２０１４年６月高等教育
雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用
赵微
（山东科技大学山东青岛２６６５９０）
摘要：为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化，本文首先利用雅克比行列式，应用变量变换定理给出了二维随机变量函数概率密
度的计算公式。但变量变换定理要求反函数存在且唯一，为克服这一缺陷，文中给出了两种方法对变量变换定理进行改进。
关键词：二维随机变量函数概率密度雅克比行列式变量变换定理一、分布函数法
用分布函数法求随机变量是概率论的重要内容之一。通常情况下求一维随机变量的函数的概率密度有分布函数法和公式法。但对于二维随机变量，一般思路是先按定义求分布函数，然后再对分布函数求导，从而得到概率密度。
设（Ｘ＿Ｙ）为二维连续型随机变量，密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ），函数ｇ（ｘ，ｙ）是
推论２的证明过程与推论ｌ的证明过程相类似，因此此处不再做推论２的证明。
下面用变量变换定理来推导二维随机变量和的分布。
例ｌ（和的公式Ｊ设与相互独立，其密度函数分别为Ｐ。（ｘ）和ｐ，（∥），求ｕ＝；＋７７的密度函数
，
推论２（ｘ，Ｙ）为二维连续．ｆ生随机变量，其密度函数为ｆ（ｘ．Ｙ），Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）是二维连续性随机变量（Ｘ，Ｙ）的函数，若Ｘ＝Ｘ（Ｘ，ｚ），则Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布函
数为乒眇（彤，巩ｙ）剧国，
一个连续函数，ｚ是随机变量，有ｚ＝ｇ（ｘ．Ｙ）。一般地，若无特殊说明，总认
为ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）在点（ｘ，ｙＪ处连续可微，且ｚ关于ｘ和Ｙ的偏导数均不为０。则从分布函数的定义出发进行计算，先求出分布函数
ｔｒＺ）２Ｐ（Ｚ
ｓ＝）２Ｐ｛ｇ（ｘ，ｙ）≤＝｝＿ＪＪｆ（ｘ，∥）出砂
解己：，则“：ｖ二Ｖ
对分布函数求导，可得到ｚ的密度函数ｆｚ（ｚ）＿Ｆ：Ｌｚ）。
由于在计算过程中要在ＸＯＹ平面上确定区域Ｄ＝｛（：ｗＪＩｆ（ｘ—ｏＨ与区域Ｄ‘＝妣∽Ｉｇ沁力≤ｚ｝的公共部分，且计算二重积分要根据曲线ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）与Ｄ的相对位置，分多种情况讨论后，最后求导。因此，在理论上，对二维连续型随机变量（；，叩），虽然可以用分布函数法求得Ｕ＝ｇ（；．Ｊ１）的密度函数，但该方法计算量大，并且当Ｕ是分段函数时，计算过程较为繁琐。
，＝ｋ７１＝１，所以（ｕ，ｖＪ的联合密度函数为
ｐ（ｕ，’’）２Ｐ｝（“一Ｖ）岛（Ｖ）ｌ，１２ｐ｛（“一ｖ）ｐ＿（Ｖ）
的反函数为｛。ｉ：：”，雅克比行列式为
１７一ｖ
对ｐ（ｕ，ｖ）关于ｖ积分，就可得Ｕ＝；＋叩的密度函数公式，即卷积公式。从例题中可以看出，相比于分布函数法，利用雅克比行列式，通过变量变换定理来推导卷积公式，简化了计算步骤．而且思路清晰。
应用变量变换定理，不仅可以求出随机变量的联合密度函数，而且还可以推导出随机变量的边际密度函数，下面给出推论３来说明。
推论３设（Ｘ＿Ｙ）为二维随机变量的概率密度为ｆ（ｘ．Ｙ），若函数ｕ＝ｇ（ｘ．Ｙ），ｖ＝妒（ｘ，ｙ）满足下列条件：
（ｉ）存在唯一反函数Ｘ＝Ｘ（Ｕ．ｖ），ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ）；（ｉｉ）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式
，ｋｖ、：！！！：型ｔ
０
二、变量变换法
为解决分布函数法计算复杂的问题，下面利用雅克比行列式，通过积分变换给出二维随机变量函数的概率密度的新计算公式。
定理ｌ设（Ｘ＿Ｙ）为二维随机变量的概率密度为ｆ（ｘ，ｙ），若函数ｕ＝ｇ（ｘ，ｙ），ｖ＝妒（ｘ，∥）满足下列条件：
（ｉ）存在唯一的反函数ｘ＝ｘ（甜，＿ｌ，），Ｙ２ｙ（ｕ，Ｖ）；
（ｉｉ）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式不为零，即：
，ｋ，，、：堕兰型≠０
则随机变量Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）和ｐ７ｅ（ｘ，ｒ）的联合概率密度为：
则随机变量Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的概率密度为
兀（“）＝Ｉ。ｆ（ｘ（ｎ，Ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））ｌＪＦ，
下面给出相应的例题，应用推论３求边际密度函数，通过判断密度函数变量可分离，从而证明两个随机变量相互独立。
工ｗ１（¨，）＝ｆ（ｘ（ｕ，Ｖ），ｙ（ｕ∥））ｌ，ｌ
在定理ｌ的基础上进行条件的改进，可以得到如下推论。
推论ｌ（Ｘ，Ｙ）为二维连续．Ｉ生随机变量，其密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ），Ｚ＝ｇ（ｘ，Ｙ）是二维连续．Ｉ生随机变量的函数，若ｙ＝ｙ（ｘ，Ｚ），则ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）的分布函数为
例２随机变量善，７７相互独立，且手～Ｇａ（ｃｚ。．兄），７７～Ｇａ（ｏｒ，，兄）试证Ｕ＝；＋叩，Ｖ＝手／叩相互独立。，
萨ｅｍ以砌矧出
证明当ｙｔ（一，＋ｃ。）时，ｏ．ｚ，０，则函数；ｇ（ｉ，ｙ）关于变量Ｙ严格单调递
证明Ｊ“２”∥、的反．函数为｛ｘｉ●７雅克比行列式ｊ＿一。，所以【ｖ二ｘ／（ｘ＋∥）ｙ＝甜（１—１７）
”
Ｒｖ（“，Ｖ）＝Ｐ÷（ｕｖ）ｐ。（Ⅳ（１ｗ））卜“ｌ
增，它的反函数ｙ＝ｙ（ｘ．ｚ）和。字一定存在，且罢，ｏ，于是雅克比行列式“
，：量詈ｌ：Ｉ，妻：堂
嚣剖０割出
砂’
：Ｊ嵩（ＩＣｙ）＆１ｍｙ高ｍ计２。１ｅｍｎ＿”恤Ｉ，憾ｉ：。
１ｅ
（Ｘ，ｚ）的联合分布为Ｆｋ＝）＝ＪＤ口≤ｘ，ｚ（ｘ，Ｆ）≤：｝＝ＪＤ扛！ｔＦ
５
ｙ（¨）｝
：Ｊ高丢ｌｅ
Ｉ“１
１（１
ｖ）＝，１］，删Ｄ删
＝［密￡“弛，，）妙＝肛Ｅ，ｋｙ（ｍ））罢出
由此可知（ｘ，ｚ）的联合概率密度为，ｋ“ｍ撒坐。所以
止㈣２
？？
ｆ。？？０、】，
Ｏｚ
Ｊ。，协∥忆５”言出
因为ｕ，ｖ的密度函数变量可分离，故ｕ，ｖ相互独立．我们知道
当Ｙ∈（。。，＋。。）时，鱼，０，贝０
Ｆｒｘ，扪：Ｐ｛ｚ≤ｘ，ｚ＆，ｎ≤：｛：Ｐ∞≤ｘ，Ｉ，≥ｖｒｘ，曲｛
ｕ～渤（口，＋％却即Ｕ有密度函数：，舡，：』亍ｉｉ％“”＂１ｅｍ一。
０
“≤０
＝胁歧：，ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝胁￡ｍ∥（那））（孑出
综上可知，当ｚ为ｙ的严格单调函数且兰处处存在时，有
因为Ｐ。Ｊ（ｕ，Ｖ）＝Ｐ。（“）办（１，），可知Ｖ的密度函数为！垫二型ｖ”ｒ１ｖ、¨．０＜ｖ＜１ｐ，（ｖ）＝｛ｒ（ｃｑ）ｒ（ｃｒ。）
、
脾）＝Ｄ（州删ｌ剖出
０
，ｅｌｓｅ
新放自涂ｊ圈
万方数据
高等教育
即Ｖ服从参数为ａｌ，ａ２的分布。
上述三个推论给出的公式，简化了求解二维随机变量函数的概率密度的过程，而且同一问题可以用不同的变换方法求解。利用这些公式通过求广义定积分即可完成对概率密度的计算求解，较分布函数法降低了积分重数，简化了计算的步骤，提高了计算效率。
三、变量变换定理的改进及推广
本文中的定理ｌ（变量变换定理）是人们研究二维随机变量变换的方法之一。这个方法虽然能适用于一些变量变换的情形，但变量变换法仍然存在一定的缺陷，即变量变化法要求反函数存在且惟一，这个条件过强。我们有时候会遇到反函数是多值函数的情形。这个时候，定理ｌ将不再适用。
为了克服变量变换法要求存在唯一反函数的不足，下面我们给出两种方法对变量变换定理进行改进。
３．１区域划分法
）为二维连续．ｆ生随机变量，其密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ），若函
一反
数耶定＂：－＝２扛扛设力力
伍的
函数｛ｉ２鬻：：：存在但不唯一，记为Ｊ。ｚ理毋＆。
函数ｉ∥：∥蠢０存在但不唯一，记为１ｉ：≥；：：：ｊ＝Ｌ
２。譬＿｛：ｌ，将区域Ｄ分成若干个互不重叠的区域Ｄ，使得在各区域ｄ。上反函数
｛ｉ！：芝：存在且唯一，将推论ｌ中相应的反函数记为｛Ｘ＝Ｕ，则Ｅ＝ｊ泛帕存在且唯一，将推论１中相应的反函数记为｛ｖ：ｖ阢：ｊ则Ｚ＝ｇ（ｘ，Ｙ）的分布密度为：
。
…７
正（耻∑』ｍ洲础））俐如
类似的，也可得出ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布密度为：
掷）＝∑』ｍ（胁∥）ｌ剥方
证明若Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量Ｙ在区间』，（ｉ＝１，２，…，ｍ）上为严格单调函数，则随机变量（ｘ，ｚ）的联合分布为
Ｆ（ｘ，ｚ）＝Ｐ０ｒ≤ｘ，ｚ≤ｚ｝
叶ｏｉ＝１∽立，ｇ∽，眺秽引；）｝
Ｌ
Ｊ
∑ｎＰ口≤ｘ，ｇ∽，Ｆ）≤ｚ，Ｆ引；｝
喜ｃ出ｃ似拈，砌倒龙
ｃ出ｅ融啡，砌悱
所以（Ｘ，ｚ）得联合密度函数为
正（Ｚ）＿∑』似，∥舢，砌吲出
同理可证当Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量ｘ在区间，，“
ｉ雹鬻飘，砌阱
严格单调函数时，ｚ（ｚ）＝莩』，（ｔ（炉¨）｜弹
囤１、吒自时代
万方数据
２０１４年６月
下面给出相应的例子，对定理２区域划分法进行应用。例如，设Ｚ＝Ｘ２＋ｙ２，则Ｚ的分布密度
Ｚ（ｚ）＿ｚｆｏ／（ｔ姒ｔ力’磊圭尹
其中
＾（ｘ，＝）＝玛（ｘ，＝）＝√＝ｘ２，ｈ３（ｘ，ｚ）＝ｈ４（ｘ，ｚ）…４ｚ
ｘ２，
Ｄ１＝耻㈣删，五。删｝，Ｄ２＝Ｄ４＝ｋｚ）ｚ＞０，０＜ｘ＜正｝
由上可知，通过将区域Ｄ分成若干个互不重叠的区域Ｄ。，使各区域ｄ１
上反函数存在且唯一，通过对若干个小区间的积分求和，可得达到求解概
率密度的目的。因此，区域划分法是可行的
３．２利用多值函数的一支进行变量变换
定理３设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ），其非零区域
为Ｄｘｖ，如果函数阻：ｇ（ｘ，ｙ）
Ｉ
ｖ＝矗（ｘ，ｙ）（１’
存在连续偏导数，且有一个反函数
Ｊ”。，’”？（２）
设（２）式确定的ｐ（ｘ，ｙ）的非零区域为ｄ。［Ｄ。；（１）式所确定的映
…
ｄ。＿÷Ｄ。，Ｄ。。为平面的子集；（２）式确定的变换的雅克比行列式
ｌａｘ
ａｘｌ
扛筹＝匿习加
ａ（“，ｖ）ｌ＿呈！尘ｌ
右
。
伽ａＶｌ
ｆＵ＝ｇ（Ｘ，Ｆ）【旷＝ｈ（ｘ，Ｆ）
Ｎ（ｕ，ｖ）的联合密度函数为，向，们：！笔孚：兰：！竺：型爿
ＩＩｐ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ
嚣
证明由二重积分的变量变换法
ＪＪｐ（ｘ，ｙ）出砂＝ＪＪｐ＠（“，Ｖ），ｙ（ｕ，Ｖ））ｌ，胁西
（３）
注意到ｄ一［Ｄｘ。，故
０＜ＩＩｐ（ｘ，∥）出砂≤１
叭３减曼瑞卷挚…
设％砌，旷铎岩掣
￡
，，
注意到ＰｖＸ（ｕ，ｖ）≥０，又因为ＪＪ
Ｐｖ，ｖ－（“，ｖ）ｄｕｄｖ
２
１，符合概率密度函数的条
件，则Ｐ。就是（ｕ，Ｖ）的联合密度卤数。
因此利用多值函数的一支，利用雅克比行列式，也可以达到求解概率密度的目的。
参考文献：
［１］茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计［Ｍ］２版北京：高等教育出版社．２０１２
［２］李思齐，李昌兴，柳晓燕二维连续型随机变量函数的分布密度的计算［Ｊ］大学数学，２０１１，２７（５）：１６２
１６６
［３１宁荣健，概率论中有关计算公式的改进Ⅱ］大学数学，２００４，２０（５）［４］刘小云非卜１对应时连续型随机变量函数的概率密度Ｕ］西安科技大学学报，２００８２８（３）：５８４
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雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用
赵微
（山东科技大学山东青岛２６６５９０）
摘要：为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化，本文首先利用雅克比行列式，应用变量变换定理给出了二维随机变量函数概率密
度的计算公式。但变量变换定理要求反函数存在且唯一，为克服这一缺陷，文中给出了两种方法对变量变换定理进行改进。
关键词：二维随机变量函数概率密度雅克比行列式变量变换定理一、分布函数法
用分布函数法求随机变量是概率论的重要内容之一。通常情况下求一维随机变量的函数的概率密度有分布函数法和公式法。但对于二维随机变量，一般思路是先按定义求分布函数，然后再对分布函数求导，从而得到概率密度。
设（Ｘ＿Ｙ）为二维连续型随机变量，密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ），函数ｇ（ｘ，ｙ）是
推论２的证明过程与推论ｌ的证明过程相类似，因此此处不再做推论２的证明。
下面用变量变换定理来推导二维随机变量和的分布。
例ｌ（和的公式Ｊ设与相互独立，其密度函数分别为Ｐ。（ｘ）和ｐ，（∥），求ｕ＝；＋７７的密度函数
，
推论２（ｘ，Ｙ）为二维连续．ｆ生随机变量，其密度函数为ｆ（ｘ．Ｙ），Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）是二维连续性随机变量（Ｘ，Ｙ）的函数，若Ｘ＝Ｘ（Ｘ，ｚ），则Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布函
数为乒眇（彤，巩ｙ）剧国，
一个连续函数，ｚ是随机变量，有ｚ＝ｇ（ｘ．Ｙ）。一般地，若无特殊说明，总认
为ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）在点（ｘ，ｙＪ处连续可微，且ｚ关于ｘ和Ｙ的偏导数均不为０。则从分布函数的定义出发进行计算，先求出分布函数
ｔｒＺ）２Ｐ（Ｚ
ｓ＝）２Ｐ｛ｇ（ｘ，ｙ）≤＝｝＿ＪＪｆ（ｘ，∥）出砂
解己：，则“：ｖ二Ｖ
对分布函数求导，可得到ｚ的密度函数ｆｚ（ｚ）＿Ｆ：Ｌｚ）。
由于在计算过程中要在ＸＯＹ平面上确定区域Ｄ＝｛（：ｗＪＩｆ（ｘ—ｏＨ与区域Ｄ‘＝妣∽Ｉｇ沁力≤ｚ｝的公共部分，且计算二重积分要根据曲线ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）与Ｄ的相对位置，分多种情况讨论后，最后求导。因此，在理论上，对二维连续型随机变量（；，叩），虽然可以用分布函数法求得Ｕ＝ｇ（；．Ｊ１）的密度函数，但该方法计算量大，并且当Ｕ是分段函数时，计算过程较为繁琐。
，＝ｋ７１＝１，所以（ｕ，ｖＪ的联合密度函数为
ｐ（ｕ，’’）２Ｐ｝（“一Ｖ）岛（Ｖ）ｌ，１２ｐ｛（“一ｖ）ｐ＿（Ｖ）
的反函数为｛。ｉ：：”，雅克比行列式为
１７一ｖ
对ｐ（ｕ，ｖ）关于ｖ积分，就可得Ｕ＝；＋叩的密度函数公式，即卷积公式。从例题中可以看出，相比于分布函数法，利用雅克比行列式，通过变量变换定理来推导卷积公式，简化了计算步骤．而且思路清晰。
应用变量变换定理，不仅可以求出随机变量的联合密度函数，而且还可以推导出随机变量的边际密度函数，下面给出推论３来说明。
推论３设（Ｘ＿Ｙ）为二维随机变量的概率密度为ｆ（ｘ．Ｙ），若函数ｕ＝ｇ（ｘ．Ｙ），ｖ＝妒（ｘ，ｙ）满足下列条件：
（ｉ）存在唯一反函数Ｘ＝Ｘ（Ｕ．ｖ），ｙ＝ｙ（ｕ，ｖ）；（ｉｉ）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式
，ｋｖ、：！！！：型ｔ
０
二、变量变换法
为解决分布函数法计算复杂的问题，下面利用雅克比行列式，通过积分变换给出二维随机变量函数的概率密度的新计算公式。
定理ｌ设（Ｘ＿Ｙ）为二维随机变量的概率密度为ｆ（ｘ，ｙ），若函数ｕ＝ｇ（ｘ，ｙ），ｖ＝妒（ｘ，∥）满足下列条件：
（ｉ）存在唯一的反函数ｘ＝ｘ（甜，＿ｌ，），Ｙ２ｙ（ｕ，Ｖ）；
（ｉｉ）具有一阶连续的偏导数，且雅克比行列式不为零，即：
，ｋ，，、：堕兰型≠０
则随机变量Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）和ｐ７ｅ（ｘ，ｒ）的联合概率密度为：
则随机变量Ｕ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的概率密度为
兀（“）＝Ｉ。ｆ（ｘ（ｎ，Ｖ），ｙ（ｕ，ｖ））ｌＪＦ，
下面给出相应的例题，应用推论３求边际密度函数，通过判断密度函数变量可分离，从而证明两个随机变量相互独立。
工ｗ１（¨，）＝ｆ（ｘ（ｕ，Ｖ），ｙ（ｕ∥））ｌ，ｌ
在定理ｌ的基础上进行条件的改进，可以得到如下推论。
推论ｌ（Ｘ，Ｙ）为二维连续．Ｉ生随机变量，其密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ），Ｚ＝ｇ（ｘ，Ｙ）是二维连续．Ｉ生随机变量的函数，若ｙ＝ｙ（ｘ，Ｚ），则ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）的分布函数为
例２随机变量善，７７相互独立，且手～Ｇａ（ｃｚ。．兄），７７～Ｇａ（ｏｒ，，兄）试证Ｕ＝；＋叩，Ｖ＝手／叩相互独立。，
萨ｅｍ以砌矧出
证明当ｙｔ（一，＋ｃ。）时，ｏ．ｚ，０，则函数；ｇ（ｉ，ｙ）关于变量Ｙ严格单调递
证明Ｊ“２”∥、的反．函数为｛ｘｉ●７雅克比行列式ｊ＿一。，所以【ｖ二ｘ／（ｘ＋∥）ｙ＝甜（１—１７）
”
Ｒｖ（“，Ｖ）＝Ｐ÷（ｕｖ）ｐ。（Ⅳ（１ｗ））卜“ｌ
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，：量詈ｌ：Ｉ，妻：堂
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砂’
：Ｊ嵩（ＩＣｙ）＆１ｍｙ高ｍ计２。１ｅｍｎ＿”恤Ｉ，憾ｉ：。
１ｅ
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５
ｙ（¨）｝
：Ｊ高丢ｌｅ
Ｉ“１
１（１
ｖ）＝，１］，删Ｄ删
＝［密￡“弛，，）妙＝肛Ｅ，ｋｙ（ｍ））罢出
由此可知（ｘ，ｚ）的联合概率密度为，ｋ“ｍ撒坐。所以
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Ｊ。，协∥忆５”言出
因为ｕ，ｖ的密度函数变量可分离，故ｕ，ｖ相互独立．我们知道
当Ｙ∈（。。，＋。。）时，鱼，０，贝０
Ｆｒｘ，扪：Ｐ｛ｚ≤ｘ，ｚ＆，ｎ≤：｛：Ｐ∞≤ｘ，Ｉ，≥ｖｒｘ，曲｛
ｕ～渤（口，＋％却即Ｕ有密度函数：，舡，：』亍ｉｉ％“”＂１ｅｍ一。
０
“≤０
＝胁歧：，ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝胁￡ｍ∥（那））（孑出
综上可知，当ｚ为ｙ的严格单调函数且兰处处存在时，有
因为Ｐ。Ｊ（ｕ，Ｖ）＝Ｐ。（“）办（１，），可知Ｖ的密度函数为！垫二型ｖ”ｒ１ｖ、¨．０＜ｖ＜１ｐ，（ｖ）＝｛ｒ（ｃｑ）ｒ（ｃｒ。）
、
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０
，ｅｌｓｅ
新放自涂ｊ圈
万方数据
高等教育
即Ｖ服从参数为ａｌ，ａ２的分布。
上述三个推论给出的公式，简化了求解二维随机变量函数的概率密度的过程，而且同一问题可以用不同的变换方法求解。利用这些公式通过求广义定积分即可完成对概率密度的计算求解，较分布函数法降低了积分重数，简化了计算的步骤，提高了计算效率。
三、变量变换定理的改进及推广
本文中的定理ｌ（变量变换定理）是人们研究二维随机变量变换的方法之一。这个方法虽然能适用于一些变量变换的情形，但变量变换法仍然存在一定的缺陷，即变量变化法要求反函数存在且惟一，这个条件过强。我们有时候会遇到反函数是多值函数的情形。这个时候，定理ｌ将不再适用。
为了克服变量变换法要求存在唯一反函数的不足，下面我们给出两种方法对变量变换定理进行改进。
３．１区域划分法
）为二维连续．ｆ生随机变量，其密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ），若函
一反
数耶定＂：－＝２扛扛设力力
伍的
函数｛ｉ２鬻：：：存在但不唯一，记为Ｊ。ｚ理毋＆。
函数ｉ∥：∥蠢０存在但不唯一，记为１ｉ：≥；：：：ｊ＝Ｌ
２。譬＿｛：ｌ，将区域Ｄ分成若干个互不重叠的区域Ｄ，使得在各区域ｄ。上反函数
｛ｉ！：芝：存在且唯一，将推论ｌ中相应的反函数记为｛Ｘ＝Ｕ，则Ｅ＝ｊ泛帕存在且唯一，将推论１中相应的反函数记为｛ｖ：ｖ阢：ｊ则Ｚ＝ｇ（ｘ，Ｙ）的分布密度为：
。
…７
正（耻∑』ｍ洲础））俐如
类似的，也可得出ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的分布密度为：
掷）＝∑』ｍ（胁∥）ｌ剥方
证明若Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量Ｙ在区间』，（ｉ＝１，２，…，ｍ）上为严格单调函数，则随机变量（ｘ，ｚ）的联合分布为
Ｆ（ｘ，ｚ）＝Ｐ０ｒ≤ｘ，ｚ≤ｚ｝
叶ｏｉ＝１∽立，ｇ∽，眺秽引；）｝
Ｌ
Ｊ
∑ｎＰ口≤ｘ，ｇ∽，Ｆ）≤ｚ，Ｆ引；｝
喜ｃ出ｃ似拈，砌倒龙
ｃ出ｅ融啡，砌悱
所以（Ｘ，ｚ）得联合密度函数为
正（Ｚ）＿∑』似，∥舢，砌吲出
同理可证当Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量ｘ在区间，，“
ｉ雹鬻飘，砌阱
严格单调函数时，ｚ（ｚ）＝莩』，（ｔ（炉¨）｜弹
囤１、吒自时代
万方数据
２０１４年６月
下面给出相应的例子，对定理２区域划分法进行应用。例如，设Ｚ＝Ｘ２＋ｙ２，则Ｚ的分布密度
Ｚ（ｚ）＿ｚｆｏ／（ｔ姒ｔ力’磊圭尹
其中
＾（ｘ，＝）＝玛（ｘ，＝）＝√＝ｘ２，ｈ３（ｘ，ｚ）＝ｈ４（ｘ，ｚ）…４ｚ
ｘ２，
Ｄ１＝耻㈣删，五。删｝，Ｄ２＝Ｄ４＝ｋｚ）ｚ＞０，０＜ｘ＜正｝
由上可知，通过将区域Ｄ分成若干个互不重叠的区域Ｄ。，使各区域ｄ１
上反函数存在且唯一，通过对若干个小区间的积分求和，可得达到求解概
率密度的目的。因此，区域划分法是可行的
３．２利用多值函数的一支进行变量变换
定理３设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ），其非零区域
为Ｄｘｖ，如果函数阻：ｇ（ｘ，ｙ）
Ｉ
ｖ＝矗（ｘ，ｙ）（１’
存在连续偏导数，且有一个反函数
Ｊ”。，’”？（２）
设（２）式确定的ｐ（ｘ，ｙ）的非零区域为ｄ。［Ｄ。；（１）式所确定的映
…
ｄ。＿÷Ｄ。，Ｄ。。为平面的子集；（２）式确定的变换的雅克比行列式
ｌａｘ
ａｘｌ
扛筹＝匿习加
ａ（“，ｖ）ｌ＿呈！尘ｌ
右
。
伽ａＶｌ
ｆＵ＝ｇ（Ｘ，Ｆ）【旷＝ｈ（ｘ，Ｆ）
Ｎ（ｕ，ｖ）的联合密度函数为，向，们：！笔孚：兰：！竺：型爿
ＩＩｐ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ
嚣
证明由二重积分的变量变换法
ＪＪｐ（ｘ，ｙ）出砂＝ＪＪｐ＠（“，Ｖ），ｙ（ｕ，Ｖ））ｌ，胁西
（３）
注意到ｄ一［Ｄｘ。，故
０＜ＩＩｐ（ｘ，∥）出砂≤１
叭３减曼瑞卷挚…
设％砌，旷铎岩掣
￡
，，
注意到ＰｖＸ（ｕ，ｖ）≥０，又因为ＪＪ
Ｐｖ，ｖ－（“，ｖ）ｄｕｄｖ
２
１，符合概率密度函数的条
件，则Ｐ。就是（ｕ，Ｖ）的联合密度卤数。
因此利用多值函数的一支，利用雅克比行列式，也可以达到求解概率密度的目的。
参考文献：
［１］茆诗松，程依明，濮晓龙概率论与数理统计［Ｍ］２版北京：高等教育出版社．２０１２
［２］李思齐，李昌兴，柳晓燕二维连续型随机变量函数的分布密度的计算［Ｊ］大学数学，２０１１，２７（５）：１６２
１６６
［３１宁荣健，概率论中有关计算公式的改进Ⅱ］大学数学，２００４，２０（５）［４］刘小云非卜１对应时连续型随机变量函数的概率密度Ｕ］西安科技大学学报，２００８２８（３）：５８４
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