一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1
1．
2．
lim(e -x )
x →0
x
x =
.
⎰
1-1
x (1+x 2005)(e x -e -x )dx =
x +y
2
.
3．设函数y =y (x ) 由方程⎰1
x
e -t dt =x
dy
确定，则dx
x =0
=
.
tf (t ) dt =f (x ) f (0) =1⎰()f x 1
4. 设可导，且，，则f (x )=5．微分方程y ''+4y '+4y =0的通解为 .
二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．设常数k >0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y ''+4y =3cos2x 的特解形式为（ ）.
**
（A ）y =A cos2x ; （B ）y =Ax cos2x ;
f (x ) =ln x -
x +k e 在(0, +∞) 内零点的个数为（ ）.
*
（C ）y =Ax cos2x +Bx sin2x ; （D ）y =A sin 2x . 3．下列结论不一定成立的是（ ）.
*
f (x )dx ≤⎰f (x )dx ⎰[][]c , d ⊆a , b c a
（A ）若, 则必有;
f (x )dx ≥0⎰[]a , b f (x ) ≥0a
（B ）若在上可积, 则;
（C ）若f (x )是周期为T 的连续函数, 则对任意常数a 都有
x
d b
b
⎰
a +T a
f (x )dx =⎰f (x )dx
T
;
t f (t )dt ⎰()f x 0（D ）若可积函数为奇函数, 则也为奇函数.
f (x )=
4. 设
1+e
1
x 1x
2+3e , 则x =0是f (x ) 的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1
．计算定积分
x 3e -x dx
2
.
2．计算不定积分
⎰
x sin x
cos 5x .
x
⎧x =a (t -sin t ), π⎨t =
2处的切线的方程. 3．求摆线⎩y =a (1-cos t ), 在
4. 设
F (x ) =⎰cos(x 2-t ) dt
，求F '(x ) .
5．设
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线y =
x n =
n
(n +1)(n +2)(n +3) (2n )
lim x n
n ，求n →∞.
x -2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
22
2．设平面图形D 由x +y ≤2x 与y ≥x 所确定，试求D 绕直线x =2 旋转一周所生成的旋转体的体积.
t
a >1, f (t ) =a -at 在(-∞, +∞) 内的驻点为 t (a ). 问a 为何值时t (a ) 最小? 并求3. 设
最小值.
五．证明题（7分）
设函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
1
f (0) f ==(1=0，, (
2
) 1
试证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得f '(ξ)=1. 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1
1． 2．
lim(e x -x ) x =
x →0
e .
4
e .
dy
确定，则dx
x =0
12
⎰
1-1
x (1+x 2005)(e x -e -x )dx =
x +y
2
3．设函数y =y (x ) 由方程⎰1
e -t dt =x =
e -1.
12x 2
⎰4. 设f (x )可导，且
x 1
tf (t ) dt =f (x )
，f (0) =1，则f (x )=e
-2x
.
5．微分方程y ''+4y '+4y =0的通解为y =(C 1+C 2x ) e 二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
.
1．设常数k >0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y ''+4y =3cos 2x 的特解形式为 （ C ）
**y =A cos2x y （A ）； （B ）=Ax cos2x ； *
（C ）y =Ax cos2x +Bx sin2x ； （D ）y =A sin 2x 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
f (x ) =ln x -
x +k
(0, +∞) 内零点的个数为（ B ）. e 在
*
(A) (A) 若[c , d ]⊆[a , b ], 则必有
⎰
d
c
f (x )dx ≤⎰f (x )dx
a
b
b
;
f (x )dx ≥0⎰[]a , b f (x ) ≥0a
(B) (B) 若在上可积, 则;
(C) (C) 若f (x )是周期为T 的连续函数, 则对任意常数
a 都有
⎰
a +T a
f (x )dx =⎰f (x )dx
T
;
x
t f (t )dt ⎰()f x 0(D) (D) 若可积函数为奇函数, 则也为奇函数.
f (x )=
1+e
1
x 1x
2+3e , 则x =0是f (x ) 的（ C ）. 4. 设
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰0 解：
2
x 3e -x dx
20
2
.
2
设x 2=t , 则⎰x 3e -x dx =⎰
1-t 12
te dt =-⎰tde -t 0220 -------2
2
1⎡-t 22-t ⎤
=-⎢te -⎰e dt ⎥
002⎣⎦ -------2
2131
=-e -2-e -t =-e -2
0222 --------2
2．计算不定积分解：
⎰
x sin x 5
cos x .
x sin x 111⎡x dx ⎤
dx =xd () =-4⎰cos 5x ⎰cos 4x ⎥4⎰cos 4x 4⎢⎣cos x ⎦ --------3
x 1
-(tan2x +1) d tan x 4⎰4cos x 4x 113
=-tan x -tan x +C 4cos 4x 124 -----------3 =
⎧x =a (t -sin t ), π⎨t =
2处的切线的方程. 3．求摆线⎩y =a (1-cos t ), 在
π
(a (-1), a ) 2解：切点为 -------2
k =
dy a s i n t =
s ) t =πdx t =πa (1-c o t
2
2
=1 -------2
切线方程为
x
y -a =x -a (
π
2
-1)
即
y =x +(2-
π
2
) a
. -------2
4. 设 5．设
F (x ) =⎰cos(x 2-t ) dt
22
'F (x ) =2x cos x -(2x -1) cos(x -x ) . ，则
x n =
n
n +1)(n +2)(n +3) (2n )
lim x n
n ，求n →∞.
1n i
ln x n =∑l n 1(+)
n i =1n ---------2 解：
n 1i 1
lim ln x n =lim ∑ln(1+) =⎰ln(1+x ) dx
0n →∞n →∞n n i =1 --------------2 1
=2ln 2-1
01+x = ------------2 42ln 2-1
e =lim x n
e 故 n →∞=
x ln(1+x ) 10-⎰x
1
四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y =
x -2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
解：
（x 0, y 0) ，则过原点的切线方程为设切点为
y =
1
x
2x 0-2， x
（x 0, y 0) 在切线上，带入切线方程，解得切点为x 0=4, y 0=2.-----3 由于点
过原点和点(4, 2) 的切线方程为
面积
y =
22-----------------------------3
s =⎰
2
22
(y +2-22y ) dy
=3-------------------3
2
或
s =⎰
20
122
xdx +⎰(
2
4
122
x -x -2) dx =
223
22
2．设平面图形D 由x +y ≤2x 与y ≥x 所确定，试求D 绕直线x =2旋转一周所生成的旋转体的体积
.
解： 法一：V =V 1-V 2
10
=⎰π2-(1--y ) dy -⎰π(2-y ) 2dy =2π⎰
10
[
2
]
2
1
-y
1
2
-(y -1) 2dy
-------6
]
⎡π11⎤π1=2π⎢-(y -1) 3⎥=2π(-)
0⎦43 --------3 ⎣43
法二：V =
10
2π⎰(2-x )(2x -x 2-x ) dx
2
10
------------------ 5
=2π⎰(2-x ) 2x -x dx -2π⎰(2x -x 2) dx
14
=π⎰(2-2x ) 2x -x 2+22x -x 2dx -π
03
3
⎡2⎤41221=π⎢(2x -x ) +2⨯π⨯1⎥-π
04⎣3⎦3
21412=π+π2-π=π2-π32323 ------------- 4
[]
3. 设a >1, f (t ) =a -at 在(-∞, +∞) 内的驻点为 t (a ). 问a 为何值时t (a ) 最小? 并求最
小值.
t
解:
由f '(t ) =a t ln a -a =0得t (a ) =1-
ln ln a
.
ln a --------------- 3
又由t '(a ) =
ln ln a -1e
=0得唯一驻点a =e 2
a (l n a ) ------------3
当a >e e 时, t '(a ) >0; 当a
故
a =e e 为t (a ) 的最小值点, 最小值为t (e e ) =1-
ln e 1
=1-. e e --------------1
五．证明题（7分）
1
f (0)=f (1)=0, f () =1，
2设函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
试证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得f '(ξ)=1.
证明：设F (x ) =f (x ) -x ，F (x ) 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f (0)=f (1)=0,
有F (0)=f (0)-0=0, F (1)=f (1)-1=-1,--------------- 2
1111111f ()=11]F ()=f ()-=1-=，[，
2222在2上F (x ) 用零点定理， 又由2，知2
11F (1)F ()=-
22根据，--------------- 2
11(，1) F (η)=0，η∈(,1) ⊂(0,1)
2可知在2内至少存在一点η，使得,
F (0)=F (η)=0由ROLLE 中值定理得 至少存在一点ξ∈(0,η) ⊂(0,1)使得
F '(ξ)=0即f '(ξ) -1=0，证毕. --------------3
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1
1．
2．
lim(e -x )
x →0
x
x =
.
⎰
1-1
x (1+x 2005)(e x -e -x )dx =
x +y
2
.
3．设函数y =y (x ) 由方程⎰1
x
e -t dt =x
dy
确定，则dx
x =0
=
.
tf (t ) dt =f (x ) f (0) =1⎰()f x 1
4. 设可导，且，，则f (x )=5．微分方程y ''+4y '+4y =0的通解为 .
二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）
1．设常数k >0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y ''+4y =3cos2x 的特解形式为（ ）.
**
（A ）y =A cos2x ; （B ）y =Ax cos2x ;
f (x ) =ln x -
x +k e 在(0, +∞) 内零点的个数为（ ）.
*
（C ）y =Ax cos2x +Bx sin2x ; （D ）y =A sin 2x . 3．下列结论不一定成立的是（ ）.
*
f (x )dx ≤⎰f (x )dx ⎰[][]c , d ⊆a , b c a
（A ）若, 则必有;
f (x )dx ≥0⎰[]a , b f (x ) ≥0a
（B ）若在上可积, 则;
（C ）若f (x )是周期为T 的连续函数, 则对任意常数a 都有
x
d b
b
⎰
a +T a
f (x )dx =⎰f (x )dx
T
;
t f (t )dt ⎰()f x 0（D ）若可积函数为奇函数, 则也为奇函数.
f (x )=
4. 设
1+e
1
x 1x
2+3e , 则x =0是f (x ) 的（ ）.
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1
．计算定积分
x 3e -x dx
2
.
2．计算不定积分
⎰
x sin x
cos 5x .
x
⎧x =a (t -sin t ), π⎨t =
2处的切线的方程. 3．求摆线⎩y =a (1-cos t ), 在
4. 设
F (x ) =⎰cos(x 2-t ) dt
，求F '(x ) .
5．设
四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线y =
x n =
n
(n +1)(n +2)(n +3) (2n )
lim x n
n ，求n →∞.
x -2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
22
2．设平面图形D 由x +y ≤2x 与y ≥x 所确定，试求D 绕直线x =2 旋转一周所生成的旋转体的体积.
t
a >1, f (t ) =a -at 在(-∞, +∞) 内的驻点为 t (a ). 问a 为何值时t (a ) 最小? 并求3. 设
最小值.
五．证明题（7分）
设函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
1
f (0) f ==(1=0，, (
2
) 1
试证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得f '(ξ)=1. 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：
1
1． 2．
lim(e x -x ) x =
x →0
e .
4
e .
dy
确定，则dx
x =0
12
⎰
1-1
x (1+x 2005)(e x -e -x )dx =
x +y
2
3．设函数y =y (x ) 由方程⎰1
e -t dt =x =
e -1.
12x 2
⎰4. 设f (x )可导，且
x 1
tf (t ) dt =f (x )
，f (0) =1，则f (x )=e
-2x
.
5．微分方程y ''+4y '+4y =0的通解为y =(C 1+C 2x ) e 二．选择题（每小题4分，4题共16分）：
.
1．设常数k >0，则函数
(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y ''+4y =3cos 2x 的特解形式为 （ C ）
**y =A cos2x y （A ）； （B ）=Ax cos2x ； *
（C ）y =Ax cos2x +Bx sin2x ； （D ）y =A sin 2x 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）
f (x ) =ln x -
x +k
(0, +∞) 内零点的个数为（ B ）. e 在
*
(A) (A) 若[c , d ]⊆[a , b ], 则必有
⎰
d
c
f (x )dx ≤⎰f (x )dx
a
b
b
;
f (x )dx ≥0⎰[]a , b f (x ) ≥0a
(B) (B) 若在上可积, 则;
(C) (C) 若f (x )是周期为T 的连续函数, 则对任意常数
a 都有
⎰
a +T a
f (x )dx =⎰f (x )dx
T
;
x
t f (t )dt ⎰()f x 0(D) (D) 若可积函数为奇函数, 则也为奇函数.
f (x )=
1+e
1
x 1x
2+3e , 则x =0是f (x ) 的（ C ）. 4. 设
(A) 连续点; (B) 可去间断点;
(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰0 解：
2
x 3e -x dx
20
2
.
2
设x 2=t , 则⎰x 3e -x dx =⎰
1-t 12
te dt =-⎰tde -t 0220 -------2
2
1⎡-t 22-t ⎤
=-⎢te -⎰e dt ⎥
002⎣⎦ -------2
2131
=-e -2-e -t =-e -2
0222 --------2
2．计算不定积分解：
⎰
x sin x 5
cos x .
x sin x 111⎡x dx ⎤
dx =xd () =-4⎰cos 5x ⎰cos 4x ⎥4⎰cos 4x 4⎢⎣cos x ⎦ --------3
x 1
-(tan2x +1) d tan x 4⎰4cos x 4x 113
=-tan x -tan x +C 4cos 4x 124 -----------3 =
⎧x =a (t -sin t ), π⎨t =
2处的切线的方程. 3．求摆线⎩y =a (1-cos t ), 在
π
(a (-1), a ) 2解：切点为 -------2
k =
dy a s i n t =
s ) t =πdx t =πa (1-c o t
2
2
=1 -------2
切线方程为
x
y -a =x -a (
π
2
-1)
即
y =x +(2-
π
2
) a
. -------2
4. 设 5．设
F (x ) =⎰cos(x 2-t ) dt
22
'F (x ) =2x cos x -(2x -1) cos(x -x ) . ，则
x n =
n
n +1)(n +2)(n +3) (2n )
lim x n
n ，求n →∞.
1n i
ln x n =∑l n 1(+)
n i =1n ---------2 解：
n 1i 1
lim ln x n =lim ∑ln(1+) =⎰ln(1+x ) dx
0n →∞n →∞n n i =1 --------------2 1
=2ln 2-1
01+x = ------------2 42ln 2-1
e =lim x n
e 故 n →∞=
x ln(1+x ) 10-⎰x
1
四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y =
x -2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.
解：
（x 0, y 0) ，则过原点的切线方程为设切点为
y =
1
x
2x 0-2， x
（x 0, y 0) 在切线上，带入切线方程，解得切点为x 0=4, y 0=2.-----3 由于点
过原点和点(4, 2) 的切线方程为
面积
y =
22-----------------------------3
s =⎰
2
22
(y +2-22y ) dy
=3-------------------3
2
或
s =⎰
20
122
xdx +⎰(
2
4
122
x -x -2) dx =
223
22
2．设平面图形D 由x +y ≤2x 与y ≥x 所确定，试求D 绕直线x =2旋转一周所生成的旋转体的体积
.
解： 法一：V =V 1-V 2
10
=⎰π2-(1--y ) dy -⎰π(2-y ) 2dy =2π⎰
10
[
2
]
2
1
-y
1
2
-(y -1) 2dy
-------6
]
⎡π11⎤π1=2π⎢-(y -1) 3⎥=2π(-)
0⎦43 --------3 ⎣43
法二：V =
10
2π⎰(2-x )(2x -x 2-x ) dx
2
10
------------------ 5
=2π⎰(2-x ) 2x -x dx -2π⎰(2x -x 2) dx
14
=π⎰(2-2x ) 2x -x 2+22x -x 2dx -π
03
3
⎡2⎤41221=π⎢(2x -x ) +2⨯π⨯1⎥-π
04⎣3⎦3
21412=π+π2-π=π2-π32323 ------------- 4
[]
3. 设a >1, f (t ) =a -at 在(-∞, +∞) 内的驻点为 t (a ). 问a 为何值时t (a ) 最小? 并求最
小值.
t
解:
由f '(t ) =a t ln a -a =0得t (a ) =1-
ln ln a
.
ln a --------------- 3
又由t '(a ) =
ln ln a -1e
=0得唯一驻点a =e 2
a (l n a ) ------------3
当a >e e 时, t '(a ) >0; 当a
故
a =e e 为t (a ) 的最小值点, 最小值为t (e e ) =1-
ln e 1
=1-. e e --------------1
五．证明题（7分）
1
f (0)=f (1)=0, f () =1，
2设函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
试证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得f '(ξ)=1.
证明：设F (x ) =f (x ) -x ，F (x ) 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f (0)=f (1)=0,
有F (0)=f (0)-0=0, F (1)=f (1)-1=-1,--------------- 2
1111111f ()=11]F ()=f ()-=1-=，[，
2222在2上F (x ) 用零点定理， 又由2，知2
11F (1)F ()=-
22根据，--------------- 2
11(，1) F (η)=0，η∈(,1) ⊂(0,1)
2可知在2内至少存在一点η，使得,
F (0)=F (η)=0由ROLLE 中值定理得 至少存在一点ξ∈(0,η) ⊂(0,1)使得
F '(ξ)=0即f '(ξ) -1=0，证毕. --------------3