排列组合
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有m
n 2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有
m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn 3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
1
先排末位共有C3
1 然后排首位共有C4 3 最后排其它位置共有A4
4
4
3
113 由分步计数原理得C4C3A4=288
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同
的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排
522
列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A2A2=480种不同的排法
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列
3
数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A3
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，
4
则共有A7种方法。
4
5
4
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法 六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直
线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
4
6
1
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24种,再排后4个位置上
5215
的特殊元素丙有A14种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有A4A4A5种
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不
24
同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少
个？
22
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A22种排法，再排小集团内部共有A2A2种排法，由分步
22
计数原理共有A22A2A2种排法 .
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插
6
个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C9种分法。
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,
312
所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有
123123
。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5C5+C5C5+C5-9
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
222
解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,
222
该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2中还有
第二步取CD,第三步取EF
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A33种取法 ,而这些分法仅是
2223
(AB,CD,EF)一种分法,故共有C6种分法。 C4C2/A3
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有
多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5
人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C5C3C4种,只会唱的5
2211222
人中只有2人选上唱歌人员有C5C5种，由分类计数原理共有 C3C3+C5C3C4+C5C5种。
2
22
2
1
1
2
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,
也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种 十五.实际操作穷举策略
2
3
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
2
解：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5
号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有
2
也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取
12345
2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C5 +C5+C5+C5+C5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C8-12=58,每个四面体有3对异面直线,正方体中
的8个顶点可连成3⨯58=174对异面直线
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方
11133法有C3再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有C5C2C1种。C5选法所以从331115×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有C5C5C3C2C1选法。
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
54321
解:N=2A5+2A4+A3+A2+A1=297
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方
式有______ N=10
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色
齐备,则共有多少种不同的取法 解:
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.
5
3
排列组合
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有m
n 2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有
m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn 3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
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先排末位共有C3
1 然后排首位共有C4 3 最后排其它位置共有A4
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113 由分步计数原理得C4C3A4=288
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同
的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排
522
列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A2A2=480种不同的排法
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A5A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列
3
数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A77/A3
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，
4
则共有A7种方法。
4
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五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法 六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直
线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
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七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24种,再排后4个位置上
5215
的特殊元素丙有A14种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有A4A4A5种
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不
24
同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少
个？
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解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A22种排法，再排小集团内部共有A2A2种排法，由分步
22
计数原理共有A22A2A2种排法 .
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插
6
个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C9种分法。
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,
312
所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有C5C5,和为偶数的取法共有
123123
。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C5C5C5+C5C5+C5-9
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
222
解: 分三步取书得C6C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,
222
该分法记为(AB,CD,EF),则C6C4C2中还有
第二步取CD,第三步取EF
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A33种取法 ,而这些分法仅是
2223
(AB,CD,EF)一种分法,故共有C6种分法。 C4C2/A3
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有
多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5
人中没有人选上唱歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C5C3C4种,只会唱的5
2211222
人中只有2人选上唱歌人员有C5C5种，由分类计数原理共有 C3C3+C5C3C4+C5C5种。
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十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,
也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C5 种 十五.实际操作穷举策略
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例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
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解：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5
号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有
2
也只有1种装法,由分步计数原理有2C5种
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取
12345
2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：C5 +C5+C5+C5+C5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共C8-12=58,每个四面体有3对异面直线,正方体中
的8个顶点可连成3⨯58=174对异面直线
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方
11133法有C3再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有C5C2C1种。C5选法所以从331115×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有C5C5C3C2C1选法。
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？
54321
解:N=2A5+2A4+A3+A2+A1=297
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方
式有______ N=10
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色
齐备,则共有多少种不同的取法 解:
二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.
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