专题 概率和统计
1. 重庆市2013年各月的平均气温（
o
C ）数据的茎叶图如下：
08
12
20319502
83
38
则这组数据的中位数是（ ）A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23
解：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ..
2. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 解：从袋中任取2个球共有C 15
2
11105 C. D. 212121
11
=105种，其中恰好1个白球1个红球共有C 10C 5=50种，所以从袋中任
取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为
5010
=，故选B ． 10521
3. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A ）0.64（B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312 解：根据独立重复试验公式得，该同学通过概率为C 30.64. 设复数z A ．
2
2
⨯0.4+0.63=0.648，故选A.
=(x -1) +yi (x , y ∈R ) ，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为（ ）
B ．
31+42π11-42π
C ．
11-2π
D ．
11+
2π
5. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．167 B ．137 C ．123 D ．
93
解：该校女老师的人数是110⨯70%+150⨯
(1-60%)=137，故选B ．
6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）石 A ．134 B ．169 C ．338D ．1365 解：依题意，这批米内夹谷约为
28
⨯1534=169石，选B. 254
（ ）-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的标准 差为
7. 若样本数据x 1，x 2，⋅⋅⋅，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 解：设样本数据x 1，x 2，⋅⋅⋅，x
10，
=8，即方差DX =64，而数据2x 1-1，
2x 2-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的方差D (2X -1) =22DX =22⨯64，
=16.
故选C. 若随机变量方差a
2
X 的均值EX 、方差DX
Y =aX +b 的均值aEX +b 、
DX
、标准差.
8. 设X N (μ1, 2
σ12) ，Y N (μ2, σ2) ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A ．P (Y ≥μ2) ≥P (Y ≥μ1) B ．P (X ≤σ2) ≤P (X ≤σ1)
C ．对任意正数t ，P (X ≤t ) ≥P (Y ≤t ) D ．对任意正数t ，P (X ≥t ) ≥P (Y ≥
t )
9. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元 B ．11.8万元 C12.0万元 D12.2万元
解：由已知得x =
8.2+8.6+10.0+11.3+11.96.2+7.5+8.0+8.5+9.8
，y ==10（万元）=8
55
（万元），故a
ˆ=0.76x +0.4，当社区一户收入为15万=8-0.76⨯10=0.4，所以回归直线方程为y ˆ=0.76⨯15+0.4=11.8（万元）， y
11
”的概率，p 2为事件“|x -y |≤”的概率，p 322
元家庭年支出为
10. 在区间[0,1]上随机取两个数x , y ，记p 1为事件“x +y ≥为事件“xy ≤
1
”的概率，则 （ ） 2
A ．p 1
11
”，如图（1）阴影部分S 1，对事件“|x -y |≤”，如图（2）阴影22
1
”，如图（3）阴影部分S 3，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是S 2
正方形的面积为1⨯1=1，根据几何概型公式可得p 2
p 1.
（1） （2） （3）
11. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N 一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布N
(0,3)，从中随机取
2
(μ, σ) ，则P (μ-σ
2
P (μ-2σ
（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）
31.74%
12. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 13在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若
X N (μ, σ2) ，则P (μ-σ
P (μ-2σ
解：根据正态分布的性质，P (0
x
1
P (-1
14在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1
35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是
.
解由茎叶图可知，在区间[139, 151]人数为20，再由系统抽样性质可知人数为20⨯
7
=4人. 35
15赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则
Eξ1-Eξ2= （元）．
16已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为
________.
解：x =
4+6+5+8+7+6
=6
6
17已知随机变量X 服从二项分布B
(n , p )，若E (X )=30，D (X )=20，则p =.
解：依题可得E (X )=np =30且D (X )=np (1-p )=20，解得p =
113，故应填入3
． 18如图，点
A 的坐标为(1,0) ，点C 的坐标为(2, 4) ，函数f (x )=x 2 ，若在矩形ABCD 内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
5
解由已知得阴影部分面积为4-⎰22751x dx =4-3=3
．此点取自阴影部分的概率等于
4=512．
19袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
解从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5
6
.
20. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从
A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满
意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
A 地区
B 地区
4 5 6 7 8
9
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记时间C ：“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率． 解：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
A 地区
B 地区
4
3
6 4 2
6 8 8 6 4 3 9 2 8 6 5 1
7 5 5 2
5 6 7 8 9
6 8
1 3 6 4 2 4 5 5 3 3 4 6 9 3 2 1 1 3
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．
21某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试. 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(Ⅰ) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ) 设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A)可能的取值是1，2，3又P (X=1)列为
151
=, P (X=2)=? 665
5431
==（Ⅱ）依题意得，X 所有65421542
, P (X=3)=1=. 所以X 的分布6653
所以E(X)
=1?
112
2? 3? 6635
． 2
22. 若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分. （I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .
解：（I ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（II ）由题意知，全部“三位递增烽”
的个数为
C =84
3
9
随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此
C 832
P (X =0)=3=
C 93
2C 411211
, 所以X 的分布列为
P (X =-1)=3= , P (X =1)=1--=
C 91414342
因此EX =0⨯+(-1) ⨯+1⨯=
3144221
23已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）.
故
X
的分布列为
EX =200⨯+300⨯+400⨯=350.
101010
24为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
2222
C 2C 3+C 3C 366
解(I)由已知，有P (A ) =所以事件发生的概率为. =A
C 8435354-k
C 5k C 3
(II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4P (X =k )=(k =1,2,3,4) 4
C 8
所以随机变量
X
的分布列为
15
所以随机变量X 的数学期望E (X )=1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=
1477142
25 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望
故E(X)
． 5
=0?
71? 2? 151515
26某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.
解：（1）由题意，参加集训的男女生各有6名. 参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的
33
199C 3C 41
=概率为33=. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1-. 100100C 6C 6100
13
C 3C 31C 3
2C 323
=，P (X =2) ==， （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3. P (X =1) =C 645C 64531
C 3C 1
P (X =3) =43=，所以X 的分布列为：
C 65
因此，X 的期望为E (X )
131
=1⨯+2⨯+3⨯=2.
555
27某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A , B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A , B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
第20题解答第20题解答
第20题解答
目标函数为 z =1000x +1200y ． 当W =12时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为
5z
将z =1000x +1200y 变形为y =-x +，当x =2.4, y =4.8时，A (0, 0), B (2.4, 4.8), C (6, 0)．
61200
直线l ：y =-
5z
在y 轴上的截距最大，最大获利Z =z max =2.4⨯1000+4.8⨯1200=8160．当x +
61200
（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A (0, 0), B (3, 6), C (7.5, 0)．将z =1000x +1200y W =15时，变形为y =-
5z 5z
，当x =3, y =6时，直线l ：y =-x +在y 轴上的截距最大，最大获利x +
6120061200
（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为Z =z max =3⨯1000+6⨯1200=10200．当W =18时，
5z
，当x =6, y =4时，A (0, 0), B (3, 6), C (6, 4), D (9, 0). 将z =1000x +1200y 变形为y =-x +
61200
直线l ：y =-
5z
在y 轴上的截距最大，最大获利Z =z max =6⨯1000+4⨯1200=10800．故最x +
61200
大获利Z 的分布列为
因此，E (Z ) =8160⨯0.3+10200⨯0.5+10800⨯0.2=9708.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p 1=P (Z >10000) =0.5+0.2=0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p =1-(1-p 1) =1-0.3=0.973.
3
3
28设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
（I ）求T的分布列与数学期望ET；（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：（I ）由统计结果可得T的频率分步为
以频率估计概率得T的分布列为
从
而
（
分
钟
）
ET =25⨯0.2+30⨯0.3
+35⨯0.4+40⨯0.1=32
故
P (A)=1-P(A)=0.91.
29某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
y i （i =1,2，···，8）数据作了初步处
表中w i =，w =
8
∑w
i =1
i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y =c +（给出判断即可，不必说明理由）
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x. 根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ) 年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ) 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1, v 1) , (u 2, v 2) ，……，(u n , v n ) , 其回归线v 分别为：
=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计
=β
∑(u
i =1
n
n
i
=v -β u -u )(v i -v ) ，α
i
∑(u
i =1
-u ) 2
解：（Ⅰ）由散点图可以判断，
y =c +适合作为年销售
y 关于年宣传费用x 回归方程类型.
故宣传费用为
46.24千元时，年利润的预报值最大
30. A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
解：(Ⅰ) 甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率P =
3； 7
(Ⅱ) 如果a =25，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，
13），(15,14),（16，12）（16，13）, （16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率P =
10
.(Ⅲ) 把B 组数49
=11或a =18
据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当a 时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要) 31某工厂36名工人的年龄数据如下表：
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值和方差s ； （3）36名工人中年龄在2
-s 与+s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？
∴ 年龄在x -s 与x +s 之间共有23人，所占百分比为
23
≈63.89%． 36
31某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 解：（1）记事件
，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝
，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，A 1与A 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝
客抽奖1次获一等奖｝，B 2相互独立，
A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2，B 2=A 1A 2+A 1A 2，C =B 1+B 2，
P (A 1) =
42
=105
P (A 2) =
51=102211
P (B 1) =P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2) =⨯=
525
P (B 2) =P (A 1A 2+A 1A 2) =P (A 1A 2) +P (A 1A 2) =P (A 1)(1-P (A 2)) +(1-P (A 1)) P (A 2)
21211=⨯(1-) +(1-) ⨯=52522
，故所求概率为
117P (C ) =P (B 1+B 2) =P (B 1) +P (B 2) =+=
5210
；（2）顾
专题 概率和统计
1. 重庆市2013年各月的平均气温（
o
C ）数据的茎叶图如下：
08
12
20319502
83
38
则这组数据的中位数是（ ）A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23
解：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ..
2. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 解：从袋中任取2个球共有C 15
2
11105 C. D. 212121
11
=105种，其中恰好1个白球1个红球共有C 10C 5=50种，所以从袋中任
取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为
5010
=，故选B ． 10521
3. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A ）0.64（B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312 解：根据独立重复试验公式得，该同学通过概率为C 30.64. 设复数z A ．
2
2
⨯0.4+0.63=0.648，故选A.
=(x -1) +yi (x , y ∈R ) ，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为（ ）
B ．
31+42π11-42π
C ．
11-2π
D ．
11+
2π
5. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．167 B ．137 C ．123 D ．
93
解：该校女老师的人数是110⨯70%+150⨯
(1-60%)=137，故选B ．
6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）石 A ．134 B ．169 C ．338D ．1365 解：依题意，这批米内夹谷约为
28
⨯1534=169石，选B. 254
（ ）-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的标准 差为
7. 若样本数据x 1，x 2，⋅⋅⋅，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 解：设样本数据x 1，x 2，⋅⋅⋅，x
10，
=8，即方差DX =64，而数据2x 1-1，
2x 2-1，⋅⋅⋅，2x 10-1的方差D (2X -1) =22DX =22⨯64，
=16.
故选C. 若随机变量方差a
2
X 的均值EX 、方差DX
Y =aX +b 的均值aEX +b 、
DX
、标准差.
8. 设X N (μ1, 2
σ12) ，Y N (μ2, σ2) ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A ．P (Y ≥μ2) ≥P (Y ≥μ1) B ．P (X ≤σ2) ≤P (X ≤σ1)
C ．对任意正数t ，P (X ≤t ) ≥P (Y ≤t ) D ．对任意正数t ，P (X ≥t ) ≥P (Y ≥
t )
9. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元 B ．11.8万元 C12.0万元 D12.2万元
解：由已知得x =
8.2+8.6+10.0+11.3+11.96.2+7.5+8.0+8.5+9.8
，y ==10（万元）=8
55
（万元），故a
ˆ=0.76x +0.4，当社区一户收入为15万=8-0.76⨯10=0.4，所以回归直线方程为y ˆ=0.76⨯15+0.4=11.8（万元）， y
11
”的概率，p 2为事件“|x -y |≤”的概率，p 322
元家庭年支出为
10. 在区间[0,1]上随机取两个数x , y ，记p 1为事件“x +y ≥为事件“xy ≤
1
”的概率，则 （ ） 2
A ．p 1
11
”，如图（1）阴影部分S 1，对事件“|x -y |≤”，如图（2）阴影22
1
”，如图（3）阴影部分S 3，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是S 2
正方形的面积为1⨯1=1，根据几何概型公式可得p 2
p 1.
（1） （2） （3）
11. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N 一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布N
(0,3)，从中随机取
2
(μ, σ) ，则P (μ-σ
2
P (μ-2σ
（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）
31.74%
12. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 13在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若
X N (μ, σ2) ，则P (μ-σ
P (μ-2σ
解：根据正态分布的性质，P (0
x
1
P (-1
14在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1
35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是
.
解由茎叶图可知，在区间[139, 151]人数为20，再由系统抽样性质可知人数为20⨯
7
=4人. 35
15赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则
Eξ1-Eξ2= （元）．
16已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为
________.
解：x =
4+6+5+8+7+6
=6
6
17已知随机变量X 服从二项分布B
(n , p )，若E (X )=30，D (X )=20，则p =.
解：依题可得E (X )=np =30且D (X )=np (1-p )=20，解得p =
113，故应填入3
． 18如图，点
A 的坐标为(1,0) ，点C 的坐标为(2, 4) ，函数f (x )=x 2 ，若在矩形ABCD 内随
机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
5
解由已知得阴影部分面积为4-⎰22751x dx =4-3=3
．此点取自阴影部分的概率等于
4=512．
19袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.
解从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5
6
.
20. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从
A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满
意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
A 地区
B 地区
4 5 6 7 8
9
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记时间C ：“A地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率． 解：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
A 地区
B 地区
4
3
6 4 2
6 8 8 6 4 3 9 2 8 6 5 1
7 5 5 2
5 6 7 8 9
6 8
1 3 6 4 2 4 5 5 3 3 4 6 9 3 2 1 1 3
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．
21某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试. 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(Ⅰ) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ) 设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A)可能的取值是1，2，3又P (X=1)列为
151
=, P (X=2)=? 665
5431
==（Ⅱ）依题意得，X 所有65421542
, P (X=3)=1=. 所以X 的分布6653
所以E(X)
=1?
112
2? 3? 6635
． 2
22. 若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分. （I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .
解：（I ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（II ）由题意知，全部“三位递增烽”
的个数为
C =84
3
9
随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此
C 832
P (X =0)=3=
C 93
2C 411211
, 所以X 的分布列为
P (X =-1)=3= , P (X =1)=1--=
C 91414342
因此EX =0⨯+(-1) ⨯+1⨯=
3144221
23已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）.
故
X
的分布列为
EX =200⨯+300⨯+400⨯=350.
101010
24为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名. 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.
2222
C 2C 3+C 3C 366
解(I)由已知，有P (A ) =所以事件发生的概率为. =A
C 8435354-k
C 5k C 3
(II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4P (X =k )=(k =1,2,3,4) 4
C 8
所以随机变量
X
的分布列为
15
所以随机变量X 的数学期望E (X )=1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=
1477142
25 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望
故E(X)
． 5
=0?
71? 2? 151515
26某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.
解：（1）由题意，参加集训的男女生各有6名. 参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的
33
199C 3C 41
=概率为33=. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1-. 100100C 6C 6100
13
C 3C 31C 3
2C 323
=，P (X =2) ==， （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3. P (X =1) =C 645C 64531
C 3C 1
P (X =3) =43=，所以X 的分布列为：
C 65
因此，X 的期望为E (X )
131
=1⨯+2⨯+3⨯=2.
555
27某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A , B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A , B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
第20题解答第20题解答
第20题解答
目标函数为 z =1000x +1200y ． 当W =12时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为
5z
将z =1000x +1200y 变形为y =-x +，当x =2.4, y =4.8时，A (0, 0), B (2.4, 4.8), C (6, 0)．
61200
直线l ：y =-
5z
在y 轴上的截距最大，最大获利Z =z max =2.4⨯1000+4.8⨯1200=8160．当x +
61200
（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A (0, 0), B (3, 6), C (7.5, 0)．将z =1000x +1200y W =15时，变形为y =-
5z 5z
，当x =3, y =6时，直线l ：y =-x +在y 轴上的截距最大，最大获利x +
6120061200
（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为Z =z max =3⨯1000+6⨯1200=10200．当W =18时，
5z
，当x =6, y =4时，A (0, 0), B (3, 6), C (6, 4), D (9, 0). 将z =1000x +1200y 变形为y =-x +
61200
直线l ：y =-
5z
在y 轴上的截距最大，最大获利Z =z max =6⨯1000+4⨯1200=10800．故最x +
61200
大获利Z 的分布列为
因此，E (Z ) =8160⨯0.3+10200⨯0.5+10800⨯0.2=9708.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p 1=P (Z >10000) =0.5+0.2=0.7， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p =1-(1-p 1) =1-0.3=0.973.
3
3
28设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
（I ）求T的分布列与数学期望ET；（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 解：（I ）由统计结果可得T的频率分步为
以频率估计概率得T的分布列为
从
而
（
分
钟
）
ET =25⨯0.2+30⨯0.3
+35⨯0.4+40⨯0.1=32
故
P (A)=1-P(A)=0.91.
29某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
y i （i =1,2，···，8）数据作了初步处
表中w i =，w =
8
∑w
i =1
i
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y =c +（给出判断即可，不必说明理由）
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x. 根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ) 年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ) 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1, v 1) , (u 2, v 2) ，……，(u n , v n ) , 其回归线v 分别为：
=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计
=β
∑(u
i =1
n
n
i
=v -β u -u )(v i -v ) ，α
i
∑(u
i =1
-u ) 2
解：（Ⅰ）由散点图可以判断，
y =c +适合作为年销售
y 关于年宣传费用x 回归方程类型.
故宣传费用为
46.24千元时，年利润的预报值最大
30. A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
解：(Ⅰ) 甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率P =
3； 7
(Ⅱ) 如果a =25，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，
13），(15,14),（16，12）（16，13）, （16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率P =
10
.(Ⅲ) 把B 组数49
=11或a =18
据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当a 时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要) 31某工厂36名工人的年龄数据如下表：
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值和方差s ； （3）36名工人中年龄在2
-s 与+s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？
∴ 年龄在x -s 与x +s 之间共有23人，所占百分比为
23
≈63.89%． 36
31某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 解：（1）记事件
，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝
，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，A 1与A 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝
客抽奖1次获一等奖｝，B 2相互独立，
A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2，B 2=A 1A 2+A 1A 2，C =B 1+B 2，
P (A 1) =
42
=105
P (A 2) =
51=102211
P (B 1) =P (A 1A 2) =P (A 1) P (A 2) =⨯=
525
P (B 2) =P (A 1A 2+A 1A 2) =P (A 1A 2) +P (A 1A 2) =P (A 1)(1-P (A 2)) +(1-P (A 1)) P (A 2)
21211=⨯(1-) +(1-) ⨯=52522
，故所求概率为
117P (C ) =P (B 1+B 2) =P (B 1) +P (B 2) =+=
5210
；（2）顾