高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结
一、集合与命题
1. 集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ={a +b |a ∈P , b ∈Q }，若P ={0,2,5}
，Q ={1, 2, 6}，则P +Q 中元素的有________
个。（答：8）（2）非空集合S ⊆{1, 2, 3, 4, 5}，且满足“若a ∈S ，则6-a ∈S ”，这样的S 共有_____个（答：7） 2. 遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A ⊆B 时，你是否忘记A =∅的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合A ={x |a x -1=0，}
1B ={x |x 2-3x +2=0}，且A B =B ，则实数a ＝______.（答：a =0,1, ）
2
n n
3. 对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2， 2-1 2n -1，，2n -2. 如满足{1, 2}⊂≠M ⊆{1, 2,3, 4,5}集合M 有______个。 （答：7）
4. 集合的运算性质： ⑴A B =A ⇔B ⊆A ； ⑵A B =B ⇔B ⊆A ；⑶A ⊆B ⇔
痧u B =∅⇔u A ⊆B ； ⑸ðu A B =U ⇔A ⊆B ； ⑹C U (A B ) u A ⊇u B ； ⑷A 痧
=C U A C U B ；⑺C U (A B ) =C U A C U B . 如设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若A B ={2}，(C U A ) B ={4}，(C U A ) (C U B ) ={1, 5}，则A ＝_____，B ＝___.（答：A ={2,3}，B ={2,4}）
5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：x |y =f (x )—函数的定义域；
{}
{y |y =f (x )}—函数的值域；{(x , y ) |y =f (x )}—函数图象上的点集，如
设集合M ={x |y =
，集合N ＝
{y |y =x , x ∈M }，则M N =_
2
（答：[4,+∞) ）；
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x 的不等式
ax -5
5∉M 求实数a 的取值范围。
⎡5⎫
（答：a ∈⎢1⎪ (9，25]）
⎣3⎭
7. 四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A ⇒B ⇔B ⇒A ”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为∆ABC 中，若∠C ≠90，则∠A , ∠B 不都是锐角）；（2）已知函数
f (x ) =a x +
x -2
, a >1，证明方程f (x ) =0没有负数根。 x +1
8. 充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；若B ⊆A ，则A 是B 的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件。如设命题p ：|4x -3|≤1；命题q:x -(2a +1) x +a (a +1) ≤0。若p 是q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：[0,]）
2
12
二、不等式
1. 不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a >bc , d >但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
，则a +则a -c >b +d （若a >b , c b -d
），
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a >b >0, c >d >0，则ac >bd （若a >b >0,0
a b
>）； c d
n n
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a >b >0，则a >
b >
（4）若ab >0，a >b ，则
1111b ，则>。 a b a b
2
2
2
2
如（1）对于实数a , b , c 中，给出下列命题：
11
b a a b 11
⑤若a ；⑥若a b ；⑦若c >a >b >0, 则； ⑧若a >b , >，>
a b c -a c -b a b
则a >0, b
（2）已知-1≤x +y ≤1，1≤x -y ≤3，则3x -y 的取值范围是______（答：[1,7]）
①若a >b , 则ac >bc ；②若ac >bc , 则a >b ；③若a ab >b ；④若a
2
2
（3）已知a >b >c ，且a +b +c =0, 则
c 1⎫⎛
的取值范围是______ （答： -2, -⎪）
2⎭a ⎝
2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作
商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ； （8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 如设a >2，p =a +
1-a 2+4a -2
，q =2，试比较p , q 的大小（答：p >q ） a -2
b ；a
3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax >b 的形式，若a >0, 则x >若a
b
；若a =0, 则当b
1
(a +b ) x +(2a -3b ) 0的解集为_______（答：
3
{x |x
4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当∆=0和∆0, x 1, x 2是方程ax 2+bx +c =0的两实根，且
x
2
；当0
如解关于x 的不等式：ax -(a +1) x +11；当a 1或x
11
；当a =1时，x ∈∅；当a >1时，
2
5. 对于方程ax +bx +c =0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若a ≠0，则一定有
（1）∆=b 2-4ac ≥0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：
则a 的取值范围是_______（答：；（2）关于x 的方程f (x ) =k (1,2]）(a -2)x 2+2(a -2)x -1
有解的条件是什么？(答：k ∈D ，其中D 为f (x ) 的值域)
6. 一元二次方程根的分布理论。方程f (x ) =ax +bx +c =0(a >0) 在(k , +∞) 上有两根、在(m , n ) 上有两根、在
2
(-∞, k ) 和(k , +∞) 上各有一根的充要条件分别是什么？
⎧∆≥0⎧
⎪f (m ) >0⎪∆≥0
⎪ ⎪
（⎨f (k ) >0、 、f (k ) 0
⎪⎪b
⎪m k
⎩2a ⎩2a
间[m
, n ](m , n ) 上实根分布的情况，得出结果，再令x =n 和x =m 检查端点的情况．
22
如f (x ) =4x -2(p -2) x -2p -p +1在区间[-1, 1]上至少存在一个实数c ，使f (c ) >0，求实数p 的取值范围。
3
（答：(-3, ) ）
2
7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax +bx +c =0的两个根即为二次不等式
2
ax 2+bx +c >0(
31
>ax +的解集是(4,b ) ，则a =__________（答：）；（2）若关于x 的不等式ax 2+bx +c
28
(-∞, m ) (n , +∞) ，其中m
11
(-∞, -) (-, +∞) ）；（3）不等式3x 2-2bx +1≤0对x ∈[-1,2]恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：
m n ∅）。
8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f (x ) 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如：（1）解不等式(x -1)(x +2) ≥0。 （答：[1, +∞) {-2}）
2
（2）不等式(x -≥0的解集是____（答：[3, +∞) {-1}）
（3）设函数f (x ) 、g (x ) 的定义域都是R ，且f (x ) ≥0的解集为{x |1≤x
f (x ) g (x ) >0的解集为______（答：(-∞,1) [2, +∞)）
（4）要使满足关于x 的不等式2x -9x +a
2
⎡81⎫
x 2-4x +3
⎣8⎭
9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如：（1）解不等式
5-x
（答：(-1,1) (2,3)）
x 2-2x -3
（2）关于x 的不等式ax -b >0的解集为(1, +∞) ，求关于x 的不等式（答：(-∞, -1) (2, +∞)）
10. 绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2-（2）利用绝对值的定义；
ax +b
>0的解集 x -2
31
x |≥2-|x +|（答：R ） 42
（3）数形结合；如解不等式|x |+|x -1|>3（答：(-∞, -1) (2, +∞)）
（4）两边平方：如若不等式|3x +2|≥|2x +a |对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围。（答：⎨⎬）
11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）
12. 含绝对值不等式的性质：
a 、b 同号或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |；
⎧4⎫⎩3⎭
a 、b 异号或有0⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |.
2
如设f (x ) =x -x +13，实数a 满足|x -a |
13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。 如：（1）下列命题中正确的是
21
A. y =x +的最小值是2
B. y =的最小值是2
x 44
C . y =2-3x -(x >
0) 的最大值是2-y =2-3x -(x
>0) 的最小值是2-
x x y
（2）若x +2y =1，则2+4的最小值是______
（答：
11
（3）正数x , y 满足
x +2y =
1，则+的最小值为______（答：3+
x y
14. 常用不等式有：（1≥≥≥(当且仅当a =b =c 时，取等号) ，根据目标不等式2+222
左右的结构选用；（2）a 、b 、c ∈R ，a +b +c ≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c 时，取等号）；（3）若
b b +m ，则（糖水的浓度问题）。如果正数a 、b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是_________b >0, m >0
a a +m
（答：[9, +∞)）
15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
1111
111-=
+1n (n +1) n n (n -1) n
-
1n =
222222
如（1）已知a >b >c ，求证：a b +b c +c a >ab +bc +ca ；
常用的放缩技巧有：
(2) 已知a , b , c ∈R ，求证：a b +b c +c a ≥abc (a +b +c ) ；
（3）已知a , b , x , y ∈
R ，且
*
(4)若n ∈N (n +1)
222222
+
x y 11
； >>, x >y ，求证：
x
+a y +b a b
n ；
(5)已知|a |≠|b |，求证：
|a |-|b ||a |+|b |
≤；
|a -b ||a +b |
16. 不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
（1）恒成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上f (x )min >A 若不等式f (x )a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围
2
（2）若不等式2x -1>m (x -1) 对满足m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围
（3）若不等式x 2-2mx +2m +1>0对0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
（2）能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立, 则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ；
若不等式f (x )
三、函数
1. 函数的定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数f (x ) ，x ∈F ，那么集合{(x , y ) |y =f (x ), x ∈F } {(x , y ) |x =1}中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数y =
12
x -2x +4的定义域、值域都是闭区间[2, 2b ]，则2
b ＝2）
2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y =x ，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数
2
y =
x -3的定义域是____(答：(0,2) (2,3) ) ；（2）若函数y =(3,4)
kx +7
的定义域为R ，则
kx 2+4kx +3
⎡3⎫
k ∈_______(答：⎢0, ⎪) ；（3）函数f (x ) 的定义域是[a , b ]，b >-a >0，则函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) 的定义域
⎣4⎭
是__________(答：[a , -a ]) ；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知f (x ) 的定义域为[a , b ], 其复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x ) ≤b 解出即可；若已知f [g (x )]的定义域为[a , b ], 求f (x ) 的定义域，相当于当x ∈[a , b ]时，求g (x ) 的值域（即f (x ) 的定义域）。如（1）若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (2) 的定义域为__________（答：x |
2
⎡1⎤x ⎣⎦
f (x 2+1) 的定义域为[-2,1) ，则函数f (x ) 的定义域为________（答：[1,5]）．
{
2≤x ≤4）；（2）若函数
}
4. 求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m , n ]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数y =x -2x +5, x ∈[-1,2]的值域（答：[4,8]）；（2）当x ∈(0, 2]
2
时，函数f (x ) =ax +4(a +1) x -3在x =2时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：a ≥-
2
明：二次函数在区间[m , n ]上最值的求法，一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案:先看看-
1
）； 特别说2
b b 是否在[m , n ]内，如果在的话，算三个数f (m ) 、f (n )、f (-) , 三数中谁最大谁就是最大值，谁2a 2a
最小谁就是最小值。如果不在的话，只要算两个数f (m ) 、f (n )，大的就最大值，小的就最小值。
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1
）y =2x +1_____（答：(3,+∞
) =t ，t ≥0。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，
（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求y =x -的值域为______（答：(0,
1
(1
80
) ）； 9
（5）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
b 33
型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：y =(0,]） 22
k +x 2+x 2
bx x 1
y =②y =2型，先化简，再用均值不等式，如（1）求y =的值域（答：）；（2）
求函数(-∞, ]
x +3x +mx +n 1+x 22
1
的值域（答：[0,]）
2
x 2+m 'x +n 'mx 2+8x +n
9]，③y =2型，通常用判别式法；如已知函数y =的定义域为R ，值域为[1，求常数m , n 2
x +mx +n x +1
的值（答：m =n =5）
x 2+m 'x +n 'x 2+x +1④y =型，可用判别式法或均值不等式法，如求y =的值域（答：(-∞, -3] [1,+∞) ）
mx +n x +1
①y =
（6）不等式法
――利用基本不等式a +b ≥a , b ∈R +) 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为
定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？ 5. 分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f (x 0) 时，一定首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；
2
⎧⎪(x +1) .(x
分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）
设函数f (x ) =⎨，
⎪⎩4x ≥1)
(x ≥0) ⎧1
则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围是__________（答：(-∞, -2] [0,10]）；（2）已知f (x ) =⎨，
(x
3
则不等式x +(x +2) f (x +2) ≤5的解集是________（答：(-∞, ]）
2
6. 求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f (x ) =ax +bx +c ；顶点式：
2
f (x ) =a (x -m ) 2+n ；零点式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形
式）。如已知f (x ) 为二次函数，且 f (x -2) =f (-x -2) ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22, 求f (x ) 的解析式 。（答：f (x ) =
12
x +2x +1） 2
1
，则2x
2
函数f (x -1) =_____（答：x -2x +3）；（2）若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞) 时，
（2）代换（配凑）法――已知形如f (g (x )) 的表达式，求f (x ) 的表达式。如（1）若f (x -) =x 2+
1x
f (x ) =x (1+x ) ，那么当x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =________
（答：x (1）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f (x ) 的定义域应是g (x ) 的值域。
（3）方程的思想――已知条件是含有f (x ) 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f (x ) 及另外一个函数的方程组。如（1）已知f (x ) +2f (，求f (x ) 的解析式（答：-x ) =3x -2
2x 1；（2）已知f (x ) 是奇函数，g (x ) 是偶函数，且f (x ) +g (x ) = , 则f (x ) 2）。 f (x ) =-3x ）
x -13x -1
7. 函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如
判断函数y =
____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0或
11f (-x )
=±1（f (x ) ≠0）。如判断f (x ) =x (x +) 的f (x ) 2-12
奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f (x ) 为偶函数，则f (-x ) =f (x ) =f (|x |).
④若奇函数f (x ) 定义域中含有0，则必有f (0)=0. 故f (0)=0是f (x ) 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若
a ·2x +a -2f (x ) =为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.
2x +1
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f (x )
f (x ) -f (-x ) f (x ) +f (-x )
，G (x ) =。①判断F (x ) 与G (x ) 的奇偶性； ②若将
22
x
函数f (x ) =10+1，表示成一个奇函数g (x ) 和一个偶函数h (x ) 之和，则g (x ) ＝____（答：①F (x ) 为偶函数，G (x )
是定义域为R 的任一函数， F (x ) =为奇函数；②g (x ) ＝
1
x ） 2
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（f (x ) =0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 8. 函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）如已知函数f (x ) =x -ax 在区间[1,+∞) 上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]) ；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y =ax +
3
b
(a >0 x
b >
0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-∞, 函数y =x +
+∞
) ，减区间为[. （例如42
递增区间(-∞, -2), (2, +∞)；单调递减区间是(-2,0), (0, 2)）如（1）若函数f (x ) =x +2(a -1) x +2 x
4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：a ≤-3）) ；（2）已知函数f (x ) =在区间(-∞，
ax +1
在区间x +2
(-2, +∞)上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：(
1
, +∞) ）； 2
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如
求函数f (x ) =单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? （①比较大小；②解不等式；③求参数范围）. 如已知奇函数f (x ) 是定义在(-2, 2) 上的减函数, 若f (m -1) +f (2m -1) >0，求实数m 的取值范围。（答：-
12
9. 常见的图象变换
①函数y =f (x +a )(a >0) 的图象是把函数y =f (x )的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。如设
f (x ) =2-x , g (x ) 的图像由f (x ) 的图像向左平移1个单位得到，则g (x ) 为__________(答： g (x ) =2
-(x +1)
)
②函数y =f (x +a )((a
f (x +199) =4x 2+4x +3，则函数f (x ) 的最小值为____(答：2) ；（2）要得到y =2(3-x ) 的图像，只需作y =2x 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右) ；
特别提示：上面两种是左右平移，可以间记为“左加右减”
③函数y =f (x )+a (a >0) 的图象是把函数y =f (x )助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；
④函数y =f (x )+a (a
b
+a 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位, 所得图象如果与原图象关于直线y =x 对称, 那么 x +a
(A ) a =-1, b ≠0 (B ) a =-1, b ∈R (C ) a =1, b ≠0 (D ) a =0, b ∈R (答：C) y =
特别提示：上面两种是上下平移，可以间记为“上加下减” 10. 函数的对称性。
①满足条件f (x -a )=f (b -x )的函数的图象关于直线x =
-a +b
对称。如已知二次函数2
1
f (x ) =ax 2+bx (a ≠0) 满足条件f (5-x ) =f (x -3) 且方程f (x ) =x 有等根，则f (x ) ＝_____(答：-x 2+x ) ；
2
②点(x , y ) 关于y 轴的对称点为(-x , y ) ；函数y =f (x )关于y 轴的对称曲线方程为y =f (-x )； ③点(x , y ) 关于x 轴的对称点为(x , -y ) ；函数y =f (x )关于x 轴的对称曲线方程为y =-f (x )； ④点(x , y ) 关于原点的对称点为(-x , -y ) ；函数y =f (x )关于原点的对称曲线方程为y =-f (-x )； ⑤形如y =(c ≠0, ad ≠bc ) 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x =-
cx +d c
(由分母为零确定) 和直线y =(由分子、分母中x 的系数确定) ，对称中心是点(-, ) 。如已知函数图象C '与
c c c
C :y (x +a +1) =ax +a 2+1关于直线y =x 对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）
⑥|f (x ) |的图象先保留f (x ) 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；f (|x |)的图象先保留f (x ) 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则函数F (x ) =f (x ) +f (x ) 的图象关于____对称 （答：y 轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C 1与C 2的对称性，需证两方面：①证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上；②证明C 2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 1上。
11. 指数式、对数式：
a =a
m n
-m =，a 0=1 m
a 12. 指数的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
13. 函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立y =ax +
b
型。 x
14. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。尤其是选择题中，你可以举一个特殊的函数例子满足这个抽象函数去验证就可以啦。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：f (x ) =kx (k ≠0) ---------------f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) ；
f (x )
； f (y )
f (x ) x
③指数函数型：f (x ) =a ------------f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，f (x -y ) =；
f (y )
（2）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出f (0)或f (1)、令y =x 或y =-x 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x )
+f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x )
②幂函数型：f (x ) =x --------------f (xy ) =f (x ) f (y ) ，f () =
2
x y
+f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）设f (x ) 的定义域为R +，对任意x , y ∈R +，都有x 1
且x >1时，f (x )
y 2（答：(0,1] [4,5)）．
高一上学期数学知识概念方法题型易误点技巧总结
一、集合与命题
1. 集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q ={a +b |a ∈P , b ∈Q }，若P ={0,2,5}
，Q ={1, 2, 6}，则P +Q 中元素的有________
个。（答：8）（2）非空集合S ⊆{1, 2, 3, 4, 5}，且满足“若a ∈S ，则6-a ∈S ”，这样的S 共有_____个（答：7） 2. 遇到A B =∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A ⊆B 时，你是否忘记A =∅的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合A ={x |a x -1=0，}
1B ={x |x 2-3x +2=0}，且A B =B ，则实数a ＝______.（答：a =0,1, ）
2
n n
3. 对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2， 2-1 2n -1，，2n -2. 如满足{1, 2}⊂≠M ⊆{1, 2,3, 4,5}集合M 有______个。 （答：7）
4. 集合的运算性质： ⑴A B =A ⇔B ⊆A ； ⑵A B =B ⇔B ⊆A ；⑶A ⊆B ⇔
痧u B =∅⇔u A ⊆B ； ⑸ðu A B =U ⇔A ⊆B ； ⑹C U (A B ) u A ⊇u B ； ⑷A 痧
=C U A C U B ；⑺C U (A B ) =C U A C U B . 如设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若A B ={2}，(C U A ) B ={4}，(C U A ) (C U B ) ={1, 5}，则A ＝_____，B ＝___.（答：A ={2,3}，B ={2,4}）
5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：x |y =f (x )—函数的定义域；
{}
{y |y =f (x )}—函数的值域；{(x , y ) |y =f (x )}—函数图象上的点集，如
设集合M ={x |y =
，集合N ＝
{y |y =x , x ∈M }，则M N =_
2
（答：[4,+∞) ）；
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知关于x 的不等式
ax -5
5∉M 求实数a 的取值范围。
⎡5⎫
（答：a ∈⎢1⎪ (9，25]）
⎣3⎭
7. 四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 则q ” ；逆否命题为“若q 则p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A ⇒B ⇔B ⇒A ”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为∆ABC 中，若∠C ≠90，则∠A , ∠B 不都是锐角）；（2）已知函数
f (x ) =a x +
x -2
, a >1，证明方程f (x ) =0没有负数根。 x +1
8. 充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；若B ⊆A ，则A 是B 的必要条件；若A=B，则A 是B 的充要条件。如设命题p ：|4x -3|≤1；命题q:x -(2a +1) x +a (a +1) ≤0。若p 是q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：[0,]）
2
12
二、不等式
1. 不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a >bc , d >但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
，则a +则a -c >b +d （若a >b , c b -d
），
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a >b >0, c >d >0，则ac >bd （若a >b >0,0
a b
>）； c d
n n
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a >b >0，则a >
b >
（4）若ab >0，a >b ，则
1111b ，则>。 a b a b
2
2
2
2
如（1）对于实数a , b , c 中，给出下列命题：
11
b a a b 11
⑤若a ；⑥若a b ；⑦若c >a >b >0, 则； ⑧若a >b , >，>
a b c -a c -b a b
则a >0, b
（2）已知-1≤x +y ≤1，1≤x -y ≤3，则3x -y 的取值范围是______（答：[1,7]）
①若a >b , 则ac >bc ；②若ac >bc , 则a >b ；③若a ab >b ；④若a
2
2
（3）已知a >b >c ，且a +b +c =0, 则
c 1⎫⎛
的取值范围是______ （答： -2, -⎪）
2⎭a ⎝
2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作
商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ； （8）图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 如设a >2，p =a +
1-a 2+4a -2
，q =2，试比较p , q 的大小（答：p >q ） a -2
b ；a
3. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax >b 的形式，若a >0, 则x >若a
b
；若a =0, 则当b
1
(a +b ) x +(2a -3b ) 0的解集为_______（答：
3
{x |x
4. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当∆=0和∆0, x 1, x 2是方程ax 2+bx +c =0的两实根，且
x
2
；当0
如解关于x 的不等式：ax -(a +1) x +11；当a 1或x
11
；当a =1时，x ∈∅；当a >1时，
2
5. 对于方程ax +bx +c =0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若a ≠0，则一定有
（1）∆=b 2-4ac ≥0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：
则a 的取值范围是_______（答：；（2）关于x 的方程f (x ) =k (1,2]）(a -2)x 2+2(a -2)x -1
有解的条件是什么？(答：k ∈D ，其中D 为f (x ) 的值域)
6. 一元二次方程根的分布理论。方程f (x ) =ax +bx +c =0(a >0) 在(k , +∞) 上有两根、在(m , n ) 上有两根、在
2
(-∞, k ) 和(k , +∞) 上各有一根的充要条件分别是什么？
⎧∆≥0⎧
⎪f (m ) >0⎪∆≥0
⎪ ⎪
（⎨f (k ) >0、 、f (k ) 0
⎪⎪b
⎪m k
⎩2a ⎩2a
间[m
, n ](m , n ) 上实根分布的情况，得出结果，再令x =n 和x =m 检查端点的情况．
22
如f (x ) =4x -2(p -2) x -2p -p +1在区间[-1, 1]上至少存在一个实数c ，使f (c ) >0，求实数p 的取值范围。
3
（答：(-3, ) ）
2
7. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax +bx +c =0的两个根即为二次不等式
2
ax 2+bx +c >0(
31
>ax +的解集是(4,b ) ，则a =__________（答：）；（2）若关于x 的不等式ax 2+bx +c
28
(-∞, m ) (n , +∞) ，其中m
11
(-∞, -) (-, +∞) ）；（3）不等式3x 2-2bx +1≤0对x ∈[-1,2]恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：
m n ∅）。
8. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f (x ) 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如：（1）解不等式(x -1)(x +2) ≥0。 （答：[1, +∞) {-2}）
2
（2）不等式(x -≥0的解集是____（答：[3, +∞) {-1}）
（3）设函数f (x ) 、g (x ) 的定义域都是R ，且f (x ) ≥0的解集为{x |1≤x
f (x ) g (x ) >0的解集为______（答：(-∞,1) [2, +∞)）
（4）要使满足关于x 的不等式2x -9x +a
2
⎡81⎫
x 2-4x +3
⎣8⎭
9. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如：（1）解不等式
5-x
（答：(-1,1) (2,3)）
x 2-2x -3
（2）关于x 的不等式ax -b >0的解集为(1, +∞) ，求关于x 的不等式（答：(-∞, -1) (2, +∞)）
10. 绝对值不等式的解法：
（1）分段讨论（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2-（2）利用绝对值的定义；
ax +b
>0的解集 x -2
31
x |≥2-|x +|（答：R ） 42
（3）数形结合；如解不等式|x |+|x -1|>3（答：(-∞, -1) (2, +∞)）
（4）两边平方：如若不等式|3x +2|≥|2x +a |对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围。（答：⎨⎬）
11. 含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. （见4中例题）
12. 含绝对值不等式的性质：
a 、b 同号或有0⇔|a +b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a -b |；
⎧4⎫⎩3⎭
a 、b 异号或有0⇔|a -b |=|a |+|b |≥||a |-|b ||=|a +b |.
2
如设f (x ) =x -x +13，实数a 满足|x -a |
13. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。 如：（1）下列命题中正确的是
21
A. y =x +的最小值是2
B. y =的最小值是2
x 44
C . y =2-3x -(x >
0) 的最大值是2-y =2-3x -(x
>0) 的最小值是2-
x x y
（2）若x +2y =1，则2+4的最小值是______
（答：
11
（3）正数x , y 满足
x +2y =
1，则+的最小值为______（答：3+
x y
14. 常用不等式有：（1≥≥≥(当且仅当a =b =c 时，取等号) ，根据目标不等式2+222
左右的结构选用；（2）a 、b 、c ∈R ，a +b +c ≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c 时，取等号）；（3）若
b b +m ，则（糖水的浓度问题）。如果正数a 、b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是_________b >0, m >0
a a +m
（答：[9, +∞)）
15. 证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
1111
111-=
+1n (n +1) n n (n -1) n
-
1n =
222222
如（1）已知a >b >c ，求证：a b +b c +c a >ab +bc +ca ；
常用的放缩技巧有：
(2) 已知a , b , c ∈R ，求证：a b +b c +c a ≥abc (a +b +c ) ；
（3）已知a , b , x , y ∈
R ，且
*
(4)若n ∈N (n +1)
222222
+
x y 11
； >>, x >y ，求证：
x
+a y +b a b
n ；
(5)已知|a |≠|b |，求证：
|a |-|b ||a |+|b |
≤；
|a -b ||a +b |
16. 不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
（1）恒成立问题
若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上f (x )min >A 若不等式f (x )a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围
2
（2）若不等式2x -1>m (x -1) 对满足m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围
（3）若不等式x 2-2mx +2m +1>0对0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
（2）能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立, 则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ；
若不等式f (x )
三、函数
1. 函数的定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数f (x ) ，x ∈F ，那么集合{(x , y ) |y =f (x ), x ∈F } {(x , y ) |x =1}中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数y =
12
x -2x +4的定义域、值域都是闭区间[2, 2b ]，则2
b ＝2）
2. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为y =x ，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）
3. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，0次幂的底数不能为零。如（1）函数
2
y =
x -3的定义域是____(答：(0,2) (2,3) ) ；（2）若函数y =(3,4)
kx +7
的定义域为R ，则
kx 2+4kx +3
⎡3⎫
k ∈_______(答：⎢0, ⎪) ；（3）函数f (x ) 的定义域是[a , b ]，b >-a >0，则函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) 的定义域
⎣4⎭
是__________(答：[a , -a ]) ；
（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3）复合函数的定义域：若已知f (x ) 的定义域为[a , b ], 其复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x ) ≤b 解出即可；若已知f [g (x )]的定义域为[a , b ], 求f (x ) 的定义域，相当于当x ∈[a , b ]时，求g (x ) 的值域（即f (x ) 的定义域）。如（1）若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (2) 的定义域为__________（答：x |
2
⎡1⎤x ⎣⎦
f (x 2+1) 的定义域为[-2,1) ，则函数f (x ) 的定义域为________（答：[1,5]）．
{
2≤x ≤4）；（2）若函数
}
4. 求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[m , n ]上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数y =x -2x +5, x ∈[-1,2]的值域（答：[4,8]）；（2）当x ∈(0, 2]
2
时，函数f (x ) =ax +4(a +1) x -3在x =2时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：a ≥-
2
明：二次函数在区间[m , n ]上最值的求法，一定要注意顶点的横坐标是否在定义域内。如果是选择、填空可以很快写答案:先看看-
1
）； 特别说2
b b 是否在[m , n ]内，如果在的话，算三个数f (m ) 、f (n )、f (-) , 三数中谁最大谁就是最大值，谁2a 2a
最小谁就是最小值。如果不在的话，只要算两个数f (m ) 、f (n )，大的就最大值，小的就最小值。
（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1
）y =2x +1_____（答：(3,+∞
) =t ，t ≥0。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；
（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，
（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求y =x -的值域为______（答：(0,
1
(1
80
) ）； 9
（5）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
b 33
型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：y =(0,]） 22
k +x 2+x 2
bx x 1
y =②y =2型，先化简，再用均值不等式，如（1）求y =的值域（答：）；（2）
求函数(-∞, ]
x +3x +mx +n 1+x 22
1
的值域（答：[0,]）
2
x 2+m 'x +n 'mx 2+8x +n
9]，③y =2型，通常用判别式法；如已知函数y =的定义域为R ，值域为[1，求常数m , n 2
x +mx +n x +1
的值（答：m =n =5）
x 2+m 'x +n 'x 2+x +1④y =型，可用判别式法或均值不等式法，如求y =的值域（答：(-∞, -3] [1,+∞) ）
mx +n x +1
①y =
（6）不等式法
――利用基本不等式a +b ≥a , b ∈R +) 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为
定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？ 5. 分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值f (x 0) 时，一定首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；
2
⎧⎪(x +1) .(x
分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）
设函数f (x ) =⎨，
⎪⎩4x ≥1)
(x ≥0) ⎧1
则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围是__________（答：(-∞, -2] [0,10]）；（2）已知f (x ) =⎨，
(x
3
则不等式x +(x +2) f (x +2) ≤5的解集是________（答：(-∞, ]）
2
6. 求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f (x ) =ax +bx +c ；顶点式：
2
f (x ) =a (x -m ) 2+n ；零点式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形
式）。如已知f (x ) 为二次函数，且 f (x -2) =f (-x -2) ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22, 求f (x ) 的解析式 。（答：f (x ) =
12
x +2x +1） 2
1
，则2x
2
函数f (x -1) =_____（答：x -2x +3）；（2）若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞) 时，
（2）代换（配凑）法――已知形如f (g (x )) 的表达式，求f (x ) 的表达式。如（1）若f (x -) =x 2+
1x
f (x ) =x (1+x ) ，那么当x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =________
（答：x (1）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f (x ) 的定义域应是g (x ) 的值域。
（3）方程的思想――已知条件是含有f (x ) 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f (x ) 及另外一个函数的方程组。如（1）已知f (x ) +2f (，求f (x ) 的解析式（答：-x ) =3x -2
2x 1；（2）已知f (x ) 是奇函数，g (x ) 是偶函数，且f (x ) +g (x ) = , 则f (x ) 2）。 f (x ) =-3x ）
x -13x -1
7. 函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法：如
判断函数y =
____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f (x ) ±f (-x ) =0或
11f (-x )
=±1（f (x ) ≠0）。如判断f (x ) =x (x +) 的f (x ) 2-12
奇偶性___.（答：偶函数）
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f (x ) 为偶函数，则f (-x ) =f (x ) =f (|x |).
④若奇函数f (x ) 定义域中含有0，则必有f (0)=0. 故f (0)=0是f (x ) 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若
a ·2x +a -2f (x ) =为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.
2x +1
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f (x )
f (x ) -f (-x ) f (x ) +f (-x )
，G (x ) =。①判断F (x ) 与G (x ) 的奇偶性； ②若将
22
x
函数f (x ) =10+1，表示成一个奇函数g (x ) 和一个偶函数h (x ) 之和，则g (x ) ＝____（答：①F (x ) 为偶函数，G (x )
是定义域为R 的任一函数， F (x ) =为奇函数；②g (x ) ＝
1
x ） 2
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（f (x ) =0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 8. 函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）如已知函数f (x ) =x -ax 在区间[1,+∞) 上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]) ；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y =ax +
3
b
(a >0 x
b >
0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-∞, 函数y =x +
+∞
) ，减区间为[. （例如42
递增区间(-∞, -2), (2, +∞)；单调递减区间是(-2,0), (0, 2)）如（1）若函数f (x ) =x +2(a -1) x +2 x
4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：a ≤-3）) ；（2）已知函数f (x ) =在区间(-∞，
ax +1
在区间x +2
(-2, +∞)上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：(
1
, +∞) ）； 2
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如
求函数f (x ) =单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗? （①比较大小；②解不等式；③求参数范围）. 如已知奇函数f (x ) 是定义在(-2, 2) 上的减函数, 若f (m -1) +f (2m -1) >0，求实数m 的取值范围。（答：-
12
9. 常见的图象变换
①函数y =f (x +a )(a >0) 的图象是把函数y =f (x )的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。如设
f (x ) =2-x , g (x ) 的图像由f (x ) 的图像向左平移1个单位得到，则g (x ) 为__________(答： g (x ) =2
-(x +1)
)
②函数y =f (x +a )((a
f (x +199) =4x 2+4x +3，则函数f (x ) 的最小值为____(答：2) ；（2）要得到y =2(3-x ) 的图像，只需作y =2x 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右) ；
特别提示：上面两种是左右平移，可以间记为“左加右减”
③函数y =f (x )+a (a >0) 的图象是把函数y =f (x )助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；
④函数y =f (x )+a (a
b
+a 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位, 所得图象如果与原图象关于直线y =x 对称, 那么 x +a
(A ) a =-1, b ≠0 (B ) a =-1, b ∈R (C ) a =1, b ≠0 (D ) a =0, b ∈R (答：C) y =
特别提示：上面两种是上下平移，可以间记为“上加下减” 10. 函数的对称性。
①满足条件f (x -a )=f (b -x )的函数的图象关于直线x =
-a +b
对称。如已知二次函数2
1
f (x ) =ax 2+bx (a ≠0) 满足条件f (5-x ) =f (x -3) 且方程f (x ) =x 有等根，则f (x ) ＝_____(答：-x 2+x ) ；
2
②点(x , y ) 关于y 轴的对称点为(-x , y ) ；函数y =f (x )关于y 轴的对称曲线方程为y =f (-x )； ③点(x , y ) 关于x 轴的对称点为(x , -y ) ；函数y =f (x )关于x 轴的对称曲线方程为y =-f (x )； ④点(x , y ) 关于原点的对称点为(-x , -y ) ；函数y =f (x )关于原点的对称曲线方程为y =-f (-x )； ⑤形如y =(c ≠0, ad ≠bc ) 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x =-
cx +d c
(由分母为零确定) 和直线y =(由分子、分母中x 的系数确定) ，对称中心是点(-, ) 。如已知函数图象C '与
c c c
C :y (x +a +1) =ax +a 2+1关于直线y =x 对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）
⑥|f (x ) |的图象先保留f (x ) 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；f (|x |)的图象先保留f (x ) 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则函数F (x ) =f (x ) +f (x ) 的图象关于____对称 （答：y 轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C 1与C 2的对称性，需证两方面：①证明C 1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 2上；②证明C 2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C 1上。
11. 指数式、对数式：
a =a
m n
-m =，a 0=1 m
a 12. 指数的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
13. 函数的应用。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立y =ax +
b
型。 x
14. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
（1）借鉴模型函数进行类比探究。尤其是选择题中，你可以举一个特殊的函数例子满足这个抽象函数去验证就可以啦。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型：f (x ) =kx (k ≠0) ---------------f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) ；
f (x )
； f (y )
f (x ) x
③指数函数型：f (x ) =a ------------f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，f (x -y ) =；
f (y )
（2）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出f (0)或f (1)、令y =x 或y =-x 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x )
+f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x )
②幂函数型：f (x ) =x --------------f (xy ) =f (x ) f (y ) ，f () =
2
x y
+f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）设f (x ) 的定义域为R +，对任意x , y ∈R +，都有x 1
且x >1时，f (x )
y 2（答：(0,1] [4,5)）．