非稳态气测渗透率新方法研究（修改稿）
摘要 以流量管的测试原理为理论指导，提出了一种非稳态负压气测渗透率方法，此方法利用微分方程，结合达西定律，推导了渗透率测量计算公式。最后，从数学角度验证了此测量方法的正确性。此测试方法简单、快捷，且具有现实可行性。
关键词 非稳态 渗透率 测量 方法
The study of a new unsteady-state method of
measuring gas permeability
SHAO Dong-liang 1 , WAN Jun-feng 2, W ANG Fei1
(1. Petroleum Instrument Research Institute, China University of Petroleum,Dongying,Shandong 257061 2. College of Energy Resources,Chengdu University of Technology, Chengdu,Sichuan 610059)
Abstract ：Based on measuring principle of flow tube，an unsteady-state method of measuring gas permeability at the state of negative pressure is given. By using differential equation,considering Darcy law ,the measurement and calculation formula is theoretical derived. Finally, the validity of the measuring method is deduced in mathematics.The measurement method is simple and quick,and having feasibility.
Key words：unsteady-state permeability measurement method
引言
[1][3]
目前国内外已经开展了非稳态法测量渗透率的研究~，总的来说，这些测量仪器结
构复杂，且都用到高压气瓶，那么实验操作起来就存在一定的危险性。而流量管由于不需要气源，且具有设备简单，测量速度快的优点，在国内广泛使用。本文以流量管的测试原理为理论指导，利用微分方程，结合达西公式，推导了非稳态负压气测渗透率方法的计算公式，从数学角度给出了理论验证。从测试原理及模型来看，此测量系统有结构简单、操作方便、测试时间短、实验安全的优点。
1测量原理及计算公式推导
1.1测量原理
按文献[4]阐述的流量管测试原理将其模型化并智能化[5]，如图1所示。测试原理可描述为：其夹持器一端与标准室相连，另一端与大气相通，用真空泵对标准室抽空使其具有一初始压力P 1，测定标准室内的压力从P 1变化到P 2所用的时间t 2-t 1 ，便可计算岩心的气体渗透率。可以看出，此种求取渗透率的方法非常简单、快捷。
图1 非稳态负压气测渗透率方法原理模型图
1.2计算公式推导
假设标准室以及其与岩心之间空隙的容积总和为V 0，在某一t 时刻，标准室内的压力为 P ，标准室内的气体换算到大气状态（P 0）下的体积为V t ，则有：
PV 0=P 0V t
（1）
到t+dt时刻，标准室内压力为P+dP，标准室内的气体换算到大气状态（P 0）下的体积为V t +dv，则有：
(P +dP ) V 0=P 0(V t +dV )
联立（1）（2）式，得到：
（2） （3）
dV =
V 0dP
P 0
2
KA (P 0-P 2)
dt （4） 根据达西公式，有： dV =Qdt =
2⨯0. 1μLP 0
式中：Q —气体流量，cm /s；K —岩心的气测渗透率，µm；μ—通过岩心的空气粘度，mPa ⋅s ；L —岩心长度，cm ；Ａ—岩心截面积，cm ； P—t 时刻标准室内的压力，MPa 。
2
3
2
将（3）（4）式联立，整理，积分得到非稳态负压气测渗透率计算公式：
⎛P 0+P 2⎫P 0+P 1
⎪0. 1μLV 0 ln -ln P -P ⎪P 0-P 021K =
A (t 2-t 1) P 0
3
（5）
式中：V 0—标准室以及其与岩心之间空隙的容积总和，cm ；P 0—岩心入口压力，即大气压力（绝对压力），MPa ；P 1—标准室内进行抽空操作后的压力值（绝对压力），MPa ；P 2—时间为t 2时标准室中的压力值（绝对压力），MPa ；t 1、t 2—当标准室内的压力分别为P 1、P 2时对应的时间，s 。
上式除了P 1、P 2及t 2-t 1外，其它参数均为已知。
2理论验证
代表当今世界先进水平的自动岩心测量系统CMS-300，与本文提到的测量方法在测试原理方面有相似点，前者在正压的条件下，根据罐内压力变化率求取渗透率，而后者在负压的条件下，根据标准室内压力的变化求取渗透率。所以，从数学角度来考虑，两者在求取渗透率的公式方面能统一起来。如果能够统一，则进一步说明此非稳态负压气测渗透率方法的正确性。
自动岩心测量系统CMS-300的渗透率计算公式为
[1][6]
：
（6）
P g =-a +
⎛P g +a ⎫37425L μ0. 0013379αML 2
⎪ y Z +y Z P 1m 1m g 24⎪K ∞D K ∞D ⎝P g +2P a ⎭
-1
-1
式中：P g —压力P 1、P 2的几何平均值，psi （146.96 MPa）（表压）；a —由（8）式定义的i 与m 的比值，psi （146.96 MPa）；L —岩心长度，cm ；μ—氦气粘度，mPa ⋅s ；K ∞—克氏渗透率，10µm；D —岩心直径，cm ；y 1—由（10）式定义的体积流速函数，cm /s；Z m
-3
2
3
—压缩因子；α—紊流系数，µm；M —摩尔质量，g/mol；P a —大气压力，psi （146.96 MPa）（绝对压力）
本文阐述的测量方法在室温和低压的条件下实验，压缩因子近似为1；测试过程中，岩心两端压差不大，气体流动则不会形成紊流。
所以认为（6）式压缩因子Z m =1，紊流系数α=0，那么（6）式写为：
-1
P g =-a +
其中：
a =
37425L μ
y 1
K ∞D 2
（7）
-1
式中：b —滑脱因子，psi （146.96 MPa）。
i
=2P a +b m
（8）
K ∞D 2K ∞A
m ==
37425L μ2000⨯14. 696μL
（9）
i i
) P (P +) 12 y 1=ln (t 2-t 1) P 2(P ) 1+
m m
V t (P g +
3
（10）
式中： Vt —氦气罐的体积，cm ；P 1、P 2—分别为t 1、t 2时刻氦气罐中的压力，psi （146.96 MPa ）（表压）； t1、t 2—当氦气罐中的压力分别为P 1、P 2时对应的时间，s 。
如果不考虑滑脱效应，即b=0；结合（8）、（9）式，那么（7）式可以写为：
则m =
-1
P g =-2P a +
1
y 1 m
（11）
y 1
，联立（9）（10）式，整理得
P g +2P a
1000⨯14. 696μLV t ln K ∞=
P 1(P 2+2P a ) P 2(P 1+2P a )
A (t 2-t 1) P a
P 1(P 2+2P a ) P 2(P 1+2P a ) A (t 2-t 1) P a
（12）
将(12)式中的压力以MPa 作单位，（12）式变为：
100μLV t ln K ∞=
-3
2
（13）
（13）式中压力P 1、P 2代表表压，用MPa 作单位，P a 代表绝对压力，也以MPa 作单位，K 以10µm作单位；为了使（5）式与（13）式统一起来，现把（5）式中的压力P 1、P 2 也以表压表示，仍用MPa 作单位，K 以10µm作单位。
令：P 0-P a =0，则P 0=P a ；
-3
2
''a ； P 1-P a =P 1，则P 1=P 1+P P 2-P a =P 2'，则P 2=P 2'+P a 。
'式中P a —大气压力，MPa （绝对压力）；P MPa ；P 2'—P 2 对应的表压，1—P 1 对应的表压，
MPa 。
那么（5）式变为：
1000⨯0. 1μLV t (lnK =
'a P a +P 2'+P a P +P 1+P -ln a )
'P a -P 2'-P a P a -P -P 1a
A (t 2-t 1) P a
100μLV t ln =
'2'+2P a ) P 1(P 'P 2'(P 1+2P a )
A (t 2-t 1) P a
（14）
可以看出（13）式（14）式达到了一致，说明了此非稳态负压气测渗透率方法的正确性。
3结束语
综上所述，此非稳态气测渗透率方法是正确的、合理的，且容易实现；它由于不需要气源，有实验安全的优点，理论上来讲，这应是一种比较实用的方法。
参 考 文 献
[1]赵仕俊. CMS-200/300 自动岩芯测量系统分析[J]. 石油仪器，1995,9(4)：219-224
[2]高家碧, 蒲正刚, 易敏. TPT-1型非稳态岩石孔渗参数测定仪[J].仪器仪表学报，1997,18(1)：105-108 [3]陈祖安, 伍向阳, 方华等. 岩石气体介质渗透率的瞬态测量方法[J].地球物理学报，1999，42（增刊）：167-170
[4]杨胜来，魏俊之. 油层物理学[M].北京:石油工业出版社,2004.145-146
[5]邵东亮. 非稳态气测渗透率方法研究 .中国石油大学(华东) 机电装备教学实习总厂(内部资料) [6]Jones S C. A rapid Accurate Unsteady Klinkenberg Permeameter .Soe Pet. Eng. J. 1972.
非稳态气测渗透率新方法研究（修改稿）
摘要 以流量管的测试原理为理论指导，提出了一种非稳态负压气测渗透率方法，此方法利用微分方程，结合达西定律，推导了渗透率测量计算公式。最后，从数学角度验证了此测量方法的正确性。此测试方法简单、快捷，且具有现实可行性。
关键词 非稳态 渗透率 测量 方法
The study of a new unsteady-state method of
measuring gas permeability
SHAO Dong-liang 1 , WAN Jun-feng 2, W ANG Fei1
(1. Petroleum Instrument Research Institute, China University of Petroleum,Dongying,Shandong 257061 2. College of Energy Resources,Chengdu University of Technology, Chengdu,Sichuan 610059)
Abstract ：Based on measuring principle of flow tube，an unsteady-state method of measuring gas permeability at the state of negative pressure is given. By using differential equation,considering Darcy law ,the measurement and calculation formula is theoretical derived. Finally, the validity of the measuring method is deduced in mathematics.The measurement method is simple and quick,and having feasibility.
Key words：unsteady-state permeability measurement method
引言
[1][3]
目前国内外已经开展了非稳态法测量渗透率的研究~，总的来说，这些测量仪器结
构复杂，且都用到高压气瓶，那么实验操作起来就存在一定的危险性。而流量管由于不需要气源，且具有设备简单，测量速度快的优点，在国内广泛使用。本文以流量管的测试原理为理论指导，利用微分方程，结合达西公式，推导了非稳态负压气测渗透率方法的计算公式，从数学角度给出了理论验证。从测试原理及模型来看，此测量系统有结构简单、操作方便、测试时间短、实验安全的优点。
1测量原理及计算公式推导
1.1测量原理
按文献[4]阐述的流量管测试原理将其模型化并智能化[5]，如图1所示。测试原理可描述为：其夹持器一端与标准室相连，另一端与大气相通，用真空泵对标准室抽空使其具有一初始压力P 1，测定标准室内的压力从P 1变化到P 2所用的时间t 2-t 1 ，便可计算岩心的气体渗透率。可以看出，此种求取渗透率的方法非常简单、快捷。
图1 非稳态负压气测渗透率方法原理模型图
1.2计算公式推导
假设标准室以及其与岩心之间空隙的容积总和为V 0，在某一t 时刻，标准室内的压力为 P ，标准室内的气体换算到大气状态（P 0）下的体积为V t ，则有：
PV 0=P 0V t
（1）
到t+dt时刻，标准室内压力为P+dP，标准室内的气体换算到大气状态（P 0）下的体积为V t +dv，则有：
(P +dP ) V 0=P 0(V t +dV )
联立（1）（2）式，得到：
（2） （3）
dV =
V 0dP
P 0
2
KA (P 0-P 2)
dt （4） 根据达西公式，有： dV =Qdt =
2⨯0. 1μLP 0
式中：Q —气体流量，cm /s；K —岩心的气测渗透率，µm；μ—通过岩心的空气粘度，mPa ⋅s ；L —岩心长度，cm ；Ａ—岩心截面积，cm ； P—t 时刻标准室内的压力，MPa 。
2
3
2
将（3）（4）式联立，整理，积分得到非稳态负压气测渗透率计算公式：
⎛P 0+P 2⎫P 0+P 1
⎪0. 1μLV 0 ln -ln P -P ⎪P 0-P 021K =
A (t 2-t 1) P 0
3
（5）
式中：V 0—标准室以及其与岩心之间空隙的容积总和，cm ；P 0—岩心入口压力，即大气压力（绝对压力），MPa ；P 1—标准室内进行抽空操作后的压力值（绝对压力），MPa ；P 2—时间为t 2时标准室中的压力值（绝对压力），MPa ；t 1、t 2—当标准室内的压力分别为P 1、P 2时对应的时间，s 。
上式除了P 1、P 2及t 2-t 1外，其它参数均为已知。
2理论验证
代表当今世界先进水平的自动岩心测量系统CMS-300，与本文提到的测量方法在测试原理方面有相似点，前者在正压的条件下，根据罐内压力变化率求取渗透率，而后者在负压的条件下，根据标准室内压力的变化求取渗透率。所以，从数学角度来考虑，两者在求取渗透率的公式方面能统一起来。如果能够统一，则进一步说明此非稳态负压气测渗透率方法的正确性。
自动岩心测量系统CMS-300的渗透率计算公式为
[1][6]
：
（6）
P g =-a +
⎛P g +a ⎫37425L μ0. 0013379αML 2
⎪ y Z +y Z P 1m 1m g 24⎪K ∞D K ∞D ⎝P g +2P a ⎭
-1
-1
式中：P g —压力P 1、P 2的几何平均值，psi （146.96 MPa）（表压）；a —由（8）式定义的i 与m 的比值，psi （146.96 MPa）；L —岩心长度，cm ；μ—氦气粘度，mPa ⋅s ；K ∞—克氏渗透率，10µm；D —岩心直径，cm ；y 1—由（10）式定义的体积流速函数，cm /s；Z m
-3
2
3
—压缩因子；α—紊流系数，µm；M —摩尔质量，g/mol；P a —大气压力，psi （146.96 MPa）（绝对压力）
本文阐述的测量方法在室温和低压的条件下实验，压缩因子近似为1；测试过程中，岩心两端压差不大，气体流动则不会形成紊流。
所以认为（6）式压缩因子Z m =1，紊流系数α=0，那么（6）式写为：
-1
P g =-a +
其中：
a =
37425L μ
y 1
K ∞D 2
（7）
-1
式中：b —滑脱因子，psi （146.96 MPa）。
i
=2P a +b m
（8）
K ∞D 2K ∞A
m ==
37425L μ2000⨯14. 696μL
（9）
i i
) P (P +) 12 y 1=ln (t 2-t 1) P 2(P ) 1+
m m
V t (P g +
3
（10）
式中： Vt —氦气罐的体积，cm ；P 1、P 2—分别为t 1、t 2时刻氦气罐中的压力，psi （146.96 MPa ）（表压）； t1、t 2—当氦气罐中的压力分别为P 1、P 2时对应的时间，s 。
如果不考虑滑脱效应，即b=0；结合（8）、（9）式，那么（7）式可以写为：
则m =
-1
P g =-2P a +
1
y 1 m
（11）
y 1
，联立（9）（10）式，整理得
P g +2P a
1000⨯14. 696μLV t ln K ∞=
P 1(P 2+2P a ) P 2(P 1+2P a )
A (t 2-t 1) P a
P 1(P 2+2P a ) P 2(P 1+2P a ) A (t 2-t 1) P a
（12）
将(12)式中的压力以MPa 作单位，（12）式变为：
100μLV t ln K ∞=
-3
2
（13）
（13）式中压力P 1、P 2代表表压，用MPa 作单位，P a 代表绝对压力，也以MPa 作单位，K 以10µm作单位；为了使（5）式与（13）式统一起来，现把（5）式中的压力P 1、P 2 也以表压表示，仍用MPa 作单位，K 以10µm作单位。
令：P 0-P a =0，则P 0=P a ；
-3
2
''a ； P 1-P a =P 1，则P 1=P 1+P P 2-P a =P 2'，则P 2=P 2'+P a 。
'式中P a —大气压力，MPa （绝对压力）；P MPa ；P 2'—P 2 对应的表压，1—P 1 对应的表压，
MPa 。
那么（5）式变为：
1000⨯0. 1μLV t (lnK =
'a P a +P 2'+P a P +P 1+P -ln a )
'P a -P 2'-P a P a -P -P 1a
A (t 2-t 1) P a
100μLV t ln =
'2'+2P a ) P 1(P 'P 2'(P 1+2P a )
A (t 2-t 1) P a
（14）
可以看出（13）式（14）式达到了一致，说明了此非稳态负压气测渗透率方法的正确性。
3结束语
综上所述，此非稳态气测渗透率方法是正确的、合理的，且容易实现；它由于不需要气源，有实验安全的优点，理论上来讲，这应是一种比较实用的方法。
参 考 文 献
[1]赵仕俊. CMS-200/300 自动岩芯测量系统分析[J]. 石油仪器，1995,9(4)：219-224
[2]高家碧, 蒲正刚, 易敏. TPT-1型非稳态岩石孔渗参数测定仪[J].仪器仪表学报，1997,18(1)：105-108 [3]陈祖安, 伍向阳, 方华等. 岩石气体介质渗透率的瞬态测量方法[J].地球物理学报，1999，42（增刊）：167-170
[4]杨胜来，魏俊之. 油层物理学[M].北京:石油工业出版社,2004.145-146
[5]邵东亮. 非稳态气测渗透率方法研究 .中国石油大学(华东) 机电装备教学实习总厂(内部资料) [6]Jones S C. A rapid Accurate Unsteady Klinkenberg Permeameter .Soe Pet. Eng. J. 1972.