北师大版初中数学九年级(下册) 知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即．．
tan A =
∠A 的对边
;
∠A 的邻边
①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；
⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦： ．．定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A =
∠A 的对边
;
斜边
※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A =
∠A 的邻边
;
斜边
※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A =
∠A 的邻边
;
∠A 的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①sin A =cos(90︒-∠A ) ；
cos A =sin(90︒-∠A ) 90︒-∠A ) ； ②tan A =cot(cot A =tan(90︒-∠A )
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角 ．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小) 而增大(或减小) ；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 而减小(或增大) 。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tg α·ctg α=1。
图
1
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：
sin A =a , c b
sin B =,
c
b
cos A =,
c a
cos B =,
c
tan A =a , b b
tan B =,
a
b
cot A =;
a a
cot B =;
b
11
ab =chc (hc为C 边上的高); 22
a +b -c
(5)直角三角形的内切圆半径r =
21
(6)直角三角形的外接圆半径R =c
2
(4)面积公式:S ∆=
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
h 图
2
图3
图4
※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比) 。用字母i 表示，即．．．．
h
=tan A l
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、．．．i =
OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如．．．图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向) 、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如y =ax 2+bx +c (a 、、b、是常数，a≠0) 的函数，叫做x 的二次．．函数。自变量的取值范围是全体实数。 y =ax 2(a ≠0) 是二次函数的特例，此时．．
常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。 ．．．．．．．．※二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0) ，对称轴是y 轴(或称直线x ＝0) 。
③当a ＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a ＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性：
; ⎧x ≤0时, y 随x 增大而减小
A 、当a ＞0时⎨ B 、当a ＜0时
x ≥0时, y 随x 增大而增大. ⎩; ⎧x ≤0时, y 随x 增大而增大
⎨
. ⎩x ≥0时, y 随x 增大而减小
⑤当｜a ｜越大，抛物线开口越小；当｜a ｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有最小值，最小值是0；当a ＜0，且x ＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数y =ax +c 的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线
2
※二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是以x =-
b b 为对称轴，顶点在（-，2a 2a
4ac -b 2
）的抛物线。（开口方向和大小由a 来决定） 4a
※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越慢。
※二次函数y =ax 2+c 的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 ※二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y ＝ax 2的图象的关系：
y =ax 2+bx +c 的图象可以由y ＝ax 2的图象平移得到，其步骤如下： ①将y =ax 2+bx +c 配方成y =a (x -h ) 2+k 的形式；（其中h=-
4ac -b 2k=）；
4a
b ，2a
②把抛物线y =ax 2向右（h>0）或向左（h
③再把抛物线y =a (x -h ) 2向上（k>0）或向下（k
y =a (x -h ) 2+k 的图象。
※二次函数y =ax 2+bx +c 的性质：
b 24ac -b 2
二次函数y =ax +bx +c 配方成y =a (x +) +则抛物线的
2a 4a
2
①对称轴：x =-
2b
②顶点坐标：（-b 4ac -b ） 2a 2a 4a
③增减性： 若a>0，则当x
若a
随x 的增大而减小。 ．．．．．．
b b
时，y 随x 的增大而减小；当x>时，y -．．．．．2a 2a
b b 时，y 随x 的增大而增大；当x>时，y -．．．．．2a 2a
4ac -b 2b b
④最值：若a>0，则当x=-时，y 最小=；若a
2a 2a 4a
y 最大
4ac -b 2
=
4a
※画二次函数y =ax 2+bx +c 的图象：
我们可以利用它与函数y =ax 2的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
2b
①先找出顶点（-b ，4ac -b ），画出对称轴x=-；
2a 2a 4a
b
②找出图象上关于直线x=-对称的四个点（如与坐标的交点等）；
2a
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数y =ax 2+bx +c 的图象(抛物线) 与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个实数根
※抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： b 2-4ac >0 抛物线与x 轴有2个交点； b 2-4ac =0 抛物线与x 轴有1个交点；
b 2-4ac 抛物线与x 轴有0个交点（无交点）；
※当b 2-4ac >0时，设抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，则这两个点之间的距离：
|AB |=|x 1+x 2|=(x 2-x 1) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2
b 2-4ac 2
化简后即为：|AB |=(b -4ac >0) ------ 这就是抛物线与x 轴的两
|a |交点之间的距离公式。
第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另
一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O 叫．
做圆心；线段OA 叫做半径；以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，．．．．读作“圆O ”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆．
心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，．．．．．
圆心和半径确定的圆叫做定圆。 ．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是
半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 d=r; ②点在圆内 d d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ． 直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．．
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD 为端．．．
点的弧记为“
”，读作“圆弧CD ”或“弧CD ”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．．
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 ．．④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．．
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．．⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．．
※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对
的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距
中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时, 每一份的角都是1°
的圆心角, 相应的整个圆也被等分成360份, 每一份同样的弧叫1°弧.
※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等, 而不是角与弧相等. 即不能写成∠AOB= , 这是错误的. ※3. 圆周角的定义:
顶点在圆上, 并且两边都与圆相交的角, 叫做圆周角. ※4. 圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； ※四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径, 圆心决定圆的位置, 半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆, 经过两点也可以作无数个圆, 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
※2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点, 能且仅能作一个圆. ※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这
个三角形的外接圆, 这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系
※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时, 叫做直线和圆相交, 这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时, 叫做直线和圆相切, 这时直线叫做圆的切线, 惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离. ※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；
①d 直线L 和⊙O 相交. ②d=r 直线L 和⊙O 相切. ③d>r 直线L 和⊙O 相离.
※3. 切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系, 可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个, 就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点, 该线平分三角形的这个内角.
六. 圆和圆的位置关系.
※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆) 这五种位置关系的定义.
(1)外离: 两个圆没有公共点, 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点, 并且除了这个公共点以外, 每个圆上的点都在另一个圆的外
部时, 叫做这两个圆外切. 这个惟一的公共点叫做切点.
(3)相交: 两个圆有两个公共点, 此时叫做这个两个圆相交.
(4)内切: 两个圆有惟一的公共点, 并且除了这个公共点以外, 一个圆上的都在另一个圆的内部
时, 叫做这两个圆内切. 这个惟一的公共点叫做切点.
(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时, 叫做这两个圆内含.
两圆同心是两圆内的一个特例.
※2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 d>R+r (2)两圆外切 d=R+r
(3)两圆相交 R-r d=R-r (R>r) (5)两圆内含 dr) ※3. 相切两圆的性质:
如果两个圆相切, 那么切点一定在连心线上. ※4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七. 弧长及扇形的面积 ※1. 圆周长公式:
圆周长C=2πR (R表示圆的半径) ※2. 弧长公式:
弧长l =
n πR
(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 180
※3. 扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ※4. 弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. ※5. 圆的面积公式.
圆的面积S =πR (R表示圆的半径) ※6. 扇形的面积公式: 扇形的面积S 扇形
2
n πR 2= (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 360
※弓形的面积公式:(如图5)
S 三角形(2)当弓形所含的弧是优弧时, 图5
=S 扇形+S 三角形 S 弓形(3)当弓形所含的弧是半圆时, S 弓形=
12
πR =S 扇形 2
八. 圆锥的有关概念:
※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形, 另一条
直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面, 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. ※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形, 这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r, 侧面母线长(扇形半径) 是l, 底面圆周长(扇形弧长) 为c, 那么它的侧面积是:
11
S 侧=cl =⋅2πrl =πrl
22
S 表=S 侧+S 底面=πrl +πr 2=πr (r +l )
¤九. 与圆有关的辅助线 1. 如圆中有弦的条件, 常作弦心距, 或过弦的一端作半径为辅助线. 2. 如圆中有直径的条件, 可作出直径上的圆周角.
3. 如一个圆有切线的条件, 常作过切点的半径(或直径) 为辅助线.
4. 若条件交代了某点是切点时, 连结圆心和切点是最常用的辅助线. ¤十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上, 这个四边形叫做圆内接四边形, 这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
※十一. 北师版数学未出理的有关圆的性质定理
1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图6，∵PA ，PB 分别切⊙O 于A 、B
∴PA=PB，PO 平分∠APB
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 如图7，CD 切⊙O 于C ，则，∠ACD=∠B 3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等； ②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 如图8，AP •PB=CP•PD
如图9，若CD ⊥AB 于P ，AB 为⊙O 直径，则CP 2=AP•PB 4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10， ①PT 切⊙O 于T ，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙O 的交点，则PT 2=PA•PB
②PA 、PC 是⊙O 的两条割线，则PD •PC=PB•PA
5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 ②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，则连心线O 1O 2⊥AB 且AC=BC。 6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。 如图12，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，连结O 1A ，O 2B ，过O 2作O 2C ⊥O 1A 于C ，
公切线长为l ，两圆的圆心距为d ，半径分别为R ，r 则外公切线长：
_ 7 图
L =d 2-(R -r ) 2
如图13，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，O 2C ∥AB ，O 2C ⊥O 1C 于C ，⊙O 1半径为
R ，⊙O 2半径为r ，则内公切线长：L =
_A
_ 11 图
d 2-(R +r ) 2
_ 10 图
_ 9 图
_ 13 图
_ 12 图
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第四章 统计与概率
1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时, 实验频率接近于理论概念, 但实验次数再多, 也很难保证实验结果与理论值相等, 这就是“随机事件”的特点.
三. 游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会, 或者游戏多方赢的机会相等.
2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率. 一个事件发生的概率取值在0与1之间.
3. 概率的预测的计算方法:某事件A 发生的概率:
P 事件A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:
(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;
(2)要弄清楚所有机会均等的结果.
（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）
∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩•⊥
北师大版初中数学九年级(下册) 知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即．．
tan A =
∠A 的对边
;
∠A 的邻边
①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；
⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦： ．．定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A =
∠A 的对边
;
斜边
※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A =
∠A 的邻边
;
斜边
※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A =
∠A 的邻边
;
∠A 的对边
※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①sin A =cos(90︒-∠A ) ；
cos A =sin(90︒-∠A ) 90︒-∠A ) ； ②tan A =cot(cot A =tan(90︒-∠A )
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角 ．．
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小) 而增大(或减小) ；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 而减小(或增大) 。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tg α·ctg α=1。
图
1
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：
sin A =a , c b
sin B =,
c
b
cos A =,
c a
cos B =,
c
tan A =a , b b
tan B =,
a
b
cot A =;
a a
cot B =;
b
11
ab =chc (hc为C 边上的高); 22
a +b -c
(5)直角三角形的内切圆半径r =
21
(6)直角三角形的外接圆半径R =c
2
(4)面积公式:S ∆=
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
h 图
2
图3
图4
※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比) 。用字母i 表示，即．．．．
h
=tan A l
◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、．．．i =
OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如．．．图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向) 、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如y =ax 2+bx +c (a 、、b、是常数，a≠0) 的函数，叫做x 的二次．．函数。自变量的取值范围是全体实数。 y =ax 2(a ≠0) 是二次函数的特例，此时．．
常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。 ．．．．．．．．※二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0) ，对称轴是y 轴(或称直线x ＝0) 。
③当a ＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a ＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性：
; ⎧x ≤0时, y 随x 增大而减小
A 、当a ＞0时⎨ B 、当a ＜0时
x ≥0时, y 随x 增大而增大. ⎩; ⎧x ≤0时, y 随x 增大而增大
⎨
. ⎩x ≥0时, y 随x 增大而减小
⑤当｜a ｜越大，抛物线开口越小；当｜a ｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有最小值，最小值是0；当a ＜0，且x ＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数y =ax +c 的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线
2
※二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是以x =-
b b 为对称轴，顶点在（-，2a 2a
4ac -b 2
）的抛物线。（开口方向和大小由a 来决定） 4a
※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越慢。
※二次函数y =ax 2+c 的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 ※二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y ＝ax 2的图象的关系：
y =ax 2+bx +c 的图象可以由y ＝ax 2的图象平移得到，其步骤如下： ①将y =ax 2+bx +c 配方成y =a (x -h ) 2+k 的形式；（其中h=-
4ac -b 2k=）；
4a
b ，2a
②把抛物线y =ax 2向右（h>0）或向左（h
③再把抛物线y =a (x -h ) 2向上（k>0）或向下（k
y =a (x -h ) 2+k 的图象。
※二次函数y =ax 2+bx +c 的性质：
b 24ac -b 2
二次函数y =ax +bx +c 配方成y =a (x +) +则抛物线的
2a 4a
2
①对称轴：x =-
2b
②顶点坐标：（-b 4ac -b ） 2a 2a 4a
③增减性： 若a>0，则当x
若a
随x 的增大而减小。 ．．．．．．
b b
时，y 随x 的增大而减小；当x>时，y -．．．．．2a 2a
b b 时，y 随x 的增大而增大；当x>时，y -．．．．．2a 2a
4ac -b 2b b
④最值：若a>0，则当x=-时，y 最小=；若a
2a 2a 4a
y 最大
4ac -b 2
=
4a
※画二次函数y =ax 2+bx +c 的图象：
我们可以利用它与函数y =ax 2的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
2b
①先找出顶点（-b ，4ac -b ），画出对称轴x=-；
2a 2a 4a
b
②找出图象上关于直线x=-对称的四个点（如与坐标的交点等）；
2a
③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
※二次函数y =ax 2+bx +c 的图象(抛物线) 与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个实数根
※抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： b 2-4ac >0 抛物线与x 轴有2个交点； b 2-4ac =0 抛物线与x 轴有1个交点；
b 2-4ac 抛物线与x 轴有0个交点（无交点）；
※当b 2-4ac >0时，设抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，则这两个点之间的距离：
|AB |=|x 1+x 2|=(x 2-x 1) 2=(x 1+x 2) 2-4x 1x 2
b 2-4ac 2
化简后即为：|AB |=(b -4ac >0) ------ 这就是抛物线与x 轴的两
|a |交点之间的距离公式。
第三章 圆
一. 车轮为什么做成圆形 ※1. 圆的定义：
描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另
一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O 叫．
做圆心；线段OA 叫做半径；以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，．．．．读作“圆O ”
集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆．
心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，．．．．．
圆心和半径确定的圆叫做定圆。 ．．
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；
②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是
半径（即定长）。
※2. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 d=r; ②点在圆内 d d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
①弦和直径：
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ． 直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．．
②弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD 为端．．．
点的弧记为“
”，读作“圆弧CD ”或“弧CD ”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．．优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．．
③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 ．．④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．．
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．．⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．．
※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对
的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距
中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时, 每一份的角都是1°
的圆心角, 相应的整个圆也被等分成360份, 每一份同样的弧叫1°弧.
※2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的是角度数与弧的度数相等, 而不是角与弧相等. 即不能写成∠AOB= , 这是错误的. ※3. 圆周角的定义:
顶点在圆上, 并且两边都与圆相交的角, 叫做圆周角. ※4. 圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； ※四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径, 圆心决定圆的位置, 半径决定圆的大小.
经过一点可以作无数个圆, 经过两点也可以作无数个圆, 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
※2. 经过三点作圆要分两种情况:
(1) 经过同一直线上的三点不能作圆.
(2)经过不在同一直线上的三点, 能且仅能作一个圆. ※定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这
个三角形的外接圆, 这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系
※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时, 叫做直线和圆相交, 这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时, 叫做直线和圆相切, 这时直线叫做圆的切线, 惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离. ※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线的距离为d ；
①d 直线L 和⊙O 相交. ②d=r 直线L 和⊙O 相切. ③d>r 直线L 和⊙O 相离.
※3. 切线的总判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系, 可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个, 就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形. ※6. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点, 该线平分三角形的这个内角.
六. 圆和圆的位置关系.
※1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆) 这五种位置关系的定义.
(1)外离: 两个圆没有公共点, 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外离. (2)外切: 两个圆有惟一的公共点, 并且除了这个公共点以外, 每个圆上的点都在另一个圆的外
部时, 叫做这两个圆外切. 这个惟一的公共点叫做切点.
(3)相交: 两个圆有两个公共点, 此时叫做这个两个圆相交.
(4)内切: 两个圆有惟一的公共点, 并且除了这个公共点以外, 一个圆上的都在另一个圆的内部
时, 叫做这两个圆内切. 这个惟一的公共点叫做切点.
(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时, 叫做这两个圆内含.
两圆同心是两圆内的一个特例.
※2. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 d>R+r (2)两圆外切 d=R+r
(3)两圆相交 R-r d=R-r (R>r) (5)两圆内含 dr) ※3. 相切两圆的性质:
如果两个圆相切, 那么切点一定在连心线上. ※4. 相交两圆的性质:
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七. 弧长及扇形的面积 ※1. 圆周长公式:
圆周长C=2πR (R表示圆的半径) ※2. 弧长公式:
弧长l =
n πR
(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 180
※3. 扇形定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ※4. 弓形定义:
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. ※5. 圆的面积公式.
圆的面积S =πR (R表示圆的半径) ※6. 扇形的面积公式: 扇形的面积S 扇形
2
n πR 2= (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数) 360
※弓形的面积公式:(如图5)
S 三角形(2)当弓形所含的弧是优弧时, 图5
=S 扇形+S 三角形 S 弓形(3)当弓形所含的弧是半圆时, S 弓形=
12
πR =S 扇形 2
八. 圆锥的有关概念:
※1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形, 另一条
直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面, 斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. ※2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形, 这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r, 侧面母线长(扇形半径) 是l, 底面圆周长(扇形弧长) 为c, 那么它的侧面积是:
11
S 侧=cl =⋅2πrl =πrl
22
S 表=S 侧+S 底面=πrl +πr 2=πr (r +l )
¤九. 与圆有关的辅助线 1. 如圆中有弦的条件, 常作弦心距, 或过弦的一端作半径为辅助线. 2. 如圆中有直径的条件, 可作出直径上的圆周角.
3. 如一个圆有切线的条件, 常作过切点的半径(或直径) 为辅助线.
4. 若条件交代了某点是切点时, 连结圆心和切点是最常用的辅助线. ¤十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上, 这个四边形叫做圆内接四边形, 这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
※十一. 北师版数学未出理的有关圆的性质定理
1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图6，∵PA ，PB 分别切⊙O 于A 、B
∴PA=PB，PO 平分∠APB
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 如图7，CD 切⊙O 于C ，则，∠ACD=∠B 3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等； ②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 如图8，AP •PB=CP•PD
如图9，若CD ⊥AB 于P ，AB 为⊙O 直径，则CP 2=AP•PB 4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10， ①PT 切⊙O 于T ，PA 是割线，点A 、B 是它与⊙O 的交点，则PT 2=PA•PB
②PA 、PC 是⊙O 的两条割线，则PD •PC=PB•PA
5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 ②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，则连心线O 1O 2⊥AB 且AC=BC。 6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。 如图12，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，连结O 1A ，O 2B ，过O 2作O 2C ⊥O 1A 于C ，
公切线长为l ，两圆的圆心距为d ，半径分别为R ，r 则外公切线长：
_ 7 图
L =d 2-(R -r ) 2
如图13，AB 分别切⊙O 1与⊙O 2于A 、B ，O 2C ∥AB ，O 2C ⊥O 1C 于C ，⊙O 1半径为
R ，⊙O 2半径为r ，则内公切线长：L =
_A
_ 11 图
d 2-(R +r ) 2
_ 10 图
_ 9 图
_ 13 图
_ 12 图
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第四章 统计与概率
1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时, 实验频率接近于理论概念, 但实验次数再多, 也很难保证实验结果与理论值相等, 这就是“随机事件”的特点.
三. 游戏公平吗?
1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会, 或者游戏多方赢的机会相等.
2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率. 一个事件发生的概率取值在0与1之间.
3. 概率的预测的计算方法:某事件A 发生的概率:
P 事件A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:
(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;
(2)要弄清楚所有机会均等的结果.
（注：※表示重点部分；¤表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）
∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩•⊥