幂函数与根的分布
一．内容精讲
1. 幂函数
2. 函数的零点
3. 方程根的分布
4. 用二分法求方程的近似解
二．例题
1. 画出函数图像 (1)y =x (2)y =x (3)y =x (4)y =x (5)y =x
(6)y =x
(7)y =x -13322
373435423
2--2.(1)求证：二次函数f (x ) =2x +3x -7有两个不同零点
(2)判断函数f (x ) =x -2x -1在区间(2,3)上是否存在零点
2
3. 分别求实数m 的范围，使关于x 得方程x +2x +m +1=0
(1)有两个负根
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小
(3)有两个实根且都比1大
4. 二次函数y =ax +bx +c ，直线y =-bx 且a >b >c , a +b +c =0
(1)求证：二次函数与直线必有两个不同交点A , B
(2)若A , B 两点在x 轴上的射影为A 1和B 1，求线段A 1B 1长度的范围？
5.(1)若x +ax +b 0解集？
(2)若ax +bx +c >0的解集是(α, β) (0
6. x -2x -1=0较大根的近似值
2222222
三．练习
1. 已知f (x ) =1-(x -a )(x -b )(a
小到大的顺序是_________________.
2. 若函数f (x ) =|4x -x |-a 的零点个数为3，则a =____________.
3. 若二次函数y =7x -(k +13) x +k -k -2的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2) 内，则
实数k 的取值范围是_______________.
4. 已知函数f (x ) =a
5. 若二次函数f (x ) =4x -2(p -2) x -2p -p +1在区间[-1,1]内至少存在一点C ，使
得f (x ) >0，则实数p 的取值范围是_______________.
6. 已知函数f (x ) =a +x 222|x -1|-a (a >0且a ≠1) ，则图像必过定点________________. 22x -2(a >1) x +1
(1)判断f (x ) 在(-1, +∞) 上的单调性
(2)证明：方程f (x ) =0没有负数根
) >f (x ) ，求实数x 7.(1)设函数f (x ) =a ⋅2+b ⋅4，其中常数a , b 满足ab
的取值范围；
(2)设函数f (x ) =ln(x +1) ，若0
8. 已知函数f (x ) =log 4(4x +1) -(k -1) x (x ∈R ) 为偶函数.
(1)求常数k 的值；
(2)当x 取何值时，函数f (x ) 的值最小？并求出f (x ) 的最小值;
(3)设g (x ) =log 4(a ⋅2-
像的公共点个数. x x x 4a )(a ≠0) ，试根据实数a 的取值，讨论函数f (x ) 与g (x ) 的图3
幂函数与根的分布
一．内容精讲
1. 幂函数
2. 函数的零点
3. 方程根的分布
4. 用二分法求方程的近似解
二．例题
1. 画出函数图像 (1)y =x (2)y =x (3)y =x (4)y =x (5)y =x
(6)y =x
(7)y =x -13322
373435423
2--2.(1)求证：二次函数f (x ) =2x +3x -7有两个不同零点
(2)判断函数f (x ) =x -2x -1在区间(2,3)上是否存在零点
2
3. 分别求实数m 的范围，使关于x 得方程x +2x +m +1=0
(1)有两个负根
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小
(3)有两个实根且都比1大
4. 二次函数y =ax +bx +c ，直线y =-bx 且a >b >c , a +b +c =0
(1)求证：二次函数与直线必有两个不同交点A , B
(2)若A , B 两点在x 轴上的射影为A 1和B 1，求线段A 1B 1长度的范围？
5.(1)若x +ax +b 0解集？
(2)若ax +bx +c >0的解集是(α, β) (0
6. x -2x -1=0较大根的近似值
2222222
三．练习
1. 已知f (x ) =1-(x -a )(x -b )(a
小到大的顺序是_________________.
2. 若函数f (x ) =|4x -x |-a 的零点个数为3，则a =____________.
3. 若二次函数y =7x -(k +13) x +k -k -2的两个零点分别在区间(0,1)与(1,2) 内，则
实数k 的取值范围是_______________.
4. 已知函数f (x ) =a
5. 若二次函数f (x ) =4x -2(p -2) x -2p -p +1在区间[-1,1]内至少存在一点C ，使
得f (x ) >0，则实数p 的取值范围是_______________.
6. 已知函数f (x ) =a +x 222|x -1|-a (a >0且a ≠1) ，则图像必过定点________________. 22x -2(a >1) x +1
(1)判断f (x ) 在(-1, +∞) 上的单调性
(2)证明：方程f (x ) =0没有负数根
) >f (x ) ，求实数x 7.(1)设函数f (x ) =a ⋅2+b ⋅4，其中常数a , b 满足ab
的取值范围；
(2)设函数f (x ) =ln(x +1) ，若0
8. 已知函数f (x ) =log 4(4x +1) -(k -1) x (x ∈R ) 为偶函数.
(1)求常数k 的值；
(2)当x 取何值时，函数f (x ) 的值最小？并求出f (x ) 的最小值;
(3)设g (x ) =log 4(a ⋅2-
像的公共点个数. x x x 4a )(a ≠0) ，试根据实数a 的取值，讨论函数f (x ) 与g (x ) 的图3