渐近线的欧氏定义、射影定义一致性证明及求法的多样性
摘 要:通过二次曲线的欧氏定义和射影定义,以及两定义一致性
的证明,并且从不同的方法和角度介绍了二次曲线渐进线的几种求
法。
关键词:渐近线 定义 切线 方程
中图分类号:g633.3 文献标识码:a 文章编
号:1673-9795(2012)03(a)-0096-02
1 几种简单曲线的渐近线
1.1 的渐进线
分析:由渐近线的定义及的图形
分析可知,当时,,即
当时,的图像无限靠近轴,即
轴为的一条渐近线;同理,轴也为的一条渐近线。
1.2 (,)的渐近线
分析:由《中学几何》对圆锥曲线的了解,若曲线的上的某点到某
直线的距离为,当点趋向无穷远时能趋近于0,则这条曲线称为该曲
线的渐近线。若把曲线看成点的轨迹,就要证明动点到直线的距离
越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线的距离表示出来,即
通常所说的目标函数,然后看它是否趋向于零。因此,我们把倾斜的
线段的计算,转化成竖直线段的计算(如图1)。
先取双曲线第一象限内的部分进行整理,这部分方程可写为=(),
设是它上面的点,是直线=上与有相同横坐标的点,即=。为了让||更
简单,即把绝对值符号去掉,又进行了一个估计,与y的大小问题。
由===,
||=-=(-)
=
=
对于目标函数||来说,当逐渐增大时,||逐渐减小,无限增大,+也
无限增大,||接近于,而||是△的斜边,||>||也随之接近于,即证明
了,双曲线在第一象限部分的射线的下放逐渐接近于射线。在其他
象限内也可证明类似的情况。
其渐近线方程则为。
2 渐近线的欧氏定义、射影定义及一致性的证明
2.1 欧氏定义
定义1.1对于二次曲线
(1)
满足的方向称为的渐近方向。
定义1.2通过二次曲线的中心,且以渐进方向为方向的直线叫做这
二次曲线的渐近线。
2.2 射影定义
定义1.3过二次曲线上的无穷远点的切线,如果不是无穷远直线,
则称为二次曲线的渐近线。
定义1.4渐近线为曲线上的无穷远点与中心的连线。
定义1.5渐近线是自共轭直径。
定义1.6渐近线为通过二次曲线中心的切线。
2.3 一致性证明
证明:设二次曲线的渐近线l为
其中为渐近方向,为二次曲线中心且为正常点,则渐近线与二次曲
线交点满足
。
由于
而,则渐近线与二次曲线在欧氏平面上没有交点。但当→∞时,为
上的无穷远点,且
+。
可知渐近线与二次曲线在无穷远处有交点。
又因为
δ=
成立,说明渐近线是二次曲线在无穷远点处的切线,从而说明渐近
线的欧氏定义和射影定义一致。
3 渐近线的几种求法
3.1 利用射影定义的求法
根据射影几何中切点与切线的关系恰好是极点与极线的关系及渐
近线的射影定义,利用求二次曲线无穷远点的极线即可求得渐近线
方程。
将方程化成二次曲线齐次坐标方程为
二次曲线上一点的极线方程为
(2)
而渐近线是二次曲线上无穷远点处相切的直线,所以为无穷远点,
其中为渐近方向,故渐近线方程为
。
即
。
3.2 利用中心和渐近方向的求法
将方程(1)化成二次曲线齐次坐标方程(2)的形式,只需求得中心
和渐近方向,就能确定渐近线的方程。
由于二次曲线与无穷远直线的交点满足方程
。(4)
方程(4)表示两条相交于原点的直线。因为这两条直线与渐近线又
有公共的无穷远点,所以这两直线平行于渐近方向。将方程(1)化为
非齐次坐标方程,得
。
又由于渐近线经过中心,所以,若二次曲线的中心的非齐次坐标为,
则渐近线的非齐次坐标方程为
这里的中心坐标可以由公式,求得(其中分别是的代数余子式)。
3.3 利用不变量的求法
由前面知识可知,二次曲线过其中心的渐近线方程为(5)式。经过
配方容易得
φ=---。
而x0和y0又可表示为
,-。
代入其中
-+。
记。
因此,二次曲线的渐近线方程为-,
其中
,。
3.4 利用中心切线的求法
根据二次曲线的切线定义为与曲线仅交于一点的直线这一概念,
可得二次曲线通过中心的切线为
这里
而为中心,所以有
(),()。
从而()。将的坐标代入,得
。
又,于是有
||·=||2。
由于,所以渐近线方程为
或写成+λ(λ=-)。
若令,有
或λ(λ=-).
参考文献
[1] 吕林根.许子道.解析几何[m].北京:高等教育出版社,1987.
[2] 方得植,等.射影几何[m].北京:高等教育出版社,1985.
渐近线的欧氏定义、射影定义一致性证明及求法的多样性
摘 要:通过二次曲线的欧氏定义和射影定义,以及两定义一致性
的证明,并且从不同的方法和角度介绍了二次曲线渐进线的几种求
法。
关键词:渐近线 定义 切线 方程
中图分类号:g633.3 文献标识码:a 文章编
号:1673-9795(2012)03(a)-0096-02
1 几种简单曲线的渐近线
1.1 的渐进线
分析:由渐近线的定义及的图形
分析可知,当时,,即
当时,的图像无限靠近轴,即
轴为的一条渐近线;同理,轴也为的一条渐近线。
1.2 (,)的渐近线
分析:由《中学几何》对圆锥曲线的了解,若曲线的上的某点到某
直线的距离为,当点趋向无穷远时能趋近于0,则这条曲线称为该曲
线的渐近线。若把曲线看成点的轨迹,就要证明动点到直线的距离
越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线的距离表示出来,即
通常所说的目标函数,然后看它是否趋向于零。因此,我们把倾斜的
线段的计算,转化成竖直线段的计算(如图1)。
先取双曲线第一象限内的部分进行整理,这部分方程可写为=(),
设是它上面的点,是直线=上与有相同横坐标的点,即=。为了让||更
简单,即把绝对值符号去掉,又进行了一个估计,与y的大小问题。
由===,
||=-=(-)
=
=
对于目标函数||来说,当逐渐增大时,||逐渐减小,无限增大,+也
无限增大,||接近于,而||是△的斜边,||>||也随之接近于,即证明
了,双曲线在第一象限部分的射线的下放逐渐接近于射线。在其他
象限内也可证明类似的情况。
其渐近线方程则为。
2 渐近线的欧氏定义、射影定义及一致性的证明
2.1 欧氏定义
定义1.1对于二次曲线
(1)
满足的方向称为的渐近方向。
定义1.2通过二次曲线的中心,且以渐进方向为方向的直线叫做这
二次曲线的渐近线。
2.2 射影定义
定义1.3过二次曲线上的无穷远点的切线,如果不是无穷远直线,
则称为二次曲线的渐近线。
定义1.4渐近线为曲线上的无穷远点与中心的连线。
定义1.5渐近线是自共轭直径。
定义1.6渐近线为通过二次曲线中心的切线。
2.3 一致性证明
证明:设二次曲线的渐近线l为
其中为渐近方向,为二次曲线中心且为正常点,则渐近线与二次曲
线交点满足
。
由于
而,则渐近线与二次曲线在欧氏平面上没有交点。但当→∞时,为
上的无穷远点,且
+。
可知渐近线与二次曲线在无穷远处有交点。
又因为
δ=
成立,说明渐近线是二次曲线在无穷远点处的切线,从而说明渐近
线的欧氏定义和射影定义一致。
3 渐近线的几种求法
3.1 利用射影定义的求法
根据射影几何中切点与切线的关系恰好是极点与极线的关系及渐
近线的射影定义,利用求二次曲线无穷远点的极线即可求得渐近线
方程。
将方程化成二次曲线齐次坐标方程为
二次曲线上一点的极线方程为
(2)
而渐近线是二次曲线上无穷远点处相切的直线,所以为无穷远点,
其中为渐近方向,故渐近线方程为
。
即
。
3.2 利用中心和渐近方向的求法
将方程(1)化成二次曲线齐次坐标方程(2)的形式,只需求得中心
和渐近方向,就能确定渐近线的方程。
由于二次曲线与无穷远直线的交点满足方程
。(4)
方程(4)表示两条相交于原点的直线。因为这两条直线与渐近线又
有公共的无穷远点,所以这两直线平行于渐近方向。将方程(1)化为
非齐次坐标方程,得
。
又由于渐近线经过中心,所以,若二次曲线的中心的非齐次坐标为,
则渐近线的非齐次坐标方程为
这里的中心坐标可以由公式,求得(其中分别是的代数余子式)。
3.3 利用不变量的求法
由前面知识可知,二次曲线过其中心的渐近线方程为(5)式。经过
配方容易得
φ=---。
而x0和y0又可表示为
,-。
代入其中
-+。
记。
因此,二次曲线的渐近线方程为-,
其中
,。
3.4 利用中心切线的求法
根据二次曲线的切线定义为与曲线仅交于一点的直线这一概念,
可得二次曲线通过中心的切线为
这里
而为中心,所以有
(),()。
从而()。将的坐标代入,得
。
又,于是有
||·=||2。
由于,所以渐近线方程为
或写成+λ(λ=-)。
若令,有
或λ(λ=-).
参考文献
[1] 吕林根.许子道.解析几何[m].北京:高等教育出版社,1987.
[2] 方得植,等.射影几何[m].北京:高等教育出版社,1985.