关于瑕积分收敛的判断
课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x →a + （视具体情况亦可是 x →b -）时无穷大量 f (x ) 相对于无穷大量
1λ
的阶来判断。因为：lim ()x -a f (x )=d 等价于
x →a +x -a
x →a
lim +
f (x )1
=d ，当 0
，无穷大量 f (x ) 的阶是 λ ），由于例3 （课x -a 1
本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f (x ) 的阶 λ
x -a
阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量
⎰
b a
f (x )d x 收敛，阶λ≥1 时瑕积分
⎰f (x )d x 发散。当然，由于存在不可比较的无
a
b
穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。
习题例解：
π
例1． 判别瑕积分
⎰
2
d θ
的敛散性（课本下册p.289：2（6））
1-sin θ
解：由于lim -
θ→
π2
π1
=+∞，点 θ= 是其瑕点。又由于（注1）
21-sin θ
⎛π⎫
1-sin θ=1-cos -θ⎪=
⎝2⎭
π
2sin -θ2
，
π
lim -
θ→
π2
-θ
=1 ，当 θ→-θ2
π-
2
时，相对于无穷大量
1
2
，无穷大量
1
2sin -θ
sin
-θ2
的阶为1 ，故：这一瑕积分发散。（注2）
（ 若直接用推论，判定发散的理由是 lim -
x →
π
2
-θ
=1-sin π
） 2 。
例2． 判别瑕积分
⎰
10
d x
的敛散性（课本下册p.289：2（5）） x ln x
解：由于 ln 1=0 ，x =1 显然是瑕点。当 x →0+ 时，由洛必达法则有
x →0
lim +x ln x =lim +
x →0
ln x x x
=lim +=lim +=lim +-2x =0 ， x →0-2x x →0x -2x x x →0x
()
因而 x =0 亦是瑕点。又：（由洛必达法则）
x →1
lim -
x -1x ln x
=lim -
x →1
1ln x 2
x +
x x
=lim -
x →1
2x
ln x +2
=1 ，
瑕积分
⎰
10. 5
1d x
发散，因而瑕积分 ⎰0
x ln x d x
发散。 x ln x
注1．
例1解法中，用到了中学数学（平面三角）中的半角公式：
sin
θ
2
=±
1-cos ， 2
由于极限过程是 θ→注2．
π
2
-
π
，故 s i -θ2
>0 ，因而上式应选正号。
例1 亦可利用和差化积公式求解：
π
lim -
θ→
π
2
=lim -1-sin θ→π
2
-θ
π
sin
-θ
=lim -
-sin θ
θ→
π
2
π
-θ
2
2cos +θ2
sin ，
-θ2
lim -
θ→
π
2
π
-θ
=lim -
-θ2
θ→
π
2
-θ
π
2sin -θ2
=1 ，
sin π
lim -
θ→
π
2
-θ
cos +θ2
=lim -
θ→
π
2
2cos +⎪
⎝42⎭
π-2θ
=lim
πθ⎛⎫θ→π
2
2
2sin +⎪⋅
⎝42⎭2
⎛π
-
θ⎫1
=2 ，
因此：
lim -
θ→
π
2
⎛
π -θ
=lim -
1-sin θ→π
2 ⎝
π
2
-θ
cos ⋅+θ2
⎫⎪
π⎪-θ
⎪2=⎪-θ⎪
⎪2sin ⎪2⎭
2⨯1=2 ，
π
瑕积分
⎰
20
d θ
发散。
1-sin θ
和差化积公式主要有：
22α+βα-β
sin α-sin β=2cos sin ，
22α+βα-β
cos α+cos β=2cos cos ，
22α+βα-β
cos α-cos β=-2sin sin 。
22
这些公式证明均类似，以第一个为例：
由公式 sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B 、
sin α+sin β=2sin
α+β
cos
α-β
，
sin (A -B )=sin A cos B -cos A sin B
(A +B )+s i n (A -B )=2s i n A c o s 两边分别相加，得到 s i n B 。
令： A +B =α ，A -B =β，即得 A =
α+β
2cos
，A =
α+β
2
；因而有
sin α+sin β=2sin
α+β
2
α-β
2
。
关于瑕积分收敛的判断
课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。由这一推论可以看出：推论是根据 x →a + （视具体情况亦可是 x →b -）时无穷大量 f (x ) 相对于无穷大量
1λ
的阶来判断。因为：lim ()x -a f (x )=d 等价于
x →a +x -a
x →a
lim +
f (x )1
=d ，当 0
，无穷大量 f (x ) 的阶是 λ ），由于例3 （课x -a 1
本下册p.280），相对于无穷大量 ，无穷大量 f (x ) 的阶 λ
x -a
阶无穷大量（ 即：相对于无穷大量
⎰
b a
f (x )d x 收敛，阶λ≥1 时瑕积分
⎰f (x )d x 发散。当然，由于存在不可比较的无
a
b
穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。
习题例解：
π
例1． 判别瑕积分
⎰
2
d θ
的敛散性（课本下册p.289：2（6））
1-sin θ
解：由于lim -
θ→
π2
π1
=+∞，点 θ= 是其瑕点。又由于（注1）
21-sin θ
⎛π⎫
1-sin θ=1-cos -θ⎪=
⎝2⎭
π
2sin -θ2
，
π
lim -
θ→
π2
-θ
=1 ，当 θ→-θ2
π-
2
时，相对于无穷大量
1
2
，无穷大量
1
2sin -θ
sin
-θ2
的阶为1 ，故：这一瑕积分发散。（注2）
（ 若直接用推论，判定发散的理由是 lim -
x →
π
2
-θ
=1-sin π
） 2 。
例2． 判别瑕积分
⎰
10
d x
的敛散性（课本下册p.289：2（5）） x ln x
解：由于 ln 1=0 ，x =1 显然是瑕点。当 x →0+ 时，由洛必达法则有
x →0
lim +x ln x =lim +
x →0
ln x x x
=lim +=lim +=lim +-2x =0 ， x →0-2x x →0x -2x x x →0x
()
因而 x =0 亦是瑕点。又：（由洛必达法则）
x →1
lim -
x -1x ln x
=lim -
x →1
1ln x 2
x +
x x
=lim -
x →1
2x
ln x +2
=1 ，
瑕积分
⎰
10. 5
1d x
发散，因而瑕积分 ⎰0
x ln x d x
发散。 x ln x
注1．
例1解法中，用到了中学数学（平面三角）中的半角公式：
sin
θ
2
=±
1-cos ， 2
由于极限过程是 θ→注2．
π
2
-
π
，故 s i -θ2
>0 ，因而上式应选正号。
例1 亦可利用和差化积公式求解：
π
lim -
θ→
π
2
=lim -1-sin θ→π
2
-θ
π
sin
-θ
=lim -
-sin θ
θ→
π
2
π
-θ
2
2cos +θ2
sin ，
-θ2
lim -
θ→
π
2
π
-θ
=lim -
-θ2
θ→
π
2
-θ
π
2sin -θ2
=1 ，
sin π
lim -
θ→
π
2
-θ
cos +θ2
=lim -
θ→
π
2
2cos +⎪
⎝42⎭
π-2θ
=lim
πθ⎛⎫θ→π
2
2
2sin +⎪⋅
⎝42⎭2
⎛π
-
θ⎫1
=2 ，
因此：
lim -
θ→
π
2
⎛
π -θ
=lim -
1-sin θ→π
2 ⎝
π
2
-θ
cos ⋅+θ2
⎫⎪
π⎪-θ
⎪2=⎪-θ⎪
⎪2sin ⎪2⎭
2⨯1=2 ，
π
瑕积分
⎰
20
d θ
发散。
1-sin θ
和差化积公式主要有：
22α+βα-β
sin α-sin β=2cos sin ，
22α+βα-β
cos α+cos β=2cos cos ，
22α+βα-β
cos α-cos β=-2sin sin 。
22
这些公式证明均类似，以第一个为例：
由公式 sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B 、
sin α+sin β=2sin
α+β
cos
α-β
，
sin (A -B )=sin A cos B -cos A sin B
(A +B )+s i n (A -B )=2s i n A c o s 两边分别相加，得到 s i n B 。
令： A +B =α ，A -B =β，即得 A =
α+β
2cos
，A =
α+β
2
；因而有
sin α+sin β=2sin
α+β
2
α-β
2
。