选修II 第12章 第1讲
一
、
选
择
题
(
8
×
5
＝
4
分
)
1．(2010·南宁调研)将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为( )
A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数 2．(2009·福州毕业班综合测试)下面随机变量ξ的分布列不属于二项分布的是( )
A．某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对在职人员进行年度考核，2004年年度考核中每人考核优秀的概率是0.15. 设该单位在这一年里，各人年度考核优秀是相互独立的，考核优秀的人数为ξ
B．位于某汽车站附近的一个加油站，在每次汽车出站后，该汽车到这个加油站加油的概率是0.7，节日期间每天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，其加油的汽车数为ξ
C．某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为ξ
D．据中央电视台新闻联播报道，下周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒，网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为ξ
3．(2010·兰州一模)一个学生通过一种英语能力测试的概率是12他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( ) 14 B.13 132 D.4
4．下列各表中可以作为随机变量X的分布列的是( ) A.
B.
C.
D.
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝K)＝1
15，K＝1,2,3,4,5，则P(
2
2)等于( )
1 19 C.12
6
1
5
6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1) 7．已知随机变量ξ的概率分布如下表：
则P(ξ＝A.23
B.23 C.1
3
D.13
8．(2009·南京市高三调研)A、B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是( )
1
16 B.332 18
3
16
二、填空题(4×5＝20分)
9．(2010·昆明五校联考)如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任
取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝____________.
10．设随机变量ξ
的分布列为P(ξ＝i)＝i10(i＝1,2,3,4)，则P(172
11．(2010·河北保定模拟)连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为3
4，则射击次数为3的概率为
____________．
12．(2009·东北三校)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}，an＝
⎧⎪⎨－1， 第n次摸取红球，⎪⎩
1， 第n次摸取白球.
如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为__________． 三、解答题(4×10＝40分)
13．将含有红色、黑色等不同颜色的四个小球随机放入A、B、C三个不同的盒子中，且每个盒子中至少有一个小球． (1)求红色、黑色两个小球同时放入A盒中的概率； (2)求红色、黑色两个小球放入同一个盒子中的概率； (3)设ξ为放入A盒中的小球个数，求ξ的分布列．
14.有A、B、C、D四个城市，它们都有一个著名的旅游点依次记为a、b、c、d，把A、B、C、D和a、b、c、d分别写成左、右两列，现有一名旅游爱好者随机用4条线段把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对一根线得2分，连错得0分．求该爱好者得分的分布列．
15.(2010·福建龙岩一模)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
16.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.1、0.5.今两人各投2次．(1)求甲比乙投中次数多的概率；
(2)设ξ为甲投中次数与乙投中次数的差，求ξ的分布列．
选修II 第12章 第2讲
一、选择题(8×5＝40分)
1．(2010·厦门模拟)设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)
＝p，令随机变量X＝⎧⎪⎨1(A出现)⎪，则X的方差DX等于( ⎩
0(A不出现)
)
A．p B．2p(1－p) C．－p(1－p) D．p(1－p)
2．(2010·绵阳适应性考试)若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为( ) A．3·2－
2 B．2
－4
C．3·2
－10
D．2－
8
3．(2010·秦皇岛模拟)设随机变量的分布列如gh 表所示且Eξ＝1.6，则a－b等于( )
A.0.2
D．－0.4
4．(2010·浙江临海模拟)已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别为( ) A．6和2.4
B．2和2.4 C．2和5.6
D．6和5.6
5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x21
1)＝3P(ξ＝x2)＝3
，且x1
已知Eξ＝43Dξ＝2
9
x1＋x2的值为( )
53
B.7
3
C．3
D.113
63
4ξ表示试验首次成
功所需试验的次数，则Dξ等于( )
A．4
B.43 C.49
1
3
7．在2008年的某市中学生运动会上，小明同学参加了乒乓球和网球两个项目的比赛，获得乒乓球冠军的概率是3
4军的概率是1
2
，则小明获得冠军的个数ξ的期望是
( )
54
B．1 C．2 5
8
8．(2009·成都市高三测试)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望Eξ为( )
8
9
B.325 5
1
3
二、填空题(4×5＝20分)
9．(2010·上海，6)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
10．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，3，55
2，02
3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝________.
11．(2010·江苏南通高三上学期期中，6)某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是____________．
12．(2009·苏州十校3月)设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________. 三、解答题(4×10＝40分)
13．(2010·江南，18)某迷宫有三个通道，进入迷官的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门前，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．
14．(2010·全国Ⅱ，20)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立，已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为
0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
(3)ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
15．(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为311
4231
4
，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
16．(2010·浙江理，19)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或
C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．
选修II 第12章 第3讲
一、选择题(8×5＝40分)
1．要完成下列两项调查：(1)从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；(2)从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况，应该采用的抽样方法是( ) A．(1)用随机抽样法，(2)用系统抽样法 B．(1)用系统抽样法，(2)用分层抽样法 C．(1)用分层抽样法，(2)用随机抽样法 D．(1)、(2)都用分层抽样法
2．(2010·江西八校四月联考)为了了解某次考试中1000名学生的成绩，运用简单随机抽样的方法从中抽出一个容量为100的样本，则该次考试中的学生甲被第100次抽到的概率及在整个过程中被抽到的概率分别是( )
A.111111000，100 B.1010C.10001
10
D.11
1000，1000
3．(2010·广东深圳)已知三个正态分布密度函数φ1
i(x)＝
2πσ－i
(x－μi)2
2σi
(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则(
)
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 4．(2010·湖南，文3)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y＝－10x＋200 B.y＝10x＋200 C.y＝－10x－200 D.y＝10x－200
5．(2010·广东，7)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为(
)
A．0.27,78
B．0.27,83 C．2.7,78
D．2.7,83
7．(2010·江西南昌调研)某单位1000名青年职员的体重xkg服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5kg之间属于正常情况，则这1000名青年职员中体重属于正常情况的人数约是(其中φ(1)≈0.841)(
)
A．682
B．841 C．341
D．667
8．(2010·江西南昌一模)每年南昌第二次模拟考试成绩大体上都
能反映当年全市考生高考的成绩状况，设某一年二模考试理科成绩服从正态分布ξ～N(480,1002)，若往年全市一本院校录取率为40%，那么一本录取分数线可能划在(已知φ(0.25)＝0.6)( ) A．525分 B．515分 C．505分 D．495分 二、填空题(4×5＝20分)
9．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001,0002,0003，„，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，„，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________． 10．(2009·湖南)一个总体分为A、B两层，其个体数之比为4 1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中甲、乙都被抽到的概率为1
28，则总体中的个体数为________．
11．(2010·北京，11)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
12．(2010·江西十校)某中学高三年级共有学生1200人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，δ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数
的1
3，由此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 三、解答题(4×10＝40分)
13．(2010·新课标全国，19)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：
K2
＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
14．(2010·湖北襄樊调研统测)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、„、[90,100]后得到部分频率分布直方图(如图)．观察图形中的信息，回答下列问题：
予低息贷款的扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额，为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企
(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)内记0分，在[60,80)内记1分，在[80,100]内记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
15．(2010·黄冈市高三年级2月质量检测)从某城市的南郊某地乘坐公共汽车前往该市的北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50,10)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,4)． (1)若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？ (2)若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？
(已知Φ(3.9)＝1.000，Φ(2)＝0.9772，Φ(2.5)＝0.9938，Φ(1.5)＝0.9332，Φ(1.25)＝0.8944)
16．(2010·厦门质检)为抗击金融风暴，某系统决定对所属企业给
2
2
2
( ) A．7
B．8 C．9
D．10
1111
2．已知f(n)＋( )
nn＋1n＋2n11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝
23111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝23411
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝
23111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝
2343．(2010·河北承德模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数
业．以下图表给出了有关数据(将频率看做概率)．
(1)任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率； (2)对照标准，企业进行了整改．整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使所属企业获得贷款的平均值(即数学期望)不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？
时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( ) A．假设n＝k(k∈N＋)，证明 n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
1114．(2010·大理模拟)用数学归纳法证明“1＋＋＋„＋232－11)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( ) A．2k1
－
选修II 第13章 第1讲
一、选择题(8×5＝40分) 1．(2010·辽宁沈阳)用数学归纳法证明不等11
式1＋＋＋„＋
24
－
B．2k－1 C．2k D．2k＋1
5．(2010·吉林四平模拟)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
11116．(2009·江苏盐城一模)证明1＋＋„＋n＋1(n>1)，
2342当n＝2时，左边式子等于( ) A．1
111111
B．1＋ C．1 D．1＋＋＋223234
1
127
(n∈N*)成立，64
其初始值至少应取
7．(2011·云南一测)记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形
的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________.( ) A.π2
B．π C.3
2
D．2π
8．(2009·河南实验中学)已知一个命题P(k)，k＝2n(n∈N)，若n＝1,2，„，1000时，P(k)成立，且当n＝1000＋1时它也成立，下列判断中，正确的是( )
A．P(k)对k＝2004成立 B．P(k)对每一个自然数k成立 C．P(k)对每一个正偶数k成立 D．P(k)对某些偶数可能不成立 二、填空题(4×5＝20分)
9．(2010·安徽蚌埠调研)若f(n)＝12＋22＋32＋„＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________________________． 10．(2009·广东，12)如图，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝__________；f(n)＝__________(答案用数字或n的解析式表示)． 11．(2010·江西九校)(1＋x)
n
＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋„＋Cnnxn(x∈N*
)，
上式两边对x求导后令x＝1，可得结论：C1n＋2C2n＋„＋rCr
n＋„
＋nCnn＝n·
2n－
1，利用上述解题思路，可得到许多结论．试问：C0n＋2C1n＋3C2n＋„＋(r＋1)Crn＋„＋(n＋1)Cnn＝____________.
12．(2009·安徽)在计算“1×2＋2×3＋„＋n(n－1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k＋1)＝1
3[k(k＋1)·(k
＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝1
3×2×3－0×1×2)，
2×3＝1
3×3×4－1×2×3)．
„„
n(n＋1)＝1
3
[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]
相加，得1×2＋2×3＋„＋n(n＋1)1
3(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×2＋2×4＋„＋n(n＋2)”，
其结果写成关于n的一次因式的积的形式为____________． 三、解答题(4×10＝40分)
13．(教材改编题)分别求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x)是一次函数，且x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
14．已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋„＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．
(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
(2)设ban＝2－Tn＝b2＋b3＋b4＋„＋bn，试用数学归纳法证明：
当n≥2时，Tn(n＋1)(n－1)
n＝3
15．(2010·北京东城)已知数列{xx2n－3
n}满足x1＝4，xn＋1＝2xn－4
.
(1)求证：xn＞3； (2)求证：xn＋1＜xn； (3)求数列{xn}的通项公式．
16．(2010·广东深圳)在单调递增数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，n＝1,2,3„.
(1)分别计算aaaaaa
13a2a4
(2)求数列{an}的通项公式(将an用n表示)．
.
选修II 第12章 第1讲
一
、
选
择
题
(
8
×
5
＝
4
分
)
1．(2010·南宁调研)将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为( )
A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数 C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数 2．(2009·福州毕业班综合测试)下面随机变量ξ的分布列不属于二项分布的是( )
A．某事业单位有500名在职人员，人事部门每年要对在职人员进行年度考核，2004年年度考核中每人考核优秀的概率是0.15. 设该单位在这一年里，各人年度考核优秀是相互独立的，考核优秀的人数为ξ
B．位于某汽车站附近的一个加油站，在每次汽车出站后，该汽车到这个加油站加油的概率是0.7，节日期间每天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，其加油的汽车数为ξ
C．某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为ξ
D．据中央电视台新闻联播报道，下周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒，网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为ξ
3．(2010·兰州一模)一个学生通过一种英语能力测试的概率是12他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( ) 14 B.13 132 D.4
4．下列各表中可以作为随机变量X的分布列的是( ) A.
B.
C.
D.
5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝K)＝1
15，K＝1,2,3,4,5，则P(
2
2)等于( )
1 19 C.12
6
1
5
6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4,1) B．(0,0.4] C．(0,0.6] D．[0.6,1) 7．已知随机变量ξ的概率分布如下表：
则P(ξ＝A.23
B.23 C.1
3
D.13
8．(2009·南京市高三调研)A、B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是( )
1
16 B.332 18
3
16
二、填空题(4×5＝20分)
9．(2010·昆明五校联考)如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任
取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝____________.
10．设随机变量ξ
的分布列为P(ξ＝i)＝i10(i＝1,2,3,4)，则P(172
11．(2010·河北保定模拟)连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为3
4，则射击次数为3的概率为
____________．
12．(2009·东北三校)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}，an＝
⎧⎪⎨－1， 第n次摸取红球，⎪⎩
1， 第n次摸取白球.
如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为__________． 三、解答题(4×10＝40分)
13．将含有红色、黑色等不同颜色的四个小球随机放入A、B、C三个不同的盒子中，且每个盒子中至少有一个小球． (1)求红色、黑色两个小球同时放入A盒中的概率； (2)求红色、黑色两个小球放入同一个盒子中的概率； (3)设ξ为放入A盒中的小球个数，求ξ的分布列．
14.有A、B、C、D四个城市，它们都有一个著名的旅游点依次记为a、b、c、d，把A、B、C、D和a、b、c、d分别写成左、右两列，现有一名旅游爱好者随机用4条线段把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对一根线得2分，连错得0分．求该爱好者得分的分布列．
15.(2010·福建龙岩一模)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
16.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.1、0.5.今两人各投2次．(1)求甲比乙投中次数多的概率；
(2)设ξ为甲投中次数与乙投中次数的差，求ξ的分布列．
选修II 第12章 第2讲
一、选择题(8×5＝40分)
1．(2010·厦门模拟)设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)
＝p，令随机变量X＝⎧⎪⎨1(A出现)⎪，则X的方差DX等于( ⎩
0(A不出现)
)
A．p B．2p(1－p) C．－p(1－p) D．p(1－p)
2．(2010·绵阳适应性考试)若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为( ) A．3·2－
2 B．2
－4
C．3·2
－10
D．2－
8
3．(2010·秦皇岛模拟)设随机变量的分布列如gh 表所示且Eξ＝1.6，则a－b等于( )
A.0.2
D．－0.4
4．(2010·浙江临海模拟)已知随机变量ξ＋η＝8，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别为( ) A．6和2.4
B．2和2.4 C．2和5.6
D．6和5.6
5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x21
1)＝3P(ξ＝x2)＝3
，且x1
已知Eξ＝43Dξ＝2
9
x1＋x2的值为( )
53
B.7
3
C．3
D.113
63
4ξ表示试验首次成
功所需试验的次数，则Dξ等于( )
A．4
B.43 C.49
1
3
7．在2008年的某市中学生运动会上，小明同学参加了乒乓球和网球两个项目的比赛，获得乒乓球冠军的概率是3
4军的概率是1
2
，则小明获得冠军的个数ξ的期望是
( )
54
B．1 C．2 5
8
8．(2009·成都市高三测试)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望Eξ为( )
8
9
B.325 5
1
3
二、填空题(4×5＝20分)
9．(2010·上海，6)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：
10．设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，3，55
2，02
3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝________.
11．(2010·江苏南通高三上学期期中，6)某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是____________．
12．(2009·苏州十校3月)设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________. 三、解答题(4×10＝40分)
13．(2010·江南，18)某迷宫有三个通道，进入迷官的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门前，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．
14．(2010·全国Ⅱ，20)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立，已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为
0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
(3)ξ表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
15．(2010·山东理，20)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束． 假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为311
4231
4
，且各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学能进入下一轮的概率；
(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.
16．(2010·浙江理，19)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或
C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；
(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．
选修II 第12章 第3讲
一、选择题(8×5＝40分)
1．要完成下列两项调查：(1)从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；(2)从某中学高三年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况，应该采用的抽样方法是( ) A．(1)用随机抽样法，(2)用系统抽样法 B．(1)用系统抽样法，(2)用分层抽样法 C．(1)用分层抽样法，(2)用随机抽样法 D．(1)、(2)都用分层抽样法
2．(2010·江西八校四月联考)为了了解某次考试中1000名学生的成绩，运用简单随机抽样的方法从中抽出一个容量为100的样本，则该次考试中的学生甲被第100次抽到的概率及在整个过程中被抽到的概率分别是( )
A.111111000，100 B.1010C.10001
10
D.11
1000，1000
3．(2010·广东深圳)已知三个正态分布密度函数φ1
i(x)＝
2πσ－i
(x－μi)2
2σi
(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则(
)
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 4．(2010·湖南，文3)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y＝－10x＋200 B.y＝10x＋200 C.y＝－10x－200 D.y＝10x－200
5．(2010·广东，7)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )
A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585 6．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为(
)
A．0.27,78
B．0.27,83 C．2.7,78
D．2.7,83
7．(2010·江西南昌调研)某单位1000名青年职员的体重xkg服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5kg之间属于正常情况，则这1000名青年职员中体重属于正常情况的人数约是(其中φ(1)≈0.841)(
)
A．682
B．841 C．341
D．667
8．(2010·江西南昌一模)每年南昌第二次模拟考试成绩大体上都
能反映当年全市考生高考的成绩状况，设某一年二模考试理科成绩服从正态分布ξ～N(480,1002)，若往年全市一本院校录取率为40%，那么一本录取分数线可能划在(已知φ(0.25)＝0.6)( ) A．525分 B．515分 C．505分 D．495分 二、填空题(4×5＝20分)
9．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001,0002,0003，„，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，„，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________． 10．(2009·湖南)一个总体分为A、B两层，其个体数之比为4 1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中甲、乙都被抽到的概率为1
28，则总体中的个体数为________．
11．(2010·北京，11)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
12．(2010·江西十校)某中学高三年级共有学生1200人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，δ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数
的1
3，由此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 三、解答题(4×10＝40分)
13．(2010·新课标全国，19)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：
K2
＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
14．(2010·湖北襄樊调研统测)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、„、[90,100]后得到部分频率分布直方图(如图)．观察图形中的信息，回答下列问题：
予低息贷款的扶持，该系统制定了评分标准，并根据标准对企业进行评估，然后依据评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额，为了更好地掌握贷款总额，该系统随机抽查了所属的部分企
(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
(3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)内记0分，在[60,80)内记1分，在[80,100]内记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．
15．(2010·黄冈市高三年级2月质量检测)从某城市的南郊某地乘坐公共汽车前往该市的北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50,10)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60,4)． (1)若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？ (2)若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？
(已知Φ(3.9)＝1.000，Φ(2)＝0.9772，Φ(2.5)＝0.9938，Φ(1.5)＝0.9332，Φ(1.25)＝0.8944)
16．(2010·厦门质检)为抗击金融风暴，某系统决定对所属企业给
2
2
2
( ) A．7
B．8 C．9
D．10
1111
2．已知f(n)＋( )
nn＋1n＋2n11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝
23111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝23411
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝
23111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝
2343．(2010·河北承德模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数
业．以下图表给出了有关数据(将频率看做概率)．
(1)任抽一家所属企业，求抽到的企业等级是优秀或良好的概率； (2)对照标准，企业进行了整改．整改后，如果优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列．要使所属企业获得贷款的平均值(即数学期望)不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数百分比的最大值是多少？
时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( ) A．假设n＝k(k∈N＋)，证明 n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立
1114．(2010·大理模拟)用数学归纳法证明“1＋＋＋„＋232－11)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( ) A．2k1
－
选修II 第13章 第1讲
一、选择题(8×5＝40分) 1．(2010·辽宁沈阳)用数学归纳法证明不等11
式1＋＋＋„＋
24
－
B．2k－1 C．2k D．2k＋1
5．(2010·吉林四平模拟)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
A．(k＋3)3 B．(k＋2)3 C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3
11116．(2009·江苏盐城一模)证明1＋＋„＋n＋1(n>1)，
2342当n＝2时，左边式子等于( ) A．1
111111
B．1＋ C．1 D．1＋＋＋223234
1
127
(n∈N*)成立，64
其初始值至少应取
7．(2011·云南一测)记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形
的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________.( ) A.π2
B．π C.3
2
D．2π
8．(2009·河南实验中学)已知一个命题P(k)，k＝2n(n∈N)，若n＝1,2，„，1000时，P(k)成立，且当n＝1000＋1时它也成立，下列判断中，正确的是( )
A．P(k)对k＝2004成立 B．P(k)对每一个自然数k成立 C．P(k)对每一个正偶数k成立 D．P(k)对某些偶数可能不成立 二、填空题(4×5＝20分)
9．(2010·安徽蚌埠调研)若f(n)＝12＋22＋32＋„＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________________________． 10．(2009·广东，12)如图，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝__________；f(n)＝__________(答案用数字或n的解析式表示)． 11．(2010·江西九校)(1＋x)
n
＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋„＋Cnnxn(x∈N*
)，
上式两边对x求导后令x＝1，可得结论：C1n＋2C2n＋„＋rCr
n＋„
＋nCnn＝n·
2n－
1，利用上述解题思路，可得到许多结论．试问：C0n＋2C1n＋3C2n＋„＋(r＋1)Crn＋„＋(n＋1)Cnn＝____________.
12．(2009·安徽)在计算“1×2＋2×3＋„＋n(n－1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项，k(k＋1)＝1
3[k(k＋1)·(k
＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝1
3×2×3－0×1×2)，
2×3＝1
3×3×4－1×2×3)．
„„
n(n＋1)＝1
3
[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]
相加，得1×2＋2×3＋„＋n(n＋1)1
3(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×2＋2×4＋„＋n(n＋2)”，
其结果写成关于n的一次因式的积的形式为____________． 三、解答题(4×10＝40分)
13．(教材改编题)分别求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x)是一次函数，且x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
14．已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋„＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．
(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
(2)设ban＝2－Tn＝b2＋b3＋b4＋„＋bn，试用数学归纳法证明：
当n≥2时，Tn(n＋1)(n－1)
n＝3
15．(2010·北京东城)已知数列{xx2n－3
n}满足x1＝4，xn＋1＝2xn－4
.
(1)求证：xn＞3； (2)求证：xn＋1＜xn； (3)求数列{xn}的通项公式．
16．(2010·广东深圳)在单调递增数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，n＝1,2,3„.
(1)分别计算aaaaaa
13a2a4
(2)求数列{an}的通项公式(将an用n表示)．
.