第二节不等式的解法
教 材 面 面 观
基础知识常梳理 自主探究强记忆
1．一元二次不等式的解法
先将不等式化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0) 且a ＞0，再应用以下程序写出解
2集：设ax ＋bx ＋c ＝0(a ＞0) 的两根为x 1，
22x 2(x 1＜x 2) ，Δ＝b －4ac ，不等式ax ＋bx ＋c
＞0(a ＞0) 的解集为①Δ＞0时，解集为________；②Δ＝0时，解集为________；③Δ＜0时，解集为________．
2不等式ax ＋bx ＋c ＜0(a ＞0) 的解集为
①Δ＞0时，解集为________；
②Δ＝0时，解集为________；
③Δ＜0时，解集为________．
答案 {x |x ＞x 2或x ＜x 1} {x |x ∈R 且b x ≠－ R {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅ 2a
2．分式不等式的解法
(1)如能判断分母的符号，可直接去分母，转化为整式不等式；
⎧g (x )≥0，⎪f (x )·f (x )(2)≥0⇒⎨ g (x )⎪⎩ ；
(3)用穿根法或数轴标根法．
答案 g (x ) ≠0
3．简单的高次不等式的解法
(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是________的形式；
(2)各因式中x 的系数全部变为________，约去偶次因式；
(3)把各个根从小到大依次排好，从右上方向左下方穿根；
(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根) 是否在解集内．
答案 0 1
4．解指数不等式或对数不等式时应先把不等号两端化为________指数幂或________对数形式，再结合指数函数或对数函数的________解不等式．
答案 同底 同底 单调性
考 点 串 串 讲
考点归纳与解析 思维拓展与迁移
1．一元二次不等式的解法
(1)含有未知数的最高次数是二次的一
元不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解法(如下表所示)
2设a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax ＋
＜x (3)对于一元二次不等式的解法需注意： x －a ①0(a ＜b ) 的解集为：{x |x ≤a 或x x －b
x －a ＞b }≤0(a ＜b ) 的解集为：{x |a ≤x ＜b }． x －b
②从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0) 的解集是一元二次函
2数y ＝ax ＋bx ＋c (a ＞0) 在x 轴上方的点的横坐标的集合．
③三个“二次”的关系
常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系．
2．解一元二次不等式的方法：
(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集．
(2)公式法步骤：
2①先化成标准型：ax ＋bx ＋c ＞0(或＜
0) ，且a ＞0；
②计算对应方程的判别式Δ；
③求对应方程的根；
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集．
3．一般分式不等式的解法：
f (x )f (x )(1)整理成标准型＞0(或＜0) 或g (x )g (x )
≥0(或≤0) ．
(2)化成整式不等式来解：
f (x )①0⇔f (x )·g (x ) ＞0 g (x )
f (x )②0⇔f (x )·g (x ) ＜0 g (x )
⎧g (x )≥0⎪f (x )·f (x )③0⇔⎨ g (x )⎪⎩g (x )≠0
⎧g (x )≤0⎪f (x )·f (x )④0⇔⎨ g (x )⎪⎩g (x )≠0
(3)再讨论各因式的符号或按数轴标根法写出解集．
4．一元高次不等式的解法
解一元高次不等式最好的方法是用数轴标根法(或称穿针引线法) ．
先将一元高次不等式化为标准形式：一端为0，一端在实数范围内分解成一次因式或二次因式的积，将恒不为0的二次因式在不等式两边约去，将原不等式化为f (x ) ＝(x －x 1)(x －x 2) „(x －x n ) ＞0(或＜0) 的形式，求出f (x ) ＝0的n 个根x 1，x 2，„，x n 并标在数轴上，然后从右至左，自上而下依次穿过几个根对应的点，遇奇次重根一次穿过，遇
偶次重根穿而不过，画一条连续曲线则在数轴上方的曲线对应的区间为f (x ) ＞0的解集，在数轴下方的曲线对应的区间为f (x ) ＜0的解集．
5．解高次不等式与分式不等式需注意
(1)根据多项式理论，每个一元多项式都可以分解为一些一次、二次因式的乘积，其中二次因式恒正或恒负，因此高次不等式都可转化为一些一次因式的乘积的不等式，然后采用穿根法完成．
(2)有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．
(3)大部分分式不等式转化为整式不等式后，实际上就是转化成了高次不等式，用高次不等式的解法求解即可．
(4)对于右边不为零的分式不等式的求解，一般是通过不等式两边加上同一个数(或式) 使右边变为0，然后采用以上方法求解，切忌将左边的分母不讨论符号直接乘到右边，进行去分母．
(5)分解的各个因式中，x 的系数须为正
数．
(6)画曲线遵循“从右至左，自上而下”的原则．
6．无理不等式的解法
解无理不等式的基本思想是将不等式等价转化为有理不等式求解．
一般有 f (x )＞g (x )⇔⎧⎪⎨f (x )＞g (x )
⎪⎩g (x )≥0 f (x )＞g (x ) ⇔
⎧⎪⎨g (x )＜0⎧
⎪⎩f (x )≥0 或⎪⎨g (x )≥0
⎪⎩f (x )＞g 2(x ) ⎧g (x )＞0
f (x )＜g (x ) ⇔⎪⎨⎪f (x )≥0
⎩f (x )＜g 2(x )
7．指数不等式与对数不等式的解法
(1)当a ＞1时，a f (x ) ＞(＜) a g (x )
⇔f (x ) ＞(＜) g (x )
(2)当0＜a ＜1时，a f (x ) ＞(＜) a g (x ) ⇔f (x ) ＜(＞) g (x )
(3)当a ＞1时，log a f (x ) ＞(＜)log a g (x )
f (x )＞0⎧⎪⇒⎨g (x )＞0 ⎪⎩f (x )＞(＜)g (x )
(4)当0＜a ＜1时，log a f (x ) ＞(＜)log a g (x ) ⎧f (x )＞0⎪⇔⎨g (x )＞0 ⎪⎩f (x )＜(＞)g (x )
解指数不等式与对数不等式时首先要保证不等式有意义，然后化为同底幂或同底对数形式，去对数符号时要注意底数a 的范围，从而判断不等号方向是否改变．
8．解抽象函数不等式
解抽象函数不等式去掉对应法则符号“f ”是关键，也是难点，常用函数的单调性去“f ”，另外注意保证f (x ) 有意义.
典 例 对 对 碰
反思例题有法宝 变式迁移有技巧 题型一一元一次不等式的解法
例1解不等式：ax ＞x ＋3(a ≠1) ． 解析 原不等式可化为(a －1) x ＞3.
3当a ＞1时，a －1＞0，∴x ＞ a －1
3当a ＜1时，a －1＜0，∴x ＜a －1
故a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＞3}， a －1
3a ＜1时，不等式的解集为{x |x }. a －1
变式迁移1
不等式ax －1＞4b 的解集为{x |x ＜1}，则实数a 、b 需满足的条件为________．
⎧a
解析 ax －1＞4b ，即ax ＞4b ＋1， 解集为{x |x ＜1}．
4b ＋1∴a ＜0且1， a
⎧⎪a ＜0，即⎨ ⎪⎩4b ＋1＝a .
题型二一元二次不等式的解法
例2已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为
20＜α＜x ＜β，求不等式cx ＋bx ＋a ＞0的解
集．
2解析 因不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解为
0＜α＜x ＜β，所以a ＜0，且方程ax 2＋bx ＋
b c ＝0的两根为α、β. 所以α＋β＝－＞0，α·βa
c c b ＝0，所以＞0，＜0，又a ＜0，所以c a a a
＜0.
2设方程cx ＋bx ＋a ＝0的两根为x 1与x 2.
由韦达定理
b －b －a x 1＋x 2＝ c c a
α＋β11＝， α·ββα
a 1111x 1·x 2＝＝＝. c c α·βαβ
a
112∴方程cx ＋bx ＋a ＝0的两根为αβ
∵0＜α＜β，
11＞＞0. αβ
12∴不等式cx ＋bx ＋a ＞0的解集为{x β
1＜x ＜． α
点评 本题从一元二次不等式解区间的端点值就是相应二次方程的根入手，结合韦达定理，用系数a ，b ，c 将两个方程的根联系起来，使问题解决．一般地，欲解一元二次不等式，应首先求出相应方程的根(Δ≥0时) ，然后据二次项的系数与不等号的方向确定解集.
变式迁移2
12若关于x 的不等式－x ＋2x ＞mx 的解2
集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为________．
答案 1
2解析 由原不等式得x ＋(2m －4) x ＜
20，又0＜x ＜2时，有x (x －2) ＜0，即x －
2x ＜0，比较系数得2m －4＝－2，即2m ＝2，故m ＝1.
题型三分式不等式的解法
例3解不等式32(x －2)(2x ＋5)(x －3)(x ＋1)＞0. 2(2x ＋5)(x －1)
分析 分子或分母上有因式(ax ＋b )
2k ＋1或(ax ＋b ) (k ∈N) 的情况，通常做如下处理：
2k ①去掉(ax ＋b ) ；
b b ②视x 而注上x ≠－或x ＝a a
b －； a
③解化简后的不等式，并在解中去掉－b b 或添上－. a a
解析 原不等式可化为 2k
⎧(x －2)(x －3)(x ＋1)＞0，⎪x －1⎨15⎪x ≠－x ≠－22⎩
如图所示，故原不等式的解集为
55(－∞，－) ∪(－，－1) ∪(1,2)∪(3，22
＋∞) ．
2k 点评 此类题极易去掉(ax ＋b ) 因式，
b 而不考虑x ，导致结论错误. a
变式迁移3
2x ＋2x －3解不等式0. －x ＋x ＋6
解析 原不等式的解集是由下面两个不等式组的解集的并集构成．
2⎧⎪x ＋2x －3＞0， ①(1)⎨2 ⎪⎩x －x －6＞0. ②
2⎧x ⎪＋2x －3＜0， (2)⎨2⎪⎩x －x －6＜0. ④③
由①解得{x |x ＜－3或x ＞1}，
由②解得{x |x ＜－2或x ＞3}．
∴不等式组(1)的解集是{x |x ＜－3或x ＞3}
由③解得{x |－3＜x ＜1}，
由④解得{x |－2＜x ＜3}．
∴不等式组(2)的解集是{x |－2＜x ＜1}． 综上，由不等式组(1)、(2)的解集可得原不等式的解集是{x |x ＜－3或－2＜x ＜1或x ＞3}.
题型四高次不等式的解法
例4解不等式：(x 2－1)(x 2－6x ＋8) ≥0.
分析 可等价转化为不等式组，也可利用数轴标根法．
解析 解法一：由(x 2－1)(x 2－6x ＋
8) ≥0可得：
2⎧⎪x －1≥0，⎨2(1) ⎪⎩x －6x ＋8≥0，
2⎧⎪x －1≤0，或⎨2⎪⎩x －6x ＋8≤0， (2)
由(1)解得：x ≥4，或1≤x ≤2，或x ≤－1
由(2)得：x ∈∅，
∴原不等式的解集为
{x |x ≤－1，或1≤x ≤2，或x ≥4}． 解法二：将原不等式变形为
(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －4) ≥0，
令f (x ) ＝(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －4) ，各因式根依次为－1,1,2,4.
如图，可得原不等式的解集为{x |x ≤－1，或1≤x ≤2，或x ≥4}．
点评 (1)解法一仅适用于次幂较低的高次不等式．解法二是利用数轴标根法求解的，适用于任何高次不等式．
(2)用数轴标根法解不等式时要注意： ①将原不等式化为(x －x 1) a 1(x －x 2) a 2„(x －x n ) a n ＞0(或＜0) 的形式．
②各因式中x 的系数必须为正．
③根的重数．对于偶次重根，线穿而不过；对于奇次重根，线穿根而过．
(3)高次不等式一般用数轴标根法求解.
变式迁移4
22解不等式：(x －1)(x －5x ＋6)(x －x －
22) ≥0.
解析 原不等式可变形为
(x －1)(x －2)(x －3)(x －2) 2(x ＋1) 2≥0
23即(x ＋1) (x －1)(x －2) (x －3) ≥0
由数轴标根法知，
x 的取值范围为x ＝－1或1≤x ≤2或
x ≥3.
题型五分段函数型不等式
x －1⎧⎪2e ，x ＜2，例5设f (x ) ＝⎨则不2⎪⎩log 3(x －1)，x ≥2.
等式f (x ) ＞2的解集为( )
A ．(1,2)∪(3，＋∞) B ．(，＋∞)
C ．(1,2)∪10，＋∞) D ．(1,2)
x －1解析 当x ＜2时，由2e ＞2得x ＞1，
故1＜x ＜2；
2当x ≥2时，由log 3(x －1) ＞2得x ＞10
或x ，故x ＞∴不等式f (x ) ＞2的解集为(1,2)∪，＋∞) ，选C.
答案 C
点评 利用分段函数的各段解析式，将原不等式化为分段的几个不等式，将各不等式的解集与该段的x 的取值范围取交集，得到在各段内符合条件的x 的取值范围，然后取并集即可.
变式迁移5
⎧⎪－x ＋1， (x ＜0)，已知函数f (x ) ＝⎨⎪⎩x －1， (x ≥0)，
则不等式x ＋(x ＋1) f (x ＋1) ≤1的解集是
( )
A ．{x |－1≤x －1}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x |x ≤－1}
D ．{x |－2－1≤x ≤－1}
答案 C
解析 不等式x ＋(x ＋1) f (x ＋1) ≤1等价于
(1)
⎧⎪x ＋1＜0， ①⎨ ⎪[－(x ＋1)＋1]≤1 ②⎩x ＋(x ＋1)·
或
⎧⎪x ＋1≥0， ③(2)⎨ ⎪x ＋(x ＋1)·[(x ＋1)－1]≤1. ④⎩
由①得x ＜－1，由②得x ∈R ，
∴不等式组(1)的解集为(－∞，－1) ． 由③得x ≥－1，由④得－－1≤x ≤－1，
∴不等式组(2)的解集为[－1－1]． 故原不等式的解集为(－∞，－1].
题型六指数不等式的解法
1x ＋2x 52x －3x 1例6解不等式：2＞) . 2
分析 首先化同底，然后把指数不等式转化为非指数不等式． 22
解析 原不等式即2
2－x －2x 522x －3x 12＞，
22∴2x －3|x |＋1＞－x －2|x |＋5，
22即3x －|x |－4＞0，即3|x |－|x |－4＞0， ∴(|x |＋1)(3|x |－4) ＞0，
∴3|x |－4＞0，
4∴原不等式的解集为{x |x ＞或x ＜－3
变式迁移6
1x －8－2x 解不等式：) ＞3. 3
2解析 由已知得－x ＋8＞－2x ，
2即x －2x －8＜0.
解得－2
∴原不等式的解集为{x |－2
题型七对数不等式的解法
例7解下列不等式： 1lg x ＜ 2
x x ＋1(2)log2(2－1)·log 2(2－2) ＜2.
分析 按指数不等式，对数不等式的基224}. 3
本解法求解．
解析 (1)不等式可化为2lg x 2＜2)
2－， 21∵＞1，∴lg x ＜－2，∴0＜x ＜. 100
11解得－＜x ＜0，或0＜x 1010
∴原不等式的解集为
11{x |－＜x ＜0，或0＜x ＜． 1010
x ＋1x (2)∵2－2＝2(2－1) ，∴原不等式可化为
x 2x [log2(2－1)]＋log 2(2－1) －2＜0
x 解得－2＜log 2(2－1) ＜1.
1＜2x －1＜2. 4
55x ＜2＜3. 即log ＜x ＜log 23. 44
5∴原不等式的解集为{x |log2＜x ＜4
log 23}．
点评 在解对数不等式时，一定要注意真数大于0这个条件，否则会将不等式的解集扩大.
变式迁移7
1解不等式：2＋log 1(5－x ) ＋log ＞0. x 2
解析 由题得x 的取值范围为0＜x ＜5. 这时原不等式可化为： 1log 1x (5－x )]＞0. 即 4
2
1(5－x ) ＜1. 4
2x －5x ＋4＞0.
x ＜1或x ＞4.
∴原不等式的解集为(0,1)∪(4,5).
题型八抽象函数不等式的解法
例8已知f (x ) 是定义在[－1,1]上的奇函数，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时有f (m )＋f (n )＞0. m ＋n
(1)用定义证明：f (x ) 在[－1,1]上是增函数；
11(2)解不等式：f (x ) ＜f ) ． 2x －1
解析 (1)证明：任取－1≤x 1＜x 2≤1，则：
f (x 1) －f (x 2) ＝f (x 1) ＋f (－x 2)
f (x 1)＋f (－x 2)
x 1－x 2·(x 1－x 2) ．
∵－1≤x 1＜x 2≤1，
∴x 1＋(－x 2) ≠0.
由已知f (x 1)＋f (－x 2)
x －x 0，
12
又x 1－x 2＜0，
∴f (x 1) －f (x 2) ＜0.
即f (x ) 在[－1,1]上为增函数．
(2)∵f (x ) 在[－1,1]上为增函数，
⎧⎪－1≤x ＋11，
∴⎪2⎨－11
x －11，
⎪⎪⎩x ＋121
x －1
解得：－32≤x
∴不等式的解集为{x |－32≤x ＜－
x ∈R}.
变式迁移8 1，
y ＝f (x ) 是R 上的减函数，且y ＝f (x ) 的图象经过点A (0,1)和B (3，－1) ，则不等式|f (x ＋1)|＜1的解集为________．
答案 {x |－1＜x ＜2}
解析 f (0)＝1，f (3)＝－1.
∵|f (x ＋1)|＜1，∴－1＜f (x ＋1) ＜1 ∴f (3)＜f (x ＋1) ＜f (0)
∵y ＝f (x ) 是R 上的减函数，
∴3＞x ＋1＞0，∴－1＜x ＜2.
题型九含参数的二次不等式的解法
2例9解关于x 的不等式：ax －2x ＋1＞
0.
分析 从不等式的形式结构看，可以是一元一次不等式，也可以是一元二次不等式，其中为二次不等式时，又要考虑“开口方向”和“判别式的正负”问题，注意到Δ＝4－4a ，可以从中找到讨论点是“a ＝0”和“a ＝1”．
解析 ①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1＞0，
1∴解集为{x |x ＜}； 2
②当a ＜0时，Δ＝4－4a ＞0，
21此时不等式为x －＋＜0， a a
122由于方程x －x ＋0的两根分别为a a
1－1－a 1＋1－a 、 a a
1－1－a 1＋1－a ＞， a a
∴不等式的解集为：
1＋1－a 1－1－a {x |x ＜}； a a
③当a ＞0时，若0＜a ＜1，
212此时不等式即x －＋＞0， a a
1－1－a 1＋1－a ＜， a a
∴不等式的解集为
1－1－a 1＋1－a {x |x ＜，或x }， a a
2若a ＝1，则不等式为(x －1) ＞0，
∴不等式的解集为{x ∈R|x ≠1}；
若a ＞1，则Δ＜0，不等式的解集为R. 点评 当含有参数的一元二次不等式对应的二次方程有两个不同的根时，判断谁大谁小，要考虑参数的作用. 2
变式迁移9
解关于x 的不等式：a 2x 2－2ax ＋1－b 2＜0(a ≠0，b >0)．
解析 原不等式可化为(ax －1＋b )(ax －1－b ) ＜0，
2∵a ≠0，a ＞0，
1－b 1＋b ∴(x )(x －) ＜0，且1－b ＜1a a
＋b ，
1－b 1＋b ∴①若a ＜0，则＞，此时不等a a
1＋b 1－b 式的解集为{x ＜x ＜}； a a
1－b 1＋b ②若a ＞0，则，此时不等式a a
1－b 1＋b 的解集为{x ＜x ＜}. a a
题型十利用不等式解实际应用问题 例10某地区上年度电价为0.8元/kW·h ，年用电量为a kW·h ，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h. 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和
用户期望电价的差成反比(比例系数为k ) ．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；
(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价) ．
解析 (1)设下调后的电价为x 元
k /kW·h ，依题意知，用电量增至＋a ，x －0.4
电力部门的收益为
k y ＝(＋a )(x －x －0.4
0.3)(0.55≤x ≤0.75) ．
(2)依题意，有
错误!
2⎧x ⎪－1.1x ＋0.3≥0，整理，得⎨ ⎪⎩0.55≤x ≤0.75.
解此不等式组，得0.60≤x ≤0.75.
答：当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
点评 本题主要考查综合运用数学知识、数学方法、分析和解决实际问题的能力，考查了数学建模、反比例函数、根据实际问题建立不等式和解不等式等数学内容.
变式迁移10
国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元，问R 应怎样确定？
解析 设销售量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R .
由题意得，70(100－10R )·R %≥112， 整理得，R 2－10R ＋16≤0，解得，2≤R ≤8.
答：当2≤R ≤8(单位：元) 时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.
题型十一含参数的不等式问题
2例11已知不等式log 2(ax －3x ＋6) ＞2
的解集为{x |x ＜1或x ＞2}．
(1)求a 的值；
c －x (2)解关于x 的不等式0(c 为常ax ＋2
数) ．
解析 (1)不等式log 2(ax 2－3x ＋6) ＞
2log 24可转化为ax －3x ＋2＞0，
2依题意ax －3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1
或x ＞2}，
∴方程ax 2－3x ＋2＝0的两根分别为1、2，
利用根与系数的关系得a ＝1.
c －x (2)将a ＝1代入不等式得0， x ＋2
①当c ＜－2时，原不等式的解集为{x |c ＜x ＜－2}；
②当c ＝－2时，原不等式的解集为∅； ③当c ＞－2时，原不等式的解集为{x |－2＜x ＜c }．
点评 本题第(1)问是已知不等式的解集求参数的值，可根据一元二次不等式的解集情况确定参数的值；第(2)问是解含参数的
不等式，需要对参数进行分类计论，关键是把握分类的标准，有时在大类里还需分小类.
变式迁移11
ax －1解关于x 的不等式：＞0. x －x －2
解析 当a ＝0时，原不等式等价于x 2－x －2＜0，
解得－1＜x ＜2.
当a ＞0时，原不等式化为
12(x －)(x －x －2) ＞0， a
1即(x )(x ＋1)(x －2) ＞0. a
1则当a 时，x ＞－1，且x ≠2. 2
11当0＜a 时，x ＞或－1＜x ＜2. 2a
11当a ＞1＜x 或x ＞2. 2a
当a ＜0时，原不等式等价于
1(x －)(x ＋1)(x －2) ＜0. a
则当a ＝－1时，x ＜2，且x ≠1.
1当－1＜a ＜0时，x 或－1＜x ＜2. a
1当a ＜－1时，x ＜－1＜x ＜2. a
方 法 路 路 通
规律方法勤探究 高考成绩优中优
1．关于一元二次不等式应明确：
22不等式ax ＋bx ＋c ＞0，ax ＋bx ＋c ＜0
2的解就是使二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 的函数
值大于0或小于0时x 的取值范围，应充分和二次函数图象结合去理解二次不等式的解集表．
2．解带参数的不等式(x －a )(x －b ) ＞0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号) ，二算(计算判别式，判断方程根的情况) ，三写(写出不等式的解集) ．
3．应注意讨论ax 2＋bx ＋c ＞0的二次项系数a 是否为零的情况．
4．在解分式不等式时一般要先移项再通分，使不等号一侧为0，而不要把分母乘到不等号的另一侧．
5．一元一次、二次不等式是解不等式
的基础，其他的不等式(分式不等式、高次不等式、无理不等式及指数、对数不等式) 可以根据不等式的性质转化为一元一次、一元二次不等式(组) 求解，因此需熟练掌握．
6．含参数的一元一次和一元二次不等式的分类讨论是一个难点，讨论时第一要确定分类标准，主要依据最高次项系数符号确定不等号方向，依据判别式符号确定相应方程根的情况，依据根的大小确定不等式解集；第二要针对字母系数取值范围做到不重不漏．注意含参数的不等式运用分类讨论解决，分类要不重不漏．若讨论的字母和解的字母不是同一个字母，要分开写，不要取并集．若讨论的字母和解的字母是同一个字母，则需要取并集或交集．
7．解简单的分式不等式和高次不等式，其实质是运用化归思想方法等价转化，其中因式分解是重要的一步．
8．不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是用同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上，高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等
式，所以等价转化是解不等式的主要思路．
代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路．为此，一要能熟练准确地解一元一次和一元二次不等式，二要保证每步转化都是等价变形．
9．不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要准确地求出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解集的示意线要画的一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集．
10．解分式不等式和高次不等式时需注意：
①等号问题；
②分解时x 的符号问题；
③重根问题；
④解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零．
11．用数轴标根法解高次不等式，最右区的符号由最高次项系数的正负决定，若为正数，则最右区的符号为正；若为负数，则
最右区的符号为负，然后从右向左f (x ) 的正负符号区相间出现．
12．不等式的结果要写成集合或区间的形式.
正 误 题 题 辨
学海暗礁常提醒 逐波踏浪舟更轻
3－x 例解不等式：1. 2x －4
错解 去分母，得3－x ≤2x －4,3x ≤－7.
7两边同除以－3，得x ≥3
7∴原不等式的解集为{x |x ≥． 3
点击 虽然解方程允许去分母，但解不等式一般不允许去分母，通常的去分母不是解方程和解不等式的同解变形．对解方程而言，去分母后可能增加使分母为零的解，这种解可以通过验根剔除．对解不等式而言，如果分母含有未知数，那么在不知道分母正负的前提下，去分母是错误的．上述错解就是犯了这个错误．
3－x 3－x 7－3x 正解 1即1≤02x －42x －42x －4
≤0.
因为两实数的积与商是同号的，所以上述不等式同解于如下的不等式组
⎧⎪2x －4≠0⎨； ⎪⎩(7－3x )(2x －4)≤0
x ≠2，⎧⎪即⎨ 76(x －x －2)≥0⎪3⎩
∴已知不等式的解集为{x |x ＜2或7x ≥}. 3
知 能 层 层 练
针对考点勤钻研 金榜题名不畏难
x －21．不等式0的解集是( ) x ＋1
A ．(－∞，－1) ∪(－1,2] B ．[－1,2]
C ．(－∞，－1) ∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 答案 D
x －2解析 ≤0⇔(x －2)(x ＋1) ≤0且x ＋1
x ≠－1⇒－1＜x ≤2.
2．设函数2⎧⎪x －4x ＋6，x ≥0f (x ) ＝⎨⎪⎩x ＋6，x ＜0 ，则不等式f (x ) ＞f (1)的解集是( )
A ．(－3,1) ∪(3，＋∞)
B ．(－3,1) ∪(2，＋∞)
C ．(－1,1) ∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3) ∪(1,3)
答案 A
解析 原不等式可化为⎧⎧⎪x ≥0⎪x ＜0⎨2或⎨，所以原不等⎪x －4x ＋6＞3⎪x ＋6＞3⎩⎩
式的解集为(－3,1) ∪(3，＋∞) ，故选A.
3. 若f (x ) 是偶函数，且当x ∈[0，＋∞) 时，f (x ) ＝x －1，则不等式f (x －1) ＜0的解集是( )
A ．{x |－1＜x ＜0}
B ．{x |x ＜0或1＜x ＜2}
C ．{x |0＜x ＜2}
D ．{x |1＜x ＜2}
答案 C
⎧⎪x －1 x ≥0解析 ∵f (x ) ＝⎨，∴不⎪⎩－x －1 x ＜0
等式f (x ) ＜0的解集为{x |－1＜x ＜1}，将x 换成x －1，得不等式f (x －1) ＜0的解集为{x |0＜x ＜2}，故选C.
24．(2010·全国卷Ⅰ) 不等式2x ＋1－
x ≤1的解集是________．
答案 {x |0≤x ≤2}
22解析 由2x ＋1－x ≤1得2x ＋1≤x
⎧⎧⎪x ＋1≥0⎪x ≥－1＋1⇒⎨2⇒2⇒⎨⎪⎪⎩2x ＋1≤(x ＋1)⎩0≤x ≤2
0≤x ≤2，所以不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．
25．已知不等式x －3x ＋a ＜0的解集为
{x |1＜x ＜b ，x ∈R}．
(1)求a 、b 的值；
2(2)解不等式log c (－bx ＋3x ＋1－a ) ＜
0(c ＞0且c ≠1) ．
2解析 (1)由题设知方程x －3x ＋a ＝0
的两根为1，b .
⎧⎪1＋b ＝3根据韦达定理⎨，解得⎪b ＝a ⎩1·
⎧⎪a ＝2，⎨⎪⎩b ＝2.
2(2)原不等式即为log c (－2x ＋3x －1) ＜
0，
当c ＞1时，
2log c (－2x ＋3x －1) ＜0⇔2⎧－2x ＋3x －1＞0⎪⎨ 2⎪⎩－2x ＋3x －1＜1
2⎧⎪2x －3x ＋1＜0，⇔⎨2⎪⎩2x －3x ＋2＞0.
1解得 ＜x ＜1. 2
当0＜c ＜1时，
22log c (－2x ＋3x －1) ＜0⇔－2x ＋3x －1
＞1
⇔2x －3x ＋2＜0.
∵Δ＝9－16＜0，
∴不等式的解集为∅.
综上所述，当c ＞1时，
⎧⎪1⎫原不等式的解集为⎨x ⎪2＜x ＜1⎬； ⎩⎪⎭
当0＜c ＜1时，原不等式的解集为∅. 2
第二节不等式的解法
教 材 面 面 观
基础知识常梳理 自主探究强记忆
1．一元二次不等式的解法
先将不等式化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0) 且a ＞0，再应用以下程序写出解
2集：设ax ＋bx ＋c ＝0(a ＞0) 的两根为x 1，
22x 2(x 1＜x 2) ，Δ＝b －4ac ，不等式ax ＋bx ＋c
＞0(a ＞0) 的解集为①Δ＞0时，解集为________；②Δ＝0时，解集为________；③Δ＜0时，解集为________．
2不等式ax ＋bx ＋c ＜0(a ＞0) 的解集为
①Δ＞0时，解集为________；
②Δ＝0时，解集为________；
③Δ＜0时，解集为________．
答案 {x |x ＞x 2或x ＜x 1} {x |x ∈R 且b x ≠－ R {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅ 2a
2．分式不等式的解法
(1)如能判断分母的符号，可直接去分母，转化为整式不等式；
⎧g (x )≥0，⎪f (x )·f (x )(2)≥0⇒⎨ g (x )⎪⎩ ；
(3)用穿根法或数轴标根法．
答案 g (x ) ≠0
3．简单的高次不等式的解法
(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是________的形式；
(2)各因式中x 的系数全部变为________，约去偶次因式；
(3)把各个根从小到大依次排好，从右上方向左下方穿根；
(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根) 是否在解集内．
答案 0 1
4．解指数不等式或对数不等式时应先把不等号两端化为________指数幂或________对数形式，再结合指数函数或对数函数的________解不等式．
答案 同底 同底 单调性
考 点 串 串 讲
考点归纳与解析 思维拓展与迁移
1．一元二次不等式的解法
(1)含有未知数的最高次数是二次的一
元不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解法(如下表所示)
2设a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax ＋
＜x (3)对于一元二次不等式的解法需注意： x －a ①0(a ＜b ) 的解集为：{x |x ≤a 或x x －b
x －a ＞b }≤0(a ＜b ) 的解集为：{x |a ≤x ＜b }． x －b
②从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0) 的解集是一元二次函
2数y ＝ax ＋bx ＋c (a ＞0) 在x 轴上方的点的横坐标的集合．
③三个“二次”的关系
常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系．
2．解一元二次不等式的方法：
(1)图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集．
(2)公式法步骤：
2①先化成标准型：ax ＋bx ＋c ＞0(或＜
0) ，且a ＞0；
②计算对应方程的判别式Δ；
③求对应方程的根；
④利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集．
3．一般分式不等式的解法：
f (x )f (x )(1)整理成标准型＞0(或＜0) 或g (x )g (x )
≥0(或≤0) ．
(2)化成整式不等式来解：
f (x )①0⇔f (x )·g (x ) ＞0 g (x )
f (x )②0⇔f (x )·g (x ) ＜0 g (x )
⎧g (x )≥0⎪f (x )·f (x )③0⇔⎨ g (x )⎪⎩g (x )≠0
⎧g (x )≤0⎪f (x )·f (x )④0⇔⎨ g (x )⎪⎩g (x )≠0
(3)再讨论各因式的符号或按数轴标根法写出解集．
4．一元高次不等式的解法
解一元高次不等式最好的方法是用数轴标根法(或称穿针引线法) ．
先将一元高次不等式化为标准形式：一端为0，一端在实数范围内分解成一次因式或二次因式的积，将恒不为0的二次因式在不等式两边约去，将原不等式化为f (x ) ＝(x －x 1)(x －x 2) „(x －x n ) ＞0(或＜0) 的形式，求出f (x ) ＝0的n 个根x 1，x 2，„，x n 并标在数轴上，然后从右至左，自上而下依次穿过几个根对应的点，遇奇次重根一次穿过，遇
偶次重根穿而不过，画一条连续曲线则在数轴上方的曲线对应的区间为f (x ) ＞0的解集，在数轴下方的曲线对应的区间为f (x ) ＜0的解集．
5．解高次不等式与分式不等式需注意
(1)根据多项式理论，每个一元多项式都可以分解为一些一次、二次因式的乘积，其中二次因式恒正或恒负，因此高次不等式都可转化为一些一次因式的乘积的不等式，然后采用穿根法完成．
(2)有些高次不等式因式分解后，可能会出现重因式，由于奇次重因式的符号与一次因式的符号一致，因此奇次重因式可以直接改写为一次因式；如果是偶次重因式，则分偶次重因式等于0和大于0两种情形讨论．
(3)大部分分式不等式转化为整式不等式后，实际上就是转化成了高次不等式，用高次不等式的解法求解即可．
(4)对于右边不为零的分式不等式的求解，一般是通过不等式两边加上同一个数(或式) 使右边变为0，然后采用以上方法求解，切忌将左边的分母不讨论符号直接乘到右边，进行去分母．
(5)分解的各个因式中，x 的系数须为正
数．
(6)画曲线遵循“从右至左，自上而下”的原则．
6．无理不等式的解法
解无理不等式的基本思想是将不等式等价转化为有理不等式求解．
一般有 f (x )＞g (x )⇔⎧⎪⎨f (x )＞g (x )
⎪⎩g (x )≥0 f (x )＞g (x ) ⇔
⎧⎪⎨g (x )＜0⎧
⎪⎩f (x )≥0 或⎪⎨g (x )≥0
⎪⎩f (x )＞g 2(x ) ⎧g (x )＞0
f (x )＜g (x ) ⇔⎪⎨⎪f (x )≥0
⎩f (x )＜g 2(x )
7．指数不等式与对数不等式的解法
(1)当a ＞1时，a f (x ) ＞(＜) a g (x )
⇔f (x ) ＞(＜) g (x )
(2)当0＜a ＜1时，a f (x ) ＞(＜) a g (x ) ⇔f (x ) ＜(＞) g (x )
(3)当a ＞1时，log a f (x ) ＞(＜)log a g (x )
f (x )＞0⎧⎪⇒⎨g (x )＞0 ⎪⎩f (x )＞(＜)g (x )
(4)当0＜a ＜1时，log a f (x ) ＞(＜)log a g (x ) ⎧f (x )＞0⎪⇔⎨g (x )＞0 ⎪⎩f (x )＜(＞)g (x )
解指数不等式与对数不等式时首先要保证不等式有意义，然后化为同底幂或同底对数形式，去对数符号时要注意底数a 的范围，从而判断不等号方向是否改变．
8．解抽象函数不等式
解抽象函数不等式去掉对应法则符号“f ”是关键，也是难点，常用函数的单调性去“f ”，另外注意保证f (x ) 有意义.
典 例 对 对 碰
反思例题有法宝 变式迁移有技巧 题型一一元一次不等式的解法
例1解不等式：ax ＞x ＋3(a ≠1) ． 解析 原不等式可化为(a －1) x ＞3.
3当a ＞1时，a －1＞0，∴x ＞ a －1
3当a ＜1时，a －1＜0，∴x ＜a －1
故a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＞3}， a －1
3a ＜1时，不等式的解集为{x |x }. a －1
变式迁移1
不等式ax －1＞4b 的解集为{x |x ＜1}，则实数a 、b 需满足的条件为________．
⎧a
解析 ax －1＞4b ，即ax ＞4b ＋1， 解集为{x |x ＜1}．
4b ＋1∴a ＜0且1， a
⎧⎪a ＜0，即⎨ ⎪⎩4b ＋1＝a .
题型二一元二次不等式的解法
例2已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为
20＜α＜x ＜β，求不等式cx ＋bx ＋a ＞0的解
集．
2解析 因不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解为
0＜α＜x ＜β，所以a ＜0，且方程ax 2＋bx ＋
b c ＝0的两根为α、β. 所以α＋β＝－＞0，α·βa
c c b ＝0，所以＞0，＜0，又a ＜0，所以c a a a
＜0.
2设方程cx ＋bx ＋a ＝0的两根为x 1与x 2.
由韦达定理
b －b －a x 1＋x 2＝ c c a
α＋β11＝， α·ββα
a 1111x 1·x 2＝＝＝. c c α·βαβ
a
112∴方程cx ＋bx ＋a ＝0的两根为αβ
∵0＜α＜β，
11＞＞0. αβ
12∴不等式cx ＋bx ＋a ＞0的解集为{x β
1＜x ＜． α
点评 本题从一元二次不等式解区间的端点值就是相应二次方程的根入手，结合韦达定理，用系数a ，b ，c 将两个方程的根联系起来，使问题解决．一般地，欲解一元二次不等式，应首先求出相应方程的根(Δ≥0时) ，然后据二次项的系数与不等号的方向确定解集.
变式迁移2
12若关于x 的不等式－x ＋2x ＞mx 的解2
集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为________．
答案 1
2解析 由原不等式得x ＋(2m －4) x ＜
20，又0＜x ＜2时，有x (x －2) ＜0，即x －
2x ＜0，比较系数得2m －4＝－2，即2m ＝2，故m ＝1.
题型三分式不等式的解法
例3解不等式32(x －2)(2x ＋5)(x －3)(x ＋1)＞0. 2(2x ＋5)(x －1)
分析 分子或分母上有因式(ax ＋b )
2k ＋1或(ax ＋b ) (k ∈N) 的情况，通常做如下处理：
2k ①去掉(ax ＋b ) ；
b b ②视x 而注上x ≠－或x ＝a a
b －； a
③解化简后的不等式，并在解中去掉－b b 或添上－. a a
解析 原不等式可化为 2k
⎧(x －2)(x －3)(x ＋1)＞0，⎪x －1⎨15⎪x ≠－x ≠－22⎩
如图所示，故原不等式的解集为
55(－∞，－) ∪(－，－1) ∪(1,2)∪(3，22
＋∞) ．
2k 点评 此类题极易去掉(ax ＋b ) 因式，
b 而不考虑x ，导致结论错误. a
变式迁移3
2x ＋2x －3解不等式0. －x ＋x ＋6
解析 原不等式的解集是由下面两个不等式组的解集的并集构成．
2⎧⎪x ＋2x －3＞0， ①(1)⎨2 ⎪⎩x －x －6＞0. ②
2⎧x ⎪＋2x －3＜0， (2)⎨2⎪⎩x －x －6＜0. ④③
由①解得{x |x ＜－3或x ＞1}，
由②解得{x |x ＜－2或x ＞3}．
∴不等式组(1)的解集是{x |x ＜－3或x ＞3}
由③解得{x |－3＜x ＜1}，
由④解得{x |－2＜x ＜3}．
∴不等式组(2)的解集是{x |－2＜x ＜1}． 综上，由不等式组(1)、(2)的解集可得原不等式的解集是{x |x ＜－3或－2＜x ＜1或x ＞3}.
题型四高次不等式的解法
例4解不等式：(x 2－1)(x 2－6x ＋8) ≥0.
分析 可等价转化为不等式组，也可利用数轴标根法．
解析 解法一：由(x 2－1)(x 2－6x ＋
8) ≥0可得：
2⎧⎪x －1≥0，⎨2(1) ⎪⎩x －6x ＋8≥0，
2⎧⎪x －1≤0，或⎨2⎪⎩x －6x ＋8≤0， (2)
由(1)解得：x ≥4，或1≤x ≤2，或x ≤－1
由(2)得：x ∈∅，
∴原不等式的解集为
{x |x ≤－1，或1≤x ≤2，或x ≥4}． 解法二：将原不等式变形为
(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －4) ≥0，
令f (x ) ＝(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －4) ，各因式根依次为－1,1,2,4.
如图，可得原不等式的解集为{x |x ≤－1，或1≤x ≤2，或x ≥4}．
点评 (1)解法一仅适用于次幂较低的高次不等式．解法二是利用数轴标根法求解的，适用于任何高次不等式．
(2)用数轴标根法解不等式时要注意： ①将原不等式化为(x －x 1) a 1(x －x 2) a 2„(x －x n ) a n ＞0(或＜0) 的形式．
②各因式中x 的系数必须为正．
③根的重数．对于偶次重根，线穿而不过；对于奇次重根，线穿根而过．
(3)高次不等式一般用数轴标根法求解.
变式迁移4
22解不等式：(x －1)(x －5x ＋6)(x －x －
22) ≥0.
解析 原不等式可变形为
(x －1)(x －2)(x －3)(x －2) 2(x ＋1) 2≥0
23即(x ＋1) (x －1)(x －2) (x －3) ≥0
由数轴标根法知，
x 的取值范围为x ＝－1或1≤x ≤2或
x ≥3.
题型五分段函数型不等式
x －1⎧⎪2e ，x ＜2，例5设f (x ) ＝⎨则不2⎪⎩log 3(x －1)，x ≥2.
等式f (x ) ＞2的解集为( )
A ．(1,2)∪(3，＋∞) B ．(，＋∞)
C ．(1,2)∪10，＋∞) D ．(1,2)
x －1解析 当x ＜2时，由2e ＞2得x ＞1，
故1＜x ＜2；
2当x ≥2时，由log 3(x －1) ＞2得x ＞10
或x ，故x ＞∴不等式f (x ) ＞2的解集为(1,2)∪，＋∞) ，选C.
答案 C
点评 利用分段函数的各段解析式，将原不等式化为分段的几个不等式，将各不等式的解集与该段的x 的取值范围取交集，得到在各段内符合条件的x 的取值范围，然后取并集即可.
变式迁移5
⎧⎪－x ＋1， (x ＜0)，已知函数f (x ) ＝⎨⎪⎩x －1， (x ≥0)，
则不等式x ＋(x ＋1) f (x ＋1) ≤1的解集是
( )
A ．{x |－1≤x －1}
B ．{x |x ≤1}
C ．{x |x ≤－1}
D ．{x |－2－1≤x ≤－1}
答案 C
解析 不等式x ＋(x ＋1) f (x ＋1) ≤1等价于
(1)
⎧⎪x ＋1＜0， ①⎨ ⎪[－(x ＋1)＋1]≤1 ②⎩x ＋(x ＋1)·
或
⎧⎪x ＋1≥0， ③(2)⎨ ⎪x ＋(x ＋1)·[(x ＋1)－1]≤1. ④⎩
由①得x ＜－1，由②得x ∈R ，
∴不等式组(1)的解集为(－∞，－1) ． 由③得x ≥－1，由④得－－1≤x ≤－1，
∴不等式组(2)的解集为[－1－1]． 故原不等式的解集为(－∞，－1].
题型六指数不等式的解法
1x ＋2x 52x －3x 1例6解不等式：2＞) . 2
分析 首先化同底，然后把指数不等式转化为非指数不等式． 22
解析 原不等式即2
2－x －2x 522x －3x 12＞，
22∴2x －3|x |＋1＞－x －2|x |＋5，
22即3x －|x |－4＞0，即3|x |－|x |－4＞0， ∴(|x |＋1)(3|x |－4) ＞0，
∴3|x |－4＞0，
4∴原不等式的解集为{x |x ＞或x ＜－3
变式迁移6
1x －8－2x 解不等式：) ＞3. 3
2解析 由已知得－x ＋8＞－2x ，
2即x －2x －8＜0.
解得－2
∴原不等式的解集为{x |－2
题型七对数不等式的解法
例7解下列不等式： 1lg x ＜ 2
x x ＋1(2)log2(2－1)·log 2(2－2) ＜2.
分析 按指数不等式，对数不等式的基224}. 3
本解法求解．
解析 (1)不等式可化为2lg x 2＜2)
2－， 21∵＞1，∴lg x ＜－2，∴0＜x ＜. 100
11解得－＜x ＜0，或0＜x 1010
∴原不等式的解集为
11{x |－＜x ＜0，或0＜x ＜． 1010
x ＋1x (2)∵2－2＝2(2－1) ，∴原不等式可化为
x 2x [log2(2－1)]＋log 2(2－1) －2＜0
x 解得－2＜log 2(2－1) ＜1.
1＜2x －1＜2. 4
55x ＜2＜3. 即log ＜x ＜log 23. 44
5∴原不等式的解集为{x |log2＜x ＜4
log 23}．
点评 在解对数不等式时，一定要注意真数大于0这个条件，否则会将不等式的解集扩大.
变式迁移7
1解不等式：2＋log 1(5－x ) ＋log ＞0. x 2
解析 由题得x 的取值范围为0＜x ＜5. 这时原不等式可化为： 1log 1x (5－x )]＞0. 即 4
2
1(5－x ) ＜1. 4
2x －5x ＋4＞0.
x ＜1或x ＞4.
∴原不等式的解集为(0,1)∪(4,5).
题型八抽象函数不等式的解法
例8已知f (x ) 是定义在[－1,1]上的奇函数，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时有f (m )＋f (n )＞0. m ＋n
(1)用定义证明：f (x ) 在[－1,1]上是增函数；
11(2)解不等式：f (x ) ＜f ) ． 2x －1
解析 (1)证明：任取－1≤x 1＜x 2≤1，则：
f (x 1) －f (x 2) ＝f (x 1) ＋f (－x 2)
f (x 1)＋f (－x 2)
x 1－x 2·(x 1－x 2) ．
∵－1≤x 1＜x 2≤1，
∴x 1＋(－x 2) ≠0.
由已知f (x 1)＋f (－x 2)
x －x 0，
12
又x 1－x 2＜0，
∴f (x 1) －f (x 2) ＜0.
即f (x ) 在[－1,1]上为增函数．
(2)∵f (x ) 在[－1,1]上为增函数，
⎧⎪－1≤x ＋11，
∴⎪2⎨－11
x －11，
⎪⎪⎩x ＋121
x －1
解得：－32≤x
∴不等式的解集为{x |－32≤x ＜－
x ∈R}.
变式迁移8 1，
y ＝f (x ) 是R 上的减函数，且y ＝f (x ) 的图象经过点A (0,1)和B (3，－1) ，则不等式|f (x ＋1)|＜1的解集为________．
答案 {x |－1＜x ＜2}
解析 f (0)＝1，f (3)＝－1.
∵|f (x ＋1)|＜1，∴－1＜f (x ＋1) ＜1 ∴f (3)＜f (x ＋1) ＜f (0)
∵y ＝f (x ) 是R 上的减函数，
∴3＞x ＋1＞0，∴－1＜x ＜2.
题型九含参数的二次不等式的解法
2例9解关于x 的不等式：ax －2x ＋1＞
0.
分析 从不等式的形式结构看，可以是一元一次不等式，也可以是一元二次不等式，其中为二次不等式时，又要考虑“开口方向”和“判别式的正负”问题，注意到Δ＝4－4a ，可以从中找到讨论点是“a ＝0”和“a ＝1”．
解析 ①当a ＝0时，不等式即－2x ＋1＞0，
1∴解集为{x |x ＜}； 2
②当a ＜0时，Δ＝4－4a ＞0，
21此时不等式为x －＋＜0， a a
122由于方程x －x ＋0的两根分别为a a
1－1－a 1＋1－a 、 a a
1－1－a 1＋1－a ＞， a a
∴不等式的解集为：
1＋1－a 1－1－a {x |x ＜}； a a
③当a ＞0时，若0＜a ＜1，
212此时不等式即x －＋＞0， a a
1－1－a 1＋1－a ＜， a a
∴不等式的解集为
1－1－a 1＋1－a {x |x ＜，或x }， a a
2若a ＝1，则不等式为(x －1) ＞0，
∴不等式的解集为{x ∈R|x ≠1}；
若a ＞1，则Δ＜0，不等式的解集为R. 点评 当含有参数的一元二次不等式对应的二次方程有两个不同的根时，判断谁大谁小，要考虑参数的作用. 2
变式迁移9
解关于x 的不等式：a 2x 2－2ax ＋1－b 2＜0(a ≠0，b >0)．
解析 原不等式可化为(ax －1＋b )(ax －1－b ) ＜0，
2∵a ≠0，a ＞0，
1－b 1＋b ∴(x )(x －) ＜0，且1－b ＜1a a
＋b ，
1－b 1＋b ∴①若a ＜0，则＞，此时不等a a
1＋b 1－b 式的解集为{x ＜x ＜}； a a
1－b 1＋b ②若a ＞0，则，此时不等式a a
1－b 1＋b 的解集为{x ＜x ＜}. a a
题型十利用不等式解实际应用问题 例10某地区上年度电价为0.8元/kW·h ，年用电量为a kW·h ，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h. 经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和
用户期望电价的差成反比(比例系数为k ) ．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；
(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价) ．
解析 (1)设下调后的电价为x 元
k /kW·h ，依题意知，用电量增至＋a ，x －0.4
电力部门的收益为
k y ＝(＋a )(x －x －0.4
0.3)(0.55≤x ≤0.75) ．
(2)依题意，有
错误!
2⎧x ⎪－1.1x ＋0.3≥0，整理，得⎨ ⎪⎩0.55≤x ≤0.75.
解此不等式组，得0.60≤x ≤0.75.
答：当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
点评 本题主要考查综合运用数学知识、数学方法、分析和解决实际问题的能力，考查了数学建模、反比例函数、根据实际问题建立不等式和解不等式等数学内容.
变式迁移10
国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销量将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元，问R 应怎样确定？
解析 设销售量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R .
由题意得，70(100－10R )·R %≥112， 整理得，R 2－10R ＋16≤0，解得，2≤R ≤8.
答：当2≤R ≤8(单位：元) 时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元.
题型十一含参数的不等式问题
2例11已知不等式log 2(ax －3x ＋6) ＞2
的解集为{x |x ＜1或x ＞2}．
(1)求a 的值；
c －x (2)解关于x 的不等式0(c 为常ax ＋2
数) ．
解析 (1)不等式log 2(ax 2－3x ＋6) ＞
2log 24可转化为ax －3x ＋2＞0，
2依题意ax －3x ＋2＞0的解集为{x |x ＜1
或x ＞2}，
∴方程ax 2－3x ＋2＝0的两根分别为1、2，
利用根与系数的关系得a ＝1.
c －x (2)将a ＝1代入不等式得0， x ＋2
①当c ＜－2时，原不等式的解集为{x |c ＜x ＜－2}；
②当c ＝－2时，原不等式的解集为∅； ③当c ＞－2时，原不等式的解集为{x |－2＜x ＜c }．
点评 本题第(1)问是已知不等式的解集求参数的值，可根据一元二次不等式的解集情况确定参数的值；第(2)问是解含参数的
不等式，需要对参数进行分类计论，关键是把握分类的标准，有时在大类里还需分小类.
变式迁移11
ax －1解关于x 的不等式：＞0. x －x －2
解析 当a ＝0时，原不等式等价于x 2－x －2＜0，
解得－1＜x ＜2.
当a ＞0时，原不等式化为
12(x －)(x －x －2) ＞0， a
1即(x )(x ＋1)(x －2) ＞0. a
1则当a 时，x ＞－1，且x ≠2. 2
11当0＜a 时，x ＞或－1＜x ＜2. 2a
11当a ＞1＜x 或x ＞2. 2a
当a ＜0时，原不等式等价于
1(x －)(x ＋1)(x －2) ＜0. a
则当a ＝－1时，x ＜2，且x ≠1.
1当－1＜a ＜0时，x 或－1＜x ＜2. a
1当a ＜－1时，x ＜－1＜x ＜2. a
方 法 路 路 通
规律方法勤探究 高考成绩优中优
1．关于一元二次不等式应明确：
22不等式ax ＋bx ＋c ＞0，ax ＋bx ＋c ＜0
2的解就是使二次函数y ＝ax ＋bx ＋c 的函数
值大于0或小于0时x 的取值范围，应充分和二次函数图象结合去理解二次不等式的解集表．
2．解带参数的不等式(x －a )(x －b ) ＞0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号) ，二算(计算判别式，判断方程根的情况) ，三写(写出不等式的解集) ．
3．应注意讨论ax 2＋bx ＋c ＞0的二次项系数a 是否为零的情况．
4．在解分式不等式时一般要先移项再通分，使不等号一侧为0，而不要把分母乘到不等号的另一侧．
5．一元一次、二次不等式是解不等式
的基础，其他的不等式(分式不等式、高次不等式、无理不等式及指数、对数不等式) 可以根据不等式的性质转化为一元一次、一元二次不等式(组) 求解，因此需熟练掌握．
6．含参数的一元一次和一元二次不等式的分类讨论是一个难点，讨论时第一要确定分类标准，主要依据最高次项系数符号确定不等号方向，依据判别式符号确定相应方程根的情况，依据根的大小确定不等式解集；第二要针对字母系数取值范围做到不重不漏．注意含参数的不等式运用分类讨论解决，分类要不重不漏．若讨论的字母和解的字母不是同一个字母，要分开写，不要取并集．若讨论的字母和解的字母是同一个字母，则需要取并集或交集．
7．解简单的分式不等式和高次不等式，其实质是运用化归思想方法等价转化，其中因式分解是重要的一步．
8．不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是用同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上，高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等
式，所以等价转化是解不等式的主要思路．
代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路．为此，一要能熟练准确地解一元一次和一元二次不等式，二要保证每步转化都是等价变形．
9．不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要准确地求出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解集的示意线要画的一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集．
10．解分式不等式和高次不等式时需注意：
①等号问题；
②分解时x 的符号问题；
③重根问题；
④解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零．
11．用数轴标根法解高次不等式，最右区的符号由最高次项系数的正负决定，若为正数，则最右区的符号为正；若为负数，则
最右区的符号为负，然后从右向左f (x ) 的正负符号区相间出现．
12．不等式的结果要写成集合或区间的形式.
正 误 题 题 辨
学海暗礁常提醒 逐波踏浪舟更轻
3－x 例解不等式：1. 2x －4
错解 去分母，得3－x ≤2x －4,3x ≤－7.
7两边同除以－3，得x ≥3
7∴原不等式的解集为{x |x ≥． 3
点击 虽然解方程允许去分母，但解不等式一般不允许去分母，通常的去分母不是解方程和解不等式的同解变形．对解方程而言，去分母后可能增加使分母为零的解，这种解可以通过验根剔除．对解不等式而言，如果分母含有未知数，那么在不知道分母正负的前提下，去分母是错误的．上述错解就是犯了这个错误．
3－x 3－x 7－3x 正解 1即1≤02x －42x －42x －4
≤0.
因为两实数的积与商是同号的，所以上述不等式同解于如下的不等式组
⎧⎪2x －4≠0⎨； ⎪⎩(7－3x )(2x －4)≤0
x ≠2，⎧⎪即⎨ 76(x －x －2)≥0⎪3⎩
∴已知不等式的解集为{x |x ＜2或7x ≥}. 3
知 能 层 层 练
针对考点勤钻研 金榜题名不畏难
x －21．不等式0的解集是( ) x ＋1
A ．(－∞，－1) ∪(－1,2] B ．[－1,2]
C ．(－∞，－1) ∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 答案 D
x －2解析 ≤0⇔(x －2)(x ＋1) ≤0且x ＋1
x ≠－1⇒－1＜x ≤2.
2．设函数2⎧⎪x －4x ＋6，x ≥0f (x ) ＝⎨⎪⎩x ＋6，x ＜0 ，则不等式f (x ) ＞f (1)的解集是( )
A ．(－3,1) ∪(3，＋∞)
B ．(－3,1) ∪(2，＋∞)
C ．(－1,1) ∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3) ∪(1,3)
答案 A
解析 原不等式可化为⎧⎧⎪x ≥0⎪x ＜0⎨2或⎨，所以原不等⎪x －4x ＋6＞3⎪x ＋6＞3⎩⎩
式的解集为(－3,1) ∪(3，＋∞) ，故选A.
3. 若f (x ) 是偶函数，且当x ∈[0，＋∞) 时，f (x ) ＝x －1，则不等式f (x －1) ＜0的解集是( )
A ．{x |－1＜x ＜0}
B ．{x |x ＜0或1＜x ＜2}
C ．{x |0＜x ＜2}
D ．{x |1＜x ＜2}
答案 C
⎧⎪x －1 x ≥0解析 ∵f (x ) ＝⎨，∴不⎪⎩－x －1 x ＜0
等式f (x ) ＜0的解集为{x |－1＜x ＜1}，将x 换成x －1，得不等式f (x －1) ＜0的解集为{x |0＜x ＜2}，故选C.
24．(2010·全国卷Ⅰ) 不等式2x ＋1－
x ≤1的解集是________．
答案 {x |0≤x ≤2}
22解析 由2x ＋1－x ≤1得2x ＋1≤x
⎧⎧⎪x ＋1≥0⎪x ≥－1＋1⇒⎨2⇒2⇒⎨⎪⎪⎩2x ＋1≤(x ＋1)⎩0≤x ≤2
0≤x ≤2，所以不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．
25．已知不等式x －3x ＋a ＜0的解集为
{x |1＜x ＜b ，x ∈R}．
(1)求a 、b 的值；
2(2)解不等式log c (－bx ＋3x ＋1－a ) ＜
0(c ＞0且c ≠1) ．
2解析 (1)由题设知方程x －3x ＋a ＝0
的两根为1，b .
⎧⎪1＋b ＝3根据韦达定理⎨，解得⎪b ＝a ⎩1·
⎧⎪a ＝2，⎨⎪⎩b ＝2.
2(2)原不等式即为log c (－2x ＋3x －1) ＜
0，
当c ＞1时，
2log c (－2x ＋3x －1) ＜0⇔2⎧－2x ＋3x －1＞0⎪⎨ 2⎪⎩－2x ＋3x －1＜1
2⎧⎪2x －3x ＋1＜0，⇔⎨2⎪⎩2x －3x ＋2＞0.
1解得 ＜x ＜1. 2
当0＜c ＜1时，
22log c (－2x ＋3x －1) ＜0⇔－2x ＋3x －1
＞1
⇔2x －3x ＋2＜0.
∵Δ＝9－16＜0，
∴不等式的解集为∅.
综上所述，当c ＞1时，
⎧⎪1⎫原不等式的解集为⎨x ⎪2＜x ＜1⎬； ⎩⎪⎭
当0＜c ＜1时，原不等式的解集为∅. 2