数列训练试题
A 组
（1）设数列{a n }是单调递增的等差数列, 前三项的和是12, 前三项的积是48, 则它的首项是( )
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
（2）一个各项均正的等比数列, 其每一项都等于它后面的相邻两项之和, 则公比q =( )
(A)
(B)
(C)
（3）一个蜂巢里有1只蜜蜂, 第1天, 它飞出去找回了5个伙伴; 第2天, 6只蜜蜂飞出去, 各自找回了
5个伙伴, „„, 如果这个找伙伴的过程继续下去, 第6天所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中一共有( )只蜜蜂.
(A)55986 (B)46656 (C)216 (D)36
（4）一个等比数列前n 项的和为48, 前2n 项的和为60, 则前3n 项的和为( )
(A) 83 (B)108 (C)75 (D)63
（5）已知等差数列5，4
24
，3，„„的前n 项和为S n , 则使得S n 最大的序号n 的值为77
*
（6）集合M =m m =2n -1, n ∈N , m
（7）在小于100的正整数中，被7除余2的数的个数有 个；这些数的和是 ． （8）等差数列{a n }的首项为a , 公差为d ; 等差数列{b n }的首项为b , 公差为e ,
如果c n =a n +b n (n ≥1), 且c 1=4, c 2=8. 则数列{c n }的通项公式为（9）已知数列{a n }是等差数列, S n 是其前n 项和。 求证:S 6, S 12-S 6, S 18-S 12也成等差数列。
（10）如图, 作边长为a 的正三角形的内切圆, 在这个圆内作内接正三角形, 然后, 再作新三角形的内切圆. 如此下去, 求前n 个内切圆的面积和.
{}
B 组
（11） 等比数列{a n }中, 首项为a 1, 公比为q , 则下列条件中, 使{a n }一定为递减数列的条件是
( )
(A) q 0, q 0,01 (D)q >1
（12） 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的, 二进制即“逢二进一”. 如 (1101)2表示二进制的
数, 将它转换成十进制的形式是1⨯2+1⨯2+0⨯2+1⨯2=13, 那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( )
(A) 29-2 (B) 28-1 (C) 28-2 (D) 27-1
（13）已知数列f (n )中, f (1)=1, f (2)=2, f (n )=f (n -2)+2
求f (n )的表达式.
（14）观察下面的数阵, 容易看出, 第n 行最右边的数是n , 那么第20行最左边的数是几? 第20行所有数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
2
3
2
1
{}
n -1
(n ≥2, n ∈N *),
… … … … … … … … …
（15）选采问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐, 每星期一有A,B 两种菜可供选择. 调查资料表明, 凡是在星期一选A 种菜的, 下星期一会有20% 改选B 种菜; 而选B 种菜的, 下星期一会有30% 改选A 种菜. 用a n , b n 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数, 如果a 1=300, 求a 10.
参考答案或提示：
（五）数列
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）12（6）30,900（7）14, 665（8）4n （9）略 （10）
πa 2
9
(1-
1) 4n
⎧1n +1
(2-2),(n 为偶数时）⎪⎪3
（11）C （12）B （13）f (n )=⎨（14）362,14859（15）300
⎪1(2n +1-1),(n 为奇数时）⎪⎩3
略解或提示:
（1）设等差数列{a n }前三项分别为a -d , a , a +d ，依题意得 ⎨
⎧a -d +a +a +d =12⎧a =4 解得⎨
a -d ⨯a ⨯a +d =48)()⎩d =±2(由题意舍去-2）⎩(
所以首项为a -d =2. 故选（B ）. (2)令a k =a k +1+a k +2=a k q +q
(
2
), 得q
2
+q -1=0,
解得q =
-1,
2
其中q =
6
-11
应舍去,
所以q =. 故选(C). 22
(3)共有6=46656. 故选(B).
(4)解法1：设等比数列为{a n }，前n 项和为S n ，取n =1，则S 1=48，S 2=60，即a 1=48，a 2=12，
2
a 2
=3，则S 3n =S 3=S 2+a 3=63，故选（D ）则a 3=． a 1
解法2：由于S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列，∴ 48，12，S 3n -60成等比数列，即
122=48(S 3n -60) ，∴S 3n =63，故选（D ）．
⎧a 1(1-q n )⎧n 1⎪=48q =⎪4⎪1-q ⎪解法3：由题意知公比q ≠1, 且⎨ 解得⎨
2n a ⎪1=64⎪a 1(1-q )=60⎪⎪⎩1-q 1-q ⎩
所以前3n 项的和为
a 1(1-q 3n )1-q
1⎫⎛
=64⨯ 1-⎪=63. ，故选(D).
⎝64⎭
38⎧n ≤⎪23⎧a n ≥0⎪3
(5)公差d =4-5=-, 令⎨可解得⎨ 故n =12.
77⎩a n +1≤0⎪n ≥35
⎪3⎩
(6)令2n -1
61
, 又n ∈N *, 所以n =1，2，„„，30. 故集合M 的元素个数是30, 其和为 2
(2⨯1-1) +(2⨯2-1) + +(2⨯30-1) =2⨯(1+2+ +30) -30=900
(7)令7k +2
(8) 解法1：由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，由于c n =a n +b n (n ≥1)，则{c n }为等差数列，而
c 1=4, c 2=8. ，则该等差数列的公差为8-4=4，因此c n =4+(n -1) ⨯4=4n ．
解法2：由c 1=4, c 2=8得⎨
⎧a +b =4⎧a +b =4
，即⎨
a +d +b +e =8d +e =4⎩⎩
所以 c n =(a +b )+(n -1)⨯(d +e )=4n . (9)证明:设等差数列{a n }的首项为a 1, 公差为d ,
则S 6=6a 1+15d , S 12=12a 1+66d , S 18=18a 1+153d . (S 12-S 6)-S 6=36d , (S 18-S 12)-(S 12-S 6)=36d ,
∴(S 12-S 6)-S 6=(S 18-S 12)-(S 12-S 6) ∴S 6, S 12-S 6, S 18-S 12也成等差数列.
(10) 设第n 个正三角形的内切圆的半径为a n , 因为从第2个正三角形开始, 每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的
11, 每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的. 由
22
题意知a 1=
11
a tan 30︒=, a n =a n -1. 故前n 个内切圆的面积和为. 22
⎛1⎫
1- ⎪n -1⎤
π⋅a 24⎛1⎫⎥=+ + ⎪⨯⎝⎭
112⎥⎝4⎭1-⎦
4
8
n =
2⎡11⎛⎫2222π⎛ a 1+a 2+ +a n ⎫⎪=π⋅a 1⎢1++ ⎪
⎝⎭⎢4⎝4⎭
⎣
π⋅a 2⎛
9
1
1-
⎝4n
⎫⎪⎪⎭
(12) (11111111)2=1⨯2+1⨯2+1⨯2+ +1⨯2=2-1. 故选（B ）.
7
6
5
(13)当n 为偶数时, f (n )=f (n -2)+2
= =
n -1
=f (n -4)+2n -1+2n -3
f (2) +2n -1+2n -3+ +23
=2n -1+2n -3+2n -5+ +23+2 =
1n +1
2-2 3
()
当n 为奇数时, f (n )=f (n -2)+2
n -1
=f (n -4)+2n -1+2n -3
= =f (1) +2
n -1
+2n -3+ +22
=2n -1+2n -3+2n -5+ +22+1 =
1n +1
2-1 3
()
⎧1n +1
2-2),(n 为偶数时）(⎪⎪3
∴f (n )=⎨
⎪1(2n +1-1),(n 为奇数时）⎪⎩3
(14) 第20行最左边的数为19+1=362, 第20行共有2⨯20-1=39个连续的自然数, 它们的和是
2
39⨯(362+400)
2
=14859.
43⎧
1⎪a n +1=a n +b n
(15) 依题意得⎨510，消去b n 得：a n +1=a n +150.
2⎪a +b =500⎩n n
由a 1=300得a 2=300, 从而得a 10=300.
1
(a n -300) ，若a 1≠300，则数列{a n -300}是首项为a 1-300，公2
11比为的等比数列．则a n =300+(a 1-300) ⨯n -1．
22
一般地，可推出a n +1-300=
数列训练试题
A 组
（1）设数列{a n }是单调递增的等差数列, 前三项的和是12, 前三项的积是48, 则它的首项是( )
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
（2）一个各项均正的等比数列, 其每一项都等于它后面的相邻两项之和, 则公比q =( )
(A)
(B)
(C)
（3）一个蜂巢里有1只蜜蜂, 第1天, 它飞出去找回了5个伙伴; 第2天, 6只蜜蜂飞出去, 各自找回了
5个伙伴, „„, 如果这个找伙伴的过程继续下去, 第6天所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中一共有( )只蜜蜂.
(A)55986 (B)46656 (C)216 (D)36
（4）一个等比数列前n 项的和为48, 前2n 项的和为60, 则前3n 项的和为( )
(A) 83 (B)108 (C)75 (D)63
（5）已知等差数列5，4
24
，3，„„的前n 项和为S n , 则使得S n 最大的序号n 的值为77
*
（6）集合M =m m =2n -1, n ∈N , m
（7）在小于100的正整数中，被7除余2的数的个数有 个；这些数的和是 ． （8）等差数列{a n }的首项为a , 公差为d ; 等差数列{b n }的首项为b , 公差为e ,
如果c n =a n +b n (n ≥1), 且c 1=4, c 2=8. 则数列{c n }的通项公式为（9）已知数列{a n }是等差数列, S n 是其前n 项和。 求证:S 6, S 12-S 6, S 18-S 12也成等差数列。
（10）如图, 作边长为a 的正三角形的内切圆, 在这个圆内作内接正三角形, 然后, 再作新三角形的内切圆. 如此下去, 求前n 个内切圆的面积和.
{}
B 组
（11） 等比数列{a n }中, 首项为a 1, 公比为q , 则下列条件中, 使{a n }一定为递减数列的条件是
( )
(A) q 0, q 0,01 (D)q >1
（12） 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的, 二进制即“逢二进一”. 如 (1101)2表示二进制的
数, 将它转换成十进制的形式是1⨯2+1⨯2+0⨯2+1⨯2=13, 那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( )
(A) 29-2 (B) 28-1 (C) 28-2 (D) 27-1
（13）已知数列f (n )中, f (1)=1, f (2)=2, f (n )=f (n -2)+2
求f (n )的表达式.
（14）观察下面的数阵, 容易看出, 第n 行最右边的数是n , 那么第20行最左边的数是几? 第20行所有数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
2
3
2
1
{}
n -1
(n ≥2, n ∈N *),
… … … … … … … … …
（15）选采问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐, 每星期一有A,B 两种菜可供选择. 调查资料表明, 凡是在星期一选A 种菜的, 下星期一会有20% 改选B 种菜; 而选B 种菜的, 下星期一会有30% 改选A 种菜. 用a n , b n 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数, 如果a 1=300, 求a 10.
参考答案或提示：
（五）数列
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）12（6）30,900（7）14, 665（8）4n （9）略 （10）
πa 2
9
(1-
1) 4n
⎧1n +1
(2-2),(n 为偶数时）⎪⎪3
（11）C （12）B （13）f (n )=⎨（14）362,14859（15）300
⎪1(2n +1-1),(n 为奇数时）⎪⎩3
略解或提示:
（1）设等差数列{a n }前三项分别为a -d , a , a +d ，依题意得 ⎨
⎧a -d +a +a +d =12⎧a =4 解得⎨
a -d ⨯a ⨯a +d =48)()⎩d =±2(由题意舍去-2）⎩(
所以首项为a -d =2. 故选（B ）. (2)令a k =a k +1+a k +2=a k q +q
(
2
), 得q
2
+q -1=0,
解得q =
-1,
2
其中q =
6
-11
应舍去,
所以q =. 故选(C). 22
(3)共有6=46656. 故选(B).
(4)解法1：设等比数列为{a n }，前n 项和为S n ，取n =1，则S 1=48，S 2=60，即a 1=48，a 2=12，
2
a 2
=3，则S 3n =S 3=S 2+a 3=63，故选（D ）则a 3=． a 1
解法2：由于S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列，∴ 48，12，S 3n -60成等比数列，即
122=48(S 3n -60) ，∴S 3n =63，故选（D ）．
⎧a 1(1-q n )⎧n 1⎪=48q =⎪4⎪1-q ⎪解法3：由题意知公比q ≠1, 且⎨ 解得⎨
2n a ⎪1=64⎪a 1(1-q )=60⎪⎪⎩1-q 1-q ⎩
所以前3n 项的和为
a 1(1-q 3n )1-q
1⎫⎛
=64⨯ 1-⎪=63. ，故选(D).
⎝64⎭
38⎧n ≤⎪23⎧a n ≥0⎪3
(5)公差d =4-5=-, 令⎨可解得⎨ 故n =12.
77⎩a n +1≤0⎪n ≥35
⎪3⎩
(6)令2n -1
61
, 又n ∈N *, 所以n =1，2，„„，30. 故集合M 的元素个数是30, 其和为 2
(2⨯1-1) +(2⨯2-1) + +(2⨯30-1) =2⨯(1+2+ +30) -30=900
(7)令7k +2
(8) 解法1：由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，由于c n =a n +b n (n ≥1)，则{c n }为等差数列，而
c 1=4, c 2=8. ，则该等差数列的公差为8-4=4，因此c n =4+(n -1) ⨯4=4n ．
解法2：由c 1=4, c 2=8得⎨
⎧a +b =4⎧a +b =4
，即⎨
a +d +b +e =8d +e =4⎩⎩
所以 c n =(a +b )+(n -1)⨯(d +e )=4n . (9)证明:设等差数列{a n }的首项为a 1, 公差为d ,
则S 6=6a 1+15d , S 12=12a 1+66d , S 18=18a 1+153d . (S 12-S 6)-S 6=36d , (S 18-S 12)-(S 12-S 6)=36d ,
∴(S 12-S 6)-S 6=(S 18-S 12)-(S 12-S 6) ∴S 6, S 12-S 6, S 18-S 12也成等差数列.
(10) 设第n 个正三角形的内切圆的半径为a n , 因为从第2个正三角形开始, 每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的
11, 每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的. 由
22
题意知a 1=
11
a tan 30︒=, a n =a n -1. 故前n 个内切圆的面积和为. 22
⎛1⎫
1- ⎪n -1⎤
π⋅a 24⎛1⎫⎥=+ + ⎪⨯⎝⎭
112⎥⎝4⎭1-⎦
4
8
n =
2⎡11⎛⎫2222π⎛ a 1+a 2+ +a n ⎫⎪=π⋅a 1⎢1++ ⎪
⎝⎭⎢4⎝4⎭
⎣
π⋅a 2⎛
9
1
1-
⎝4n
⎫⎪⎪⎭
(12) (11111111)2=1⨯2+1⨯2+1⨯2+ +1⨯2=2-1. 故选（B ）.
7
6
5
(13)当n 为偶数时, f (n )=f (n -2)+2
= =
n -1
=f (n -4)+2n -1+2n -3
f (2) +2n -1+2n -3+ +23
=2n -1+2n -3+2n -5+ +23+2 =
1n +1
2-2 3
()
当n 为奇数时, f (n )=f (n -2)+2
n -1
=f (n -4)+2n -1+2n -3
= =f (1) +2
n -1
+2n -3+ +22
=2n -1+2n -3+2n -5+ +22+1 =
1n +1
2-1 3
()
⎧1n +1
2-2),(n 为偶数时）(⎪⎪3
∴f (n )=⎨
⎪1(2n +1-1),(n 为奇数时）⎪⎩3
(14) 第20行最左边的数为19+1=362, 第20行共有2⨯20-1=39个连续的自然数, 它们的和是
2
39⨯(362+400)
2
=14859.
43⎧
1⎪a n +1=a n +b n
(15) 依题意得⎨510，消去b n 得：a n +1=a n +150.
2⎪a +b =500⎩n n
由a 1=300得a 2=300, 从而得a 10=300.
1
(a n -300) ，若a 1≠300，则数列{a n -300}是首项为a 1-300，公2
11比为的等比数列．则a n =300+(a 1-300) ⨯n -1．
22
一般地，可推出a n +1-300=