初中二年级上学期数学笔记
全等三角形
一、概念
㈠、什么叫全等形？
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
㈡、全等三角形；
㈢、全等用符号“≌”来表示，读做“全等于”。
㈣、两个三角形全等时的写法，一般是把表示对应顶点的字
母写在对应顶的位置上。如下图；
A 、D点是对应点。ΔABC≌DBC
二、全等三角形的基本性质
1、对应边相等； 2、对应边相等；如下图中；
∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6
AB=BE FB=CB EF=AC
三、三角形全等的判定（定理）
1、两个三角形 ，三边对应相等；三个对应角相等。 （边边边、角角角）
2、两个三角形 ，两条对应边和它们的夹角相等。 （边角边）
3、两个三角形 ，两角和它们的夹边对应相等。（角边角）
4、两个角和其中一个角的对边对应相等。（角角边）
5斜边和一条直角边对应的两个直角三角形。（斜边，直角边）
四、三角形全等的画法
1、画直线 BC =BˊCˊ
2、以直线Bˊ点为中心AB之长为半径画圆；
3、以直线Bˊ点为中心BC之长为半径画圆；
4、连接Bˊ与交点Aˊ画直线；
5、连接Cˊ与交点Aˊ画直线；
那么， ΔABC≌ΔAˊBˊCˊ
五、三角形相拟题解； 例1 如图：（定理题
）
己知：△ABC中，AB=AD AD是连接点BC的中点， 即BD=DC
求证：△ABD≌△ACD
解：∵D是BC的中点
∴ BD=DC
在△ABD和△ACD中
AB=AC AD=AD BD=CD
∴△ABD≌△ACD （SSS 三角形三条边相等）
全等三角形定理图解
一、两个三角形的对应边相等，对应角相等；，
三条对应边相等； AB=A＇B＇ BC=B＇C ＇ AC=A＇C＇
三个对应角相等； ∠1=∠1＇ ∠ 2=∠2＇ ∠ 3=∠3＇
上述条件六个都具备是全等三角形。即：∴△ABC≌△A＇B＇C＇
二、满足六个条件中的一部份情况，全等。
1、三边对应相等的两个三角形全等：
简写 ： 边边边 SSS
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
BC=A＇C＇ AB=A＇C ＇
∠CAB=∠CAB
简写：边角边 SAS
3、两角和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
∠1=∠2 AC=CD CE=CB
简写：边角边 SAS
4、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
＇AB=A ＇B ＇ ∠CABC=∠A ＇B ＇C ＇ ∠CBA=∠C ＇B ＇A ＇
简写： 角边角 ASA
6、两个角和其中一个的对边对应相等的两个三角形全等；
∠A=∠A＇ ∠ B=∠B＇ BC=B＇C＇
简写：角角边 AAS（用三角形三内角和等于1800证明∠C=∠C）
6、 直角三角形（Rt△）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
＇
＇
简写：斜边 直角边 HL
习题：
1、 如图：
AB=AD ，CB=CD, △ ABC与△ADC全等吗？为什么？
解：己知：AB=AD CB=CD 求证：AC=AC
证明：∵AC是△ABC和△ADC公共边
∴AC=AC
∵△ABC与△ADC的三条对应边相等。（SSS）
∴△ABC≌△ADC
2、 如图：
C是AB的中点，AD=CE CD=BE 求证：△ACD≌△CBE
解：己知：AD=CE CD=BE ∵C是AB的中点。∴AC=CB
∵△ACD与△CBE的三条对应边相等。（SSS）
∴△ACD≌△CBE
3、 如图：
己知： AB=AC AD=AE 求证：∠ B=∠ C
解：∵己知AB=AC ，AD=AE ∴∠A是△ABE和△ADC的公共角 ∵在△ABE和△ADC中 ，AB=AC AD=AE ∠A=∠A ∴△ABE≌△ADC （SAS） ∴∠ B=∠ C
4、如图
把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工作内糟宽的工具（卡钳）在图中要测量工作内糟宽，只要测量什么？为什么？
解：己知：AO=OA＇ BO=OB＇∠O是△ABO和△A＇O＇B＇的对顶角。
∵∠O=∠O 根据SAS ∴△ABO≌△A＇O＇B＇∴AB=A＇B＇
答：只要量出A＇B＇长度，便知内糟的宽。
5、如图
己知： ∠1=∠2 ∠3=∠4 求证：AC=AD
证明：∵△ABD中的△ABD ABD是1800-∠3 ， △ABC中的∠ABC是1800-∠4 ，而∠3=∠4 ∴△ABD = ∠ABC （等量相减） 又∵AB是△ABC和△ABD的公共边，而∠1=∠2 ，
∴△ABD ≌△ABC （ASA）∴AC=AD
6、如图，
从地看A、B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等，A到路段BC的距离AD与B到路段AC离BE相等吗？为什么？
己知：AB=BC ∠C是锐角。 求证：AD=BE
证明：∵∠C是△ACD和△BCE的公同角，△ACD的边AC和△BCE的边BC相等。即AC=BC ∴△ADC≌△BCE （SAS）
答：AD=BE
7、 如图，
在△ABC中，AB=AC AD是髙。 求证：
① BD=DC ②∠BAD=∠CAD
己知：AB=AC AD丄BC 求证：① BD=CD ②∠BAD=∠ACD 证明：∵AB=AC AD=AD （公用线）∠ADC=∠ADB （直角） △ABD≌△ADC （SAS）∴BD=DC
8、如图：
己知： AC丄CB DB丄CB
求证：∠BAD=∠ACD
证明：∵AC丄CB DB丄CB ∴∠ACB是直角，∠DBC是直角。 CB是Rt△ABC和Rt△DBC的共同斜边（共边相等）
∴Rt△ABC≌Rt△DBC （HL） ∴∠BAD=∠ACD
9、如图：点B、E、C、F在一条线上，AB=DE AC=DF BE=CF 求证：∠A=∠
D
证明：∵线段上EC段是△ABC和△DEF同一边上的共同段而BF线上BE和CF分别都是两个三角形中分别相加的等量加等量，两条边相等。∴BC=EF △ABC≌△DEF ∠A=∠D。
10、如图；AC和BD相交于O点，OA=OC OB=OD
求证：DC∥
AB
证明：∴OA=OC OB=OD
O是△DOC和△BOA的项角共点，那么∠DOC=∠AOB（对项角相等） ∵△ABO≌△BOC 而DC和AB是两个三角形的对应边
∴DC∥AB
11、如图，点B、F、C、E在一条直线上：FB=CE AB∥ED AC∥FD 求证，
AB=DE AC=DF
己知：FB=CE AB∥ED AC=FD
求证：AB=DE AC=DF
证明：∵AB∥ED AC∥FD ∴∠BAC和∠FDE都是直角。
∴△ABC≌△FDE AB=DE AC=DF （直角 斜边）
12、如图：
D是AB是的一点DF交AC于E点，DE=FE FC∥AB AE和CE有什么关系？证明你的结论。
己知：D是AB是的一点DF交AC于E点，DE=FE FC∥AB。 求证：AE=CE
证明：∵FC∥AB DE=FE △AED与△FED的∠FEC和∠AED是直角又是对顶角，∴∠FEC=∠AED
∴Rt△AED≌Rt△FEC AE=CE
13、如图：
在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上找出图中的全等三角形并说明它们为什么全等？
己知：△ABC中，AB=AC D点是BC的中点，E点在AD上。 求证：全等三角形有几个。
证明：∵AD是△ADB和△ADC的共边，并垂直BC。∴△ADB≌△ADC 又∵AB=AC AE是△AEC和△AFB共边，E点是CE和BE的交点， ∴△AEB≌△AEC ∴在图中△ABC中有三对三角形全等。 角的平分线的性质
1、 什么叫角的平分线？
把一个角用一条直线分成两相等的角这条直线叫角的平分线。
2、 角的平分线的性质；
① 角的平分线上的点到两边的距离相等。
在OC上的点E到G、H线距GE=EH
在OC上的点D到B、F线距DF=DB
② 角线内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 证明结论的作法；
如：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图：
∠AOC=∠BOC 点P在OC上，PO⊥OA PE⊥OB，垂足分别为点
D、E。
求证：PO=PE
证明：∵PO⊥OA PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=900
在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠COB
OP=OP ∴△PDO△PEO （AAS）
∴PD=PE
全等三角形一章应牢记 一、全等三角形判定； 1、对应边相等；2、对应角相等；3、边边边相等； 4、角角边相等；5、边角边相等；6、角边角相等；
7、斜边 直角边相等。
二、角的平分线； 1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、证明几何命题时，要按下列步骤进行；
1、明确命题中的己知和求证；
2、根据题意，画出图形并用数学符号表示己知和求证；
3、经过分析，找出由己知推出求证的途径，写出证明过程。 例题：如图：△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
解：根据题意作图
作法：1、画一个任意三角形ABC
2、作一条∠ABC的平分线交于与AC交接于M点；
3、作一条∠ACB的平分线交于与AB交接于N点；
己知：BM、CN是△ABC中，∠ABC和∠ACB的两条角平分线，交于P点。
求证：P点到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点作PD、PE、PF分别垂直于AB、AC、CA垂足为D、E、F（显出要求证的线段）
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理，PE=PF ∴PD=PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
等腰三角形
一、 等腰三角形的性质；
1、等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的髙相互重合。
二、根据等腰三角形性质题解；
例一、如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在AB上，且BD=BC=AD 求，△ABC各角的度数。
解：∵AB=AC BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABO （等边对等角）
设 ∠A=x， 则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而，∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在∠ABC中有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=1800
解得；x=360
在∠ABO中，∠A=360 ∠ABC=720 ∠C=360
三、 等腰三角形的判定；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应边也相等；（等角对等边）
例二、求证，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形一边，那么这个三角形是等腰三角形。
己知：△DAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC
求证：AB=AC
证明：∵AD∥BC ∴∠1=∠3 （与平
行线组成的两个角相等）
∠2=∠C （互为平行组成的角相等）
而己知∠1=∠2
∴∠B=∠C AB=AB
习题：如图：∠A=360 ∠DBC=360 ∠C=720
求：∠1，∠2的度数。
并说明图中有哪些等腰三角形。
解：己知：∠A=360 ∠DBC=360 ∠C=720
求证 ：∠1，∠2的度数。
证明：∵∠A=360 ∠DBC=36 0 ∠C=720
根据△ABC三内角之和等于1800 那么，
1800-∠A360-∠C720-∠DBC360=∠ABD=360
∵∠ABC=∠ABD360+∠DBC360=720
∴∠B=∠C ∴△ABC是等腰三角形
（两角相等两边相等）（等角等边）
∵△DBC中∠BDC=1800-∠C720-∠DBC360=∠1 720
∠BDC=∠DCB ∴BD=AC ∴△DBC是等腰三角形。
整式的乘法
1、 am·an=am+n （m，n都是正整数）
例⑴ x．X=x=x
61 +67 ⑵ a．a=a=a
⑶ 2×24×22=21+4+2=27
=256
232+35
⑷ x．X3m=Xm3m+1=x4m+1
2、 mm，n都是正整数
4416 nm.n 例① （103）5=103ⅹ5=1015 ② （a）= a
m2m．22m③ （a）=a=a
434ⅹ312④ –（x）=x=x
3、 乘。 （ab）
333n=a．bnn 3（m为正整数） 33例① （2a）=2•a=8a ② （–5b）=（–5）•d3=125b3
2224222③ （xy）=x•（y）=xy
3412344 ④ （–2x）=（–2）•（x）=16x
整式的乘法
1、 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例1、（－5a2b）（－3a） 2、（2x）3（－5xy2）
=［（－5）（－3）］（a2∙a）b =8x3（－5xy2）∙ =15a2b =［8×（－5）］（x3×x） =40x4y2
2、 把所得的积相加。
例1、（－4x2）（3x＋1）
=（－4x2）·（3x）＋（4x2）×1
=（－4×3）·（x2×x）＋（－4x2）
=－12x2 －4x2
2、（ab2－2ab）·
21
32
1 =a2b3－a2b2 3231ab 212 =ab2·ab＋（－2ab）·ab
3项式的每一项，再把所得积相加。
例1、（3x＋1）（x＋2）
=（3x）·x＋（3x）·2＋1·x＋1×2
=3x2＋6x＋x＋2
=3x2＋7x＋2
2、（x－8y）（x－y）
=x2－xy－8xy＋8xy2
=x2－9xy＋8y2
3、（x＋y）（x2－xy＋y2）
=x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3
=x3＋y3
乘法公式
一、平方差公式；
2－b2
这个公式叫做平方差公式。
例1、利用平方差公式计算：
①、（3x＋2）（3x－2）
我们可以把3x看成是a，2看成是b。即：
（3x＋2）（－=（3x）2－22
（a＋b）×（－b）=a2－b2
解：（3x＋2）（3x－2）
=（3x）2（－2）2
=9x2－4
②、（b＋2a）（2a－b）
=（2a＋d）（2a－b） （加法交换律）
=（2a）2－b2
=4a2－b2
③、（－x＋2y）（－x－2y）
=（－x）2－（2y）2 （乘法交换律）
=x2－4y2
说明：只有符合公式的乘法，才能运用公式简化运算，其余运算仍按乘法法则进行。
二、完全平方公式
（或减）它们积的2倍。
22
22
这个公式叫做完全平方公式。
计算：（a＋b）2·（a－b）2
①、（a＋b）2=（a＋b）·（a＋b）=a2＋ab＋ab＋d2=a2＋2ab＋b2 ②、（a－b）2=（a－b）（a－b）=a2－ab－ab＋b2=a2－2ab＋b2 例：利用完全平方公式计算；
①、（4m＋n）2=（4m）2＋2×（4m）·n＋n2=16m2＋8mn＋n2
111 ②、（y－2 ）2=y2－2×y×＋（2 ）2
2
1111=y－22 y＋2×2 22
211 =y－y＋4 4
12312y（注：2、y、2=1 ×1×2）=2=y）
去括号法则
的号不变；如果前边的号是“－”（负）号，则去括时括号内数的号要变。
都不变号；如果前边的号是“－”（负）号，添到括号里的各项数都变号。
运用乘法公式计算：
例⑴、（x＋2y－3）（x－2y＋3） ［变成乘法公式（a＋b）（a－b）］
=［x＋（2y－3）］［x－（2y－3）］（通过添括号变型为平方差 =x2－（2y－3）2 公式a2－b2）
=x2－2×2y×3＋（－3）2 ［变成完全平方公式（a2－2ab =x2－12y＋9 ＋b2）］
⑵、（a＋b＋c）2
=［（a＋b）＋c］ ［添括号变为（a＋b）2型］ =（a＋b）2＋2×（a＋b）×c＋c2
=a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
=a2＋b2＋c2＋2ab2bc＋2ac （按字母顺序排列）
整式除法 一、同底数幂的除法；底数不变，指数相减。
m÷bnm－n 注意：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
a0=1 （）
二、整式除法；
1只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
例：计算；12a3b2x3÷3ab2= 4a2bx3
∵（12÷3）=4 a3÷a=a3－1=a2 b2÷b2=b2－2=b x3=x3 ∴4a2bx3
①、28x4y2÷7x3y=4xy
②、－5a5b3c÷15a4b=［（－5）÷15］×a5－4b3－1c1－0=－ab2c
2、多项式除以单项式；先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例：计算；
13
①、（12a3－6a2＋3a）÷3a
=12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a
=4a2－2a＋1
②、（21x4y3－35x3y2＋72y2）÷（－7x2y）
=－3x2y2－5xy＋xy
=3x2y2＋5xy－xy
因式分解
因式分解，把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
因式分解
X2－1 x＋1）（x－1）
整式乘法
因式分解的方法：
1们把这个公共的因式叫做多项式各项的公因式。
如：ma＋mb＋mc
把一个多项式里公共的公因式提出来分解成两个因式乘积的形式，这种方法叫提取公因式法。
如：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）
例题：①、把8a3b2＋12ab3c分解因式；
解：提取系数8、12的最大公约数4，字母都有a、b。指数最低a是1，b是2，选定4ab2为公共因式。
8a3b2＋12ab3c=4ab2×2a2＋4ab2×3bc=4ab2·（2a＋3bc） ②、把2a（b＋c）－3（b＋c）分解因式；
解：（b＋c）（2a－3）
2来分解因式叫公式法。
整式乘法平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2 把它反过来得：
a2-b2=（a+b）（a-b） 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积。 例：分解因式；
①、4x2–9
解：4x2–9=（2x）2–32=（2x+3）（2x-3） ［4x2=（2x）2 9=32］ ②、（x+p）2–（x+q）2
=［（x+p）+（x+ q）］［（x+p）（x+q）］
=（2x+p+q）（p-q）
提示：把（x+p）和（x+ q）各看成一个整体设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2
③、分解因式；
㈠、x4-y4 ；
分析：x4-y4可以写成（x2）2–（y2）2这样就可以利用平方差公式进行因式分解。
解：x4-y4 =（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）
㈡、a2b –ab；
分析：a2b –ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解。
解：a2b –ab=ab（a-1）=ab（a+1）（a-1），
提示：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
完全平方差公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
反过来，就得到；
a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+b2=（a-b）2
即，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
例1、16x2+24x+9
分析：在16x2+24x+9中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2•4x•3，
所以，16x2+24x+9是一个完全平方式，即；
16x2+24x+9=（4x）2+2•4x•32
a2 + 2•a•b+b2
解：16x2+24x+9=（4x）2+2•4x•3+32=（4x+3）2
例2、3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2
提示：将a+b看作一个整体，设a+b=m则原式化为完全平方式，m2—12m+36
初中二年级上学期数学笔记
全等三角形
一、概念
㈠、什么叫全等形？
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
㈡、全等三角形；
㈢、全等用符号“≌”来表示，读做“全等于”。
㈣、两个三角形全等时的写法，一般是把表示对应顶点的字
母写在对应顶的位置上。如下图；
A 、D点是对应点。ΔABC≌DBC
二、全等三角形的基本性质
1、对应边相等； 2、对应边相等；如下图中；
∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6
AB=BE FB=CB EF=AC
三、三角形全等的判定（定理）
1、两个三角形 ，三边对应相等；三个对应角相等。 （边边边、角角角）
2、两个三角形 ，两条对应边和它们的夹角相等。 （边角边）
3、两个三角形 ，两角和它们的夹边对应相等。（角边角）
4、两个角和其中一个角的对边对应相等。（角角边）
5斜边和一条直角边对应的两个直角三角形。（斜边，直角边）
四、三角形全等的画法
1、画直线 BC =BˊCˊ
2、以直线Bˊ点为中心AB之长为半径画圆；
3、以直线Bˊ点为中心BC之长为半径画圆；
4、连接Bˊ与交点Aˊ画直线；
5、连接Cˊ与交点Aˊ画直线；
那么， ΔABC≌ΔAˊBˊCˊ
五、三角形相拟题解； 例1 如图：（定理题
）
己知：△ABC中，AB=AD AD是连接点BC的中点， 即BD=DC
求证：△ABD≌△ACD
解：∵D是BC的中点
∴ BD=DC
在△ABD和△ACD中
AB=AC AD=AD BD=CD
∴△ABD≌△ACD （SSS 三角形三条边相等）
全等三角形定理图解
一、两个三角形的对应边相等，对应角相等；，
三条对应边相等； AB=A＇B＇ BC=B＇C ＇ AC=A＇C＇
三个对应角相等； ∠1=∠1＇ ∠ 2=∠2＇ ∠ 3=∠3＇
上述条件六个都具备是全等三角形。即：∴△ABC≌△A＇B＇C＇
二、满足六个条件中的一部份情况，全等。
1、三边对应相等的两个三角形全等：
简写 ： 边边边 SSS
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
BC=A＇C＇ AB=A＇C ＇
∠CAB=∠CAB
简写：边角边 SAS
3、两角和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；
∠1=∠2 AC=CD CE=CB
简写：边角边 SAS
4、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
＇AB=A ＇B ＇ ∠CABC=∠A ＇B ＇C ＇ ∠CBA=∠C ＇B ＇A ＇
简写： 角边角 ASA
6、两个角和其中一个的对边对应相等的两个三角形全等；
∠A=∠A＇ ∠ B=∠B＇ BC=B＇C＇
简写：角角边 AAS（用三角形三内角和等于1800证明∠C=∠C）
6、 直角三角形（Rt△）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
＇
＇
简写：斜边 直角边 HL
习题：
1、 如图：
AB=AD ，CB=CD, △ ABC与△ADC全等吗？为什么？
解：己知：AB=AD CB=CD 求证：AC=AC
证明：∵AC是△ABC和△ADC公共边
∴AC=AC
∵△ABC与△ADC的三条对应边相等。（SSS）
∴△ABC≌△ADC
2、 如图：
C是AB的中点，AD=CE CD=BE 求证：△ACD≌△CBE
解：己知：AD=CE CD=BE ∵C是AB的中点。∴AC=CB
∵△ACD与△CBE的三条对应边相等。（SSS）
∴△ACD≌△CBE
3、 如图：
己知： AB=AC AD=AE 求证：∠ B=∠ C
解：∵己知AB=AC ，AD=AE ∴∠A是△ABE和△ADC的公共角 ∵在△ABE和△ADC中 ，AB=AC AD=AE ∠A=∠A ∴△ABE≌△ADC （SAS） ∴∠ B=∠ C
4、如图
把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工作内糟宽的工具（卡钳）在图中要测量工作内糟宽，只要测量什么？为什么？
解：己知：AO=OA＇ BO=OB＇∠O是△ABO和△A＇O＇B＇的对顶角。
∵∠O=∠O 根据SAS ∴△ABO≌△A＇O＇B＇∴AB=A＇B＇
答：只要量出A＇B＇长度，便知内糟的宽。
5、如图
己知： ∠1=∠2 ∠3=∠4 求证：AC=AD
证明：∵△ABD中的△ABD ABD是1800-∠3 ， △ABC中的∠ABC是1800-∠4 ，而∠3=∠4 ∴△ABD = ∠ABC （等量相减） 又∵AB是△ABC和△ABD的公共边，而∠1=∠2 ，
∴△ABD ≌△ABC （ASA）∴AC=AD
6、如图，
从地看A、B两地的视角∠C是锐角，从C地到A，B两地的距离相等，A到路段BC的距离AD与B到路段AC离BE相等吗？为什么？
己知：AB=BC ∠C是锐角。 求证：AD=BE
证明：∵∠C是△ACD和△BCE的公同角，△ACD的边AC和△BCE的边BC相等。即AC=BC ∴△ADC≌△BCE （SAS）
答：AD=BE
7、 如图，
在△ABC中，AB=AC AD是髙。 求证：
① BD=DC ②∠BAD=∠CAD
己知：AB=AC AD丄BC 求证：① BD=CD ②∠BAD=∠ACD 证明：∵AB=AC AD=AD （公用线）∠ADC=∠ADB （直角） △ABD≌△ADC （SAS）∴BD=DC
8、如图：
己知： AC丄CB DB丄CB
求证：∠BAD=∠ACD
证明：∵AC丄CB DB丄CB ∴∠ACB是直角，∠DBC是直角。 CB是Rt△ABC和Rt△DBC的共同斜边（共边相等）
∴Rt△ABC≌Rt△DBC （HL） ∴∠BAD=∠ACD
9、如图：点B、E、C、F在一条线上，AB=DE AC=DF BE=CF 求证：∠A=∠
D
证明：∵线段上EC段是△ABC和△DEF同一边上的共同段而BF线上BE和CF分别都是两个三角形中分别相加的等量加等量，两条边相等。∴BC=EF △ABC≌△DEF ∠A=∠D。
10、如图；AC和BD相交于O点，OA=OC OB=OD
求证：DC∥
AB
证明：∴OA=OC OB=OD
O是△DOC和△BOA的项角共点，那么∠DOC=∠AOB（对项角相等） ∵△ABO≌△BOC 而DC和AB是两个三角形的对应边
∴DC∥AB
11、如图，点B、F、C、E在一条直线上：FB=CE AB∥ED AC∥FD 求证，
AB=DE AC=DF
己知：FB=CE AB∥ED AC=FD
求证：AB=DE AC=DF
证明：∵AB∥ED AC∥FD ∴∠BAC和∠FDE都是直角。
∴△ABC≌△FDE AB=DE AC=DF （直角 斜边）
12、如图：
D是AB是的一点DF交AC于E点，DE=FE FC∥AB AE和CE有什么关系？证明你的结论。
己知：D是AB是的一点DF交AC于E点，DE=FE FC∥AB。 求证：AE=CE
证明：∵FC∥AB DE=FE △AED与△FED的∠FEC和∠AED是直角又是对顶角，∴∠FEC=∠AED
∴Rt△AED≌Rt△FEC AE=CE
13、如图：
在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上找出图中的全等三角形并说明它们为什么全等？
己知：△ABC中，AB=AC D点是BC的中点，E点在AD上。 求证：全等三角形有几个。
证明：∵AD是△ADB和△ADC的共边，并垂直BC。∴△ADB≌△ADC 又∵AB=AC AE是△AEC和△AFB共边，E点是CE和BE的交点， ∴△AEB≌△AEC ∴在图中△ABC中有三对三角形全等。 角的平分线的性质
1、 什么叫角的平分线？
把一个角用一条直线分成两相等的角这条直线叫角的平分线。
2、 角的平分线的性质；
① 角的平分线上的点到两边的距离相等。
在OC上的点E到G、H线距GE=EH
在OC上的点D到B、F线距DF=DB
② 角线内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 证明结论的作法；
如：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
如图：
∠AOC=∠BOC 点P在OC上，PO⊥OA PE⊥OB，垂足分别为点
D、E。
求证：PO=PE
证明：∵PO⊥OA PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=900
在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠COB
OP=OP ∴△PDO△PEO （AAS）
∴PD=PE
全等三角形一章应牢记 一、全等三角形判定； 1、对应边相等；2、对应角相等；3、边边边相等； 4、角角边相等；5、边角边相等；6、角边角相等；
7、斜边 直角边相等。
二、角的平分线； 1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
三、证明几何命题时，要按下列步骤进行；
1、明确命题中的己知和求证；
2、根据题意，画出图形并用数学符号表示己知和求证；
3、经过分析，找出由己知推出求证的途径，写出证明过程。 例题：如图：△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
解：根据题意作图
作法：1、画一个任意三角形ABC
2、作一条∠ABC的平分线交于与AC交接于M点；
3、作一条∠ACB的平分线交于与AB交接于N点；
己知：BM、CN是△ABC中，∠ABC和∠ACB的两条角平分线，交于P点。
求证：P点到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点作PD、PE、PF分别垂直于AB、AC、CA垂足为D、E、F（显出要求证的线段）
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理，PE=PF ∴PD=PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
等腰三角形
一、 等腰三角形的性质；
1、等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的髙相互重合。
二、根据等腰三角形性质题解；
例一、如图，在△ABC中，AB=AC ，点D在AB上，且BD=BC=AD 求，△ABC各角的度数。
解：∵AB=AC BD=BC=AD ∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABO （等边对等角）
设 ∠A=x， 则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而，∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在∠ABC中有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=1800
解得；x=360
在∠ABO中，∠A=360 ∠ABC=720 ∠C=360
三、 等腰三角形的判定；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应边也相等；（等角对等边）
例二、求证，如果三角形一个外角的平分线平行于三角形一边，那么这个三角形是等腰三角形。
己知：△DAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC
求证：AB=AC
证明：∵AD∥BC ∴∠1=∠3 （与平
行线组成的两个角相等）
∠2=∠C （互为平行组成的角相等）
而己知∠1=∠2
∴∠B=∠C AB=AB
习题：如图：∠A=360 ∠DBC=360 ∠C=720
求：∠1，∠2的度数。
并说明图中有哪些等腰三角形。
解：己知：∠A=360 ∠DBC=360 ∠C=720
求证 ：∠1，∠2的度数。
证明：∵∠A=360 ∠DBC=36 0 ∠C=720
根据△ABC三内角之和等于1800 那么，
1800-∠A360-∠C720-∠DBC360=∠ABD=360
∵∠ABC=∠ABD360+∠DBC360=720
∴∠B=∠C ∴△ABC是等腰三角形
（两角相等两边相等）（等角等边）
∵△DBC中∠BDC=1800-∠C720-∠DBC360=∠1 720
∠BDC=∠DCB ∴BD=AC ∴△DBC是等腰三角形。
整式的乘法
1、 am·an=am+n （m，n都是正整数）
例⑴ x．X=x=x
61 +67 ⑵ a．a=a=a
⑶ 2×24×22=21+4+2=27
=256
232+35
⑷ x．X3m=Xm3m+1=x4m+1
2、 mm，n都是正整数
4416 nm.n 例① （103）5=103ⅹ5=1015 ② （a）= a
m2m．22m③ （a）=a=a
434ⅹ312④ –（x）=x=x
3、 乘。 （ab）
333n=a．bnn 3（m为正整数） 33例① （2a）=2•a=8a ② （–5b）=（–5）•d3=125b3
2224222③ （xy）=x•（y）=xy
3412344 ④ （–2x）=（–2）•（x）=16x
整式的乘法
1、 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例1、（－5a2b）（－3a） 2、（2x）3（－5xy2）
=［（－5）（－3）］（a2∙a）b =8x3（－5xy2）∙ =15a2b =［8×（－5）］（x3×x） =40x4y2
2、 把所得的积相加。
例1、（－4x2）（3x＋1）
=（－4x2）·（3x）＋（4x2）×1
=（－4×3）·（x2×x）＋（－4x2）
=－12x2 －4x2
2、（ab2－2ab）·
21
32
1 =a2b3－a2b2 3231ab 212 =ab2·ab＋（－2ab）·ab
3项式的每一项，再把所得积相加。
例1、（3x＋1）（x＋2）
=（3x）·x＋（3x）·2＋1·x＋1×2
=3x2＋6x＋x＋2
=3x2＋7x＋2
2、（x－8y）（x－y）
=x2－xy－8xy＋8xy2
=x2－9xy＋8y2
3、（x＋y）（x2－xy＋y2）
=x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3
=x3＋y3
乘法公式
一、平方差公式；
2－b2
这个公式叫做平方差公式。
例1、利用平方差公式计算：
①、（3x＋2）（3x－2）
我们可以把3x看成是a，2看成是b。即：
（3x＋2）（－=（3x）2－22
（a＋b）×（－b）=a2－b2
解：（3x＋2）（3x－2）
=（3x）2（－2）2
=9x2－4
②、（b＋2a）（2a－b）
=（2a＋d）（2a－b） （加法交换律）
=（2a）2－b2
=4a2－b2
③、（－x＋2y）（－x－2y）
=（－x）2－（2y）2 （乘法交换律）
=x2－4y2
说明：只有符合公式的乘法，才能运用公式简化运算，其余运算仍按乘法法则进行。
二、完全平方公式
（或减）它们积的2倍。
22
22
这个公式叫做完全平方公式。
计算：（a＋b）2·（a－b）2
①、（a＋b）2=（a＋b）·（a＋b）=a2＋ab＋ab＋d2=a2＋2ab＋b2 ②、（a－b）2=（a－b）（a－b）=a2－ab－ab＋b2=a2－2ab＋b2 例：利用完全平方公式计算；
①、（4m＋n）2=（4m）2＋2×（4m）·n＋n2=16m2＋8mn＋n2
111 ②、（y－2 ）2=y2－2×y×＋（2 ）2
2
1111=y－22 y＋2×2 22
211 =y－y＋4 4
12312y（注：2、y、2=1 ×1×2）=2=y）
去括号法则
的号不变；如果前边的号是“－”（负）号，则去括时括号内数的号要变。
都不变号；如果前边的号是“－”（负）号，添到括号里的各项数都变号。
运用乘法公式计算：
例⑴、（x＋2y－3）（x－2y＋3） ［变成乘法公式（a＋b）（a－b）］
=［x＋（2y－3）］［x－（2y－3）］（通过添括号变型为平方差 =x2－（2y－3）2 公式a2－b2）
=x2－2×2y×3＋（－3）2 ［变成完全平方公式（a2－2ab =x2－12y＋9 ＋b2）］
⑵、（a＋b＋c）2
=［（a＋b）＋c］ ［添括号变为（a＋b）2型］ =（a＋b）2＋2×（a＋b）×c＋c2
=a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
=a2＋b2＋c2＋2ab2bc＋2ac （按字母顺序排列）
整式除法 一、同底数幂的除法；底数不变，指数相减。
m÷bnm－n 注意：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
a0=1 （）
二、整式除法；
1只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
例：计算；12a3b2x3÷3ab2= 4a2bx3
∵（12÷3）=4 a3÷a=a3－1=a2 b2÷b2=b2－2=b x3=x3 ∴4a2bx3
①、28x4y2÷7x3y=4xy
②、－5a5b3c÷15a4b=［（－5）÷15］×a5－4b3－1c1－0=－ab2c
2、多项式除以单项式；先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
例：计算；
13
①、（12a3－6a2＋3a）÷3a
=12a3÷3a－6a2÷3a＋3a÷3a
=4a2－2a＋1
②、（21x4y3－35x3y2＋72y2）÷（－7x2y）
=－3x2y2－5xy＋xy
=3x2y2＋5xy－xy
因式分解
因式分解，把一个多项式写成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。
因式分解
X2－1 x＋1）（x－1）
整式乘法
因式分解的方法：
1们把这个公共的因式叫做多项式各项的公因式。
如：ma＋mb＋mc
把一个多项式里公共的公因式提出来分解成两个因式乘积的形式，这种方法叫提取公因式法。
如：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）
例题：①、把8a3b2＋12ab3c分解因式；
解：提取系数8、12的最大公约数4，字母都有a、b。指数最低a是1，b是2，选定4ab2为公共因式。
8a3b2＋12ab3c=4ab2×2a2＋4ab2×3bc=4ab2·（2a＋3bc） ②、把2a（b＋c）－3（b＋c）分解因式；
解：（b＋c）（2a－3）
2来分解因式叫公式法。
整式乘法平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2 把它反过来得：
a2-b2=（a+b）（a-b） 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积。 例：分解因式；
①、4x2–9
解：4x2–9=（2x）2–32=（2x+3）（2x-3） ［4x2=（2x）2 9=32］ ②、（x+p）2–（x+q）2
=［（x+p）+（x+ q）］［（x+p）（x+q）］
=（2x+p+q）（p-q）
提示：把（x+p）和（x+ q）各看成一个整体设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2
③、分解因式；
㈠、x4-y4 ；
分析：x4-y4可以写成（x2）2–（y2）2这样就可以利用平方差公式进行因式分解。
解：x4-y4 =（x2+y2）（x2-y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）
㈡、a2b –ab；
分析：a2b –ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解。
解：a2b –ab=ab（a-1）=ab（a+1）（a-1），
提示：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
完全平方差公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
反过来，就得到；
a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+b2=（a-b）2
即，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
例1、16x2+24x+9
分析：在16x2+24x+9中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2•4x•3，
所以，16x2+24x+9是一个完全平方式，即；
16x2+24x+9=（4x）2+2•4x•32
a2 + 2•a•b+b2
解：16x2+24x+9=（4x）2+2•4x•3+32=（4x+3）2
例2、3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2
提示：将a+b看作一个整体，设a+b=m则原式化为完全平方式，m2—12m+36