《近世代数》作业
一．概念解释
1．代数运算：一个集合A ⨯B 到集合D 的映射叫做一个A ⨯B 到D 的代数运算。 2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：
1）G 对乘法运算封闭；
2）结合律成立： a (bc ) =a (bc ) 对G 中任意三个元a , b , c 都成立。 3）对于G 的任意两个元a , b 来说，方程ax =b 和ya =b 都在G 中有解。 3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。
5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；
（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。 6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）a , b ∈N ⇒a -b ∈N （2）a ∈N , r ∈N ⇒ra ∈N , ar ∈N
7．单射：一个集合A 到A 的映射，Φ:a →a ，a ∈A , a ∈A ，叫做一个A 到A 的单射。
若：a ≠b ⇒a ≠b 。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。 （2）R 有单位元。
（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。 10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。 12．环的单位元：设R 是一个环，e ∈R ，若对任意的a ∈R ，都有ea =ae =a ，则称e 是R 的单位元。 二．判断题
1．Φ是集合A 1⨯A 2⨯ ⨯A n 列集合D 的映射，则A i (i =1, 2, n ) 不能相同。(×) 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。(×)
3．设N 为正整数集，并定义a b =a +b +ab (a , b ∈N ) ，那么N 对所给运算 能作成一个群。(√) 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在a 1 a 2 a 3 a n 里(a i ∈A ) ，元的次序可以交换。(×) 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。(√) 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：
1）若a , b ∈S , 则a -b ∈S ； 2）a , b ∈S , ，则ab ∈S 。(√)
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则Φ是A 与A 间的一一映射。(√) 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。(√) 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τ
-1
σ是A 到C 的映射。(√)
10．若对于代数运算 , ，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。(√)
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是a =bc 。(×)
12．设F 是任意一个域，F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么F 的任何有限子群G 必为循环群。(√) 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 (√) 14. 设H 1, H 2均为群G 的子群，则H 1⋃H 2也为G 的子群。 (×) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 (√)
三．证明题
1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
证：G 显然非空，又任取A ，B ∈G ，则A =±1, B =±1，于是AB 是整数方阵，且AB =A ⋅B =±1， 故AB ∈G ，即G 对乘法封闭。结合律显然成立，且E 是G 单位元。
又设A ∈G ，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵A 也是整数方阵； 又A =±1, 故A 成一个群。
2． 设G=（a ）是循环群，证明：当a =∞时，G=（a ）与整数加群同构。 证：设a =∞，则当m ≠n 时，a
m
**
*
-1
=
1*-1
即A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作 A =±A *，
A
≠a n ，于是映射Φ：a m →m 就是G=（a ）到整数加群Z 的一个一
m n m +n
→m +n ，故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=（a ）与整数加群Z 同构。 一映射。又a ⋅a =a
3． 证明：高斯整环Z [i ]={a +bi |a , b ∈Z }中的单位有且只有±1 ，±i 。
证：设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di∈Z [i ]使xy=(a+bi)(c+di)=1 ±1, ±i 显然是Z[i]的单位，而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而 a 2c -abd =a 又ad= –bc 代入前式有：（(a 2+b 2) c =a ，即(a 2+b 2) |a 若a=0,则由（1）有bd= –1, 只有b=±1, 即x =±i 。
若a ≠0，则由(a 2+b 2) |a得b=0, a=±1, 即x=±1, 因此证得：Z[i] 的单位元只有±1, ±i 。 4．设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎛10⎫⎛-10⎫⎛10⎫⎛-10⎫
⎪ ⎪ ⎪ a = , b =, c =, d = 01⎪ 0-1⎪ 0-1⎪ 01⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。
证：由题设可列乘法表：
a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
由此表可知：方阵普通乘法是G 的代表运算，a 是G 的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G 中都有逆元，结合率显然成立。故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。
2
5. 证明：在群G 中只有单位元满足方程x =x 。
2-12-1
证：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设a ∈G , 且a =a ，则有a a =a a 即a=e, 即2
只有e 满足方程x =x 。
6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。 证：因为±2i
2
=5为素数，则1±2i （以及-1±2i , 2±i , -2±i ）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：
5=(1+2i )(1-2i ) 若设5=a 1a 2 a n (a i 不可约） 则 52=a 1⋅a 2 a n 且a i
5=ab且a
2
2
2
2
2
2
≠1, a i
2
≠25，这只有n =2，且a i
2
=5不妨设
=b =5则只能a =b ，即5=a a ，即5有唯一分解。
7．令G={e , a , b }，且G 有如下乘法： e a b e e a b a a b e b b e a
证明：G 对此乘法作成一个群。
证：由乘法表可知，G 对所给乘法封闭，e 是单位元，又e 逆元，因此要证G 是一个群，只要再证结合律成立即可。
任取x , y ∈G ，则显然有：e (xy ) =x (ey ) =xy =x (ye ) (xx ) x =x (xx )
其次令x , y ∈{a , b }，且x ≠y ，则由乘法表知：xx =y , yy =x , xy =yx =e ，可知结合律成立。
8．设R 是一个环，证明：
1）若R 中左右单位元同时存在，则必相等。
2）若R 中至少有两个左（或右）单位元，则R 中任一非零元都是右（或左）零因子。 证：1）设e 1, e 2分别是环R 的左右单位元，则由此有：e 1e 2=e 2 ，e 1e 2=e 1， 从而e 1=e 2 ，即它是R 的单位元。
2）设e 1，e 2是R 的两个互异的左单位元，则对任意的a ∈R , a ≠0，有
-1
=e ，a -1=b ，b -1=a ，即每个元素在G 中都有
e 1a =a =e 2a 或（e 1-e 2）a =0，但e 1-e 2≠0，故a 是R 的一个右零因子。同理，若R 有至少两个右单位
元，则R 的每一个非零元都是R 的左零因子。
9．设M （R ）是实数域R 上的二阶方阵环，又
F=⎨
⎧⎫⎪⎛a b ⎫⎪
⎪a , b ∈R ⎬，证明：F 是M （R ）的一个子域。 ⎪
⎪⎪⎩⎝-b b ⎭⎭
证：任取A ，B ∈F ，且令A =
⎛c ⎛a b ⎫
⎪，B = -d ⎪
⎝⎝-b a ⎭d ⎫
⎪，显然A -B ∈F ，又当 ⎪c ⎭
B ≠0时，实数c,d 不全为零，于是B =c 2+d 2≠0，
且AB -1= ad -bc ac +bd ⎪⎪∈F ，故F 是M （R ）的一个子域。
⎝⎭
⎛ac +bd bc -ad ⎫
10．
设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算a b =au -1b 作成一个群。
证：显然所给运算是G 的一个代数运算，又任取a , b , c ∈G , 则
(a b ) c =(au -1b ) c =(au -1b ) u -1c a (b c ) =a (bu -1c ) =au -1(bu -1c ) 而G 是群。
(au -1b ) u -1c =au -1(bu -1c ) 即(a b ) c =a (b c ) 即G 对新代数运算结合律成立。又任取a ∈G ，
a u =auu -1=a ，即u 是右单位元。
又a (ua -1u ) =au -1(ua -1u ) =u ，即ua -1u 是a 的右逆元。由群的定义知，G 对新运算也作成一个群。
11．设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，M n (R ) 是R 上n 阶方阵环，A , B ∈M n (R ) ，证明：
AB =E ⇔BA =E ，其中E 是n 阶单位矩阵。
证：设AB =E ，由于R 可交换，得：
AB =A B =B =1，从而A 可逆，设A *是A 的伴随矩阵，则由R 有单位元1可知：
A *A =AA *=E 于是A -1=A A * 故若：AB =E ，则：
ABA =A A -1A B A =A -1A =E ，即BA =E 同理可由BA =E ⇒AB =E ，证毕。
12．设A 和B 是环R 的理想，证明：当A 和B 至少有一个含有单位元时，A B ={ab |a ∈A , b ∈B }是R
的理想。
证：不妨设A 含有单位元e ，任取a 1, a 2∈A ，b 1, b 2∈B , r ∈R ，由题设A ，B 都是R 的理想，得:
-1
a 1b 1-a 2b 2∈B a 1b 1-a 2b 2=(ea 1) b 1-(ea 2) b 2=e (a 1b 1) -e (a 2b 2) =e (a 1b 1-a 2b 2) ∈A B
13. 设S 3是三次对称群，H ={(1), (12)}是S 3的子群。 1. 把S 3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。 2．求出S 3关于H 的所有左陪集和右陪集； 3． 写出S 3的所有子群与正规子群。
证：1、S 3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}; ---
2．左陪集：H ={(1), (12)} ；(13) H ={(13), (132)}；(23) H ={(23), (123)}-- 右陪集：H ={(1), (12)} ；H (13) ={(13), (123)}；H (23) ={(23), (132)}--- 3．子群：H 1={(1)},H 2={(1), (12)}
H 3={(1), (13)}},H 4={(1), (23)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3六个子群；---
H 1={(1)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3三个正规子群；
⎛12345⎫
)(45) ，τ= 14. 设σ, τ∈S 5，其中σ=(123 54132⎪⎪。
⎝⎭
1.求σ的周期;
2. 将τστ-1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。 证：1．6;
3．τστ-1=(154)(23) =(14)(15)(12)(13)(12) . —
15. 假定～是群G 的元间的一个等价关系，并且对于G 的任意三个元a , x , y 来说，有ax ～ay ⇒x ～y 。
证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。 证：设H=[e],由于～是等价关系，故e ～e, 即e ∈H ----
∀a , b ∈H , 则a ～e, b～e 因而ae ～a -1, be～b b -1, 由题设可得e ～a -1, e～b -1,---10分; 由对称性及
-1-1-1-1-1-1
传递性得b ～a , a -1a b ～a e, 再由题设得a b ～e 即a b ∈H , 那么与G 的单位元e 等价的元所作成
的集合G 的一个子群----
16. 假定R [x ]是整数环R 上的一元多项式环。 1. 写出R [x ]的理想(2, x ) 所含元素形式. 2. 证明: (2, x ) 不是R [x ]主理想.
3. 证明:若R 是有理数域, 那么(2, x ) 是R [x ]的一个主理想.
证：1、(2, x ) 刚好包含所有多项式:2a 0+a 1x + +a n x n , (a i ∈R , n ≥0) . -
2、假定(2, x ) 是主理想, 即(2, x ) =(p (x )) 那么2∈(p (x )), x ∈(p (x )) , 因而 2=q (x ) p (x ), x =h (x ) p (x ) 但由2=q (x ) p (x ) , 可得p (x ) =a ∈R , 即
a =±1, x =h (x ) a 这样±1=p (x ) ∈(2, x ) 是矛盾的. --
3、 若R 是有理数域, 那么R [x ]包含有理数
11
, 于是2=1∈(2, x ) , 因而它的理想 22
(2, x ) 含有单位元1, 因此(2, x ) 等于主理想(1). -
17. 证明：6阶群至少有一个3阶子群。
证：设G 是一个6阶群, e 是的单位元，由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3, 或6. 若G 中非单位元的阶皆为2, 则G 是交换群。--；设a , b 是两个2阶元，则{e , a , b , ab }是G 的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾，所以G 中必有3阶元或6阶元。--；若b 是6阶元, 则b 是三阶元, 因此G 必有一个3阶子群；若c 是三阶元，则G 必有一个3阶子群。-
2
18. 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，K =Ker ϕ, H ≤G , 则ϕ-1(ϕ(H )) =HK
证：∀hk ∈HK ，ϕ(hk ) =ϕ(h ) ϕ(k ) =ϕ(h ) ∈ϕ(H ) ，因此hk ∈ϕ-1(ϕ(H )) ，即HK ⊆ϕ-1(ϕ(H )) ；-∀x ∈
-1
-
ϕ-1(ϕ(H )) ，有ϕ(x ) ∈ϕ(H ) ，存在h ∈H ，使得ϕ(h ) =ϕ(x ) ，因此
-1
-
ϕ(h x ) =ϕ(h ) ϕ(x ) =e ∈K ，存在k ∈K ，使得h -1x =k , x =hk ∈HK ，即ϕ-1(ϕ(H )) ⊆HK ，因
此ϕ-1(ϕ(H )) =HK 。
19. 假定R 是由所有复数a +bi (a , b 是整数) 作成的环, 即高斯整环， 1．环R /(1+i ) 有多少元? 2. 证明: R /(1+i ) 是一个域. 证：1．R 是有单位元的可换环, 那么理想(1+i ) 的元素形式为
(a +bi )(1+i ) =(a -b ) +(a +b ) i , 注意到a -b , a +b 同奇偶性--；
而且对任意的x +yi ∈R , 且x ，y 的奇偶性相同, 设a -b =x , a +b =y , 即a =
x +y y -x
, b =, 则22
由此可见对任意的x +yi ∈R , 只要x +yi ∈(1+i ) , 因此(1+i ) 由一切x +yi 组成, 其中x ，y 同奇偶性；
x ，y 同奇偶性, 恒有x +yi +(1+i ) =(1+i ) ；若x +yi ∈R , 且x ，y 奇偶性不相同, 恒有
x +yi +(1+i ) =1+(1+i ) , 即R /(1+i ) ={0, 1},---；
2．设N R , (1+i ) ⊂N ，存在x +yi ∈N ，但是x +yi ∉(1+i ) ，即x , y 奇偶性不同，因而x -1, y 奇
偶性相同，即x -1+yi ∈(1+i ) ，所以x +yi -[(x -1) +yi ]=1∈N ，故N =Z [i ]，所以(1+i)是Z [i ]的极大理
想；从而R /(1+i ) 是仅含有两个元的域。
四．解答题
}，找一个A ⨯A 的一个满射。 1, 2, 3 1001．A ={
a 1, a 2},a 1, a 2∈A ，就是一个A ⨯A 到A 的一个满射。 解：Φ:(a 1, a 2) →min{
2．设H 是G 的一个非空子集，且H 1）H 是否为G 的一个子群？
2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。 解：1）H 不一定是群G 的子群，例：
2
=H
G=⎨
⎧⎫⎪⎛1m ⎫⎪
⎪m ∈Z ⎬Z 为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群，而 ⎪
⎪⎪⎩⎝01⎭⎭
⎧⎛10⎫⎛11⎫⎛12⎫⎛1n ⎫⎫2H=⎨ 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪ ⎬为G 的一个非空子集，易知有H =H ，但
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩⎝
H 不是G 的子群，
⎛11⎫
⎪在H 中没有逆元。 ⎪⎝01⎭
2
2）当H 有限时，则H 是G 的子群。任取a , b ∈H ，由于H 即ab ∈H 即H 对乘法运算封闭，即H 是G 的子群。
=H ，而ab ∈H 2=H
⎛a 2b ⎫
3．设R 是由数域F 上一 切形如 b a ⎪⎪的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成
⎝⎭
环或域？
解：易知R 作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵
⎛2
A = 1
⎝2⎫
⎪≠0，属于R 但A =0，故A 在R 中没有逆元，从而R 不能作成域，但是当F 为有理数域2⎪⎭
时，R 可以作成域。
4．设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合，问：
Φ:A →A （A 为A 的行列式）是否是X 到F 的一个一一映射？说明理由。
解：Φ是X 到F 的一个映射，但不是一一映射，因为
⎛10⎫⎛-11⎫⎪ A = , B = 00⎪ 00⎪⎪，A ，B ∈X , 且A ≠B ，但在Φ下，Φ(A ) =Φ(B ) =0，不是一一映射。 ⎝⎭⎝⎭
5．试举出满足以下条件的群：
1）G 是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
2）G 是无限群，G 中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。 解： 1）如整数加群G 除单位元O 外，每个元的阶都无限。
2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。
6．非零实数集R ，对运算a b =2ab 能否作成群，并说明理由。
解：能作成群，因为数的普通乘法显然是R 的代数运算，结合律当然成立，又1是R 的单位元，1与-1的逆元均为自身，任意R 的元a 都有逆元
1
，故R 作成群。 a
7．试给出集合X={1，2，3，4，5}到Y={0，2，4，6，8}的两个单射。 解：Φ1:1→2; 2→4; 3→6, 4→8, 5→10 Φ2:1→0, 2→4, 3→6, 4→8, 5→10 则Φ1，Φ2是X 到Y 的两个单射。
8．设Z[i]是高斯整环，即Z[i]={a+bi| a,b∈Z},其中Z 是整数环，问商环
Z [i ]
有多少元素？
解：易知整数k, l 有相同的奇偶性⇔存在整数x,y, 满足：k =x -y , l =x +y （1） 又Z[i]是有单位元的可换环，所以
G =={(x +yi )(1+i ) |x +yi ∈Z [i ]}={(x -y ) +(x +y ) i |x , y ∈Z } 由（1）知对k +li ∈Z [i ]，有k +li ∈⇔k , l . 有相同的奇偶性
又1∈Z [i ]，但1∉取任m +ni ∈Z [i ]，若m +ni ∉,即m,n 有相反的奇偶性，从而
m +ni -1=(m -1) +ni ∈，即m +ni +=1+，故, 1+。
9．问：域和其子域是否有相同的单位元，并说明理由。解：域或其子域有相同的单位元，事实上若F 1是F 的子
-1-1
域，I 是F 的单位元，I '是F 1的单位元，则任取a ∈F 1，且a ≠0，由F 1是域知a ∈F ，且aa =I '，
Z [i]
共有两个元素
但a , a -1∈F 1, aa -1=I ，故I '=aa
-1
=I ，即F 与F 1有相同的单位元。
10．试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
解：设Z 为整数集，Z 2为偶数集，Φ1:x →2x ， Φ2:x →2(x +1) ，其中x ∈Z ，则Φ1，Φ2就是Z 到
Z 2的两个不同的映射。
11．设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G 中下列各元素的阶：
⎛0-1⎫⎛01⎫
⎪ a = , b = 10⎪ -1-1⎪⎪, ab.
⎝⎭⎝⎭⎛10⎫⎛0-1⎫⎛-12
解：G 的单位元为e = 01⎪⎪ a = 10⎪⎪ a = 1
⎝⎭⎝⎭⎝
⎛10⎫⎛-11⎫⎛10⎫⎛123
⎪ ⎪ ⎪ 又 a 4= b =b =ab = 01⎪ 10⎪ 01⎪ 0⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
-1⎫⎛01⎫3
⎪ a = -10⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭1⎫⎪对任意的整数n ⎪1⎭
⎛11⎫⎛1n ⎫⎛10⎫n
(ab ) = 01⎪⎪= 01⎪⎪≠ 01⎪⎪ 即a 的阶为4，b 的阶为3, ab 的阶为无限。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12．设R 是环，且N 是R 的理想，H 又是N 的理想，问：H 是否一定是R 的理想，举例说明。 解：不一定
例如：令F 为任意数域，又H ，N, R分别由以下三种方阵作成的集合：
n
⎛000⎫
⎪00a 1⎪ 000⎪⎝⎭⎛00a 1⎫
⎪00a 2⎪ 000⎪⎝⎭⎛a 1
0 0⎝
a 2a 40
a 3⎫⎪
a 5⎪ 其中a i ∈F a 6⎪⎭
很明显对方阵普通加法与乘法R 作成环，且N 是R 的理想，H 是N 的理想，但是：
⎛010⎫⎛000⎫⎛001⎫
⎪ ⎪ ⎪
000⎪ 001⎪= 000⎪∉H 故H 不是R 的理想。 000⎪ 000⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛123456789⎫13. 设9次置换σ= 537618942⎪⎪，
⎝⎭
1．将σ表成互不相交的轮换乘积； 2． 将σ表示成形式为对换的乘积； 3．求出σ的逆与σ的阶。 解：1． σ=(15)(2379)(468), - 2．σ=(15)(29)(27)(23)(48)(46) - 3．σ-1=(15)(9732)(864),|σ|=12。-
五、单项选择题
1. 如果A B =A C , A B =A C ， 则（ C ）。 A. B ⊂C B. B ⊃C C. B =C D. B ≠C
2. 设A ={1, 2, 3},B ={a , b , c }，则A 到B 的映射个数有（ D ）。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 3. 指出下列那个运算是二元运算（D ）。
A ．在整数集Z 上，a b =a +b B. 在有理数集Q 上，a b =ab ab
+C. 在正实数集R 上，a b =a ln b D.在集合n ∈Z n ≥0上，a b =a -b {}
4. 下面是交换半群，但不是群的是（ A ）。
A. (N , +) B. (Q , +) C. (Z *, +) , 其中是非零整数集合 D. (C , +)
5. 设e 是群G 的单位元，a , b 是G 的两个元素，则（ C ）。
A. (ab ) -1=a -1b -1 B. (ab ) -2=a -2b -2 C. 若a 2=e ，则a =a -1 D.ab =ba
6. 精确到同构, 4阶群有( B )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 以下命题中，正确的是( B )。
A. 任意一个环R ，必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元，则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同
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《近世代数》作业
一．概念解释
1．代数运算：一个集合A ⨯B 到集合D 的映射叫做一个A ⨯B 到D 的代数运算。 2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：
1）G 对乘法运算封闭；
2）结合律成立： a (bc ) =a (bc ) 对G 中任意三个元a , b , c 都成立。 3）对于G 的任意两个元a , b 来说，方程ax =b 和ya =b 都在G 中有解。 3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。
5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；
（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。 6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）a , b ∈N ⇒a -b ∈N （2）a ∈N , r ∈N ⇒ra ∈N , ar ∈N
7．单射：一个集合A 到A 的映射，Φ:a →a ，a ∈A , a ∈A ，叫做一个A 到A 的单射。
若：a ≠b ⇒a ≠b 。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。 （2）R 有单位元。
（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。 10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。 12．环的单位元：设R 是一个环，e ∈R ，若对任意的a ∈R ，都有ea =ae =a ，则称e 是R 的单位元。 二．判断题
1．Φ是集合A 1⨯A 2⨯ ⨯A n 列集合D 的映射，则A i (i =1, 2, n ) 不能相同。(×) 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。(×)
3．设N 为正整数集，并定义a b =a +b +ab (a , b ∈N ) ，那么N 对所给运算 能作成一个群。(√) 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在a 1 a 2 a 3 a n 里(a i ∈A ) ，元的次序可以交换。(×) 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。(√) 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是：
1）若a , b ∈S , 则a -b ∈S ； 2）a , b ∈S , ，则ab ∈S 。(√)
7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则Φ是A 与A 间的一一映射。(√) 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。(√) 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τ
-1
σ是A 到C 的映射。(√)
10．若对于代数运算 , ，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。(√)
11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是a =bc 。(×)
12．设F 是任意一个域，F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么F 的任何有限子群G 必为循环群。(√) 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 (√) 14. 设H 1, H 2均为群G 的子群，则H 1⋃H 2也为G 的子群。 (×) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 (√)
三．证明题
1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。
证：G 显然非空，又任取A ，B ∈G ，则A =±1, B =±1，于是AB 是整数方阵，且AB =A ⋅B =±1， 故AB ∈G ，即G 对乘法封闭。结合律显然成立，且E 是G 单位元。
又设A ∈G ，由于A 是整数方阵，故A 的伴随矩阵A 也是整数方阵； 又A =±1, 故A 成一个群。
2． 设G=（a ）是循环群，证明：当a =∞时，G=（a ）与整数加群同构。 证：设a =∞，则当m ≠n 时，a
m
**
*
-1
=
1*-1
即A 也是整数方阵，即G 中每一个元在G 中都有逆元，从而证得G 作 A =±A *，
A
≠a n ，于是映射Φ：a m →m 就是G=（a ）到整数加群Z 的一个一
m n m +n
→m +n ，故Φ是G 到Z 的同构映射。即G=（a ）与整数加群Z 同构。 一映射。又a ⋅a =a
3． 证明：高斯整环Z [i ]={a +bi |a , b ∈Z }中的单位有且只有±1 ，±i 。
证：设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di∈Z [i ]使xy=(a+bi)(c+di)=1 ±1, ±i 显然是Z[i]的单位，而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
从而 a 2c -abd =a 又ad= –bc 代入前式有：（(a 2+b 2) c =a ，即(a 2+b 2) |a 若a=0,则由（1）有bd= –1, 只有b=±1, 即x =±i 。
若a ≠0，则由(a 2+b 2) |a得b=0, a=±1, 即x=±1, 因此证得：Z[i] 的单位元只有±1, ±i 。 4．设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎛10⎫⎛-10⎫⎛10⎫⎛-10⎫
⎪ ⎪ ⎪ a = , b =, c =, d = 01⎪ 0-1⎪ 0-1⎪ 01⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。
证：由题设可列乘法表：
a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
由此表可知：方阵普通乘法是G 的代表运算，a 是G 的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G 中都有逆元，结合率显然成立。故G 对方阵普通乘法作成一个交换群。
2
5. 证明：在群G 中只有单位元满足方程x =x 。
2-12-1
证：设e 是群G 的单位元，则e 显然满足方程另外设a ∈G , 且a =a ，则有a a =a a 即a=e, 即2
只有e 满足方程x =x 。
6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。 证：因为±2i
2
=5为素数，则1±2i （以及-1±2i , 2±i , -2±i ）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：
5=(1+2i )(1-2i ) 若设5=a 1a 2 a n (a i 不可约） 则 52=a 1⋅a 2 a n 且a i
5=ab且a
2
2
2
2
2
2
≠1, a i
2
≠25，这只有n =2，且a i
2
=5不妨设
=b =5则只能a =b ，即5=a a ，即5有唯一分解。
7．令G={e , a , b }，且G 有如下乘法： e a b e e a b a a b e b b e a
证明：G 对此乘法作成一个群。
证：由乘法表可知，G 对所给乘法封闭，e 是单位元，又e 逆元，因此要证G 是一个群，只要再证结合律成立即可。
任取x , y ∈G ，则显然有：e (xy ) =x (ey ) =xy =x (ye ) (xx ) x =x (xx )
其次令x , y ∈{a , b }，且x ≠y ，则由乘法表知：xx =y , yy =x , xy =yx =e ，可知结合律成立。
8．设R 是一个环，证明：
1）若R 中左右单位元同时存在，则必相等。
2）若R 中至少有两个左（或右）单位元，则R 中任一非零元都是右（或左）零因子。 证：1）设e 1, e 2分别是环R 的左右单位元，则由此有：e 1e 2=e 2 ，e 1e 2=e 1， 从而e 1=e 2 ，即它是R 的单位元。
2）设e 1，e 2是R 的两个互异的左单位元，则对任意的a ∈R , a ≠0，有
-1
=e ，a -1=b ，b -1=a ，即每个元素在G 中都有
e 1a =a =e 2a 或（e 1-e 2）a =0，但e 1-e 2≠0，故a 是R 的一个右零因子。同理，若R 有至少两个右单位
元，则R 的每一个非零元都是R 的左零因子。
9．设M （R ）是实数域R 上的二阶方阵环，又
F=⎨
⎧⎫⎪⎛a b ⎫⎪
⎪a , b ∈R ⎬，证明：F 是M （R ）的一个子域。 ⎪
⎪⎪⎩⎝-b b ⎭⎭
证：任取A ，B ∈F ，且令A =
⎛c ⎛a b ⎫
⎪，B = -d ⎪
⎝⎝-b a ⎭d ⎫
⎪，显然A -B ∈F ，又当 ⎪c ⎭
B ≠0时，实数c,d 不全为零，于是B =c 2+d 2≠0，
且AB -1= ad -bc ac +bd ⎪⎪∈F ，故F 是M （R ）的一个子域。
⎝⎭
⎛ac +bd bc -ad ⎫
10．
设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算a b =au -1b 作成一个群。
证：显然所给运算是G 的一个代数运算，又任取a , b , c ∈G , 则
(a b ) c =(au -1b ) c =(au -1b ) u -1c a (b c ) =a (bu -1c ) =au -1(bu -1c ) 而G 是群。
(au -1b ) u -1c =au -1(bu -1c ) 即(a b ) c =a (b c ) 即G 对新代数运算结合律成立。又任取a ∈G ，
a u =auu -1=a ，即u 是右单位元。
又a (ua -1u ) =au -1(ua -1u ) =u ，即ua -1u 是a 的右逆元。由群的定义知，G 对新运算也作成一个群。
11．设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，M n (R ) 是R 上n 阶方阵环，A , B ∈M n (R ) ，证明：
AB =E ⇔BA =E ，其中E 是n 阶单位矩阵。
证：设AB =E ，由于R 可交换，得：
AB =A B =B =1，从而A 可逆，设A *是A 的伴随矩阵，则由R 有单位元1可知：
A *A =AA *=E 于是A -1=A A * 故若：AB =E ，则：
ABA =A A -1A B A =A -1A =E ，即BA =E 同理可由BA =E ⇒AB =E ，证毕。
12．设A 和B 是环R 的理想，证明：当A 和B 至少有一个含有单位元时，A B ={ab |a ∈A , b ∈B }是R
的理想。
证：不妨设A 含有单位元e ，任取a 1, a 2∈A ，b 1, b 2∈B , r ∈R ，由题设A ，B 都是R 的理想，得:
-1
a 1b 1-a 2b 2∈B a 1b 1-a 2b 2=(ea 1) b 1-(ea 2) b 2=e (a 1b 1) -e (a 2b 2) =e (a 1b 1-a 2b 2) ∈A B
13. 设S 3是三次对称群，H ={(1), (12)}是S 3的子群。 1. 把S 3的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。 2．求出S 3关于H 的所有左陪集和右陪集； 3． 写出S 3的所有子群与正规子群。
证：1、S 3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}; ---
2．左陪集：H ={(1), (12)} ；(13) H ={(13), (132)}；(23) H ={(23), (123)}-- 右陪集：H ={(1), (12)} ；H (13) ={(13), (123)}；H (23) ={(23), (132)}--- 3．子群：H 1={(1)},H 2={(1), (12)}
H 3={(1), (13)}},H 4={(1), (23)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3六个子群；---
H 1={(1)},H 5={(1), (123), (132)},H 6=S 3三个正规子群；
⎛12345⎫
)(45) ，τ= 14. 设σ, τ∈S 5，其中σ=(123 54132⎪⎪。
⎝⎭
1.求σ的周期;
2. 将τστ-1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。 证：1．6;
3．τστ-1=(154)(23) =(14)(15)(12)(13)(12) . —
15. 假定～是群G 的元间的一个等价关系，并且对于G 的任意三个元a , x , y 来说，有ax ～ay ⇒x ～y 。
证明：与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。 证：设H=[e],由于～是等价关系，故e ～e, 即e ∈H ----
∀a , b ∈H , 则a ～e, b～e 因而ae ～a -1, be～b b -1, 由题设可得e ～a -1, e～b -1,---10分; 由对称性及
-1-1-1-1-1-1
传递性得b ～a , a -1a b ～a e, 再由题设得a b ～e 即a b ∈H , 那么与G 的单位元e 等价的元所作成
的集合G 的一个子群----
16. 假定R [x ]是整数环R 上的一元多项式环。 1. 写出R [x ]的理想(2, x ) 所含元素形式. 2. 证明: (2, x ) 不是R [x ]主理想.
3. 证明:若R 是有理数域, 那么(2, x ) 是R [x ]的一个主理想.
证：1、(2, x ) 刚好包含所有多项式:2a 0+a 1x + +a n x n , (a i ∈R , n ≥0) . -
2、假定(2, x ) 是主理想, 即(2, x ) =(p (x )) 那么2∈(p (x )), x ∈(p (x )) , 因而 2=q (x ) p (x ), x =h (x ) p (x ) 但由2=q (x ) p (x ) , 可得p (x ) =a ∈R , 即
a =±1, x =h (x ) a 这样±1=p (x ) ∈(2, x ) 是矛盾的. --
3、 若R 是有理数域, 那么R [x ]包含有理数
11
, 于是2=1∈(2, x ) , 因而它的理想 22
(2, x ) 含有单位元1, 因此(2, x ) 等于主理想(1). -
17. 证明：6阶群至少有一个3阶子群。
证：设G 是一个6阶群, e 是的单位元，由Lagrange 定理, G 的非单位元的阶只能是2,3, 或6. 若G 中非单位元的阶皆为2, 则G 是交换群。--；设a , b 是两个2阶元，则{e , a , b , ab }是G 的4阶子群这与Lagrange 定理矛盾，所以G 中必有3阶元或6阶元。--；若b 是6阶元, 则b 是三阶元, 因此G 必有一个3阶子群；若c 是三阶元，则G 必有一个3阶子群。-
2
18. 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，K =Ker ϕ, H ≤G , 则ϕ-1(ϕ(H )) =HK
证：∀hk ∈HK ，ϕ(hk ) =ϕ(h ) ϕ(k ) =ϕ(h ) ∈ϕ(H ) ，因此hk ∈ϕ-1(ϕ(H )) ，即HK ⊆ϕ-1(ϕ(H )) ；-∀x ∈
-1
-
ϕ-1(ϕ(H )) ，有ϕ(x ) ∈ϕ(H ) ，存在h ∈H ，使得ϕ(h ) =ϕ(x ) ，因此
-1
-
ϕ(h x ) =ϕ(h ) ϕ(x ) =e ∈K ，存在k ∈K ，使得h -1x =k , x =hk ∈HK ，即ϕ-1(ϕ(H )) ⊆HK ，因
此ϕ-1(ϕ(H )) =HK 。
19. 假定R 是由所有复数a +bi (a , b 是整数) 作成的环, 即高斯整环， 1．环R /(1+i ) 有多少元? 2. 证明: R /(1+i ) 是一个域. 证：1．R 是有单位元的可换环, 那么理想(1+i ) 的元素形式为
(a +bi )(1+i ) =(a -b ) +(a +b ) i , 注意到a -b , a +b 同奇偶性--；
而且对任意的x +yi ∈R , 且x ，y 的奇偶性相同, 设a -b =x , a +b =y , 即a =
x +y y -x
, b =, 则22
由此可见对任意的x +yi ∈R , 只要x +yi ∈(1+i ) , 因此(1+i ) 由一切x +yi 组成, 其中x ，y 同奇偶性；
x ，y 同奇偶性, 恒有x +yi +(1+i ) =(1+i ) ；若x +yi ∈R , 且x ，y 奇偶性不相同, 恒有
x +yi +(1+i ) =1+(1+i ) , 即R /(1+i ) ={0, 1},---；
2．设N R , (1+i ) ⊂N ，存在x +yi ∈N ，但是x +yi ∉(1+i ) ，即x , y 奇偶性不同，因而x -1, y 奇
偶性相同，即x -1+yi ∈(1+i ) ，所以x +yi -[(x -1) +yi ]=1∈N ，故N =Z [i ]，所以(1+i)是Z [i ]的极大理
想；从而R /(1+i ) 是仅含有两个元的域。
四．解答题
}，找一个A ⨯A 的一个满射。 1, 2, 3 1001．A ={
a 1, a 2},a 1, a 2∈A ，就是一个A ⨯A 到A 的一个满射。 解：Φ:(a 1, a 2) →min{
2．设H 是G 的一个非空子集，且H 1）H 是否为G 的一个子群？
2）证明：当H 有限时，H 是G 的子群。 解：1）H 不一定是群G 的子群，例：
2
=H
G=⎨
⎧⎫⎪⎛1m ⎫⎪
⎪m ∈Z ⎬Z 为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群，而 ⎪
⎪⎪⎩⎝01⎭⎭
⎧⎛10⎫⎛11⎫⎛12⎫⎛1n ⎫⎫2H=⎨ 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪, 01⎪⎪ ⎬为G 的一个非空子集，易知有H =H ，但
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩⎝
H 不是G 的子群，
⎛11⎫
⎪在H 中没有逆元。 ⎪⎝01⎭
2
2）当H 有限时，则H 是G 的子群。任取a , b ∈H ，由于H 即ab ∈H 即H 对乘法运算封闭，即H 是G 的子群。
=H ，而ab ∈H 2=H
⎛a 2b ⎫
3．设R 是由数域F 上一 切形如 b a ⎪⎪的二阶方阵作成的集合，问：R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成
⎝⎭
环或域？
解：易知R 作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵
⎛2
A = 1
⎝2⎫
⎪≠0，属于R 但A =0，故A 在R 中没有逆元，从而R 不能作成域，但是当F 为有理数域2⎪⎭
时，R 可以作成域。
4．设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合，问：
Φ:A →A （A 为A 的行列式）是否是X 到F 的一个一一映射？说明理由。
解：Φ是X 到F 的一个映射，但不是一一映射，因为
⎛10⎫⎛-11⎫⎪ A = , B = 00⎪ 00⎪⎪，A ，B ∈X , 且A ≠B ，但在Φ下，Φ(A ) =Φ(B ) =0，不是一一映射。 ⎝⎭⎝⎭
5．试举出满足以下条件的群：
1）G 是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
2）G 是无限群，G 中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。 解： 1）如整数加群G 除单位元O 外，每个元的阶都无限。
2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。
6．非零实数集R ，对运算a b =2ab 能否作成群，并说明理由。
解：能作成群，因为数的普通乘法显然是R 的代数运算，结合律当然成立，又1是R 的单位元，1与-1的逆元均为自身，任意R 的元a 都有逆元
1
，故R 作成群。 a
7．试给出集合X={1，2，3，4，5}到Y={0，2，4，6，8}的两个单射。 解：Φ1:1→2; 2→4; 3→6, 4→8, 5→10 Φ2:1→0, 2→4, 3→6, 4→8, 5→10 则Φ1，Φ2是X 到Y 的两个单射。
8．设Z[i]是高斯整环，即Z[i]={a+bi| a,b∈Z},其中Z 是整数环，问商环
Z [i ]
有多少元素？
解：易知整数k, l 有相同的奇偶性⇔存在整数x,y, 满足：k =x -y , l =x +y （1） 又Z[i]是有单位元的可换环，所以
G =={(x +yi )(1+i ) |x +yi ∈Z [i ]}={(x -y ) +(x +y ) i |x , y ∈Z } 由（1）知对k +li ∈Z [i ]，有k +li ∈⇔k , l . 有相同的奇偶性
又1∈Z [i ]，但1∉取任m +ni ∈Z [i ]，若m +ni ∉,即m,n 有相反的奇偶性，从而
m +ni -1=(m -1) +ni ∈，即m +ni +=1+，故, 1+。
9．问：域和其子域是否有相同的单位元，并说明理由。解：域或其子域有相同的单位元，事实上若F 1是F 的子
-1-1
域，I 是F 的单位元，I '是F 1的单位元，则任取a ∈F 1，且a ≠0，由F 1是域知a ∈F ，且aa =I '，
Z [i]
共有两个元素
但a , a -1∈F 1, aa -1=I ，故I '=aa
-1
=I ，即F 与F 1有相同的单位元。
10．试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
解：设Z 为整数集，Z 2为偶数集，Φ1:x →2x ， Φ2:x →2(x +1) ，其中x ∈Z ，则Φ1，Φ2就是Z 到
Z 2的两个不同的映射。
11．设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求G 中下列各元素的阶：
⎛0-1⎫⎛01⎫
⎪ a = , b = 10⎪ -1-1⎪⎪, ab.
⎝⎭⎝⎭⎛10⎫⎛0-1⎫⎛-12
解：G 的单位元为e = 01⎪⎪ a = 10⎪⎪ a = 1
⎝⎭⎝⎭⎝
⎛10⎫⎛-11⎫⎛10⎫⎛123
⎪ ⎪ ⎪ 又 a 4= b =b =ab = 01⎪ 10⎪ 01⎪ 0⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
-1⎫⎛01⎫3
⎪ a = -10⎪⎪ 0⎪⎭⎝⎭1⎫⎪对任意的整数n ⎪1⎭
⎛11⎫⎛1n ⎫⎛10⎫n
(ab ) = 01⎪⎪= 01⎪⎪≠ 01⎪⎪ 即a 的阶为4，b 的阶为3, ab 的阶为无限。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12．设R 是环，且N 是R 的理想，H 又是N 的理想，问：H 是否一定是R 的理想，举例说明。 解：不一定
例如：令F 为任意数域，又H ，N, R分别由以下三种方阵作成的集合：
n
⎛000⎫
⎪00a 1⎪ 000⎪⎝⎭⎛00a 1⎫
⎪00a 2⎪ 000⎪⎝⎭⎛a 1
0 0⎝
a 2a 40
a 3⎫⎪
a 5⎪ 其中a i ∈F a 6⎪⎭
很明显对方阵普通加法与乘法R 作成环，且N 是R 的理想，H 是N 的理想，但是：
⎛010⎫⎛000⎫⎛001⎫
⎪ ⎪ ⎪
000⎪ 001⎪= 000⎪∉H 故H 不是R 的理想。 000⎪ 000⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛123456789⎫13. 设9次置换σ= 537618942⎪⎪，
⎝⎭
1．将σ表成互不相交的轮换乘积； 2． 将σ表示成形式为对换的乘积； 3．求出σ的逆与σ的阶。 解：1． σ=(15)(2379)(468), - 2．σ=(15)(29)(27)(23)(48)(46) - 3．σ-1=(15)(9732)(864),|σ|=12。-
五、单项选择题
1. 如果A B =A C , A B =A C ， 则（ C ）。 A. B ⊂C B. B ⊃C C. B =C D. B ≠C
2. 设A ={1, 2, 3},B ={a , b , c }，则A 到B 的映射个数有（ D ）。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 3. 指出下列那个运算是二元运算（D ）。
A ．在整数集Z 上，a b =a +b B. 在有理数集Q 上，a b =ab ab
+C. 在正实数集R 上，a b =a ln b D.在集合n ∈Z n ≥0上，a b =a -b {}
4. 下面是交换半群，但不是群的是（ A ）。
A. (N , +) B. (Q , +) C. (Z *, +) , 其中是非零整数集合 D. (C , +)
5. 设e 是群G 的单位元，a , b 是G 的两个元素，则（ C ）。
A. (ab ) -1=a -1b -1 B. (ab ) -2=a -2b -2 C. 若a 2=e ，则a =a -1 D.ab =ba
6. 精确到同构, 4阶群有( B )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 以下命题中，正确的是( B )。
A. 任意一个环R ，必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元，则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同
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