基于分形理论的北京形态结构分析
作者：肖汉，李志鹏，徐金泽
指导老师：明冬萍
（中国地质大学（北京）信息工程学院，北京 海淀 100083）
摘要
北京城市形态结构分析对北京市的长远规划具有重要意义。本文基于分形理论，运用GIS空间分析等方法，对北京城市形态结构及变化进行了定量的分析与评价，预测了北京市未来城市发展范围。首先，利用TM遥感影像监督分类，提取1992、1999和2006年北京市建筑用地面积，然后以城市中心为圆心，取几十个半径递增的同心圆进行剪裁，得出各个同心圆内的城市建筑用地面积。接着通过反复试验确定双标度区并得到城市建筑用地面积折线图，并对面积进行基于乘幂关系的函数拟合，拟合优度R2≥0.995。并得到分维数D以及北京市范围及其变化。在得到这些数据后，本文进行了深入的分析以解释这些现象，同时也对北京市与其他大城市的城市形态进行对比。最后，本文对北京市的城市建筑用地的未来发展以及可能出现的情况作出预测。联系人：肖汉，联系电话：[1**********]，E-Mail：[email protected]。
关键词
分形理论；分维；北京；城市形态；TM卫片；监督分类；双标度区；拟合优度
1 引言
北京城市形态结构分析对北京市的长远规划具有重要意义，分形是大自然的优化结构，运用分形思想规划城市对人居环境的改良和人地关系的协调也有着重要意义。对于城市形态的分维，通常有面积-周长关系(Area-Perimeter Relation)法、盒子计数法(Box Counting Method)以及面积-半径关系(Area-Radius Relation)法三种。目前看来，面积-半径关系有助于从动态的角度刻画城市生长与形态[1]。本次研究就是采用这一方法，做出同心圆编号-面积折线图并拟合出乘幂函数求出分维数。这种方法在作图时也可以采用面积-半径双对数折线拟合线性函数，斜率即为分维数。这种方法给出的维数一般是从统计自相似的角度定义的，所得到的维数俗称半径维数[2]。
本次研究应用数理模型——分形理论对不同年份北京市的城市形态的发展进行评估，利用提取不同半径范围内的城市建筑面积拟合函数，首先通过函数方程判定城市分形特征，即确定城市是否存在分形。其次通过函数图像进行评价和预测，对不同年份计算出的分维指数进行分析，同时也对城市未来发展的变化及趋势做出判断。
2 基于分形理论的城市形态研究方法
2.1 城市形态分形理论
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念最早是由美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在1967年首先提出的。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则，它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性，分形理论以分维作为的定量表征和基本参数[3]。Batty在1985年开创了分形城市形态研究[4]，他和Longley研究了城市边界和城市土地利用形态分形[5][6]。
地学中的分形方法就是用某种尺度n对空间现象或特征进行空间度量，根据尺度变化得到相应的测度A(n)计算结果（在本次研究中为城市建筑用地面积）。改变尺度n（在本次研究
中为同心圆编号），测度A(n)也会随之改变。如果测度、尺度之间服从如下标度不变规律：A(kn)∝k±αA(n)，则可认为该空间现象具有分形性质，即其空间结构特征不随尺度改变而变化。从数学上，可以得出乘幂函数A(n)∝n±α满足上述泛函方程。其中，k为尺度比，α为标度指数。α通常是分维的函数，或者就是分维本身，即有α=D，这里D为分维[7]。
2.2 Smeed模型推导
一个几何体的长度L、面积S和体积V之间存在如下测度关系：L1/1∝S1/2∝V1/3∝M1/D，这里M为广义体积(可代表L、S、V中的任意一个)，D为相应的维数(对于欧氏几何体，D=1，2或3)，如果某种测度对应于分形，则D可被推广到分维。对于城市来说，半径r相当于线度L，即有L∝r，但面积未必是2维。假定城市形态为D维，则由上式可知r1/1∝S(r)1/D，从而S(r)=krD式中k为系数，D为城市用地形态的维数。又设从城市中心向外半径为r的圆域面积为A(r)，则显然有A(r)=πr2，对上式求导，则有dA(r)/dr=2πr再对式S(r)=krD求导，可得dS(r)/dr=DkrD-1。用式dA(r)/dr=2πr两边除式dS(r)/dr=DkrD-1两边，可得ρ(r)=dS(r)/dA(r)∝rD-2。
当D
当D=2时，ρ(r)=Dk/2π，城市利用密度从中心到外围没有差异；
当D>2时，ρ(r)∝rD-2，r变大则ρ(r)变大，城市利用密度从中心向外围递增[8]。
2.3 研究方法
3 数据源及预处理
3.1 数据源
本次研究采用的数据为1992年9月17日、1999年7月1日和2006年9月6日的北京市TM卫片（图2），由于成图时段均为夏季，减少了植被对于城区建筑用地的混分情况。经多次试验，本次研究RGB分别采用5、4、3波段假彩色合成输出为.img格式文件，这样能够最大限度地减少波段之间的相关性，提取到最多的遥感信息。 图1 本次研究流程图
a
b
c
图2 北京市TM影像图（a为1992年b为1999年c为2006年）
3.2 影像预处理
取10个control点及5个check点，利用SPOT影像对TM影像进行几何校正，误差=0.6303。这时的影像投影系统（Projected Coordinate System）是WGS_1984_UTM_Zone_50N，输出图像单位（Linear Unit）是Meter[9]。
3.3 空间分析参数
本次研究中心取前门，本来朝阳区CBD与西城区金融街都是传统意义上研究城市分形问题的中心点。但是考虑到北京市发展的政治、文化因素、前门地区是北京市最早的商业发祥地的历史因素和朝阳区CBD并未完全成熟等等客观条件因素，也为确保本次研究结果的正确性。本次研究还是确定前门作为同心圆的圆心，坐标为（448015，4416677）。
本次研究取0.5km作半径公差做25环带，环带边界大致为北京市五环路地区，完全满足本次研究需要。
4 分形基础数据提取及分形判定
4.1 监督分类
本次研究采用监督分类，在分类过程中只取两类，分别为城市建筑（city）与其他（others）。在分类过程中，首先，调整模版编辑器显示字段并使用AOI绘图工具获取分类模板信息。AOI的建立尽量精确尽可能包括一个类别所有可能的光谱值。然后将同一个专题类型采集的多个AOI所生成的模板合并。接着生成一个综合的新模板。每个专题类型赋予一种颜色。随后采用可能性矩阵评价分类模版，分类决策的规则选择最大似然法，由于作者为北京人，对北京市的地理区划及地理特征非常熟悉，所以分类结果较为精确，两种类别的误差矩阵值均在92%以上。
监督分类结果常常有细碎图斑。所以，需要对获得的分类结果进行一些后处理工作，本次研究使用聚类统计(Clump)、过滤分析（Sieve）、去除分析（Eliminate）功能突出这些图斑并进行了小图斑的合并，最终得到相对理想的分类结果（图3）[10]。
图3监督分类效果图（2006年）
4.2 矢量数据处理
在分类结束后，需将分类结果转为矢量图（Raster to Vector），并在ArcMap中将城市建筑
用地单独选中保存。接着采用ArcToolbox中的Dissolve工具将所有城市建筑用地合并为一个区域A，这时需要在属性表中添加Area字段（图4）。
图4 北京市城市建筑用地矢量图（1999年Dissolve后）
在ArcCatalog中建立一个Point图层并在前门处画一个点，坐标（448015，4416677）。然后利用Buffer Wizard画25个半径公差为0.5km的缓冲区。然后通过ArcToolbox中的Clip工具用每一个缓冲区裁剪区域A，每个年份的数据可以裁剪出25个小区域，共75个区域。在裁剪过程中，要由内到外对每个裁剪结果进行编号（图5）。
图5 环带示意图
4.3 面积计算
为了计算这75个区域的面积，首先打开属性表，右键点击字段Area列，然后点击Field Calculator,选择Advanced并输入代码Dim Output as double；Dim pArea as Iarea；Set pArea =
[shape]；Output = pArea.area，接着在Area=处写Output，最后点击OK，这时面积就会自动显示在Area字段下，单位m2。
4.4 拟合方程并判定分形
将所有的面积（共75个）统计在Microsoft Excel中，将相同年份的数据进行累加。用累加后的数据做折线图，取其渐近线并得到拟合方程式以及拟合优度R2。最后得到分维数D。
在拟合过程中，如果拟合方程式是乘幂关系，即以同心圆编号为自变量，以城市建筑用地面积为变量的拟合方程是存在乘幂函数关系A(n)∝n±α，即可证明城市具备分形特征。在拟合优度R2≥0.995的情况下，认为拟合方程是正确的。
我们在保证D以及R2取值符合标准的前提下，采用一定半径范围的数据进行渐近线拟合，得到有效地D值，形成第一标度区，同时也可以得到北京城市的相对范围。经过反复试验，我们确定1992年北京市范围为第15环带，即半径为7.5km的范围内，1999年为第19环带，即半径为9.5km的范围内，2006年为第20环带，即半径为10km的范围内。
在反复试验过程中，首先取所有点进行拟合，发现R2
在第一标度区以外的地区即为第二标度区，通常第二标度区对于分形研究是没有意义的，但是第二标度区对于城市发展趋势的研究至关重要，因为第二标度区是未来最有可能成为城市一部分的地区。下图（图6）即为北京市双标度区的拟合曲线图，图中也给出了公式以及相应的R2。表1记录了本次研究得出的双标度区的半径维数变化和R2变化。
a
b
c
图6 北京市维数拟合曲线图
（a为1992年b为1999年c为2006年，左图为第一标度区右图为第二标度区）
表1 北京市半径维数变化表
4.5 预测
根据实验数据，现对于北京市未来城市形态发展变化进行初步预测。北京市1999年至2006年期间为举办奥运会进行了重新规划，所以拟合优度变小了，与1992年至1999年变化趋势相反，但这一时期北京的发展仍然为我们提供了很重要的参考依据。在2008年北京奥运会之后，15年内城市规划不会出现重大变化，这与1992年之后的北京城市发展变化有着较高的相似性。于是，本次研究根据上表给出的数据，预测到2020年北京城市半径预计可以达到14km。
国外的城市，尤其是一些国际化大都市，如柏林、伦敦、巴黎等的分维数都在1.71左右波动。北京、洛杉矶最高，在1.9以上。而台北、东京则较低，在1.3-1.4左右。纵观一些城市的形态结构发展历史，它们的分维低于1.71时上涨，而高于1.71时则下降。长期趋势是波动于1.71附近。因此，我们推测，在后奥运时代，作为一个新兴的国际化大都市，一个崭新的、强大的、在世界地位越来越高作用越来越重的国家的首都，北京市的内部形态结构会进一步自主调整，城市用地功能区规划更加合理，分形维数预计会下降到1.9以下，拟合优度也会逐渐趋近于1。真正成为一个宜居的、有活力的城市。
5 结论
通过上表可以看出，北京市三年的城市形态均存在分形，第一标度区的分维数分别为
1.9552、1.9718和1.9076。北京城区在向外辐射扩展过程中存在标度区转折，即存在双标度区。
北京市从上世纪90年代初到本世纪，城市分维数居高不下，均近似为2，这在全球城市中是不多见的，甚至可以说是最高的。根据Smeed模型，城市分维值一般是不会超过2的，北京市第一标度区的分维数体现了北京城区建筑的高密度特点，直到接近四环路城市建筑面积的增长才有所放缓。
同时我们也能看到，2006年北京市分维数低于1999年，且R2值减小，但第一标度区范围却只比1999年大0.5km，而1992年至1999年则增大了2km，是其4倍。这说明在1999-2006年这段时间里，北京的城市发展有一个重大改变，城市内部结构大规模调整，老城区改造也接近尾声，这与实际情况是吻合的。我们看到，为面向2008年奥运会，从2001年申奥成功开始，北京迎来了一个城市发展的转折点，制定了新的发展规划，市内进行了大规模的城市用地改造和城市功能区重分。在未来一段时间里，北京的发展模式仍将会沿着新规划的方案稳定发展下去。所以本次研究得出如下预测：根据现有数据估算，北京市市区范围会逐渐扩
大，扩大速度也会逐渐增快，到2020年城市半径预计可以达到15km。
通过对北京市第二标度区数据的研究我们却可以看到北京市在加快成长的迹象，北京市城乡结合地区作为北京市下一阶段重点发展的对象，已经从过去卫星城的发展演变成连成一片的开发区。尤其是从1992年开始，北京市第二标度区分维从1.1987激增到1999年的1.4333，说明在这一区域，建设用地密度在变化的同时,分形特征也在加大，符合城市用地自我调整的自组织思想[11]。
参考文献
【1】 陈彦光，罗静. 城市形态的分维变化特征及其对城市规划的启示[J]. 城市发展研究，2006，13(5)：35-40
【2】 White R，Engelen G. Cellular automata and f ractal urban form：a cellular modeling approach to the evolution of urban land-use
patterns. Environment and Planning A，1993，25：1175-1199
【3】 陈彦光，刘继生. 城市形态分维测算和分析的若干问题[J]. 人文地理，2007，3：98-103
【4】 Batty M. Fractals-geometry between dimensions[J]. New Scientist，1985，106：31-35
【5】 Batty M，Longley P A. Urban shapes as fractals[J]. Area，1987，19：215-221
【6】 Batty M，Longley P A. The morphology of urban land use[J]. Environment and Planning B：Planning and Design，1988，
15：461-488
【7】 姜世国，周一星. 北京城市形态的分形集聚特征及其实践意义[J]. 地理研究，2006，25(2)：204-212
【8】 Batty M， Longley P A. Fractal Cities：A Geometry of Form and Function[M]. London：Academic Press， Harcourt Brace
& Company Publishers，1994
【9】 杨昕，汤国安，邓凤东，吕恒. ERDAS遥感数字图像处理实验教程[M]. 科学出版社，2009：25-53
【10】 肖汉. 基于TM和SPOT5影像融合的土地利用分类及精度比较[J]. 城市地质，2010，5(1)：19-23
【11】 蔡爱民，查良松. 合肥市城市形态特征及其演化[J]. 合肥工业大学学报(自然科学版)，2008，31(10)：1651-1655 Analyses of the urban morphology of Beijing based on fractal theory
XIAO Han, LI Zhipeng, XU Jinze
(China University of Geosciences, Beijing 100083, China)
Abstract
Analyses of the urban morphology have significance for Beijing’s long-term planning. Based on fractal theory, the paper qualitatively analyses the morphology and changes of Beijing from 1992 to 2006, and then predicts the future evolution of the city. Firstly, this research extracts the city construction area from Beijing TM images in 1992, 1999 and 2006 by using supervised classifications, then taking the city center as the center of circle, dozens of concentric circles with increasing radius are cut, so as to get the construction area in every concentric circle. Secondly, this research determines the critical point of the two scale zones through repeating computations and then calculates the area of construction. Thirdly, on different scale, the power relationships between construction area and scale zone number are fitted with the goodness of fit (R2) larger than 0.995 and then the fractal dimension and the change scope of Beijing are achieved. Based on these experimental data, this paper gives further analysis and explanation in detail and compares the form of Beijing with other major cities. Lastly, the future development of Beijing urban construction land and other possible circumstances are predicted.
Key words
fractal theory; fractal dimension; Beijing; urban morphology; TM image; supervised classification; two-scale zone; R2
基于分形理论的北京形态结构分析
作者：肖汉，李志鹏，徐金泽
指导老师：明冬萍
（中国地质大学（北京）信息工程学院，北京 海淀 100083）
摘要
北京城市形态结构分析对北京市的长远规划具有重要意义。本文基于分形理论，运用GIS空间分析等方法，对北京城市形态结构及变化进行了定量的分析与评价，预测了北京市未来城市发展范围。首先，利用TM遥感影像监督分类，提取1992、1999和2006年北京市建筑用地面积，然后以城市中心为圆心，取几十个半径递增的同心圆进行剪裁，得出各个同心圆内的城市建筑用地面积。接着通过反复试验确定双标度区并得到城市建筑用地面积折线图，并对面积进行基于乘幂关系的函数拟合，拟合优度R2≥0.995。并得到分维数D以及北京市范围及其变化。在得到这些数据后，本文进行了深入的分析以解释这些现象，同时也对北京市与其他大城市的城市形态进行对比。最后，本文对北京市的城市建筑用地的未来发展以及可能出现的情况作出预测。联系人：肖汉，联系电话：[1**********]，E-Mail：[email protected]。
关键词
分形理论；分维；北京；城市形态；TM卫片；监督分类；双标度区；拟合优度
1 引言
北京城市形态结构分析对北京市的长远规划具有重要意义，分形是大自然的优化结构，运用分形思想规划城市对人居环境的改良和人地关系的协调也有着重要意义。对于城市形态的分维，通常有面积-周长关系(Area-Perimeter Relation)法、盒子计数法(Box Counting Method)以及面积-半径关系(Area-Radius Relation)法三种。目前看来，面积-半径关系有助于从动态的角度刻画城市生长与形态[1]。本次研究就是采用这一方法，做出同心圆编号-面积折线图并拟合出乘幂函数求出分维数。这种方法在作图时也可以采用面积-半径双对数折线拟合线性函数，斜率即为分维数。这种方法给出的维数一般是从统计自相似的角度定义的，所得到的维数俗称半径维数[2]。
本次研究应用数理模型——分形理论对不同年份北京市的城市形态的发展进行评估，利用提取不同半径范围内的城市建筑面积拟合函数，首先通过函数方程判定城市分形特征，即确定城市是否存在分形。其次通过函数图像进行评价和预测，对不同年份计算出的分维指数进行分析，同时也对城市未来发展的变化及趋势做出判断。
2 基于分形理论的城市形态研究方法
2.1 城市形态分形理论
分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念最早是由美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在1967年首先提出的。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则，它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性，分形理论以分维作为的定量表征和基本参数[3]。Batty在1985年开创了分形城市形态研究[4]，他和Longley研究了城市边界和城市土地利用形态分形[5][6]。
地学中的分形方法就是用某种尺度n对空间现象或特征进行空间度量，根据尺度变化得到相应的测度A(n)计算结果（在本次研究中为城市建筑用地面积）。改变尺度n（在本次研究
中为同心圆编号），测度A(n)也会随之改变。如果测度、尺度之间服从如下标度不变规律：A(kn)∝k±αA(n)，则可认为该空间现象具有分形性质，即其空间结构特征不随尺度改变而变化。从数学上，可以得出乘幂函数A(n)∝n±α满足上述泛函方程。其中，k为尺度比，α为标度指数。α通常是分维的函数，或者就是分维本身，即有α=D，这里D为分维[7]。
2.2 Smeed模型推导
一个几何体的长度L、面积S和体积V之间存在如下测度关系：L1/1∝S1/2∝V1/3∝M1/D，这里M为广义体积(可代表L、S、V中的任意一个)，D为相应的维数(对于欧氏几何体，D=1，2或3)，如果某种测度对应于分形，则D可被推广到分维。对于城市来说，半径r相当于线度L，即有L∝r，但面积未必是2维。假定城市形态为D维，则由上式可知r1/1∝S(r)1/D，从而S(r)=krD式中k为系数，D为城市用地形态的维数。又设从城市中心向外半径为r的圆域面积为A(r)，则显然有A(r)=πr2，对上式求导，则有dA(r)/dr=2πr再对式S(r)=krD求导，可得dS(r)/dr=DkrD-1。用式dA(r)/dr=2πr两边除式dS(r)/dr=DkrD-1两边，可得ρ(r)=dS(r)/dA(r)∝rD-2。
当D
当D=2时，ρ(r)=Dk/2π，城市利用密度从中心到外围没有差异；
当D>2时，ρ(r)∝rD-2，r变大则ρ(r)变大，城市利用密度从中心向外围递增[8]。
2.3 研究方法
3 数据源及预处理
3.1 数据源
本次研究采用的数据为1992年9月17日、1999年7月1日和2006年9月6日的北京市TM卫片（图2），由于成图时段均为夏季，减少了植被对于城区建筑用地的混分情况。经多次试验，本次研究RGB分别采用5、4、3波段假彩色合成输出为.img格式文件，这样能够最大限度地减少波段之间的相关性，提取到最多的遥感信息。 图1 本次研究流程图
a
b
c
图2 北京市TM影像图（a为1992年b为1999年c为2006年）
3.2 影像预处理
取10个control点及5个check点，利用SPOT影像对TM影像进行几何校正，误差=0.6303。这时的影像投影系统（Projected Coordinate System）是WGS_1984_UTM_Zone_50N，输出图像单位（Linear Unit）是Meter[9]。
3.3 空间分析参数
本次研究中心取前门，本来朝阳区CBD与西城区金融街都是传统意义上研究城市分形问题的中心点。但是考虑到北京市发展的政治、文化因素、前门地区是北京市最早的商业发祥地的历史因素和朝阳区CBD并未完全成熟等等客观条件因素，也为确保本次研究结果的正确性。本次研究还是确定前门作为同心圆的圆心，坐标为（448015，4416677）。
本次研究取0.5km作半径公差做25环带，环带边界大致为北京市五环路地区，完全满足本次研究需要。
4 分形基础数据提取及分形判定
4.1 监督分类
本次研究采用监督分类，在分类过程中只取两类，分别为城市建筑（city）与其他（others）。在分类过程中，首先，调整模版编辑器显示字段并使用AOI绘图工具获取分类模板信息。AOI的建立尽量精确尽可能包括一个类别所有可能的光谱值。然后将同一个专题类型采集的多个AOI所生成的模板合并。接着生成一个综合的新模板。每个专题类型赋予一种颜色。随后采用可能性矩阵评价分类模版，分类决策的规则选择最大似然法，由于作者为北京人，对北京市的地理区划及地理特征非常熟悉，所以分类结果较为精确，两种类别的误差矩阵值均在92%以上。
监督分类结果常常有细碎图斑。所以，需要对获得的分类结果进行一些后处理工作，本次研究使用聚类统计(Clump)、过滤分析（Sieve）、去除分析（Eliminate）功能突出这些图斑并进行了小图斑的合并，最终得到相对理想的分类结果（图3）[10]。
图3监督分类效果图（2006年）
4.2 矢量数据处理
在分类结束后，需将分类结果转为矢量图（Raster to Vector），并在ArcMap中将城市建筑
用地单独选中保存。接着采用ArcToolbox中的Dissolve工具将所有城市建筑用地合并为一个区域A，这时需要在属性表中添加Area字段（图4）。
图4 北京市城市建筑用地矢量图（1999年Dissolve后）
在ArcCatalog中建立一个Point图层并在前门处画一个点，坐标（448015，4416677）。然后利用Buffer Wizard画25个半径公差为0.5km的缓冲区。然后通过ArcToolbox中的Clip工具用每一个缓冲区裁剪区域A，每个年份的数据可以裁剪出25个小区域，共75个区域。在裁剪过程中，要由内到外对每个裁剪结果进行编号（图5）。
图5 环带示意图
4.3 面积计算
为了计算这75个区域的面积，首先打开属性表，右键点击字段Area列，然后点击Field Calculator,选择Advanced并输入代码Dim Output as double；Dim pArea as Iarea；Set pArea =
[shape]；Output = pArea.area，接着在Area=处写Output，最后点击OK，这时面积就会自动显示在Area字段下，单位m2。
4.4 拟合方程并判定分形
将所有的面积（共75个）统计在Microsoft Excel中，将相同年份的数据进行累加。用累加后的数据做折线图，取其渐近线并得到拟合方程式以及拟合优度R2。最后得到分维数D。
在拟合过程中，如果拟合方程式是乘幂关系，即以同心圆编号为自变量，以城市建筑用地面积为变量的拟合方程是存在乘幂函数关系A(n)∝n±α，即可证明城市具备分形特征。在拟合优度R2≥0.995的情况下，认为拟合方程是正确的。
我们在保证D以及R2取值符合标准的前提下，采用一定半径范围的数据进行渐近线拟合，得到有效地D值，形成第一标度区，同时也可以得到北京城市的相对范围。经过反复试验，我们确定1992年北京市范围为第15环带，即半径为7.5km的范围内，1999年为第19环带，即半径为9.5km的范围内，2006年为第20环带，即半径为10km的范围内。
在反复试验过程中，首先取所有点进行拟合，发现R2
在第一标度区以外的地区即为第二标度区，通常第二标度区对于分形研究是没有意义的，但是第二标度区对于城市发展趋势的研究至关重要，因为第二标度区是未来最有可能成为城市一部分的地区。下图（图6）即为北京市双标度区的拟合曲线图，图中也给出了公式以及相应的R2。表1记录了本次研究得出的双标度区的半径维数变化和R2变化。
a
b
c
图6 北京市维数拟合曲线图
（a为1992年b为1999年c为2006年，左图为第一标度区右图为第二标度区）
表1 北京市半径维数变化表
4.5 预测
根据实验数据，现对于北京市未来城市形态发展变化进行初步预测。北京市1999年至2006年期间为举办奥运会进行了重新规划，所以拟合优度变小了，与1992年至1999年变化趋势相反，但这一时期北京的发展仍然为我们提供了很重要的参考依据。在2008年北京奥运会之后，15年内城市规划不会出现重大变化，这与1992年之后的北京城市发展变化有着较高的相似性。于是，本次研究根据上表给出的数据，预测到2020年北京城市半径预计可以达到14km。
国外的城市，尤其是一些国际化大都市，如柏林、伦敦、巴黎等的分维数都在1.71左右波动。北京、洛杉矶最高，在1.9以上。而台北、东京则较低，在1.3-1.4左右。纵观一些城市的形态结构发展历史，它们的分维低于1.71时上涨，而高于1.71时则下降。长期趋势是波动于1.71附近。因此，我们推测，在后奥运时代，作为一个新兴的国际化大都市，一个崭新的、强大的、在世界地位越来越高作用越来越重的国家的首都，北京市的内部形态结构会进一步自主调整，城市用地功能区规划更加合理，分形维数预计会下降到1.9以下，拟合优度也会逐渐趋近于1。真正成为一个宜居的、有活力的城市。
5 结论
通过上表可以看出，北京市三年的城市形态均存在分形，第一标度区的分维数分别为
1.9552、1.9718和1.9076。北京城区在向外辐射扩展过程中存在标度区转折，即存在双标度区。
北京市从上世纪90年代初到本世纪，城市分维数居高不下，均近似为2，这在全球城市中是不多见的，甚至可以说是最高的。根据Smeed模型，城市分维值一般是不会超过2的，北京市第一标度区的分维数体现了北京城区建筑的高密度特点，直到接近四环路城市建筑面积的增长才有所放缓。
同时我们也能看到，2006年北京市分维数低于1999年，且R2值减小，但第一标度区范围却只比1999年大0.5km，而1992年至1999年则增大了2km，是其4倍。这说明在1999-2006年这段时间里，北京的城市发展有一个重大改变，城市内部结构大规模调整，老城区改造也接近尾声，这与实际情况是吻合的。我们看到，为面向2008年奥运会，从2001年申奥成功开始，北京迎来了一个城市发展的转折点，制定了新的发展规划，市内进行了大规模的城市用地改造和城市功能区重分。在未来一段时间里，北京的发展模式仍将会沿着新规划的方案稳定发展下去。所以本次研究得出如下预测：根据现有数据估算，北京市市区范围会逐渐扩
大，扩大速度也会逐渐增快，到2020年城市半径预计可以达到15km。
通过对北京市第二标度区数据的研究我们却可以看到北京市在加快成长的迹象，北京市城乡结合地区作为北京市下一阶段重点发展的对象，已经从过去卫星城的发展演变成连成一片的开发区。尤其是从1992年开始，北京市第二标度区分维从1.1987激增到1999年的1.4333，说明在这一区域，建设用地密度在变化的同时,分形特征也在加大，符合城市用地自我调整的自组织思想[11]。
参考文献
【1】 陈彦光，罗静. 城市形态的分维变化特征及其对城市规划的启示[J]. 城市发展研究，2006，13(5)：35-40
【2】 White R，Engelen G. Cellular automata and f ractal urban form：a cellular modeling approach to the evolution of urban land-use
patterns. Environment and Planning A，1993，25：1175-1199
【3】 陈彦光，刘继生. 城市形态分维测算和分析的若干问题[J]. 人文地理，2007，3：98-103
【4】 Batty M. Fractals-geometry between dimensions[J]. New Scientist，1985，106：31-35
【5】 Batty M，Longley P A. Urban shapes as fractals[J]. Area，1987，19：215-221
【6】 Batty M，Longley P A. The morphology of urban land use[J]. Environment and Planning B：Planning and Design，1988，
15：461-488
【7】 姜世国，周一星. 北京城市形态的分形集聚特征及其实践意义[J]. 地理研究，2006，25(2)：204-212
【8】 Batty M， Longley P A. Fractal Cities：A Geometry of Form and Function[M]. London：Academic Press， Harcourt Brace
& Company Publishers，1994
【9】 杨昕，汤国安，邓凤东，吕恒. ERDAS遥感数字图像处理实验教程[M]. 科学出版社，2009：25-53
【10】 肖汉. 基于TM和SPOT5影像融合的土地利用分类及精度比较[J]. 城市地质，2010，5(1)：19-23
【11】 蔡爱民，查良松. 合肥市城市形态特征及其演化[J]. 合肥工业大学学报(自然科学版)，2008，31(10)：1651-1655 Analyses of the urban morphology of Beijing based on fractal theory
XIAO Han, LI Zhipeng, XU Jinze
(China University of Geosciences, Beijing 100083, China)
Abstract
Analyses of the urban morphology have significance for Beijing’s long-term planning. Based on fractal theory, the paper qualitatively analyses the morphology and changes of Beijing from 1992 to 2006, and then predicts the future evolution of the city. Firstly, this research extracts the city construction area from Beijing TM images in 1992, 1999 and 2006 by using supervised classifications, then taking the city center as the center of circle, dozens of concentric circles with increasing radius are cut, so as to get the construction area in every concentric circle. Secondly, this research determines the critical point of the two scale zones through repeating computations and then calculates the area of construction. Thirdly, on different scale, the power relationships between construction area and scale zone number are fitted with the goodness of fit (R2) larger than 0.995 and then the fractal dimension and the change scope of Beijing are achieved. Based on these experimental data, this paper gives further analysis and explanation in detail and compares the form of Beijing with other major cities. Lastly, the future development of Beijing urban construction land and other possible circumstances are predicted.
Key words
fractal theory; fractal dimension; Beijing; urban morphology; TM image; supervised classification; two-scale zone; R2