繁３８卷第２３麓
２００８年１２，Ｅｌ数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳｌＮＰＲＡＣＴｌＣＥＡＮＤＴＫＥＯＲＹＶｏｌ。３８Ｎｏ。２３Ｄｅｃｅｍ。＋２００８
第二型曲线积分的中值定理
唐冒吉
‘广酉民族大学数学与计算机科学学院。广西南宁５３０００６）
箍要：辱ｌ入了定义在藏线上的函数的奔毽惶概念。趱数的套馕毪拦蒋予其连续性。作鸯该撩念的耨臻傍
形．一元函数的介值性定义比李衍禧Ｊｉｆｆ给的定义更瓶松．同时引入了关于坐标茏反向的曲线的概念．在此纂
础上证明了定义在关于嗽标无反向的曲线上的函数的第二型曲线积分的中值定理．李衍禧和荚若蜂的主要
结果及熬期豹定襄分串缕定理均是主簧缮象懿冀攀攘论。
关键词：第二型曲线糨分‘中值定璃＃介值性；关予坐标无反向的曲线
ｌ善ｌ富
积分中值定理是积分学中的重要内容，几乎所有的分析学著作或教材ｃｌ喝３都包含有此项
内容．由于积分学的体系庞大且仍在不断发展，因此此项内容的研究仍然引越不少数学工作者的兴趣，也积累了大鬟盼文献，这些文献研究豹内容大多集中予定积分孛德定理懿推广和深化。有的把其推广到熟它形式的积分。有的是推广到Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分意义下的中值定联．如文献［４，５］，其中文献［４３在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分意义下证明了多重积分的第一申值定理．有的是把定积分中值定理成立的条件进行减弱盼，如文献［６，７】．其中文献［６３把定积分中值定瑷中的连续性减弱为介值性．
出手第二型蘧线积分爨不等式性质一般苓残立，艨以一觳猿凝下筹二型鳇线积分戆孛
值定理不再成立．事实上，如果成盥．仿照定积分中值定理应叙述为：“若ｆ（ｚ，ｙ）在曲线己
ｒｒ
上连续，则存在点Ｐ（享，７／）∈厶。使撂ｌｆ（ｚ，ｙ）ｄｘ＝，（拿，７７）｜ｄｚ．”●Ｌ●ｂ
现给出艇例：设Ｌ：茹一Ｃ０５ｔ，Ｙ＝１＋ｓｉｎｆ，ｔ从０变化到２，ｒ，ｆ（ｚ，ｊ，）＝卫，＆，ｙ）ｅ
广ｒ２＃ｒ２ｆｒ广２０Ｌ．
由：ｆ－ｌｄｚ—ｌｚ’ｄｔ＝ｌ（一ｓｉｎｔ）ｄｔ一０。ｌｆ（ｚ，ｙ）ｄｘ一｜（１＋ｓｉｎｆ）（一ｓｉｎ
０ｉ。０奄０镪０ｂ●０ｔ）ｄｔ＝一戤
ｒ，
因此在￡上笼论取哪一点都不能使ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝，（￥，ｒｉ）ｌｄｚ成立．
ＪＬＪＬ
由于上述原因，到霸前为止。我们尚未发现有文献研究第二型曲线积分的中值定理．本
文弓ｌ入了定义在睦线上酶函数的介值性程关乎坐标秃度向的羹线两个穰念，在此基础上证明了定义在关于坐标无反向的曲线上的函数的第二型曲线积分的中值定理，作为本文定义的隧线上函数的奔篷饿的特殊馕形，一元函数静介蕴饿定义羹：李缮檀在文献Ｅ６３中所绘的定义更宽松．文献［６。７］的生要结果及熟知的定积分中值定理是本文主要结果的简单推论．
投稿曩期；２００８．０１．２３基金项目：新世纪广西高簿教育教学改革工程立项项融，广西民族大学自然科学熬金资助
２５６数学的实践与认识３８卷２函数的介值性和关于坐标无反向的曲线
我们先给出定义在曲线上的函数是可介值的定义和性质．
定义２．１设ｆ（ｘ。ｙ）是定义在曲线Ｌ（两端点为Ａ。Ｂ）上的二元函数，记Ｍ＝
ｓｕｐ｛／（ｚ，ｙ）Ｉ（ｚ，ｙ）∈Ｌ｝，Ⅲ＝ｉｎｆ｛ｆ（ｘ。Ｙ）ｌ（丁，ｙ）∈Ｌ｝．称函数／‘在曲线Ｌ上是可介值的，如果对于任意的实数∥：朋＜∥＜Ｍ，在曲线Ｌ上至少存在一点Ｐ（车．７），Ｐ≠Ａ，Ｂ，使得，（车，７）＝卢．
我们指出：函数的介值性要弱于函数的连续性．事实上。容易证明：若厂在曲线Ｌ上连
续．则．，‘在Ｌ上是可介值的．反之未必．反例我们稍后给出．作为曲线上函数是可介值的特殊情形。可以给出一元函数在区间上是可介值的定义．
定义２．１’设厂在艮，６］有定义．记Ｍ＝ｓｕｐ｛厂（ｚ）ｆｚＥ■．６］｝．朋＝ｉｎｆ｛厂（ｚ）『ｚＥ
队，６］｝，称函数厂在［口，６］上是可介值的。如果对于任意的实数户：小＜户＜Ｍ。至少存在一点丰∈（口．６）。使得，（手）＝卢．
文献Ｅ６３：对函数是可介值的是这样定义的．
定义２．２ｎ１设厂在■，６］有定义，函数厂在■，６］上是可介值的是指：若ｆ（ｘ。）≠
ｆ（ｘｚ），ｚ，，ｚ：∈Ｅａ。６］，则对任一介于ｆ（ｘ，）与ｆ（ｘ：）之间的数产，必存在介于ｚ，与ｚ：之间的数享．使得／（｛）＝卢．
容易看到定义２．１’定义的介值性比定义２．２的更宽松．事实上，容易证明：厂满足定义
２．２中条件的，一定满足定义２．１７中的条件．反之未必．如：
厂ｃｚ，＝｛二二．１．三茎ｌｉ００］’
若按定义２．１’。，在［一ｌ，１］上是可介值的。而按定义２．２，则，不是可介值的．该例也可说明：，是可介值的，未必是连续的．
下面给出关于坐标无反向的曲线的定义．
定义２．３设平面光滑曲线Ｌ：ｚ＝认ｆ）。ｙ＝妒（ｆ）。ｔ∈［口，明，两端点为Ａ（仪口）．妒（口））
和Ｂ（烈卢），妒（卢））．称曲线Ｌ关于坐标ｚ是无反向的，如果矿（ｆ）在■，卢］上不变号；称曲线Ｌ关于坐标ｙ是无反向的，如果妒７（ｆ）在［口，卢］上不变号．
如曲线ｚ—ｆ，Ｙ—ｓｉｎｔ，ｆ∈Ｅｏ，２巧］，则该曲线关于坐标ｚ是无反向的。关于坐标ｙ不是
无反向的．
３第二型曲线积分的不等式性质
设平面曲线Ｌ：ｚ＝认ｆ），ｙ一妒（ｆ），ｔ∈［口，１９］，曲线两端点为Ａ（认口），妒（口））和Ｂ（认ｐ）．
妒（ｐ））．下面我们给出关于坐标无反向的曲线上的第二型曲线积分的一些不等式性质，它们是证明第二型曲线积分中值定理的理论基础．
性质３．１设Ｌ是关于坐标ｚ无反向的曲线，，为定义在曲线Ｌ上的二元函数，且ｆ（ｘ．
ｙ）≥０．（ｚ。ｙ）∈Ｌ。若厂沿曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标ｚ第二型可积，则当矿（ｆ）≥０，ｔ∈［ａ，
ｒｒ
明时有Ｉ．ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ≥ｏ；当∥（ｆ）≤Ｏ，ｔ∈［口，门时有Ｉ厂（ｚ，ｙ）ｄｘ≤０．
证明
明．只证当矿（ｆ）≥ｏ，ｔ∈［口，仞时的情形，当矿（￡）≤ｏ，ｔ∈［口，明时的情形类似证
２３期牌ｌ玛占：第二利Ｉ抖ｌ线积分的巾值ｊ￡理２Ｓ７
已知，，’沿曲线Ｌ从Ａ纠Ｂ关于坐标丁第－二刑町积．则
１．，’（－ｒ。ｙ）ｄｘ＝１．，’（认ｆ）．妒（ｆ））∥（ｆ）ｄｔ．
由／’（７．ｙ）≥０，（丁。ｙ）∈Ｌ及∥（，）≥０知．，（“ｆ）。５ｆ，（ｆ））∥（，）≥ｏ。，∈［口．卢］．根据定积分的不等式性质可得
Ｉ－厂‘（丁．ｙ）ｄｘ＝Ｉ．／（妒（，）．驴（，））矽（ｆ）ｄｒ≥０．
性质３．２设Ｌ是关于坐标丁无反向的曲线。若．厂与ｇ是定义在曲线Ｌ上的■无函数。
且／‘与ｇ沿曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标』＋第．二型可积，．，‘（丁。ｙ）≤ｇ（ｘ。ｙ）。（ｎｙ）∈』，．则当∥（ｆ）≥ｏ．ｆ∈［口．卢］时有ｌｆ（ｘ。ｙ）ｄ丁≤ｌｇ（丁．ｙ）ｄｘ；当∥（ｚ）≤ｏ．ｆ∈［ａ。卢］时有１．，‘（丁。ｙ）ｄ：ｒ≥ｌ
证明ｇ（丁，ｙ）ｄｚ．令Ｆ（丁。ｙ）＝ｇ（丁。ｙ）一厂（丁．ｙ）≥０．（ｏｒ，ｙ）∈Ｌ。则由已知易推出Ｆ沿曲线Ｌ
Ｆ（丁，ｙ）ｄｘ从Ａ到Ｂ关于坐标丁第二型可积，由性质３．１知当∥（ｚ）≥ｏ，ｔ∈［口，仞时０≤ｌ
—Ｉ３ｇ（丁。ｙ）ｄ．ｒ—Ｉ，’（丁。ｙ）ｄｚ；当∥（ｆ）≤ｏ，ｔ∈［口，Ｊ９］时０≥Ｉ３１，Ｆ（ｚ，ｙ）ｄｘ＝ｌｊ１．ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘｌｊ３ｌ？
—Ｉ．，‘（，，ｙ）ｄｚ．结论得证．
性质３．３设Ｌ是关于坐标ｚ无反向的曲线．／１为定义在曲线Ｌ上的二元函数。若．厂沿
曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标Ｔ第二型可积．则ｌ／‘ｌ沿曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标０２＂也第二型可积・且当∥（ｆ）≥ｏ・ｆ∈［口，卢］时有ＩＪ，．八丁・ｊ，）ｄ丁ｌ≤Ｊ，，Ｉｆ（ｚ・ｙ）Ｉｄｘ；当∥（ｆ）≤ｏ，ｆ∈［口・卢］时有ｍ厂（ｘ，ｙ）ｄｚｌ＿＜－ｆ．Ｉ八ｚ川ＩｄＴ．
证明已知ｆ厂（ｆ．ｙ）ｄｚ存在，则ｆ厂（ｚ。ｙ）ｄ丁一ｆ９／’（妒（ｆ）。妒（ｆ））∥（ｆ）ｄｆ．由定积分的绝
ｌ１．厂（认ｆ）。驴（ｆ））∥（ｆ）Ｉｄｔ＝Ｉｌ厂（似ｔ），妒（ｆ））Ｉ矿（ｆ）ｄｔ—Ｉｌｆ（ｘ。ｙ）Ｉｄ．ｒ．对值性质知。Ｉ／’（以ｔ）。妒（ｆ））矿（ｆ）ｌ在［口。仞上也可积，
因此ｌ厂ｆ沿曲线Ｌ从Ａ到爿关于坐标ｚ也第二型可积．
再由不等式一Ｉ／’（丁，ｙ）ｆ≤／’（ｚ。Ｙ）≤Ｉ／１（丁。ｙ）Ｉ，应用性质３．２立刻可得结论中的绝对
值不等式成立．
本文主要结果的证明还需要以下引理．
引理３．１设Ｌ是关于坐标ｚ无反向的曲线，／在曲线Ｌ上有定义，且沿曲线Ｌ从月到
矗关于坐标ｚ第二型可积，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｄｘ＞０．则
１）若∥（ｆ）≥ｏ，ｔ∈［口。ｐ］．则曲线Ｌ上至少存在一段（记为Ｌ（Ｃ。Ｄ）），使得ｆ（ｓｃ，ｙ）＞
０，（丁，ｙ）∈Ｌ（Ｃ．Ｄ）；
２）若一（ｆ）≤Ｏ，ｔ∈［ｄ。明。，则曲线Ｌ上至少存在一段（记为Ｌ（Ｅ，Ｆ））。使得ｆ（ｘ。ｙ）＜
０，（ｚ．ｙ）∈Ｌ（Ｅ．声’）．
证明用反证法及性质３．１容易推得．
引理３．２…若有向曲线Ｌ是由有向曲线厶，厶，…．厶首尾相接而成。且Ｉｆ（ｘ，ｙ）ｄｓｃ
２５８数举的实践崎认识３８卷
存在・受ｌｊ胁ｘ，ｙ）ｄｚ２善Ｌ，八ｗ妇・
写｜理３．３设￡是关于坐标ｚ无反向的麓线，歹’在瞳线五上有定义，且沿曲线￡铁Ａ到
觑关于坐标ｚ第二型可积，且ｆ（ｘ。ｙ）＞０。（ｚ，ｊ，）∈Ｌ，则
１＞若存在■。ｐ］的一个子区间［口ｔ．风］，使得∥（ｆ）＞ｏ，ｆ∈［口。．砖］，则ｌｆ（ｘ．ｙ）ｄ．ｒ＞ｏ；
２）若存在■，≯］魏一拿子嚣闽［ｇ。。恁］，使得∥＜ｚ＞＜ｏ，ｆ∈［‰。韪］。刚｛ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＜ｏ。
证明我们＾鼹证结论１）．结论２）类似可证．
Ｊｉ，ｆ＿，。（丁，ｊ，）ｄｚ：ｆ８／‘（以ｆ），妒（￡））∥（ｆ）ｄ￡；ｆ１厂（９（ｚ）．妒（ｆ））∥（ｆ）ｄｆ３ｄｊ“
ｅ＃ｔｅ８
÷；’／（赋ｚ），≯（￡））≯（≠）蠢ｆ÷｜。厂（赋ｚ）＋梦≤＃））≯（ｔ）ｄｔ＞０，（３．１’
４主要结果
定理４，ｌ＜中德定理）设￡是关于坐标ｚ无反向的蓝线，／‘。ｇ为定义在￡上的二元函
数。瀵跫妇下条｛睾：１）ｆ，ｇ沿藏线￡麸Ａ到嚣美予坐标ｚ第二燮霹积，２＞歹在鼗线五上是霹介值的。３）ｇ在髓线Ｌ上不变号。则至少存在一点Ｐ（毒．ｒ／）∈Ｌ，Ｐ≠Ａ，８，使锝
ｒｒ
Ｊｉ，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｇ（ｚ。ｙ）ｄｚ＝厂（搴，７）ｌｇ（ｘ．ｙ）ｄｘ．Ｊ１．
证明匿免。，’沿趣线￡从众到８关于坐椽ｚ第二型呵积，所以厂在￡上鸯器．记Ｍ＝
ｓｕｐ｛，≤ｚ，歹）｜（ｚ．歹）∈Ｌ｝，ｍ＝ｉｎｆ（ｙ（ｚ。歹）｜（篁，岁）∈￡｝。当俄一Ｍ时。，在妻上秀常数函数。这时ＬＥ除端点Ａ，矗外的侄一点都可以侔为所求．以下设ｍ＜Ｍ，由条件３）不妨设Ⅳ（ｚ。ｊ，）≥０，（ｚ，ｙ）∈Ｌ，这时有
ｍｇＣｒ，ｊ，）≤ｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｓｃ，ｙ）≤Ｍｇ（二ｒ，ｙ）。（ｚ，ｙ）∈Ｌ。
ｒ（４．１）
痴子￡是关予坐标ｚ无爱离斡馥线，不兢设≯（￡）≥◇，ｔ∈［ｇ，≯］。这时峦缝质３。ｌ黧｜ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｘ≥０，由（４．１）应用性质３．２可得
卅ｌｇ（ｚ。ｙ）ｄｘ≤Ｉｆ（ｘ，了）ｇ（ｚ。ｙ）ｄｘ≤Ｍｌ譬（ｉ，ｙ）ｄｓｃ．Ｊ｜．Ｊ１．Ｊｉ．
，（４．２）ｒ
若｛ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ＝０，壶（唾．２＞式懿｜，ｆ（ｘ，岁）ｇ（ｚ。ｙ）ｄｘ＝０，这时夔线Ｌ上除蠛赢囊，嚣
外的任一点都町以作为所求．
＾
若Ｉｇ（ｘ，ｙ）ｄｊｃ＞０，这时必存在［ａ．用的一个子区间［口，。卢。］。使得∥（ｆ）＞ｏ，ｆ∈［口一，
Ｊｆ＋
ｒ
芦，】，若不然可攮臻ｌｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ一０。这时出（４。２）式翔
Ｊｊ－
，
ｍ≤坐—广————一≤Ｍ．Ｉｇ（丁，Ｙ）ｄｘ
Ｊ』，ｌｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ（４．３）
广
情形ｌ著ｍ＜丝—ｒ————一＜Ｍ，穗条件２）熟至少存在一点尹（毒，警）∈Ｌ，Ｐ≠ｉｇ（ｘ，ｙ）ｄｘｌ歹‘（ｚ。ｙ）ｇ（ｘ。岁）鑫。
２３期唐国吉：第二制胁线积分的中值定理
ｒ２５９
众。８，使褥歹‘（拿，警）一塑二＿１——————一，静｜歹。（，，ｙ）ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ一／（害，警＞｜ｇ（ｘ＋ｙ）ｄｘ．，，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｇ（ｘ。歹）ｄｘ
｜ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ“ｔ“
Ｊ｜．
ｒ
情形２若＜４．３）式中至少有一个等号成立，不妨设些—ｒ—————一一Ｍ。则ｌ［Ｍ川’ｌｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ
Ｊｊ．
，Ｉｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘｒ
一ｆ（ｘ，ｙ）ｊｇ（ｘ．ｙ）ｄｘ一０．因为｜ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ＞０，由弓｜理３．１知￡上存在两点ｃ（欢￡｛），妒（，『）），Ｊ，）（妒（，２）。妒（，２））。口＜ｚｌ＜，２＜卢，使得ｇ（ｘ。ｙ）＞０。（ｚ，ｙ）∈Ｌ（Ｃ。ｐ）。这里Ｌ（（，’，，））表示曲线Ｌ上从点Ｃ到点，）的那一段．容易得到
，ｒ
０≤ｌ
ｒ０ｌ＋ｔｔ－｜）’［掰～ｆ（ｘ，歹）ｋ（ｚ，ｙ）ｄｘ≤｜［掰一歹’（攀，岁）ｋ（ｚ。ｙ）ｄｘ＝ＪＪｉ一０．其中第一个不等号由性质３。１推得．第二个不等号由引理３．２和性质３．１摊得．由该不等式
可得ｌ［Ｍ—ｆ（ｘ，Ｙ）ｋ（搿．Ｙ）ｄｘ一０．由此我们可以断定，必存在Ｐ（手，７）∈Ｌ（Ｃ，Ｄ），
，使褥／‘（车，７１）一Ｍ．否则，砖经意的（ｚ。了）∈Ｌ（Ｃ，Ｄ），有ｆ（ｘ．ｙ）＜Ｍ．从丽［膨一ｆ（ｘ。
ｙ）３９（ｘ。歹）＞０，＜ｚ，歹）∈Ｌ（Ｃ。ｏ）。壹引瑷３。３知｜
ｒｒ［艇一ｆ（ｘ，ｙ）Ｊｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ＞０，矛盾．故存在Ｐ（亭，１７）∈Ｌ（Ｃ，Ｄ）（从而广（亭．７）∈Ｌ，且Ｐ≠以．Ｂ），使得，（拿，７１）一Ｍ，即
０｜。１．ｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ．Ｙ）ｄｘ一厂（｝，节）ｌ０ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ．ｉ一
推论４。ｌ设￡是关于坐标ｚ无爱自的麓线，歹‘为定义在毛上酶二元函数，渍是如下条件：１）／’沿曲线毛从Ａ到曰荧于坐标ｚ第二型可积，２），谯豌线己上是Ｗ介值的，则至少存在一点Ｐ（亭，７）∈Ｌ，Ｐ≠Ａ，Ｂ，使得
ｒ广
Ｊ｜，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｄｘ—ｆ（８，７１）ｌｄｘ．０｜，
涯明
注ｌ令ｇ（ｚ，ｙ）一ｌ，（ｚ，ｙ）∈Ｌ应鬻定理４．１立刻萄缛．若曲线Ｌ是关于坐标ｙ无反向的。有与第３节中的不等式性质及定理４．１，推论４．１完全类似的结论，只需把荚于坐标ｚ的第二型曲线积分相应地改为关于坐标ｙ的第二型曲线积分即研．
注２定理４．１与推论４。ｌ麴结论对于三维或一般的辩维空阚串的趣线积分仍成立，只需对益线，坐檬以及函数作相应的改变繇可．
推论４．２若函数厂（Ｔ）在闭区间■。西］上可积，且在■，６］上是可介值的，函数ｇ（ｘ）
ｒｂｆｂ程［“，６］上可积鼠不变号。则谯（“，ｂ）内至少存在一点拿。使得
ｌ歹。（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ一歹（车）ｌ
０＃０“ｇ（ｘ）ｄｘ。
证明把闭区间■，６］表示成平面曲线￡：ｚ＝ｚ，Ｙ一０。ｚ从舡至４ｂ，这时ｚ’一１，端点为Ａ（ａ。ｏ）．Ｂ（ｂ，ｏ）．在Ｌ上定义二元函数７，蟊如下：７（ｚ。ｙ）＝厂（ｚ）．莓（ｚ，，）＝ｇ（ｚ），（ｚ，ｙ）∈Ｌ。容易验证７，罾及Ｌ满足定理４．１的条件．应用定理４．１可推知至少存在一点Ｐ（亭，ｏ）∈Ｌ，Ｐ≠Ａ。Ｂ（／，Ｘ悉辜ｇ（娃．６））。使褥ｌ，７（ｚ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ一于（亭，ｏ）｜誊（ｚ。ｙ）ｄｘ。鞠●ｔ，●ｉ，
釉ｆ“
ｌｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ一厂（芒）｛ｇ（ｘ）ｄｘ．
２６０数学的实践‘ｊ认砂ｌ｛８卷
注３由ｆ本文所定义的函数的介值性比文献［６］的定义蜓宽松．冈此推论，１．２的结沦优ｆ文献［６Ｊ的主要结果（定理３）．文献［６］的推论１．２．３及文献ｒ７ｊ的主要结果和熟知的定积分巾值定理均是本文推论４．２的简单推论．
参考文献：
１
２１ｏＩ二尔师范夫’学数学系．敬，＃分析（ｔ：，Ｆ册）（第一ｊ版）ＩＭ】．北京：商等敷疗ｍ版朴．２００１．刘｛ｉ琏等．数学分柝讲艾（１：．卜Ｉ册）（第四版）『Ｍ１．北京：高等教肖ｆ｝ｊ版社．２００３．
徐森林．薛番华．数学分析【Ｍ１．北京：清华人学ｆＩ：版社．２００６．
２００．
６５１６９【３】｛１ｒｌ范江华．畅斌坭．多晕积分的积分中值定卵ｒＪＩ．数学的实践’Ｊ认识．２００７．３７（１２）：１９７５ｌ刘许成．Ｒ”，｝．顿积分中值定理‘Ｊ取值范嘲的改进ｌＪＪ．数’＃的实践与认识．２００４．３，１（４）：Ｉ
【６Ｊ李衍撸．积分第一中值定理的推广ＩＪＩ．数学的实践与认识．２００７．３７（９）：２０３—２０６．
［７ｌ关若峰．积分巾值定理的推广［Ｊｊ．广州大学学报．２００４．３（６）：４９９—５００．
ＴｈｅＭｅａｎＶａｌｕｅｄＴｈｅｏｒｅｍｆｏｒｔｈｅＳｅｃｏｎｄ
ＴｙｐｅＣｕｒｖｅＩｎｔｅｇｒａｌ
ＴＡＮＧＧｕｏ—ｊｉ
（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅＣｏｌｌｅｇｅ．ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ。Ｎａｎｎｉｎｇ５３０００６。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙＷｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｎｏｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｄｐｒｏｐｅｒｔｙｗｈｉｃｈｉｓｗｅａｋｅｒｔｈａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｄｅｆｉｎｅｄｏｎｆｏｒｔｈｅｔｈｅｃｕｒｖｅ．Ｗｅａｌｓｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｕｎｒｅｖｅｒｓｅｃｕｒｖｅｏｎ
ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ．Ｏｎｔｈｅｂａｓｅｏｆｔｈｅｓｅ，ｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｄｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒｔｈｅｓｅｃｏｎｄｔｙｐｅｃｕｒｖｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｓ
ｐｒｏｖｅｄ．Ｌｉ’ｓａｎｄＧｕａｎ’ｓｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｋｎｏｗｎｍｅａｎｖａｌｕｅｄｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ
ａｒｅｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓｏｆｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
ｃｕｒｖｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｔｙｐｅ
ｐｒｏｐｅｒｔｙ；ｔｈｅｕｎｒｅｖｅｒｓｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｄｔｈｅｏｒｅｍ；ｔｈｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｄｃｕｒｖｅｏｎｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ
第二型曲线积分的中值定理
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
引用次数：唐国吉， TANG Guo-ji广西民族大学,数学与计算机科学学院,广西,南宁,530006数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2008，38(23)0次
参考文献(7条)
1.华东师范大学数学系 数学分析 2001
2.刘玉琏 数学分析讲义 2003
3.徐森林.薛春华 数学分析 2006
4.范江华.杨斌妮 多重积分的积分中值定理[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(12)
5.刘许成 Rn中积分中值点取值范围的改进[期刊论文]-数学的实践与认识 2004(4)
6.李衍禧 积分第一中值定理的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2007(9)
7.关若峰 积分巾值定理的推广 2004(6)
相似文献(1条)
1.期刊论文 唐国吉.TANG Guo-ji 第二型曲线积分的第二中值定理 -数学的实践与认识2009,39(17)
引入了定义在曲线上的函数的单调性概念,在此基础上证明了第二型曲线积分的第二中值定理.定积分的第二中值定理是主要结果的简单推论.
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繁３８卷第２３麓
２００８年１２，Ｅｌ数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＳｌＮＰＲＡＣＴｌＣＥＡＮＤＴＫＥＯＲＹＶｏｌ。３８Ｎｏ。２３Ｄｅｃｅｍ。＋２００８
第二型曲线积分的中值定理
唐冒吉
‘广酉民族大学数学与计算机科学学院。广西南宁５３０００６）
箍要：辱ｌ入了定义在藏线上的函数的奔毽惶概念。趱数的套馕毪拦蒋予其连续性。作鸯该撩念的耨臻傍
形．一元函数的介值性定义比李衍禧Ｊｉｆｆ给的定义更瓶松．同时引入了关于坐标茏反向的曲线的概念．在此纂
础上证明了定义在关于嗽标无反向的曲线上的函数的第二型曲线积分的中值定理．李衍禧和荚若蜂的主要
结果及熬期豹定襄分串缕定理均是主簧缮象懿冀攀攘论。
关键词：第二型曲线糨分‘中值定璃＃介值性；关予坐标无反向的曲线
ｌ善ｌ富
积分中值定理是积分学中的重要内容，几乎所有的分析学著作或教材ｃｌ喝３都包含有此项
内容．由于积分学的体系庞大且仍在不断发展，因此此项内容的研究仍然引越不少数学工作者的兴趣，也积累了大鬟盼文献，这些文献研究豹内容大多集中予定积分孛德定理懿推广和深化。有的把其推广到熟它形式的积分。有的是推广到Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分意义下的中值定联．如文献［４，５］，其中文献［４３在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分意义下证明了多重积分的第一申值定理．有的是把定积分中值定理成立的条件进行减弱盼，如文献［６，７】．其中文献［６３把定积分中值定瑷中的连续性减弱为介值性．
出手第二型蘧线积分爨不等式性质一般苓残立，艨以一觳猿凝下筹二型鳇线积分戆孛
值定理不再成立．事实上，如果成盥．仿照定积分中值定理应叙述为：“若ｆ（ｚ，ｙ）在曲线己
ｒｒ
上连续，则存在点Ｐ（享，７／）∈厶。使撂ｌｆ（ｚ，ｙ）ｄｘ＝，（拿，７７）｜ｄｚ．”●Ｌ●ｂ
现给出艇例：设Ｌ：茹一Ｃ０５ｔ，Ｙ＝１＋ｓｉｎｆ，ｔ从０变化到２，ｒ，ｆ（ｚ，ｊ，）＝卫，＆，ｙ）ｅ
广ｒ２＃ｒ２ｆｒ广２０Ｌ．
由：ｆ－ｌｄｚ—ｌｚ’ｄｔ＝ｌ（一ｓｉｎｔ）ｄｔ一０。ｌｆ（ｚ，ｙ）ｄｘ一｜（１＋ｓｉｎｆ）（一ｓｉｎ
０ｉ。０奄０镪０ｂ●０ｔ）ｄｔ＝一戤
ｒ，
因此在￡上笼论取哪一点都不能使ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝，（￥，ｒｉ）ｌｄｚ成立．
ＪＬＪＬ
由于上述原因，到霸前为止。我们尚未发现有文献研究第二型曲线积分的中值定理．本
文弓ｌ入了定义在睦线上酶函数的介值性程关乎坐标秃度向的羹线两个穰念，在此基础上证明了定义在关于坐标无反向的曲线上的函数的第二型曲线积分的中值定理，作为本文定义的隧线上函数的奔篷饿的特殊馕形，一元函数静介蕴饿定义羹：李缮檀在文献Ｅ６３中所绘的定义更宽松．文献［６。７］的生要结果及熟知的定积分中值定理是本文主要结果的简单推论．
投稿曩期；２００８．０１．２３基金项目：新世纪广西高簿教育教学改革工程立项项融，广西民族大学自然科学熬金资助
２５６数学的实践与认识３８卷２函数的介值性和关于坐标无反向的曲线
我们先给出定义在曲线上的函数是可介值的定义和性质．
定义２．１设ｆ（ｘ。ｙ）是定义在曲线Ｌ（两端点为Ａ。Ｂ）上的二元函数，记Ｍ＝
ｓｕｐ｛／（ｚ，ｙ）Ｉ（ｚ，ｙ）∈Ｌ｝，Ⅲ＝ｉｎｆ｛ｆ（ｘ。Ｙ）ｌ（丁，ｙ）∈Ｌ｝．称函数／‘在曲线Ｌ上是可介值的，如果对于任意的实数∥：朋＜∥＜Ｍ，在曲线Ｌ上至少存在一点Ｐ（车．７），Ｐ≠Ａ，Ｂ，使得，（车，７）＝卢．
我们指出：函数的介值性要弱于函数的连续性．事实上。容易证明：若厂在曲线Ｌ上连
续．则．，‘在Ｌ上是可介值的．反之未必．反例我们稍后给出．作为曲线上函数是可介值的特殊情形。可以给出一元函数在区间上是可介值的定义．
定义２．１’设厂在艮，６］有定义．记Ｍ＝ｓｕｐ｛厂（ｚ）ｆｚＥ■．６］｝．朋＝ｉｎｆ｛厂（ｚ）『ｚＥ
队，６］｝，称函数厂在［口，６］上是可介值的。如果对于任意的实数户：小＜户＜Ｍ。至少存在一点丰∈（口．６）。使得，（手）＝卢．
文献Ｅ６３：对函数是可介值的是这样定义的．
定义２．２ｎ１设厂在■，６］有定义，函数厂在■，６］上是可介值的是指：若ｆ（ｘ。）≠
ｆ（ｘｚ），ｚ，，ｚ：∈Ｅａ。６］，则对任一介于ｆ（ｘ，）与ｆ（ｘ：）之间的数产，必存在介于ｚ，与ｚ：之间的数享．使得／（｛）＝卢．
容易看到定义２．１’定义的介值性比定义２．２的更宽松．事实上，容易证明：厂满足定义
２．２中条件的，一定满足定义２．１７中的条件．反之未必．如：
厂ｃｚ，＝｛二二．１．三茎ｌｉ００］’
若按定义２．１’。，在［一ｌ，１］上是可介值的。而按定义２．２，则，不是可介值的．该例也可说明：，是可介值的，未必是连续的．
下面给出关于坐标无反向的曲线的定义．
定义２．３设平面光滑曲线Ｌ：ｚ＝认ｆ）。ｙ＝妒（ｆ）。ｔ∈［口，明，两端点为Ａ（仪口）．妒（口））
和Ｂ（烈卢），妒（卢））．称曲线Ｌ关于坐标ｚ是无反向的，如果矿（ｆ）在■，卢］上不变号；称曲线Ｌ关于坐标ｙ是无反向的，如果妒７（ｆ）在［口，卢］上不变号．
如曲线ｚ—ｆ，Ｙ—ｓｉｎｔ，ｆ∈Ｅｏ，２巧］，则该曲线关于坐标ｚ是无反向的。关于坐标ｙ不是
无反向的．
３第二型曲线积分的不等式性质
设平面曲线Ｌ：ｚ＝认ｆ），ｙ一妒（ｆ），ｔ∈［口，１９］，曲线两端点为Ａ（认口），妒（口））和Ｂ（认ｐ）．
妒（ｐ））．下面我们给出关于坐标无反向的曲线上的第二型曲线积分的一些不等式性质，它们是证明第二型曲线积分中值定理的理论基础．
性质３．１设Ｌ是关于坐标ｚ无反向的曲线，，为定义在曲线Ｌ上的二元函数，且ｆ（ｘ．
ｙ）≥０．（ｚ。ｙ）∈Ｌ。若厂沿曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标ｚ第二型可积，则当矿（ｆ）≥０，ｔ∈［ａ，
ｒｒ
明时有Ｉ．ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ≥ｏ；当∥（ｆ）≤Ｏ，ｔ∈［口，门时有Ｉ厂（ｚ，ｙ）ｄｘ≤０．
证明
明．只证当矿（ｆ）≥ｏ，ｔ∈［口，仞时的情形，当矿（￡）≤ｏ，ｔ∈［口，明时的情形类似证
２３期牌ｌ玛占：第二利Ｉ抖ｌ线积分的巾值ｊ￡理２Ｓ７
已知，，’沿曲线Ｌ从Ａ纠Ｂ关于坐标丁第－二刑町积．则
１．，’（－ｒ。ｙ）ｄｘ＝１．，’（认ｆ）．妒（ｆ））∥（ｆ）ｄｔ．
由／’（７．ｙ）≥０，（丁。ｙ）∈Ｌ及∥（，）≥０知．，（“ｆ）。５ｆ，（ｆ））∥（，）≥ｏ。，∈［口．卢］．根据定积分的不等式性质可得
Ｉ－厂‘（丁．ｙ）ｄｘ＝Ｉ．／（妒（，）．驴（，））矽（ｆ）ｄｒ≥０．
性质３．２设Ｌ是关于坐标丁无反向的曲线。若．厂与ｇ是定义在曲线Ｌ上的■无函数。
且／‘与ｇ沿曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标』＋第．二型可积，．，‘（丁。ｙ）≤ｇ（ｘ。ｙ）。（ｎｙ）∈』，．则当∥（ｆ）≥ｏ．ｆ∈［口．卢］时有ｌｆ（ｘ。ｙ）ｄ丁≤ｌｇ（丁．ｙ）ｄｘ；当∥（ｚ）≤ｏ．ｆ∈［ａ。卢］时有１．，‘（丁。ｙ）ｄ：ｒ≥ｌ
证明ｇ（丁，ｙ）ｄｚ．令Ｆ（丁。ｙ）＝ｇ（丁。ｙ）一厂（丁．ｙ）≥０．（ｏｒ，ｙ）∈Ｌ。则由已知易推出Ｆ沿曲线Ｌ
Ｆ（丁，ｙ）ｄｘ从Ａ到Ｂ关于坐标丁第二型可积，由性质３．１知当∥（ｚ）≥ｏ，ｔ∈［口，仞时０≤ｌ
—Ｉ３ｇ（丁。ｙ）ｄ．ｒ—Ｉ，’（丁。ｙ）ｄｚ；当∥（ｆ）≤ｏ，ｔ∈［口，Ｊ９］时０≥Ｉ３１，Ｆ（ｚ，ｙ）ｄｘ＝ｌｊ１．ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘｌｊ３ｌ？
—Ｉ．，‘（，，ｙ）ｄｚ．结论得证．
性质３．３设Ｌ是关于坐标ｚ无反向的曲线．／１为定义在曲线Ｌ上的二元函数。若．厂沿
曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标Ｔ第二型可积．则ｌ／‘ｌ沿曲线Ｌ从Ａ到Ｂ关于坐标０２＂也第二型可积・且当∥（ｆ）≥ｏ・ｆ∈［口，卢］时有ＩＪ，．八丁・ｊ，）ｄ丁ｌ≤Ｊ，，Ｉｆ（ｚ・ｙ）Ｉｄｘ；当∥（ｆ）≤ｏ，ｆ∈［口・卢］时有ｍ厂（ｘ，ｙ）ｄｚｌ＿＜－ｆ．Ｉ八ｚ川ＩｄＴ．
证明已知ｆ厂（ｆ．ｙ）ｄｚ存在，则ｆ厂（ｚ。ｙ）ｄ丁一ｆ９／’（妒（ｆ）。妒（ｆ））∥（ｆ）ｄｆ．由定积分的绝
ｌ１．厂（认ｆ）。驴（ｆ））∥（ｆ）Ｉｄｔ＝Ｉｌ厂（似ｔ），妒（ｆ））Ｉ矿（ｆ）ｄｔ—Ｉｌｆ（ｘ。ｙ）Ｉｄ．ｒ．对值性质知。Ｉ／’（以ｔ）。妒（ｆ））矿（ｆ）ｌ在［口。仞上也可积，
因此ｌ厂ｆ沿曲线Ｌ从Ａ到爿关于坐标ｚ也第二型可积．
再由不等式一Ｉ／’（丁，ｙ）ｆ≤／’（ｚ。Ｙ）≤Ｉ／１（丁。ｙ）Ｉ，应用性质３．２立刻可得结论中的绝对
值不等式成立．
本文主要结果的证明还需要以下引理．
引理３．１设Ｌ是关于坐标ｚ无反向的曲线，／在曲线Ｌ上有定义，且沿曲线Ｌ从月到
矗关于坐标ｚ第二型可积，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｄｘ＞０．则
１）若∥（ｆ）≥ｏ，ｔ∈［口。ｐ］．则曲线Ｌ上至少存在一段（记为Ｌ（Ｃ。Ｄ）），使得ｆ（ｓｃ，ｙ）＞
０，（丁，ｙ）∈Ｌ（Ｃ．Ｄ）；
２）若一（ｆ）≤Ｏ，ｔ∈［ｄ。明。，则曲线Ｌ上至少存在一段（记为Ｌ（Ｅ，Ｆ））。使得ｆ（ｘ。ｙ）＜
０，（ｚ．ｙ）∈Ｌ（Ｅ．声’）．
证明用反证法及性质３．１容易推得．
引理３．２…若有向曲线Ｌ是由有向曲线厶，厶，…．厶首尾相接而成。且Ｉｆ（ｘ，ｙ）ｄｓｃ
２５８数举的实践崎认识３８卷
存在・受ｌｊ胁ｘ，ｙ）ｄｚ２善Ｌ，八ｗ妇・
写｜理３．３设￡是关于坐标ｚ无反向的麓线，歹’在瞳线五上有定义，且沿曲线￡铁Ａ到
觑关于坐标ｚ第二型可积，且ｆ（ｘ。ｙ）＞０。（ｚ，ｊ，）∈Ｌ，则
１＞若存在■。ｐ］的一个子区间［口ｔ．风］，使得∥（ｆ）＞ｏ，ｆ∈［口。．砖］，则ｌｆ（ｘ．ｙ）ｄ．ｒ＞ｏ；
２）若存在■，≯］魏一拿子嚣闽［ｇ。。恁］，使得∥＜ｚ＞＜ｏ，ｆ∈［‰。韪］。刚｛ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＜ｏ。
证明我们＾鼹证结论１）．结论２）类似可证．
Ｊｉ，ｆ＿，。（丁，ｊ，）ｄｚ：ｆ８／‘（以ｆ），妒（￡））∥（ｆ）ｄ￡；ｆ１厂（９（ｚ）．妒（ｆ））∥（ｆ）ｄｆ３ｄｊ“
ｅ＃ｔｅ８
÷；’／（赋ｚ），≯（￡））≯（≠）蠢ｆ÷｜。厂（赋ｚ）＋梦≤＃））≯（ｔ）ｄｔ＞０，（３．１’
４主要结果
定理４，ｌ＜中德定理）设￡是关于坐标ｚ无反向的蓝线，／‘。ｇ为定义在￡上的二元函
数。瀵跫妇下条｛睾：１）ｆ，ｇ沿藏线￡麸Ａ到嚣美予坐标ｚ第二燮霹积，２＞歹在鼗线五上是霹介值的。３）ｇ在髓线Ｌ上不变号。则至少存在一点Ｐ（毒．ｒ／）∈Ｌ，Ｐ≠Ａ，８，使锝
ｒｒ
Ｊｉ，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｇ（ｚ。ｙ）ｄｚ＝厂（搴，７）ｌｇ（ｘ．ｙ）ｄｘ．Ｊ１．
证明匿免。，’沿趣线￡从众到８关于坐椽ｚ第二型呵积，所以厂在￡上鸯器．记Ｍ＝
ｓｕｐ｛，≤ｚ，歹）｜（ｚ．歹）∈Ｌ｝，ｍ＝ｉｎｆ（ｙ（ｚ。歹）｜（篁，岁）∈￡｝。当俄一Ｍ时。，在妻上秀常数函数。这时ＬＥ除端点Ａ，矗外的侄一点都可以侔为所求．以下设ｍ＜Ｍ，由条件３）不妨设Ⅳ（ｚ。ｊ，）≥０，（ｚ，ｙ）∈Ｌ，这时有
ｍｇＣｒ，ｊ，）≤ｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｓｃ，ｙ）≤Ｍｇ（二ｒ，ｙ）。（ｚ，ｙ）∈Ｌ。
ｒ（４．１）
痴子￡是关予坐标ｚ无爱离斡馥线，不兢设≯（￡）≥◇，ｔ∈［ｇ，≯］。这时峦缝质３。ｌ黧｜ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｘ≥０，由（４．１）应用性质３．２可得
卅ｌｇ（ｚ。ｙ）ｄｘ≤Ｉｆ（ｘ，了）ｇ（ｚ。ｙ）ｄｘ≤Ｍｌ譬（ｉ，ｙ）ｄｓｃ．Ｊ｜．Ｊ１．Ｊｉ．
，（４．２）ｒ
若｛ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ＝０，壶（唾．２＞式懿｜，ｆ（ｘ，岁）ｇ（ｚ。ｙ）ｄｘ＝０，这时夔线Ｌ上除蠛赢囊，嚣
外的任一点都町以作为所求．
＾
若Ｉｇ（ｘ，ｙ）ｄｊｃ＞０，这时必存在［ａ．用的一个子区间［口，。卢。］。使得∥（ｆ）＞ｏ，ｆ∈［口一，
Ｊｆ＋
ｒ
芦，】，若不然可攮臻ｌｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ一０。这时出（４。２）式翔
Ｊｊ－
，
ｍ≤坐—广————一≤Ｍ．Ｉｇ（丁，Ｙ）ｄｘ
Ｊ』，ｌｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ（４．３）
广
情形ｌ著ｍ＜丝—ｒ————一＜Ｍ，穗条件２）熟至少存在一点尹（毒，警）∈Ｌ，Ｐ≠ｉｇ（ｘ，ｙ）ｄｘｌ歹‘（ｚ。ｙ）ｇ（ｘ。岁）鑫。
２３期唐国吉：第二制胁线积分的中值定理
ｒ２５９
众。８，使褥歹‘（拿，警）一塑二＿１——————一，静｜歹。（，，ｙ）ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ一／（害，警＞｜ｇ（ｘ＋ｙ）ｄｘ．，，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｇ（ｘ。歹）ｄｘ
｜ｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ“ｔ“
Ｊ｜．
ｒ
情形２若＜４．３）式中至少有一个等号成立，不妨设些—ｒ—————一一Ｍ。则ｌ［Ｍ川’ｌｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ
Ｊｊ．
，Ｉｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘｒ
一ｆ（ｘ，ｙ）ｊｇ（ｘ．ｙ）ｄｘ一０．因为｜ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ＞０，由弓｜理３．１知￡上存在两点ｃ（欢￡｛），妒（，『）），Ｊ，）（妒（，２）。妒（，２））。口＜ｚｌ＜，２＜卢，使得ｇ（ｘ。ｙ）＞０。（ｚ，ｙ）∈Ｌ（Ｃ。ｐ）。这里Ｌ（（，’，，））表示曲线Ｌ上从点Ｃ到点，）的那一段．容易得到
，ｒ
０≤ｌ
ｒ０ｌ＋ｔｔ－｜）’［掰～ｆ（ｘ，歹）ｋ（ｚ，ｙ）ｄｘ≤｜［掰一歹’（攀，岁）ｋ（ｚ。ｙ）ｄｘ＝ＪＪｉ一０．其中第一个不等号由性质３。１推得．第二个不等号由引理３．２和性质３．１摊得．由该不等式
可得ｌ［Ｍ—ｆ（ｘ，Ｙ）ｋ（搿．Ｙ）ｄｘ一０．由此我们可以断定，必存在Ｐ（手，７）∈Ｌ（Ｃ，Ｄ），
，使褥／‘（车，７１）一Ｍ．否则，砖经意的（ｚ。了）∈Ｌ（Ｃ，Ｄ），有ｆ（ｘ．ｙ）＜Ｍ．从丽［膨一ｆ（ｘ。
ｙ）３９（ｘ。歹）＞０，＜ｚ，歹）∈Ｌ（Ｃ。ｏ）。壹引瑷３。３知｜
ｒｒ［艇一ｆ（ｘ，ｙ）Ｊｇ（ｘ。ｙ）ｄｘ＞０，矛盾．故存在Ｐ（亭，１７）∈Ｌ（Ｃ，Ｄ）（从而广（亭．７）∈Ｌ，且Ｐ≠以．Ｂ），使得，（拿，７１）一Ｍ，即
０｜。１．ｆ（ｘ，ｙ）ｇ（ｘ．Ｙ）ｄｘ一厂（｝，节）ｌ０ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ．ｉ一
推论４。ｌ设￡是关于坐标ｚ无爱自的麓线，歹‘为定义在毛上酶二元函数，渍是如下条件：１）／’沿曲线毛从Ａ到曰荧于坐标ｚ第二型可积，２），谯豌线己上是Ｗ介值的，则至少存在一点Ｐ（亭，７）∈Ｌ，Ｐ≠Ａ，Ｂ，使得
ｒ广
Ｊ｜，ｌｆ（ｘ。ｙ）ｄｘ—ｆ（８，７１）ｌｄｘ．０｜，
涯明
注ｌ令ｇ（ｚ，ｙ）一ｌ，（ｚ，ｙ）∈Ｌ应鬻定理４．１立刻萄缛．若曲线Ｌ是关于坐标ｙ无反向的。有与第３节中的不等式性质及定理４．１，推论４．１完全类似的结论，只需把荚于坐标ｚ的第二型曲线积分相应地改为关于坐标ｙ的第二型曲线积分即研．
注２定理４．１与推论４。ｌ麴结论对于三维或一般的辩维空阚串的趣线积分仍成立，只需对益线，坐檬以及函数作相应的改变繇可．
推论４．２若函数厂（Ｔ）在闭区间■。西］上可积，且在■，６］上是可介值的，函数ｇ（ｘ）
ｒｂｆｂ程［“，６］上可积鼠不变号。则谯（“，ｂ）内至少存在一点拿。使得
ｌ歹。（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ一歹（车）ｌ
０＃０“ｇ（ｘ）ｄｘ。
证明把闭区间■，６］表示成平面曲线￡：ｚ＝ｚ，Ｙ一０。ｚ从舡至４ｂ，这时ｚ’一１，端点为Ａ（ａ。ｏ）．Ｂ（ｂ，ｏ）．在Ｌ上定义二元函数７，蟊如下：７（ｚ。ｙ）＝厂（ｚ）．莓（ｚ，，）＝ｇ（ｚ），（ｚ，ｙ）∈Ｌ。容易验证７，罾及Ｌ满足定理４．１的条件．应用定理４．１可推知至少存在一点Ｐ（亭，ｏ）∈Ｌ，Ｐ≠Ａ。Ｂ（／，Ｘ悉辜ｇ（娃．６））。使褥ｌ，７（ｚ，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘ一于（亭，ｏ）｜誊（ｚ。ｙ）ｄｘ。鞠●ｔ，●ｉ，
釉ｆ“
ｌｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ一厂（芒）｛ｇ（ｘ）ｄｘ．
２６０数学的实践‘ｊ认砂ｌ｛８卷
注３由ｆ本文所定义的函数的介值性比文献［６］的定义蜓宽松．冈此推论，１．２的结沦优ｆ文献［６Ｊ的主要结果（定理３）．文献［６］的推论１．２．３及文献ｒ７ｊ的主要结果和熟知的定积分巾值定理均是本文推论４．２的简单推论．
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（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅＣｏｌｌｅｇｅ．ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ。Ｎａｎｎｉｎｇ５３０００６。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙＷｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｎｏｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｄｐｒｏｐｅｒｔｙｗｈｉｃｈｉｓｗｅａｋｅｒｔｈａｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｄｅｆｉｎｅｄｏｎｆｏｒｔｈｅｔｈｅｃｕｒｖｅ．Ｗｅａｌｓｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｕｎｒｅｖｅｒｓｅｃｕｒｖｅｏｎ
ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ．Ｏｎｔｈｅｂａｓｅｏｆｔｈｅｓｅ，ｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｄｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒｔｈｅｓｅｃｏｎｄｔｙｐｅｃｕｒｖｅｉｎｔｅｇｒａｌｉｓ
ｐｒｏｖｅｄ．Ｌｉ’ｓａｎｄＧｕａｎ’ｓｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｋｎｏｗｎｍｅａｎｖａｌｕｅｄｔｈｅｏｒｅｍｆｏｒｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ
ａｒｅｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓｏｆｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
ｃｕｒｖｅＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｔｙｐｅ
ｐｒｏｐｅｒｔｙ；ｔｈｅｕｎｒｅｖｅｒｓｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｔｈｅｍｅａｎｖａｌｕｅｄｔｈｅｏｒｅｍ；ｔｈｅｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｄｃｕｒｖｅｏｎｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ
第二型曲线积分的中值定理
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
引用次数：唐国吉， TANG Guo-ji广西民族大学,数学与计算机科学学院,广西,南宁,530006数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2008，38(23)0次
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引入了定义在曲线上的函数的单调性概念,在此基础上证明了第二型曲线积分的第二中值定理.定积分的第二中值定理是主要结果的简单推论.
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