第3讲 教学方案
——材料在拉伸与压缩时的力学性能
许用应力与强度条件
§2-3 材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料的力学性能：也称机械性能。通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和强度刚度的依据。因此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分。
此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。
1. 试件和设备
标准试件：圆截面试件，如图2-14：标距l 与直径d 的比例分为，l =10d ，l =5d ； 板试件（矩形截面）：标距l 与横截面面积A 的比例分为，l =11. 3A ，l =5. 65
A ；
试验设备主要是拉力机或全能机及相关的测量、记录仪器。 详细介绍见材料力学试验部分。国家标准《金属拉伸试验方法》（如GB228-87）详细规定了实验
方法和各项要求。
2. 低碳钢拉伸时的力学性能
低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，如A 3钢、16Mn 钢。 1）拉伸图（P —ΔL ），如图2-15所示。
弹性阶段（oa ）
屈服（流动）阶段（bc ）
强化阶段（ce ）由于P —ΔL 曲线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，可采用应力应变曲线，即σ-ε曲线来代替P —ΔL 曲线。进而试件内部出现裂纹，名义应力σ下跌，至f 点试件断裂。
对低碳钢来说，σs ，σb 是衡量材料强度的重要指标。 2）σ-ε曲线图，如图2-16所示，其各特征点的含义为：
oa 段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力σ与应变ε为直线关系直至a 点，此时a
点所对应的
应力值称为比例极限，用σ
表示。它是应力与应变成正比例的最大极限。当σ≤σP 则有
σ=E ε （2-5）
即胡克定律，它表示应力与应变成正比，即有
σE ==tan α
ε
P
E 为弹性模量，单位与σ相同。
当应力超过比例极限增加到b 点时，σ-ε关系偏离直线，此时若将应力卸至零，则应变随之消失（一旦应力超过b 点，卸载后，有一部分应变不能消除），此b 点的应力定义为弹性极限σe 。σe 是材料只出现弹性变形的极限值。 bc 段：应力超过弹性极限后继续加载，会出现一种现象，即应力增加很少或不增
加，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限σs 。又称屈服强度。在屈服阶段应力不变而应变不断增加，材料似乎失去了抵抗变形的能力，因此产生了显著的塑性变形（此时若卸载，应变不会完全消失，而存在残余变形）。所以σs 是衡量材料强度的重要指标。
表面磨光的低碳钢试样屈服时，表面将出现与轴线成45°倾角的条纹，这是由于材料内部晶格相对滑移形成的，称为滑移线，如图2-17所示。
ce 段：越过屈服阶段后，如要让试件继续变形，必须继续加载，材料似乎强化了，ce 段即强化阶段。应变强化阶段的最高点（e 点）所对应的应力称为强度极限σb 。它表示材料所能承受的最大
应力。过e 点后，即应力达到强度极限后，试件局部发生剧烈收缩的现象，称为颈缩，如图2-18所示。
3）延伸率和截面收缩率
为度量材料塑性变形的能力，定义延伸率为
l 1-l l
δ=⨯100%
此处l 为试件标线间的标距，l 1为试件断裂后量得的标线间的长度。 定义截面收缩率为
ψ=
A -A 1
A
⨯100%
ψ=60%，此处A 为试件原园面积，A 1为断裂后试件颈缩处面积。对于低碳钢：δ=20-30%，
这两个值越大，说明材料塑性越好。
工程上通常按延伸率的大小把材料分为两类：δ≥5%—塑性材料；δ
卸载规律：试样加载到超过屈服极限后（见图2-16中d 点）卸载，卸载线dd ' 大致平行于OP 线，εp 为卸载后的塑性变形此时og =od +d g =εp +εe ，其中εe 为卸载过程中恢复的弹性应变，（残
'
'
余变形），卸载至d 后若再加载，加载线仍沿d d 线上升，因此加载的应力应变关系符合胡克定律。
冷作硬化：上述材料进入强化阶段以后的卸载再加载历史（如经冷拉处理的钢筋），使材料此后的σ-ε关系沿d d ef 路径，此时材料的比例极限和开始强化的应力提高了，而塑性变形能力降低了，这一现象称为冷作硬化。
'
' '
3．其它塑性材料拉伸时的力学性能
此类材料与低碳钢共同之处是断裂破坏前要经历大量塑性变形，不同之处是没有明显的屈服阶段。对于σ-ε曲线没有“屈服平台”的塑性材料，工程上规定取完全卸载后具有残余应变量
εP =0. 2%时的应力叫名义屈服
极限，用σ0. 2表示。
4．铸铁拉伸时的力学性能具有以下特点
1） 如图2-19所示灰口铸铁拉伸 时的应力—应变关系，它只有一个强度指标σb ；且抗拉强度较低；
2）在断裂破坏前，几乎没有塑性变形；
3）σ-ε关系近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。
材料在静荷压缩时的力学性能
金属材料的压缩试件一般为短圆柱，其高度与直径之比为h/d=(1. 5~3)。
1．低碳钢压缩时的σ
-ε
曲线
低碳钢压缩时的σ-ε曲线，如图2-20所示。
E, σs 与拉伸时大致相同。因越压越扁，得不到σb 。
2．铸铁压缩时的σ
-ε
曲线
铸铁压缩时的σ-ε曲线，如图2-21所示。注意到：1）由于材料组织结构内含缺陷较多，铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限均有较大分散度，但抗压强度极限σc 大大高于抗拉强度极限σt ，其关系大约
为σc =(3~5)σt ；2）显示出一定程度的塑性变形特征，致使短柱试样断裂前呈现园鼓形；3）破坏时试件的断口沿与轴线大约成50°的斜面断开，为灰暗色平断口。（图2-21）
与铸铁在机械工程中广泛作为机械底座等承压部件相类似，作为另一类典型的脆性材 料的混凝土，石料等则是建筑工程中重要的承压材料
§2-4许用应力，强度条件
1．安全系数与许用应力
由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。工程材料失效的两种形式为：（1）塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。如低碳钢、铝合金等塑性材料。（2）脆性断裂，材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂。如铸铁、混凝土等脆断材料。
许用应力：保证构件安全可靠工作所容许的最大应力值。
对于塑性材料，进入塑性屈服时的应力取屈服极限σs ，对于某些无明显屈服平台的合金材料取σσ
0. 2
，则危险应力σ
=σs 或σ
0. 2
；对于脆性材料：断裂时的应力是强度极限σb ，则
=σb 。
构件许用应力用[σ]=
σ
n
表示，则工程上一般取
塑性材料： 脆性材料：
[σ]=[σ]=
σσ
s
n s
b
；
n b
n s , n b 塑性材料脆性材料
2．强度条件
安全系数或许用应力的选定应根据有关规定或查阅国家有关规范或设计手册。通常在静荷设计中取
n s =1. 5~2. 0，有时可取n s =1. 25~1. 50 n b =2. 5~3. 0，有时甚至大于3.5以上
安全系数的选取原则充分体现了工程上处理安全与经济一对矛盾的原则，是复杂、审慎的事。现从力学角度讨论其影响因素：
（1） 对载荷估计的准确性与把握性：如重力、压力容器的压力等可准确估计与测量，大自然的水力、风力、地震力等则较难估计。
（2） 材料的均匀性与力学性能指标的稳定性：如低碳钢之类塑性材料组织较均匀，强度指标较稳定，塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲，而铸铁之类脆性材料正相反，强度指标分散度大、应力集中、微细观缺陷对强度均造成极大影响。
（3） 计算公式的近似性：由于应力、应变等理论计算公式建立在材料均匀连续，各向同性假设基础上，拉伸（压缩）应力，变形公式要求载荷通过等直杆的轴线等，所以材料不均匀性，加载的偏心，杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确。
（4） 环境：工程构件的工作环境比实验室要复杂的多，如加工精度，腐蚀介质，高、低温等
问题均应予以考虑。 设σ
m ax
是发生在轴力最大处的应力（等直截面杆），则拉伸（压缩）强度条件为
N m ax A
≤[σ] （2-5）
σ
m ax
=
根据上述强度条件可以解决以下三方面问题： 1）校核强度 σ
=N m ax A
≤[σ] 是否满足。
m ax
2）设计截面， A ≥
N m ax
[σ]
3）确定构件所能承受的最大安全载荷， N m ax ≤[σ]A
进而由N max 与载荷的平衡关系得到许可载荷，而对于变截面杆（如阶梯杆），σN max 处，还与截面积A 有关。
m ax
不一定在
例2-5 杆系结构如图2-22所示，已知杆AB 、AC 材料相同，[σ]=160MPa ，横截面积分别为
22
A 1=706. 9mm ，A 2=314mm ，试确定此结构许可载荷[P ]。
解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB 杆轴力为N 1，AC 杆轴力为N 2。
对于节点A ，由∑X =0得
N 2sin 45=N 1sin 30（a ）
由∑Y =0得
N 1cos 30+N 2cos 45=P （b ）
由强度条件计算各杆容许轴力
[N 1]≤A 1[σ]=706. 9⨯160⨯10⨯10
6
-6
=113. 1kN （c ）
[N 2]≤A 2[σ]=314⨯160⨯106⨯10-6=50. 3kN （d ） 由于AB 、AC 杆不能同时达到容许轴力，如果将[N 1]，[N 2]代入（2）式，解得
[P ]=133. 5kN
显然是错误的。 正确的解应由（a ）、（b ）式解得各杆轴力与结构载荷P 应满足的关系
N 1=
2P 1+
32P 1+
3
=0. 732P （e ）
N 2=
=0. 518P （f ）
（2）根据各杆各自的强度条件，即N 1≤[N 1]，N 2≤[N 2]计算所对应的载荷[P ]，由（c ）、（e ）有
N 1≤[N 1]=A 1[σ]=113. 1kN 0. 732P ≤113. 1kN
[P 1]≤154. 5kN （g ）
N 2≤[N 2]=A 2[σ]=50. 3kN 0. 518P ≤50. 3kN
由（d ）、（f ）有
[P 2]≤97. 1kN （h ）
要保证AB 、AC 杆的强度，应取（g ）、（h ）二者中的小值，即[P 2]，因而得
[P ]=97. 1kN
上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。
o
例，已知：一个三角架α=30，斜杆有两根80⨯80⨯7等边角钢组成，横杆由两根10号槽刚组成，材料为A3，[σ]=120MPa 。
求：许可载荷 1）受力分析：
∑Y =0
N ：
1=
P sin 30
=2P
∑X
=0
：N 2=N 1=1. 732P
2）计算许可轴力[N ] 查型钢表：
A 1=10. 86⨯2=21. 7cm
2
；
A 22
1=12. 74⨯2=25. 48cm
σ=
N A
≤[σ]
由强度计算公式：
则：[N ]=A [σ]
[N 21. 7⨯10-4⨯120
=2. 6⨯10
-1
1]=MN =260kN
[N 2]=25. 48⨯10-4⨯120
=306kN
3）计算许可载荷：将N 1=[N 1]
[P [N 1]
1]=2
=
2602
=130kN
；
[P [N 2]
306
2]=
1. 732
=
1. 732
=176. 5kN
；
[P ]=
130kN
第3讲 教学方案
——材料在拉伸与压缩时的力学性能
许用应力与强度条件
§2-3 材料在拉伸与压缩时的力学性能
材料的力学性能：也称机械性能。通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。如变形特性，破坏特性等。研究材料的力学性能的目的是确定在变形和强度刚度的依据。因此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分。
此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。
1. 试件和设备
标准试件：圆截面试件，如图2-14：标距l 与直径d 的比例分为，l =10d ，l =5d ； 板试件（矩形截面）：标距l 与横截面面积A 的比例分为，l =11. 3A ，l =5. 65
A ；
试验设备主要是拉力机或全能机及相关的测量、记录仪器。 详细介绍见材料力学试验部分。国家标准《金属拉伸试验方法》（如GB228-87）详细规定了实验
方法和各项要求。
2. 低碳钢拉伸时的力学性能
低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，如A 3钢、16Mn 钢。 1）拉伸图（P —ΔL ），如图2-15所示。
弹性阶段（oa ）
屈服（流动）阶段（bc ）
强化阶段（ce ）由于P —ΔL 曲线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，可采用应力应变曲线，即σ-ε曲线来代替P —ΔL 曲线。进而试件内部出现裂纹，名义应力σ下跌，至f 点试件断裂。
对低碳钢来说，σs ，σb 是衡量材料强度的重要指标。 2）σ-ε曲线图，如图2-16所示，其各特征点的含义为：
oa 段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力σ与应变ε为直线关系直至a 点，此时a
点所对应的
应力值称为比例极限，用σ
表示。它是应力与应变成正比例的最大极限。当σ≤σP 则有
σ=E ε （2-5）
即胡克定律，它表示应力与应变成正比，即有
σE ==tan α
ε
P
E 为弹性模量，单位与σ相同。
当应力超过比例极限增加到b 点时，σ-ε关系偏离直线，此时若将应力卸至零，则应变随之消失（一旦应力超过b 点，卸载后，有一部分应变不能消除），此b 点的应力定义为弹性极限σe 。σe 是材料只出现弹性变形的极限值。 bc 段：应力超过弹性极限后继续加载，会出现一种现象，即应力增加很少或不增
加，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限σs 。又称屈服强度。在屈服阶段应力不变而应变不断增加，材料似乎失去了抵抗变形的能力，因此产生了显著的塑性变形（此时若卸载，应变不会完全消失，而存在残余变形）。所以σs 是衡量材料强度的重要指标。
表面磨光的低碳钢试样屈服时，表面将出现与轴线成45°倾角的条纹，这是由于材料内部晶格相对滑移形成的，称为滑移线，如图2-17所示。
ce 段：越过屈服阶段后，如要让试件继续变形，必须继续加载，材料似乎强化了，ce 段即强化阶段。应变强化阶段的最高点（e 点）所对应的应力称为强度极限σb 。它表示材料所能承受的最大
应力。过e 点后，即应力达到强度极限后，试件局部发生剧烈收缩的现象，称为颈缩，如图2-18所示。
3）延伸率和截面收缩率
为度量材料塑性变形的能力，定义延伸率为
l 1-l l
δ=⨯100%
此处l 为试件标线间的标距，l 1为试件断裂后量得的标线间的长度。 定义截面收缩率为
ψ=
A -A 1
A
⨯100%
ψ=60%，此处A 为试件原园面积，A 1为断裂后试件颈缩处面积。对于低碳钢：δ=20-30%，
这两个值越大，说明材料塑性越好。
工程上通常按延伸率的大小把材料分为两类：δ≥5%—塑性材料；δ
卸载规律：试样加载到超过屈服极限后（见图2-16中d 点）卸载，卸载线dd ' 大致平行于OP 线，εp 为卸载后的塑性变形此时og =od +d g =εp +εe ，其中εe 为卸载过程中恢复的弹性应变，（残
'
'
余变形），卸载至d 后若再加载，加载线仍沿d d 线上升，因此加载的应力应变关系符合胡克定律。
冷作硬化：上述材料进入强化阶段以后的卸载再加载历史（如经冷拉处理的钢筋），使材料此后的σ-ε关系沿d d ef 路径，此时材料的比例极限和开始强化的应力提高了，而塑性变形能力降低了，这一现象称为冷作硬化。
'
' '
3．其它塑性材料拉伸时的力学性能
此类材料与低碳钢共同之处是断裂破坏前要经历大量塑性变形，不同之处是没有明显的屈服阶段。对于σ-ε曲线没有“屈服平台”的塑性材料，工程上规定取完全卸载后具有残余应变量
εP =0. 2%时的应力叫名义屈服
极限，用σ0. 2表示。
4．铸铁拉伸时的力学性能具有以下特点
1） 如图2-19所示灰口铸铁拉伸 时的应力—应变关系，它只有一个强度指标σb ；且抗拉强度较低；
2）在断裂破坏前，几乎没有塑性变形；
3）σ-ε关系近似服从胡克定律，并以割线的斜率作为弹性模量。
材料在静荷压缩时的力学性能
金属材料的压缩试件一般为短圆柱，其高度与直径之比为h/d=(1. 5~3)。
1．低碳钢压缩时的σ
-ε
曲线
低碳钢压缩时的σ-ε曲线，如图2-20所示。
E, σs 与拉伸时大致相同。因越压越扁，得不到σb 。
2．铸铁压缩时的σ
-ε
曲线
铸铁压缩时的σ-ε曲线，如图2-21所示。注意到：1）由于材料组织结构内含缺陷较多，铸铁的抗压强度极限与其抗拉强度极限均有较大分散度，但抗压强度极限σc 大大高于抗拉强度极限σt ，其关系大约
为σc =(3~5)σt ；2）显示出一定程度的塑性变形特征，致使短柱试样断裂前呈现园鼓形；3）破坏时试件的断口沿与轴线大约成50°的斜面断开，为灰暗色平断口。（图2-21）
与铸铁在机械工程中广泛作为机械底座等承压部件相类似，作为另一类典型的脆性材 料的混凝土，石料等则是建筑工程中重要的承压材料
§2-4许用应力，强度条件
1．安全系数与许用应力
由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象，称为失效。工程材料失效的两种形式为：（1）塑性屈服，指材料失效时产生明显的塑性变形，并伴有屈服现象。如低碳钢、铝合金等塑性材料。（2）脆性断裂，材料失效时几乎不产生塑性变形而突然断裂。如铸铁、混凝土等脆断材料。
许用应力：保证构件安全可靠工作所容许的最大应力值。
对于塑性材料，进入塑性屈服时的应力取屈服极限σs ，对于某些无明显屈服平台的合金材料取σσ
0. 2
，则危险应力σ
=σs 或σ
0. 2
；对于脆性材料：断裂时的应力是强度极限σb ，则
=σb 。
构件许用应力用[σ]=
σ
n
表示，则工程上一般取
塑性材料： 脆性材料：
[σ]=[σ]=
σσ
s
n s
b
；
n b
n s , n b 塑性材料脆性材料
2．强度条件
安全系数或许用应力的选定应根据有关规定或查阅国家有关规范或设计手册。通常在静荷设计中取
n s =1. 5~2. 0，有时可取n s =1. 25~1. 50 n b =2. 5~3. 0，有时甚至大于3.5以上
安全系数的选取原则充分体现了工程上处理安全与经济一对矛盾的原则，是复杂、审慎的事。现从力学角度讨论其影响因素：
（1） 对载荷估计的准确性与把握性：如重力、压力容器的压力等可准确估计与测量，大自然的水力、风力、地震力等则较难估计。
（2） 材料的均匀性与力学性能指标的稳定性：如低碳钢之类塑性材料组织较均匀，强度指标较稳定，塑性变形阶段可作为断裂破坏前的缓冲，而铸铁之类脆性材料正相反，强度指标分散度大、应力集中、微细观缺陷对强度均造成极大影响。
（3） 计算公式的近似性：由于应力、应变等理论计算公式建立在材料均匀连续，各向同性假设基础上，拉伸（压缩）应力，变形公式要求载荷通过等直杆的轴线等，所以材料不均匀性，加载的偏心，杆件的初曲率都会造成理论计算的不精确。
（4） 环境：工程构件的工作环境比实验室要复杂的多，如加工精度，腐蚀介质，高、低温等
问题均应予以考虑。 设σ
m ax
是发生在轴力最大处的应力（等直截面杆），则拉伸（压缩）强度条件为
N m ax A
≤[σ] （2-5）
σ
m ax
=
根据上述强度条件可以解决以下三方面问题： 1）校核强度 σ
=N m ax A
≤[σ] 是否满足。
m ax
2）设计截面， A ≥
N m ax
[σ]
3）确定构件所能承受的最大安全载荷， N m ax ≤[σ]A
进而由N max 与载荷的平衡关系得到许可载荷，而对于变截面杆（如阶梯杆），σN max 处，还与截面积A 有关。
m ax
不一定在
例2-5 杆系结构如图2-22所示，已知杆AB 、AC 材料相同，[σ]=160MPa ，横截面积分别为
22
A 1=706. 9mm ，A 2=314mm ，试确定此结构许可载荷[P ]。
解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设AB 杆轴力为N 1，AC 杆轴力为N 2。
对于节点A ，由∑X =0得
N 2sin 45=N 1sin 30（a ）
由∑Y =0得
N 1cos 30+N 2cos 45=P （b ）
由强度条件计算各杆容许轴力
[N 1]≤A 1[σ]=706. 9⨯160⨯10⨯10
6
-6
=113. 1kN （c ）
[N 2]≤A 2[σ]=314⨯160⨯106⨯10-6=50. 3kN （d ） 由于AB 、AC 杆不能同时达到容许轴力，如果将[N 1]，[N 2]代入（2）式，解得
[P ]=133. 5kN
显然是错误的。 正确的解应由（a ）、（b ）式解得各杆轴力与结构载荷P 应满足的关系
N 1=
2P 1+
32P 1+
3
=0. 732P （e ）
N 2=
=0. 518P （f ）
（2）根据各杆各自的强度条件，即N 1≤[N 1]，N 2≤[N 2]计算所对应的载荷[P ]，由（c ）、（e ）有
N 1≤[N 1]=A 1[σ]=113. 1kN 0. 732P ≤113. 1kN
[P 1]≤154. 5kN （g ）
N 2≤[N 2]=A 2[σ]=50. 3kN 0. 518P ≤50. 3kN
由（d ）、（f ）有
[P 2]≤97. 1kN （h ）
要保证AB 、AC 杆的强度，应取（g ）、（h ）二者中的小值，即[P 2]，因而得
[P ]=97. 1kN
上述分析表明，求解杆系结构的许可载荷时，要保证各杆受力既满足平衡条件又满足强度条件。
o
例，已知：一个三角架α=30，斜杆有两根80⨯80⨯7等边角钢组成，横杆由两根10号槽刚组成，材料为A3，[σ]=120MPa 。
求：许可载荷 1）受力分析：
∑Y =0
N ：
1=
P sin 30
=2P
∑X
=0
：N 2=N 1=1. 732P
2）计算许可轴力[N ] 查型钢表：
A 1=10. 86⨯2=21. 7cm
2
；
A 22
1=12. 74⨯2=25. 48cm
σ=
N A
≤[σ]
由强度计算公式：
则：[N ]=A [σ]
[N 21. 7⨯10-4⨯120
=2. 6⨯10
-1
1]=MN =260kN
[N 2]=25. 48⨯10-4⨯120
=306kN
3）计算许可载荷：将N 1=[N 1]
[P [N 1]
1]=2
=
2602
=130kN
；
[P [N 2]
306
2]=
1. 732
=
1. 732
=176. 5kN
；
[P ]=
130kN