(2015长宁) 如图，已知矩形ABCD ，AB =12 cm ，AD =10 cm ，⊙O 与AD 、AB 、BC 三边都相切，与DC 交于点E 、F 。已知点P 、Q 、R 分别从D 、A 、B 三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P 、Q 、R 的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q 到达点B 时停止运动，P 、R 两点同时停止运动. 设运动时间为t （单位:s）. （1）求证: DE =CF ；
（2）设x = 3，当△P AQ 与△QBR 相似时，求出t 的值；
（3）设△P AQ 关于直线PQ 对称的图形是△P A'Q ，当t 和x 分别为何值时，点A' 与圆心O 恰好重合，求出符合条件的t 、x 的值.
第25题图
(2015杨浦二模) 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，BC=10，tan ∠ABC =
3
，点O 是AB 边上动点，4
以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与边BC 的另一交点为D ，过点D 作AB 的垂线，交⊙O 于点E ，联结BE 、AE 。
当AE//BC（如图（1））时，求⊙O 的半径长；
设BO=x，AE=y，求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
若以A 为圆心的⊙A 与⊙O 有公共点D 、E ，当⊙A 恰好也过点C 时，求DE 的长。
E A
O B D
图（1）
A
O
C
B
D 备用图
（第25题图）
A
C B
备用图
C
（2015徐汇）如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB 点，以PA 为半径作（1）若
=90，AC=4，cos A =
1
，点P 是边AB 上的动4
P ；
P 与AC 边的另一交点为点D ，设AP =x ，∆PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长； C 的半径等于1，且
P 与C
AP 的长；
析式，并直接写出函数的定义域； （2）若（3）若
A
B
A B
（2015松江）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，AB=4，AD=3
，
sin ∠BCD =
P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD=∠BDC ；
（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长； （3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP=CE，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．
D H
H
C
E
（第25题图1）
C
（第25题图2）
（2015普陀）如图11-1，已知梯形
ABCD 中，AD //BC ，∠D =90，BC =5，CD =3，
cot B =1．
P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、点C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点
E ，∠BPE =∠CPD ．
（1）如图11-2，当点E 与点
A 重合时，求∠DPC 的正切值；
（2）当点E 落在线段AB 上时，设出x 的取值范围；
（3）设以BE 长为半径的⊙B 和以
BP =x ，BE =y ，试求y 与x 之间的函数解析式，并写
AD 为直径的⊙O 相切，求BP 的长．
A D
A (E ) D
B
图11-1
C
B
图11-2
P C
A D
B
图11备用图
C
（2015浦东）如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°． （1）求证：AP =AD ⋅BP ；
（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；
（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．
2
（2015闵行）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．
（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；
（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的
3
，求AM 的长； 8
（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．
B
M
D M
D C
N
（第25题图）
C B
N
（图1）
（2015静安青浦）在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．
（1） 如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长； （2） 已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且△OCD 是等
腰三角形，求AF 的长；
（3） 如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．
（第25题图1）
D
（第25题图2）
（2015金山）如图，已知在∆ABC 中，（1） 求BC 的长； （2） 点D 、E 分别是边
AB =AC =10，tan ∠B =
4 3
AB
、
AC 的中点，不重合的两动点M 、N 在边BC 上（点M 、N 不与
点B 、C 重合），且点N 始终在点M 的右边，联结DN 、EM ，交于点O ，设MN 边形①求
=x ，四
ADOE
的面积为
y ．
y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
②当∆OMN 是等腰三角形且BM =1时，求MN
的长．
B
C
第25题图
B
备用图
C
（2015黄埔）如图8，Rt △ABC 中，∠C （1）求线段CD 、AD 的长； （2）设CE =x ，DF
=90︒，∠A =30︒，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E
为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．
=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．
图8
(备用图）
（2015奉贤）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ． （1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；
（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．
B A
（第25题图）
B
A
（备用图）
九年级数学 共5页 第11页
4
，点P 是线段AB 上的一个动点， 3
以点P 为圆心，PA 为半径的P 与射线AC 的另一个交点为点D ，射线PD 交射线BC 于点E ，
（2015崇明）如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90︒，AC =8，tan B =点Q 是线段BE 的中点．
（1）当点E 在BC 的延长线上时，设PA =x ，CE =y ，求（2）以点Q 为圆心，QB 为半径的（3）射线PQ 与
y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
P 的半径；
Q 和P 相切时，求
P 相交于点M ，联结PC 、MC ，当∆PMC 是等腰三角形时，求AP 的长．
B
（第25A
C
（备用图1）
B
A
C
（备用图2）
九年级数学 共5页 第12页
=90︒，BC =2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，
使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB
垂直，交点为M ．
（1）若点M 与点B 重合如图10，求cot （2）若点M 在边BC 上如图11，设边长数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若∠BAE
（2015宝山）在Rt △ABC 中，∠C
∠BAE
的值；
与点B 不重合，求
AC =x ，BM =y ，点M y 与x 的函
=∠EBM
，求斜边
AB
的长．
图
10
M )
图11
13
(2015长宁) 如图，已知矩形ABCD ，AB =12 cm ，AD =10 cm ，⊙O 与AD 、AB 、BC 三边都相切，与DC 交于点E 、F 。已知点P 、Q 、R 分别从D 、A 、B 三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P 、Q 、R 的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q 到达点B 时停止运动，P 、R 两点同时停止运动. 设运动时间为t （单位:s）. （1）求证: DE =CF ；
（2）设x = 3，当△P AQ 与△QBR 相似时，求出t 的值；
（3）设△P AQ 关于直线PQ 对称的图形是△P A'Q ，当t 和x 分别为何值时，点A' 与圆心O 恰好重合，求出符合条件的t 、x 的值.
第25题图
(2015杨浦二模) 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，BC=10，tan ∠ABC =
3
，点O 是AB 边上动点，4
以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与边BC 的另一交点为D ，过点D 作AB 的垂线，交⊙O 于点E ，联结BE 、AE 。
当AE//BC（如图（1））时，求⊙O 的半径长；
设BO=x，AE=y，求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；
若以A 为圆心的⊙A 与⊙O 有公共点D 、E ，当⊙A 恰好也过点C 时，求DE 的长。
E A
O B D
图（1）
A
O
C
B
D 备用图
（第25题图）
A
C B
备用图
C
（2015徐汇）如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB 点，以PA 为半径作（1）若
=90，AC=4，cos A =
1
，点P 是边AB 上的动4
P ；
P 与AC 边的另一交点为点D ，设AP =x ，∆PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长； C 的半径等于1，且
P 与C
AP 的长；
析式，并直接写出函数的定义域； （2）若（3）若
A
B
A B
（2015松江）如图，已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，AB=4，AD=3
，
sin ∠BCD =
P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD=∠BDC ；
（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时，求DP 的长； （3）如图2，点E 在BC 延长线上，且满足DP=CE，PE 交DC 于点F ，若△ADH 和△ECF 相似，求DP 的长．
D H
H
C
E
（第25题图1）
C
（第25题图2）
（2015普陀）如图11-1，已知梯形
ABCD 中，AD //BC ，∠D =90，BC =5，CD =3，
cot B =1．
P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、点C 重合），过点P 作射线PE ，使射线PE 交射线BA 于点
E ，∠BPE =∠CPD ．
（1）如图11-2，当点E 与点
A 重合时，求∠DPC 的正切值；
（2）当点E 落在线段AB 上时，设出x 的取值范围；
（3）设以BE 长为半径的⊙B 和以
BP =x ，BE =y ，试求y 与x 之间的函数解析式，并写
AD 为直径的⊙O 相切，求BP 的长．
A D
A (E ) D
B
图11-1
C
B
图11-2
P C
A D
B
图11备用图
C
（2015浦东）如图，已知在△ABC 中，射线AM ∥BC ，P 是边BC 上一动点，∠APD =∠B ，PD 交射线AM 于点D ，联结CD ．AB =4，BC =6，∠B =60°． （1）求证：AP =AD ⋅BP ；
（2）如果以AD 为半径的圆A 与以BP 为半径的圆B 相切，求线段BP 的长度；
（3）将△ACD 绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时∠BEP 的余切值．
2
（2015闵行）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．
（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长；
（2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的
3
，求AM 的长； 8
（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．
B
M
D M
D C
N
（第25题图）
C B
N
（图1）
（2015静安青浦）在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．
（1） 如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长； （2） 已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且△OCD 是等
腰三角形，求AF 的长；
（3） 如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．
（第25题图1）
D
（第25题图2）
（2015金山）如图，已知在∆ABC 中，（1） 求BC 的长； （2） 点D 、E 分别是边
AB =AC =10，tan ∠B =
4 3
AB
、
AC 的中点，不重合的两动点M 、N 在边BC 上（点M 、N 不与
点B 、C 重合），且点N 始终在点M 的右边，联结DN 、EM ，交于点O ，设MN 边形①求
=x ，四
ADOE
的面积为
y ．
y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
②当∆OMN 是等腰三角形且BM =1时，求MN
的长．
B
C
第25题图
B
备用图
C
（2015黄埔）如图8，Rt △ABC 中，∠C （1）求线段CD 、AD 的长； （2）设CE =x ，DF
=90︒，∠A =30︒，BC =2，CD 是斜边AB 上的高，点E
为边AC 上一点（点E 不与点A 、C 重合），联结DE ，作CF ⊥DE ，CF 与边AB 、线段DE 分别交于点F 、G ．
=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF ，当△EFG 与△CDG 相似时，求线段CE 的长．
图8
(备用图）
（2015奉贤）已知：如图，线段AB =8，以A 为圆心，5为半径作圆A ，点C 在⊙A 上，过点C 作CD //AB 交⊙A 于点D （点D 在C 右侧），联结BC 、AD ． （1）若CD=6，求四边形ABCD 的面积；
（2）设CD =x ，BC =y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（3）设BC 的中点为M ，AD 的中点为N ，线段MN 交⊙A 于点E ，联结CE ，当CD 取何值时，CE //AD ．
B A
（第25题图）
B
A
（备用图）
九年级数学 共5页 第11页
4
，点P 是线段AB 上的一个动点， 3
以点P 为圆心，PA 为半径的P 与射线AC 的另一个交点为点D ，射线PD 交射线BC 于点E ，
（2015崇明）如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90︒，AC =8，tan B =点Q 是线段BE 的中点．
（1）当点E 在BC 的延长线上时，设PA =x ，CE =y ，求（2）以点Q 为圆心，QB 为半径的（3）射线PQ 与
y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
P 的半径；
Q 和P 相切时，求
P 相交于点M ，联结PC 、MC ，当∆PMC 是等腰三角形时，求AP 的长．
B
（第25A
C
（备用图1）
B
A
C
（备用图2）
九年级数学 共5页 第12页
=90︒，BC =2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，
使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ，过点E 作直线EM 与射线CB
垂直，交点为M ．
（1）若点M 与点B 重合如图10，求cot （2）若点M 在边BC 上如图11，设边长数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若∠BAE
（2015宝山）在Rt △ABC 中，∠C
∠BAE
的值；
与点B 不重合，求
AC =x ，BM =y ，点M y 与x 的函
=∠EBM
，求斜边
AB
的长．
图
10
M )
图11
13