
一方面大众数学的提法是有根据有道理的；另一方面，你提到的这个问题确实可能存在：如果我们的数学课程是每一个人都能应付的数学课程，势必导致整体水平降低，无人冒尖，潜在的专家级人物缺少了成长的沃土，怎么办?!
对这个问题，我倒没那么担心。我的观点是，如果把数学教育比作一间房屋，大众数学就像是这间房屋的地板，是“地板上”的数学。每个人都要先学会在地板上站立、站稳、站牢，每个人都要掌握让自己“站得住”的数学。而地板到天花板之间还有一大块空间。不妨把天花板比作精英数学，只有在地板上站得坚实，加之有愿望、有潜力、有天赋、有条件，才有可能跳起来触摸到天花板。人人都要摸到天花板办不到，有人想摸并且能摸到，就一定要为他留出足够的空间和可能性。如果这样思考，大众数学与精英数学之间的关系就和谐了：大众数学实际上是精英数学的沃土，大众在满足了生存需要的基础上都是未来数学家、科学家的庞大后备军。所以，数学越大众，学数学的人越多，才越有可能有尖子冒出来，在“地板”上站功最好的那拨儿人，才有可能一跃而起去摘取那女王皇冠上的明珠。看来，先要有大众数学的基础，然后才有精英数学。当然在大众数学与精英数学的和谐共进方面，我们仍然是任重而道远。现在似乎大众数学的空间已经拓展开了，精英数学的空间尚待拓展，只要在机制上稍做调整，就可能得到比较好的解决。
总之，无论数学也好，物理也好，推而广之，无论国家的政策也好，法规也好，出发点都应该是为大众的，都应该首先考虑大众的基本需要而不是小众的利益。我们不能指望每个适龄青年都升入高中、大学，但我们希望那些从初中、高中毕业回家务工、务农，哪怕是当放牛娃的孩子，他们在学校里学的都没有自学! 这一点应当是数学教育目标的底线。 说了不少，还是言犹未尽。你的问题都是好问题。每个问题都值得写一本书，但这样的书最好不是由理论家去写，而是由广大教师通过自己的亲身实践，用自己的体会去写。我希望广大数学教师对实施数学新课程中遇到的问题，多想想为什么，多思考该怎么办，多关注学生的反应和取得的进步，可能有些问题的答案也就明了了。
我说的这些纯粹是个人的看法，目的是与大家交流，仅供参考吧。
关于数学新课程的几个为什么——访孙晓天教授
记者：新课程推进以来，很多人发现，中小学数学实验教材的数学味儿不浓了，不那么“数学”了，如一些数学课的标题：小学教材里的“畅游花果山”、中学教材中的“我怎么胖了”，等等，乍一看都不像数学教材了，为什么要把教材写成这样?
孙晓天：这是一个好问题，我已经被多次问到，正好借你给我提供的机会谈谈个人的一些看法。先不说数学教材，先说说数学教育大家弗兰登塔尔。说他是“大家”，是因为国际数学教育领域的最高奖——弗兰登塔尔奖就是以他的名字命名的。他曾经写了一本名为《播种与除草》的书，如果不知道弗兰登塔尔是何许人也，读者一定会认为这是一本农学方面的著作。其实，这是一本分析数学教育基本理论的著作。我想用这个例子说明，一本书也好，一套教材也好，标题虽然重要，关键还在内容，进入内容之后再回头看标题，才能辨出味道。《播种与除草》研究了皮亚杰的“认知结构理论”和布卢姆的“教育目标分类学”等教育学说。这些学说的哪些部分可以在数学教育园地里“播种”，哪些部分要成为数学教育园地里“除草”的对象，弗兰登塔尔都做了相当深入的分析，读过书后再看标题，觉得真是再生动、贴切不过了。所以，诸如“我怎么胖了”之类的课题有没有数学味儿，要通过具体内容判断。
围绕这个问题我想多说几句。教材是课程的载体，数学教材应该是什么样子往往与课程的类型有关，其面貌大体上可由课程类型决定。而课程有学科课程与经验课程之分。
学科课程依托的是数学作为一个学科的科学体系，所以依据学科课程编写的教材通常是由从定义出发的逻辑链条构建而成，一般要分科，且结构清晰，文字简练，叙述清楚，要点鲜明，教师用起来比较顺手。特别是，使用这样的教材比较容易实现教师在备课过程中预先设计的课堂教学目标，短短一节数学课总能按计划完成一个、两个甚至多个具体任务。另一方面，这种教材的面貌一般会比较抽象，题材离学生熟悉的生活比较远，留给学生思考与想象的空间不大，教师虽然好教，但可能对学生有挑战性，他们未必容易学。长期以来，我国的中小学数学教材比较接近这个样式。这个样式也经常成为人们衡量新教材的参照系。
经验课程依托的是学生的经验，所以依据经验课程编写的教材通常是从具体的情景出发。这些情景有的是学生生活中熟知的真情实景，有的可能是学生喜欢的童话、传说、科幻故事中的现成题材，有的就是学生自己已有的数学知识积累。从情景出发的教材通常把新的数学内容隐含在情景后面，把原本在学科课程里条理清晰的不同学科方向和盘托出。在这样的教材里，几何、代数和统计往往相互交织在一起出现。用这样的教材教学，往往是情景中蕴含着什么内容，就讲什么内容，教学过程也是在几何、代数和统计相互交织的情况下进行的。这样的教材一般都题材丰富，读起来引人人胜。由于教学的空间主要依赖于学生对情景问题的理解和分析，离不开学生自己的新发现，所以教起来的难度实在是很大，灌输式的教学方法基本无效，就连启发式教学往往也不起作用。迄今为止，我国还没有出现纯粹的经验课程教材，广大教师甚至许多从事数学教育研究的专业人员对这种类型的教材也很生疏。我曾经系统地研究过一套名为《情景数学》(美国教育百科全书出版社1998年出版) 的教材。这是一套为美国10岁～14岁(介于我国小学高年级和初中低年级之间) 学生编写的、彻头彻尾的经验课程教材。整个教材的标题系统没有一点数学的味道，都是诸如“上上下下”、“影子的故事”、“干和湿”等，从标题几乎看不出这是一套数学教材，如果不深入进去，也无法判断这些标题下面讲的是什么数学内容，只有看完了、读懂了才会为其中精巧的设计而折服。这套教材从头至尾是用一串串的问题组成的，通过一个接一个地提出问题，一步一步引导学生走入由代数、几何和统计构成的数学世界。我通过上网查询，知道了在美国用这套教材的学校还真不少。可惜没有机会亲眼看看他们是怎么用这套教材开展课堂教学的。虽然没有身临其境，可以想象出使甩这套
教材的教学进度一定很慢，课堂秩序一定有点乱，学生思维可能很活跃，但数学的基本功可能很一般，想在一节课里实现一个具体目标，大概基本上做不到。
除了学科型和经验型的课程外，大多数课程介于两者之间。有的是在抽象的学科主线中不断闪现出内容丰富的情景问题，有的把丰富的情景问题沿数学学科的主线镶嵌与展开，我称这样的课程为“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”，“学科”与“经验”哪个在前，依据各自的分量而定。我认为我国数学新课程实验教材基本上应属于这样的类型。由于这种教材与我们习惯上对数学教材的认识有较大出入，乍一接触可能觉得难以接受。从课程的角度，前面提到的“我怎么胖了”等还是符合课程要求的，教材编写者之所以在这里插入经验的成分，是试图揭示数学就在学生周边的生活中，是努力引起学生学习兴趣的新尝试。至于教材本身做得好不好，要另当别论。我想，即便做得不那么好，这个方向应当提倡，这样的尝试应当鼓励。就我个人而言，我真的希望我们的教材中多一些经验，多一些情景，少一点枯燥，淡化一些体系。因为，对中小学生来讲，数学结构的精巧和体系的美他们尚难体味，喜欢和好奇应该是学生学习数学的基本动力，而包含经验的课程恰与这一点契合。我们目前在数学教材方面遇到的问题不是经验多了，情景多了、滥了，而是这方面的研究不够，缺少积累，情景单薄，运用得也不够贴切，浅尝辄止。特别是有的时候标题虽然十分引人，内容处理却未必那么入胜，多少让人失望。这些都说明，方向虽然没有问题，可我们对什么是经验类课程理解得还不够，对如何构建“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”，无论是研究、理解还是准备等方面都不足。这是今后课程设计者、研究者、教材编写者和广大教师都要共同思考、积极探索的大问题。
说得不少了，我想就这个问题最后明确一下我的观点：
学科课程有利于学生比较迅速地得到结果、介入前沿，对有数学潜质、天赋的学生来说，确实可能通过它感受到数学内在的美，感受到数学的力量，有助于孕育数学精英。无论到什么时候，这种课程我们都是需要的。但学科课程结构清晰的体系，有时候和数学发现、发展的过程不搭界。学生学了不少数学，可除了考试不知道怎么用，也不知道往哪儿用，这多少都与这种课程类型本身有关系。所以这种课程需要的批量不会也不应该太大。
“学科为主的经验课程”或“经验为主的学科课程”是学科课程与经验课程的良性嫁接，恰好互为补充，应该是我国数学课程的主流。广大教师长期以来积累的经验和实施新课程以来所做的探索在这种类型的数学课程中都有发挥的空间，都可能在传承中凸显新意。对于绝大多数未必以数学或科学为职业目标的学生来说，在保持学科主线的背景下，让教材里多一些经验，多一些情景，时而有不同学科知识交织在一起出现，时而又交织在一起解决现实中遇到的大、中、小问题，将对他们未来无论从事什么工作都是有用的。我们应该鼓励教材编写者多做点这方面的尝试，教师要为如何教好这样的内容多做一些思考，努力摸索出经验。虽然会给教师增加一些负担，可在教学生涯里同样也会留下创新的印记。
记者：不少几何图形的性质在现在的教材里都是用折纸或者其他借助生活经验与动手的方式导入和解释的，减弱了推理、证明的分量，使数学新课程的数学味道减少了很多，数学的难度、深度也随之下降，这会不会造成学生整体的数学水准，特别是基础知识与基本技能的下降?
孙晓天：你说的是几何，其实问的是新课程会不会影响“双基”这么一个敏感问题。“双基”的概念太模糊，很少有人能把它说清楚。我想我们还是说“数学的基本功”吧。说得简单一点，数学的基本功包括“算”。当然这个“算”不仅仅是指数值计算，还包括“式”的推导和演绎推理。在“算”的方面工夫扎实的学生通常在其他各方面都不错，这也能从另一个角度说明“算”的确是数学学习的基本功。通过“算”产生过不少有名的数学家，哪怕是中小学生，通过“算”也可以显示出他们的才华来。不会“算”，在科学上就不会有什么成就。在如何“算”、如何教学生“算”的问题上，我国的数学教育积累了不少经验，
广大教师在实际教学工作中也摸索出不少方法，这些都应肯定，都没有疑义。问题是前面所说的“算”不是数学基本功的全部。学数学还需要有眼光、有想法，要有从现实问题中发现数学问题的能力，有找到解决问题的方法的思路，不然，我们“算”什么呢? 如果都是“算”现成的问题，发现的能力就无论如何也没办法形成了。还有，现实问题中包含的数学信息在很多时候可以用图形、图表、数据的形式表示，所以，把握图形、收集数据、整理信息就成了“算”所必需的前期准备。把上面这些和“算”结合在一起，数学的基本功就比较完整了。我们过去抓“算”没有错，但留给学生思考的空间小，比较忽视提问题和想点子，也不大关注数学和现实生活之间的联系，这就是缺陷了。新课程就是要试图弥补这一缺陷。 再说几何，数学新课程对几何是这样处理的：首先是直观和经验。接着是抽象，最后是演绎。例如，用折纸的办法归纳出几何图形的一些特征、性质，这带有发现的意义；再用演绎推理的方法证明这些性质，练的就是“算”的基本功了。在这里直观和推理两者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。说起来比较容易，但如何在教材层面衔接得自然，使教师和学生都认识到这两种形式之间的联系与区别及其一致性，就不那么容易了。把某种直线形或圆的同一个性质在经验、直观和证明过程中反复出现这件事呈现得自然，分出层次，使学生理解既要折纸又要论证，认识到是在通过两种工夫实现同一个目的，的确是我们在教材编写和教学实践中面临的一个难题。在教学过程中常看到：折纸就像是在做手工，证明就像在“依样画葫芦”，两者都不解渴，都形不成基本功，因此产生数学基础弱化了的想法也就不足为怪。现在不同版本的实验教材都在这方面做出了一些尝试，尚在实验之中，“硬骨头”还在啃。
问题归问题，真正需要考量的是新课程对几何课程的设计有没有问题，因为这关系到我们推进新课程的信心。说到这儿，阐明一下我的观点：新一轮数学课程改革对几何的重视程度是在加强，丝毫没有减弱。在《数学课程标准(实验稿) 》里，采取直观几何和推理几何并重的方针，其中直观部分的触角已经伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容差不多还是完整地呈现。如果说有所弱化，就是具体要求降低了。这种降低主要体现在两个方面，一个是对推理几何的难度有所限制；另外是大大弱化了圆(包括圆与直线之间的关系) 这块内容，希望把相关内容挪到高中去。这个思路，兼顾了数学基本功应当包括的各个方面，我认为是对头的。从你提到的问题看，至少目前这个思路的落实情况不够理想。这其中牵涉到教材应该怎么编、素材应该怎么选、教师应该怎么教等一系列问题，又是一篇大文章，以后有机会可以再细谈。
记者：在公众的眼里，数学通常是比较难的，而且很抽象，那么“大众数学”的提法现实么? 在我们国家能行得通么? 会不会影响数学精英的培养?
孙晓天：你的问题是越来越尖锐了。大众数学首先是一个国际化的提法，不是我们中国人发明的。1984年的国际数学教育大会(ICME5)的主题就是“Mathematics for all”，意思是“为了每一个人的数学”，这大概是我国大众数学的源头。在我们的脑海里，数学似乎需要一点天赋，的确不是每一个人都能学好的，为什么还要提“for all”呢? 这就要提到一些背景了。那时在西方国家尤其是在美国，如果数学学得不好或数学学分修得少，上大学的可能性和选择学校及专业的空间就会大大缩小，从而今后就业的竞争力就连带着大受影响，数学在某种程度上成了职业的筛子。特别是有人把美国的少数族裔升学难、就业难与数学联系在了一起，不“for all”的话数学就失去了教育的公平性。这可就不是小问题了。所以，“Mathematics for all”这一理念的提出，首先考虑的是人的社会生活和职业的需要，强调的是数学和人的生存质量之间的关系，数学教育应该“for all”，一个都不能少。后来我国的学者结合中国的数学教育现实、社会现状，根据中国数学教育发展的需要，开展了具有一定规模的和比较深入、系统的研究，提出了在中国实行区别于精英数学的“大众数学”的概念。这一研究，也成了今天数学新课程的起点。数学新课程主张，数学教育不仅要为学生接受进一步的教育做准备，更重要的是要与每一个学生的生活和职业相关联，要从数学的角度为学生提供成为一个好公民的价值观基础。这样看来，
一方面大众数学的提法是有根据有道理的；另一方面，你提到的这个问题确实可能存在：如果我们的数学课程是每一个人都能应付的数学课程，势必导致整体水平降低，无人冒尖，潜在的专家级人物缺少了成长的沃土，怎么办?!
对这个问题，我倒没那么担心。我的观点是，如果把数学教育比作一间房屋，大众数学就像是这间房屋的地板，是“地板上”的数学。每个人都要先学会在地板上站立、站稳、站牢，每个人都要掌握让自己“站得住”的数学。而地板到天花板之间还有一大块空间。不妨把天花板比作精英数学，只有在地板上站得坚实，加之有愿望、有潜力、有天赋、有条件，才有可能跳起来触摸到天花板。人人都要摸到天花板办不到，有人想摸并且能摸到，就一定要为他留出足够的空间和可能性。如果这样思考，大众数学与精英数学之间的关系就和谐了：大众数学实际上是精英数学的沃土，大众在满足了生存需要的基础上都是未来数学家、科学家的庞大后备军。所以，数学越大众，学数学的人越多，才越有可能有尖子冒出来，在“地板”上站功最好的那拨儿人，才有可能一跃而起去摘取那女王皇冠上的明珠。看来，先要有大众数学的基础，然后才有精英数学。当然在大众数学与精英数学的和谐共进方面，我们仍然是任重而道远。现在似乎大众数学的空间已经拓展开了，精英数学的空间尚待拓展，只要在机制上稍做调整，就可能得到比较好的解决。
总之，无论数学也好，物理也好，推而广之，无论国家的政策也好，法规也好，出发点都应该是为大众的，都应该首先考虑大众的基本需要而不是小众的利益。我们不能指望每个适龄青年都升入高中、大学，但我们希望那些从初中、高中毕业回家务工、务农，哪怕是当放牛娃的孩子，他们在学校里学的都没有自学! 这一点应当是数学教育目标的底线。 说了不少，还是言犹未尽。你的问题都是好问题。每个问题都值得写一本书，但这样的书最好不是由理论家去写，而是由广大教师通过自己的亲身实践，用自己的体会去写。我希望广大数学教师对实施数学新课程中遇到的问题，多想想为什么，多思考该怎么办，多关注学生的反应和取得的进步，可能有些问题的答案也就明了了。
我说的这些纯粹是个人的看法，目的是与大家交流，仅供参考吧。