２００６年８月
第１５卷第３期中央民族大学学报（自然科学版）ＪｏｕｍａｌｏｆｔｈｅｃｕＮ（Ｎ８ｔｕｒａｌｓｃｉｅｎｃｅｓＥｄｉｔｉｏｎ）Ａｕｇ．２００６Ｖ０１．１５Ｎｏ．３
关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
刘淼
（伊犁师范学院数学系，新疆伊宁８３５０００）
摘要：本文通过对概率论中有关公式的探讨，给出了二维随机变量函数的密度函数的新的计算公式，为其
计算提供了新的办法．
关键词：二维随机变量；连续型随机变量；密度函数
文献标识码：Ａ文章编号：１００５＿８０３６１２００６）０３．０２４６．０２中图分类号：０２１ｌ
设（ｘ，ｙ）为二维连续型随机变量，其密度函数为，（石，，，），ｕ＝ｇ（算，ｙ）为（ｘ，ｙ）的函数，求ｕ的密度函数厶（Ｍ）．通常我们采用分布函数法，先求出Ｕ的分布函数凡（Ｍ）＝Ｐ（ｕ≤ｕ）＝Ｐ（ｇ（ｘ，ｌ，）≤“）＝Ⅱ、厂（ｚ，ｙ）ｄ戈ｄｙ，然后再对，。（“）求导，即得ｕ的密度函数兀（ｕ）＝Ｆ０（“）…．但该方法计算量大，过程较为繁琐，并且经常对变量ｕ需要进行分段讨论才可求出Ｆ，，（“），求解时要求思路清晰、概念清楚、计算准确，否则最后很难得到正确的结果．
下面我们针对上述算法，结合实际教学给出另外一种比较简单、方便的算法．
首先假设ｇ（省，），）的偏导数ｇ：（菇，，，），ｇ；（髫，，，）存在，且ｇｊ（戈，，，）≠ｏ．作二元变换ｆ乡２：‘Ｅ¨，且黼＝旧小“＝专一古以＝古＇从而得到（Ⅲ）的联合概率密度函数川小，（移，＾（“，矽））・Ｉ｜Ｉｌ乞Ｉ，所以（ｕ，矿）关于ｕ的边缘密度为＾（ｕ）＝』：：＾，（“，”）ｄｔ，＝』：：，（戈，＾（ｕ，茹））ｌ＾乞Ｉｄ髫¨１，也就是Ｕ＝ｇ（茁，，，）的密度函数．综上所述即得：
定理ｌ设（Ｘ，ｙ）为＝维连续性随机变量，其密度函数为，（石，ｙ）．设ｕ＝ｇ（髫，，，），令ｙ＝＾（Ｕ，Ｘ），由于该变换的Ｊ∞ｏｂｉ行列式为．，＝夏詈碧＝ｌ簟髻｜＝一ｇ：≠。，所以其存在逆变换｛；三聂ｕ，ｙ），并ａＬ菇＇），，ｌ】０。７Ｌｙ＝＾（Ｕ．ｙ）且９７，（菇，ｙ）≠Ｏ，则ｕ＝ｇ（菇，，，）的密度函数为：
／０（ｕ）一＝Ｉ，（菇，＾（“，菇））・Ｉ＾乞ｌｄ菇
例１设连续型随机变量（ｘ，ｙ）的密度函数为，（菇，，，），求Ｕ＝２ｘ一４ｙ的密度函数＾（ｕ）ｂ１
解由ｕ＝２ｘ一４ｙ得ｙ＝＾（ｕ，ｘ）＝去一寺￡，，＾乞＝一寺，由上述定理有：
＾（“）＝一寺ｊ．。厂（算，壶一寺ｕ）ｄ茁
例２设二维随机变量（ｘ，ｙ）分别表示某矩形的两边长，且在矩形域Ｇ＝｛（算，’，）１０ｓ茹ｓ２，０≤髫ｓｌ｝服从均匀分布，试求矩形面积Ｓ的密度函数¨］．
收稿日期：２００６．０３．２０作者简介：刘淼（１９７６一），男（汉族），新疆伊犁师范学院数学系讲师，山东郓城人，新疆大学在读硕士研究生
第３期刘淼：关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
解由于二维随机变量（ｘ，ｙ）服从均匀分布，则其密度函数为』吉（菇，），）∈Ｇ
Ｌ０其他
由ｓ＝ｘｙ得ｌ，＝＾（ｓ，ｘ）＝睾，＾：＝去，所以有
舶¨ｍ曲叫挣≯手。淼２
与定理１平行的可写出下述定理：
定理２设（ｘ，ｙ）为二维连续型随机变量，其密度函数为，（石，ｙ）．设ｕ＝ｇ（菇，），），令ｘ＝ｐ（ｕ，ｙ），且ｇ：（菇，ｙ）≠０，则Ｕ＝ｇ（戈，ｙ）的密度函数为：
／０（ｕ）＝Ｉ，（ｐ（“，，，），ｙ）・ｌｐ乞Ｉｄｙ．
例３设连续型随机变量（石，ｌ，）的密度函数为八石，，，），求∥＝ｘｙ的密度函数＾（Ｍ）Ｂ３
ｒｒ１
解ｕ＝ｘｌ，，ｘ＝ｐ（￡，，ｙ）＝号，ｐ乞＝专，由定理２得
，（詈，，，）・ｌ÷ｌ胁）＝Ｄ（手∽・…虮＾（Ｍ）＝Ｉｄ，，．
Ｊ一∞ＪＪ
推论当随机变量ｘ与ｌ，相互独立时，定理１与定理２的结果相应分别变为
＾（ｕ）＝ｌ
＾（如）＝Ｉ
参考文献：＾（并）・＾（危（ｕ，茹））・Ｉ＾，ｕ＾（ｐ（“，ｙ））・，ｙ（ｙ）・Ｉｐ乞ｌｄ髫，ｄｙ．
［１］魏宗舒．概率论与数垣统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．
ＴｈｅＳｕｐｐｌ哪蛐ｔｔｏＣａｃｌｌｌａｔｉ仰ｏｆ
ＬＩＵＭｉａｏｔｈｅＰｒｏｂａｂｍｔｙＤｅｎｓｉｔｙ’ｓＦｕｎｃｔｉｏｎｉｎＴｗｏＲａｎｄ伽Ｖａｒｉａｂｌｅｓ
（却。疗ｍ眦矿胍硝＾∞Ⅲ妇，硝ｉⅣ０ｍ矧ｃｏｌ妇ｅ，ｙｆ岫辔８３５０００，∞ｆＭ）
Ａｂｓｔ阳ｃｔ：Ｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇｓｏｍｅｆｏｎ肌ｌａｓｉｎｔｈｅｏｒｙｏｆｐｍｂ８ｂｉｌｉｔｙ，ｗｅｇｉｖｅｔｈｅ
ｆｈｎｃｔｉｏｎｉｎｔｗｏｍｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｗｏｎｅｗｆｏ珊ｕｌａｆｏｒｄｅｎｓｉｔｙ’ｓｍｄｏｍｖａＩｉａｂｌｅ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｙｐｅｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ；ｄｅｎ８ｉｔｙ’ｓｆｕｎｃｔｉｏｎ［责任编辑：杨玉］
关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：刘淼， LIU Miao伊犁师范学院,数学系,新疆,伊宁,835000中央民族大学学报（自然科学版）JOURNAL OF THE CENTRAL UNIVERSITY FOR NATIONALITIES (NATURAL SCIENCES EDITION)2006，15(3)1次
参考文献(5条)
1. 魏宗舒 概率论与数理统计 2003
2. 王梓坤 概率基础及其应用 1997
3. 赵选民. 师义民 概率论与数理统计典型题分析 1998
4. 盛骤. 谢式千. 潘承毅 概率论与数理统计 2003
5. R A FISHER Theory of Satistical Estimation 1925
相似文献(5条)
1.期刊论文 徐美进. 王贺元. 杨文杰. XU Mei-jin. WANG He-yuan. YANG Wen-jie 关于二维随机变量函数的概率密度的一种简便算法 -辽宁工学院学报2005,25(3)
对概率论中关于二维随机变量函数的概率密度的算法进行了研究,给出一个简便的算法,由此算法可方便的求出二维随机变量函数的概率密度.
2.期刊论文 冯强. 王荣波. FENG Qiang. WANG Rong-bo 关于二维连续型随机变量和的分布的讨论 -贵州大学学报（自然科学版）2008,25(2)
该文主要利用二元函数的含参量积分,给出二维随机变量和的分布的几种求法.
3.期刊论文 宁荣健 概率论中有关计算公式的改进 -大学数学2004,20(5)
通过对概率论中有关公式的研究,给出了全条件概率公式和二维随机变量函数的密度函数的简化计算公式,为其计算提供了新的方法.
4.期刊论文 封希媛 二维随机变量和乘函数分布的图形计算法 -青海大学学报(自然科学版)2006,24(3) 介绍了借助图形计算二维连续型随机变量(x,)的函数z=x+y和z=x·y的分布函数的方法.
5.学位论文 李文汉 信源的二元函数及Laplace变换的偏差定理与信息论中交互信息的研究 2004
强偏差定理是借助于似然比而引进的一种量度,进而建立一种新型的定理.刘文教授在解决大数定律中,用首创的分析方法得到一类随机变量序列的强偏差定理[1].后来,刘文教授把分析方法用于信息论中Shannon-McMillan定理[2]-[8]和连续型随机变量的偏差定理[10]-[11]的研究,得到了若干强偏差定理.本文的第二章是引进任意信源相对熵密度偏差的概念,并利用这个概念研究任意信源二元函数的一类强偏差定理,得到了马氏信源Shannon-
McMillan定理的一个推广.文章的第三章是应用Laplace变换这个工具研究了一类连续性随机变量的强偏差定理.信息理论作为应用概率论的一个分支,应用日益重要.Toru Tsujishita在信息理论的研究中,给出了三元交互信息的一些结论.本文的第四章是在这个基础上研究的二维随机变量和第三个随机变量的交互信息的性质,并且进一步推广到n维随机变量与第n+1个随机变量的交互信息的一些性质.
引证文献(1条)
1. 薛彦红. 陈建军. 张亮 食品卫生安全保障体系数学模型及改进问题研究[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(14)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zymzdxxb-zrkxb200603010.aspx
授权使用：复旦大学图书馆(fddxlwxsjc)，授权号：f4555bc4-2d06-434d-9847-9e2000e7f5b7
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２００６年８月
第１５卷第３期中央民族大学学报（自然科学版）ＪｏｕｍａｌｏｆｔｈｅｃｕＮ（Ｎ８ｔｕｒａｌｓｃｉｅｎｃｅｓＥｄｉｔｉｏｎ）Ａｕｇ．２００６Ｖ０１．１５Ｎｏ．３
关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
刘淼
（伊犁师范学院数学系，新疆伊宁８３５０００）
摘要：本文通过对概率论中有关公式的探讨，给出了二维随机变量函数的密度函数的新的计算公式，为其
计算提供了新的办法．
关键词：二维随机变量；连续型随机变量；密度函数
文献标识码：Ａ文章编号：１００５＿８０３６１２００６）０３．０２４６．０２中图分类号：０２１ｌ
设（ｘ，ｙ）为二维连续型随机变量，其密度函数为，（石，，，），ｕ＝ｇ（算，ｙ）为（ｘ，ｙ）的函数，求ｕ的密度函数厶（Ｍ）．通常我们采用分布函数法，先求出Ｕ的分布函数凡（Ｍ）＝Ｐ（ｕ≤ｕ）＝Ｐ（ｇ（ｘ，ｌ，）≤“）＝Ⅱ、厂（ｚ，ｙ）ｄ戈ｄｙ，然后再对，。（“）求导，即得ｕ的密度函数兀（ｕ）＝Ｆ０（“）…．但该方法计算量大，过程较为繁琐，并且经常对变量ｕ需要进行分段讨论才可求出Ｆ，，（“），求解时要求思路清晰、概念清楚、计算准确，否则最后很难得到正确的结果．
下面我们针对上述算法，结合实际教学给出另外一种比较简单、方便的算法．
首先假设ｇ（省，），）的偏导数ｇ：（菇，，，），ｇ；（髫，，，）存在，且ｇｊ（戈，，，）≠ｏ．作二元变换ｆ乡２：‘Ｅ¨，且黼＝旧小“＝专一古以＝古＇从而得到（Ⅲ）的联合概率密度函数川小，（移，＾（“，矽））・Ｉ｜Ｉｌ乞Ｉ，所以（ｕ，矿）关于ｕ的边缘密度为＾（ｕ）＝』：：＾，（“，”）ｄｔ，＝』：：，（戈，＾（ｕ，茹））ｌ＾乞Ｉｄ髫¨１，也就是Ｕ＝ｇ（茁，，，）的密度函数．综上所述即得：
定理ｌ设（Ｘ，ｙ）为＝维连续性随机变量，其密度函数为，（石，ｙ）．设ｕ＝ｇ（髫，，，），令ｙ＝＾（Ｕ，Ｘ），由于该变换的Ｊ∞ｏｂｉ行列式为．，＝夏詈碧＝ｌ簟髻｜＝一ｇ：≠。，所以其存在逆变换｛；三聂ｕ，ｙ），并ａＬ菇＇），，ｌ】０。７Ｌｙ＝＾（Ｕ．ｙ）且９７，（菇，ｙ）≠Ｏ，则ｕ＝ｇ（菇，，，）的密度函数为：
／０（ｕ）一＝Ｉ，（菇，＾（“，菇））・Ｉ＾乞ｌｄ菇
例１设连续型随机变量（ｘ，ｙ）的密度函数为，（菇，，，），求Ｕ＝２ｘ一４ｙ的密度函数＾（ｕ）ｂ１
解由ｕ＝２ｘ一４ｙ得ｙ＝＾（ｕ，ｘ）＝去一寺￡，，＾乞＝一寺，由上述定理有：
＾（“）＝一寺ｊ．。厂（算，壶一寺ｕ）ｄ茁
例２设二维随机变量（ｘ，ｙ）分别表示某矩形的两边长，且在矩形域Ｇ＝｛（算，’，）１０ｓ茹ｓ２，０≤髫ｓｌ｝服从均匀分布，试求矩形面积Ｓ的密度函数¨］．
收稿日期：２００６．０３．２０作者简介：刘淼（１９７６一），男（汉族），新疆伊犁师范学院数学系讲师，山东郓城人，新疆大学在读硕士研究生
第３期刘淼：关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
解由于二维随机变量（ｘ，ｙ）服从均匀分布，则其密度函数为』吉（菇，），）∈Ｇ
Ｌ０其他
由ｓ＝ｘｙ得ｌ，＝＾（ｓ，ｘ）＝睾，＾：＝去，所以有
舶¨ｍ曲叫挣≯手。淼２
与定理１平行的可写出下述定理：
定理２设（ｘ，ｙ）为二维连续型随机变量，其密度函数为，（石，ｙ）．设ｕ＝ｇ（菇，），），令ｘ＝ｐ（ｕ，ｙ），且ｇ：（菇，ｙ）≠０，则Ｕ＝ｇ（戈，ｙ）的密度函数为：
／０（ｕ）＝Ｉ，（ｐ（“，，，），ｙ）・ｌｐ乞Ｉｄｙ．
例３设连续型随机变量（石，ｌ，）的密度函数为八石，，，），求∥＝ｘｙ的密度函数＾（Ｍ）Ｂ３
ｒｒ１
解ｕ＝ｘｌ，，ｘ＝ｐ（￡，，ｙ）＝号，ｐ乞＝专，由定理２得
，（詈，，，）・ｌ÷ｌ胁）＝Ｄ（手∽・…虮＾（Ｍ）＝Ｉｄ，，．
Ｊ一∞ＪＪ
推论当随机变量ｘ与ｌ，相互独立时，定理１与定理２的结果相应分别变为
＾（ｕ）＝ｌ
＾（如）＝Ｉ
参考文献：＾（并）・＾（危（ｕ，茹））・Ｉ＾，ｕ＾（ｐ（“，ｙ））・，ｙ（ｙ）・Ｉｐ乞ｌｄ髫，ｄｙ．
［１］魏宗舒．概率论与数垣统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．
ＴｈｅＳｕｐｐｌ哪蛐ｔｔｏＣａｃｌｌｌａｔｉ仰ｏｆ
ＬＩＵＭｉａｏｔｈｅＰｒｏｂａｂｍｔｙＤｅｎｓｉｔｙ’ｓＦｕｎｃｔｉｏｎｉｎＴｗｏＲａｎｄ伽Ｖａｒｉａｂｌｅｓ
（却。疗ｍ眦矿胍硝＾∞Ⅲ妇，硝ｉⅣ０ｍ矧ｃｏｌ妇ｅ，ｙｆ岫辔８３５０００，∞ｆＭ）
Ａｂｓｔ阳ｃｔ：Ｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇｓｏｍｅｆｏｎ肌ｌａｓｉｎｔｈｅｏｒｙｏｆｐｍｂ８ｂｉｌｉｔｙ，ｗｅｇｉｖｅｔｈｅ
ｆｈｎｃｔｉｏｎｉｎｔｗｏｍｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｗｏｎｅｗｆｏ珊ｕｌａｆｏｒｄｅｎｓｉｔｙ’ｓｍｄｏｍｖａＩｉａｂｌｅ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｔｙｐｅｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ；ｄｅｎ８ｉｔｙ’ｓｆｕｎｃｔｉｏｎ［责任编辑：杨玉］
关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：刘淼， LIU Miao伊犁师范学院,数学系,新疆,伊宁,835000中央民族大学学报（自然科学版）JOURNAL OF THE CENTRAL UNIVERSITY FOR NATIONALITIES (NATURAL SCIENCES EDITION)2006，15(3)1次
参考文献(5条)
1. 魏宗舒 概率论与数理统计 2003
2. 王梓坤 概率基础及其应用 1997
3. 赵选民. 师义民 概率论与数理统计典型题分析 1998
4. 盛骤. 谢式千. 潘承毅 概率论与数理统计 2003
5. R A FISHER Theory of Satistical Estimation 1925
相似文献(5条)
1.期刊论文 徐美进. 王贺元. 杨文杰. XU Mei-jin. WANG He-yuan. YANG Wen-jie 关于二维随机变量函数的概率密度的一种简便算法 -辽宁工学院学报2005,25(3)
对概率论中关于二维随机变量函数的概率密度的算法进行了研究,给出一个简便的算法,由此算法可方便的求出二维随机变量函数的概率密度.
2.期刊论文 冯强. 王荣波. FENG Qiang. WANG Rong-bo 关于二维连续型随机变量和的分布的讨论 -贵州大学学报（自然科学版）2008,25(2)
该文主要利用二元函数的含参量积分,给出二维随机变量和的分布的几种求法.
3.期刊论文 宁荣健 概率论中有关计算公式的改进 -大学数学2004,20(5)
通过对概率论中有关公式的研究,给出了全条件概率公式和二维随机变量函数的密度函数的简化计算公式,为其计算提供了新的方法.
4.期刊论文 封希媛 二维随机变量和乘函数分布的图形计算法 -青海大学学报(自然科学版)2006,24(3) 介绍了借助图形计算二维连续型随机变量(x,)的函数z=x+y和z=x·y的分布函数的方法.
5.学位论文 李文汉 信源的二元函数及Laplace变换的偏差定理与信息论中交互信息的研究 2004
强偏差定理是借助于似然比而引进的一种量度,进而建立一种新型的定理.刘文教授在解决大数定律中,用首创的分析方法得到一类随机变量序列的强偏差定理[1].后来,刘文教授把分析方法用于信息论中Shannon-McMillan定理[2]-[8]和连续型随机变量的偏差定理[10]-[11]的研究,得到了若干强偏差定理.本文的第二章是引进任意信源相对熵密度偏差的概念,并利用这个概念研究任意信源二元函数的一类强偏差定理,得到了马氏信源Shannon-
McMillan定理的一个推广.文章的第三章是应用Laplace变换这个工具研究了一类连续性随机变量的强偏差定理.信息理论作为应用概率论的一个分支,应用日益重要.Toru Tsujishita在信息理论的研究中,给出了三元交互信息的一些结论.本文的第四章是在这个基础上研究的二维随机变量和第三个随机变量的交互信息的性质,并且进一步推广到n维随机变量与第n+1个随机变量的交互信息的一些性质.
引证文献(1条)
1. 薛彦红. 陈建军. 张亮 食品卫生安全保障体系数学模型及改进问题研究[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(14)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zymzdxxb-zrkxb200603010.aspx
授权使用：复旦大学图书馆(fddxlwxsjc)，授权号：f4555bc4-2d06-434d-9847-9e2000e7f5b7
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