专题三 导数与积分
一、高考考点：
1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义。能根据导数的定义求函数
y =C (C 为常数）, y =x , y =x 2, y =x 3, y =
1
, y =x 的导数 x
2. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，能求简单的复合函数。
3. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义。
二、突破方法
1. 导数的有关概念
导数的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
称为函数=
∆x ∆x
y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率；如果极限lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
存=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做y =f (x ) 在x 0处的导数，记作f ' (x 0) 或y ' |x =x 0，即f ' (x 0) =lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
导函数：如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，其导数值在(a,b)内构成一个新的函数，叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记做f '(x )或y '。
注：如果函数f(x)在x =x 0处可导，那么函数y=f(x)在x =x 0处连续。（可导必连续，连续不一定可导。）
例：设f (x )在x =x 0处可导，且lim
∆x →0
f (x 0+3∆x )-f (x 0)=1, 则f '(x 0)=_______.
∆x
)，求f '(0) 练： 已知f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3) (x +2006
⎛π⎫
例：定义在 0⎪上的函数f (x )，f '(x )是它的导函数，且恒有f (x )
2⎝⎭
)。则(
⎛π⎫⎛π⎫
A . f ⎪>2f ⎪
⎝4⎭⎝3⎭⎛π⎫C . 2f ⎪>
⎝6⎭
⎛π⎫f ⎪⎝4⎭
⎛π⎫
B . f (1)
⎝6⎭⎛π⎫D . f ⎪
⎝6⎭
⎛π⎫f ⎪⎝3⎭
例：设函数f (x ) 在R 上的导函数为f '(x ), 且2f (x )+x f '(x )0
).
B . f (x )
C . f (x ) >x
D . f (x )
(0，练：已知f (x ) 定义域为+∞)，f '(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )
等式f (x +1)>(x -1)f x -1的解集是____________.
2
()
'
练：已知f 1(x )=sin x -cos x ，f n +1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )=f 1(x )， ，
'
f n +1(x )=f n (x )，n ∈N *，则f 2014(x )=________.
2. 导数的几何意义：函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点
(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是
f ' (x 0) ，切线方程为y -y 0=f ' (x )(x -x 0).
1例：已知一组曲线y =ax 3+bx +1, 其中a 为2, 4, 6, 8中的任意一个，b 为1, 3, 5, 7中的任
3
意一个。现从这些曲线中任取两条，它们在x =1处的切线相互平行的组数为____.
例：设L 为曲线C ：y =(1) 求切线方程；
ln x
在点（1, 0）处的切线。x
(2) 证明：除切点(1, 0) 外，曲线C 在直线L 的下方。
例：对正整数n , 设曲线y =x n (1-x )在x =2处的切线与y 轴的交点的纵坐标为a n , 则⎧a ⎫
数列⎨n ⎬的前n 项和为S n =_________.
n +1⎩⎭
练：如果f '(x )是二次函数，且f '(x )的图像开口向上，顶点坐标为1，那么曲线y =f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是_______.
()
练：设函数f (x ) =x 2+ax +b , g (x ) =e x (cx +d ). 若曲线y =f (x ) 和曲线y =g (x ) 都过点P (0, 2) ，且在点P 处有相同的切线y =4x +2. (1) 求a , b , c , d 的值；
(2) 若x ≥-2时，f (x ) ≤kg (x ), 求k 的取值范围。
3. 几种常见的函数导数：
C ' =0（C 为常数）
(sinx ) ' =cos x (arcsinx ) ' =
1-x
2
(x n ) ' =nx n -1（n ∈R ） (cosx ) ' =-sin x (arccosx ) ' =-
1-x
2
1' 11' (a r c t x a ) n = (lnx ) = (loga x ) =log a e
x x x 2+1
'
(e x ) ' =e x (a x ) ' =a x ln a (arc cot x ) ' =-
4. 求导数的四则运算法则：
(u ±v ) ' =u ' ±v ' ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y ' =f 1' (x ) +f 2' (x ) +... +f n ' (x )
1x 2+1
(uv ) ' =vu ' +v ' u ⇒(cv ) ' =c ' v +cv ' =cv ' （c 为常数）
vu ' -v ' u ⎛u ⎫
(v ≠0) ⎪=
v 2⎝v ⎭
'
复合函数的求导法则：f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) 或y ' x =y ' u ⋅u ' x 注：①u , v 必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例：设函数f (x )=
1
(x >-1且x ≠0)
x +1ln x +1
(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )的取值范围；(3)已知2
1x +1
m
>(x +1)对任意x ∈(-1, 0)恒成立，求实数m 的取值范围。
例：已知函数g (x ) =m -1
-ln x (m ∈R ). x
(1)求θ的值；
1
+ln x 在[1，+∞)上为增函数，且θ∈(0, π), f (x )=m x -x sin θ
(2)若f (x )-g (x )在[1，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；
(3)设h (x ) =2e , 若在[1, e ]上至少存在一个x 0, 使得f (x 0)-g (x 0)>h (x 0)成立, 求m 的取值
x
范围。
练：已知函数f (x )=ln x +
(1)求实数a 的取值范围；
(2)若x ∈(0, 1), y ∈(1, +∞), 求证：2f (x )+4ln 2
a
在(2，+∞)内有极值. x -1
5. 定积分 （1）概念
设函数f (x ) 在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0
∑f (ξ
i ＝1
n
为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x ) 在区间[a ，
b ]上的定积分，记作：
⎰
b
a
f (x ) dx ，即⎰f (x ) dx ＝lim ∑f (ξi ) △x 。
a
n →∞
i =1
b
n
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x ) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x ) dx 叫做被积式。 （2）定积分的性质
①②③
⎰kf (x ) dx =k ⎰
a
b b
a
； f (x ) dx （k 为常数）
b
b
⎰⎰
b
a b
f (x ) ±g (x ) dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx ；
a
a
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx （其中a ＜c ＜b ) 。
a
c
c b
④利用函数的奇偶性求积分。
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x ＝a ，x ＝b （a
S =⎰f (x ) dx 。
a
b
如果图形由曲线y 1＝f 1(x ) ，y 2＝f 2(x ) （不妨设f 1(x ) ≥f 2(x ) ≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a
形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝
⎰
b
a
f 1(x ) dx -⎰f 2(x ) dx 。
a
b
m
（4）基本的积分公式：0dx ＝C ；x dx ＝
⎰⎰
1
x m +1＋C （m m +1
1a x x x x
∈Q ， m ≠－1）；⎰dx ＝ln x ＋C ；⎰e dx ＝e ＋C ；⎰a dx ＝＋C ；⎰cos xdx ＝sin x
x ln a
＋C ；sin xdx ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。 （5）微积分基本定理 一般地，如果
b a
⎰
f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且
F '(x )=f (x ), 那么⎰f (x )dx =F (b )-F (a ), 这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式。
例：已知点P 再曲线y =x 2-1上，它的横坐标为a (a >0)，过点P 作曲线y =x 2的曲线.
(1)求切线的方程；
(2)求证：由上述切线与y =x 2所围成图形的面积S 与a 无关.
练：⎰(x 3+tan x +x 2sin x ) dx = ( )
-11
练：若f (x ) =x +2⎰f (x )dx , 则⎰f (x )dx =_________。
2
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专题三 导数与积分
一、高考考点：
1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义。能根据导数的定义求函数
y =C (C 为常数）, y =x , y =x 2, y =x 3, y =
1
, y =x 的导数 x
2. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，能求简单的复合函数。
3. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义。
二、突破方法
1. 导数的有关概念
导数的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
称为函数=
∆x ∆x
y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率；如果极限lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
存=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做y =f (x ) 在x 0处的导数，记作f ' (x 0) 或y ' |x =x 0，即f ' (x 0) =lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
导函数：如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，其导数值在(a,b)内构成一个新的函数，叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记做f '(x )或y '。
注：如果函数f(x)在x =x 0处可导，那么函数y=f(x)在x =x 0处连续。（可导必连续，连续不一定可导。）
例：设f (x )在x =x 0处可导，且lim
∆x →0
f (x 0+3∆x )-f (x 0)=1, 则f '(x 0)=_______.
∆x
)，求f '(0) 练： 已知f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3) (x +2006
⎛π⎫
例：定义在 0⎪上的函数f (x )，f '(x )是它的导函数，且恒有f (x )
2⎝⎭
)。则(
⎛π⎫⎛π⎫
A . f ⎪>2f ⎪
⎝4⎭⎝3⎭⎛π⎫C . 2f ⎪>
⎝6⎭
⎛π⎫f ⎪⎝4⎭
⎛π⎫
B . f (1)
⎝6⎭⎛π⎫D . f ⎪
⎝6⎭
⎛π⎫f ⎪⎝3⎭
例：设函数f (x ) 在R 上的导函数为f '(x ), 且2f (x )+x f '(x )0
).
B . f (x )
C . f (x ) >x
D . f (x )
(0，练：已知f (x ) 定义域为+∞)，f '(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )
等式f (x +1)>(x -1)f x -1的解集是____________.
2
()
'
练：已知f 1(x )=sin x -cos x ，f n +1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )=f 1(x )， ，
'
f n +1(x )=f n (x )，n ∈N *，则f 2014(x )=________.
2. 导数的几何意义：函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点
(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是
f ' (x 0) ，切线方程为y -y 0=f ' (x )(x -x 0).
1例：已知一组曲线y =ax 3+bx +1, 其中a 为2, 4, 6, 8中的任意一个，b 为1, 3, 5, 7中的任
3
意一个。现从这些曲线中任取两条，它们在x =1处的切线相互平行的组数为____.
例：设L 为曲线C ：y =(1) 求切线方程；
ln x
在点（1, 0）处的切线。x
(2) 证明：除切点(1, 0) 外，曲线C 在直线L 的下方。
例：对正整数n , 设曲线y =x n (1-x )在x =2处的切线与y 轴的交点的纵坐标为a n , 则⎧a ⎫
数列⎨n ⎬的前n 项和为S n =_________.
n +1⎩⎭
练：如果f '(x )是二次函数，且f '(x )的图像开口向上，顶点坐标为1，那么曲线y =f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是_______.
()
练：设函数f (x ) =x 2+ax +b , g (x ) =e x (cx +d ). 若曲线y =f (x ) 和曲线y =g (x ) 都过点P (0, 2) ，且在点P 处有相同的切线y =4x +2. (1) 求a , b , c , d 的值；
(2) 若x ≥-2时，f (x ) ≤kg (x ), 求k 的取值范围。
3. 几种常见的函数导数：
C ' =0（C 为常数）
(sinx ) ' =cos x (arcsinx ) ' =
1-x
2
(x n ) ' =nx n -1（n ∈R ） (cosx ) ' =-sin x (arccosx ) ' =-
1-x
2
1' 11' (a r c t x a ) n = (lnx ) = (loga x ) =log a e
x x x 2+1
'
(e x ) ' =e x (a x ) ' =a x ln a (arc cot x ) ' =-
4. 求导数的四则运算法则：
(u ±v ) ' =u ' ±v ' ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y ' =f 1' (x ) +f 2' (x ) +... +f n ' (x )
1x 2+1
(uv ) ' =vu ' +v ' u ⇒(cv ) ' =c ' v +cv ' =cv ' （c 为常数）
vu ' -v ' u ⎛u ⎫
(v ≠0) ⎪=
v 2⎝v ⎭
'
复合函数的求导法则：f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) 或y ' x =y ' u ⋅u ' x 注：①u , v 必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.
例：设函数f (x )=
1
(x >-1且x ≠0)
x +1ln x +1
(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )的取值范围；(3)已知2
1x +1
m
>(x +1)对任意x ∈(-1, 0)恒成立，求实数m 的取值范围。
例：已知函数g (x ) =m -1
-ln x (m ∈R ). x
(1)求θ的值；
1
+ln x 在[1，+∞)上为增函数，且θ∈(0, π), f (x )=m x -x sin θ
(2)若f (x )-g (x )在[1，+∞)上为单调函数，求m 的取值范围；
(3)设h (x ) =2e , 若在[1, e ]上至少存在一个x 0, 使得f (x 0)-g (x 0)>h (x 0)成立, 求m 的取值
x
范围。
练：已知函数f (x )=ln x +
(1)求实数a 的取值范围；
(2)若x ∈(0, 1), y ∈(1, +∞), 求证：2f (x )+4ln 2
a
在(2，+∞)内有极值. x -1
5. 定积分 （1）概念
设函数f (x ) 在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0
∑f (ξ
i ＝1
n
为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x ) 在区间[a ，
b ]上的定积分，记作：
⎰
b
a
f (x ) dx ，即⎰f (x ) dx ＝lim ∑f (ξi ) △x 。
a
n →∞
i =1
b
n
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x ) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x ) dx 叫做被积式。 （2）定积分的性质
①②③
⎰kf (x ) dx =k ⎰
a
b b
a
； f (x ) dx （k 为常数）
b
b
⎰⎰
b
a b
f (x ) ±g (x ) dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx ；
a
a
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx （其中a ＜c ＜b ) 。
a
c
c b
④利用函数的奇偶性求积分。
（3）定积分求曲边梯形面积
由三条直线x ＝a ，x ＝b （a
S =⎰f (x ) dx 。
a
b
如果图形由曲线y 1＝f 1(x ) ，y 2＝f 2(x ) （不妨设f 1(x ) ≥f 2(x ) ≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a
形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝
⎰
b
a
f 1(x ) dx -⎰f 2(x ) dx 。
a
b
m
（4）基本的积分公式：0dx ＝C ；x dx ＝
⎰⎰
1
x m +1＋C （m m +1
1a x x x x
∈Q ， m ≠－1）；⎰dx ＝ln x ＋C ；⎰e dx ＝e ＋C ；⎰a dx ＝＋C ；⎰cos xdx ＝sin x
x ln a
＋C ；sin xdx ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。 （5）微积分基本定理 一般地，如果
b a
⎰
f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且
F '(x )=f (x ), 那么⎰f (x )dx =F (b )-F (a ), 这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式。
例：已知点P 再曲线y =x 2-1上，它的横坐标为a (a >0)，过点P 作曲线y =x 2的曲线.
(1)求切线的方程；
(2)求证：由上述切线与y =x 2所围成图形的面积S 与a 无关.
练：⎰(x 3+tan x +x 2sin x ) dx = ( )
-11
练：若f (x ) =x +2⎰f (x )dx , 则⎰f (x )dx =_________。
2
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