行列式的Laplace 展开定理
一、行列式按一行或一列的展开
我们知道， 若D 为n 阶行列式，A ij 为行列式元素a ij 的代数余子式，那么对任意的i ≠j ，如下四个等式都成立。
a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in =D ； a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0；
a 1j A 1j +a 2j A 2j +L +a nj A nj =D ；
a 1i A 1j +a 2i A 2j +L +a ni A nj =0。
上式称为n 阶行列式按一行（列）展开的定理。我们问：n 阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按k 行或k 列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？
我们先回顾n 阶行列式中元素a ij 的余子式和代数余子式的概念。
定义1 在n 阶行列式D 中，把元素a ij 所在的第i 和第j 列划去后，剩下的
n −1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。称A ij =(−1) i +j M ij 为元素a ij 的代数余子式，即
a 11a 21M
L L
a 1, j −1a 2, j −1M
a 1, j +1a 2, j +1M a i −1, j +1a i +1, j +1
M a n , j +1
L L
a 1n a 2n M
M ij =a i −1, 1L a i −1, j −1
a i +1, 1L a i +1, j −1M M
a n 1
L
a n , j −1
L a i −1, n ； A ij =(−1) i +j M ij
L a i +1, n
M L
a n , n
二、行列式的Laplace 展开定理
为了将n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k 行或k 列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义1 在n 阶行列式D 中，任取k 行，k 列（1≤k ≤n −1) ），位于这k 行、
k 列交点处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式M 称为D 的一个k 阶子式。D 中划去M 所在的行与列后，剩下的元素按原来的顺序构成n −k 阶行列式N 称为M 的余子式。若子式M 由行列式D 的第i 1, i 2, L , i k 行和
j 1, j 2, L , j k 列相交处的元素构成，则称
A =(−1) i 1+i 2+L +i k +j 1+j 2+L +j k N
为M 的代数余子式。
例如，在5阶行列式
56
中选取第1、4行，第2、3列得到一个2阶子式 M =那么，M 的余子式为
12 [***********]
536
13
=−12， 66
243
N =356=18；
556
M 的代数余子式为
A =(−1) 1+4+2+3N =18
k k
n 阶行列式有C n 个k 阶子式，对每一个k 阶子式M ，它的余子式N 和代⋅C n
数余子式A 都是由M 唯一确定的。
定理（Laplace展开定理） 在n 阶行列式D 中，任意取定某k 个行（列）
(1≤k ≤n −1) ，则行列式D 等于由这k 个行（列）元素构成的一切k 阶子式M i
k (i =1, 2, L , C n ) 与其代数余子式A i 的乘积之和，即
D =∑M i A i =M 1A 1+M 2A 2+L +M m A m
i =1
m
k
=其中 m =C n
n !
。
k ! (n −k )!
定理的证明从略。
显然行列式按一行（列）展开的定理是Laplace 展开定理的特例。
三、举例
Laplace 展开定理表明：一个n 阶行列式可用若干个k 阶与n −k 阶子式计算求得。如果行列式的某k 行（列）中含有较多的0，用此定理可是计算大为简化。
例1 用Laplace 展开定理计算
1
2
D =0
[***********]00 21
解 按1，2行展开。这两行共组成C 52=10个二阶子式，但其中不为零的只有3个，即
M 1=
121020
=−3，M 2==2，M 3==4 212212
对应的代数余子式为
120220020
A 1=(−1) 1+2+1+2212=−7，A 2=(−1) 1+2+1+3012=−6，A 3=(−1) 1+2+2+3012=0。
021
故 D =M 1A 1+M 2A 2+M 3A 3=9
021021
a 11L a 1k M
例2 证明 D =
0M 0
L L
0M 0
a 11L a 1k =M
b 11L b 1r ⋅M
M
L b rr
M L c 1k
M L c rk
a k 1L a kk c 11M c r 1
b 11L b 1r M M b r 1L b rr
a k 1L a kk b r 1
证 按前k 行展开。前k 行共组成C r k +k 个k 阶子式，但其中不为零的只有1个，即
a 11L a 1k
M 1=M ，
a k 1L a kk
对应的代数余子式为
b 11L b 1r b 11L b 1r
A (1+2+) +(1+2+1=(−1) L +k L +k ) M M =M M
b r 1L b rr b r 1L b rr
a 11L a 1k b 11L b 1r
故 D =M 1A 1=M
⋅M M a k 1L a kk b r 1L b rr
练习
用Laplace 展开定理计算下列各题
10021．
03400560。 7008
a b a 0b
O
D a b N
2．计算2n 阶行列式2n
=
0c d 0。
c N
O
c
d
d
3．计算n +1阶行列式
1a 100L 00−11−a 1
a 20L
00
D =
0−11−a 2
a 3L
0M M M M
0000L 1−a n −1a n 0
L
−1
1−a n
。
行列式的Laplace 展开定理
一、行列式按一行或一列的展开
我们知道， 若D 为n 阶行列式，A ij 为行列式元素a ij 的代数余子式，那么对任意的i ≠j ，如下四个等式都成立。
a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in =D ； a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0；
a 1j A 1j +a 2j A 2j +L +a nj A nj =D ；
a 1i A 1j +a 2i A 2j +L +a ni A nj =0。
上式称为n 阶行列式按一行（列）展开的定理。我们问：n 阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按k 行或k 列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？
我们先回顾n 阶行列式中元素a ij 的余子式和代数余子式的概念。
定义1 在n 阶行列式D 中，把元素a ij 所在的第i 和第j 列划去后，剩下的
n −1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。称A ij =(−1) i +j M ij 为元素a ij 的代数余子式，即
a 11a 21M
L L
a 1, j −1a 2, j −1M
a 1, j +1a 2, j +1M a i −1, j +1a i +1, j +1
M a n , j +1
L L
a 1n a 2n M
M ij =a i −1, 1L a i −1, j −1
a i +1, 1L a i +1, j −1M M
a n 1
L
a n , j −1
L a i −1, n ； A ij =(−1) i +j M ij
L a i +1, n
M L
a n , n
二、行列式的Laplace 展开定理
为了将n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k 行或k 列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义1 在n 阶行列式D 中，任取k 行，k 列（1≤k ≤n −1) ），位于这k 行、
k 列交点处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式M 称为D 的一个k 阶子式。D 中划去M 所在的行与列后，剩下的元素按原来的顺序构成n −k 阶行列式N 称为M 的余子式。若子式M 由行列式D 的第i 1, i 2, L , i k 行和
j 1, j 2, L , j k 列相交处的元素构成，则称
A =(−1) i 1+i 2+L +i k +j 1+j 2+L +j k N
为M 的代数余子式。
例如，在5阶行列式
56
中选取第1、4行，第2、3列得到一个2阶子式 M =那么，M 的余子式为
12 [***********]
536
13
=−12， 66
243
N =356=18；
556
M 的代数余子式为
A =(−1) 1+4+2+3N =18
k k
n 阶行列式有C n 个k 阶子式，对每一个k 阶子式M ，它的余子式N 和代⋅C n
数余子式A 都是由M 唯一确定的。
定理（Laplace展开定理） 在n 阶行列式D 中，任意取定某k 个行（列）
(1≤k ≤n −1) ，则行列式D 等于由这k 个行（列）元素构成的一切k 阶子式M i
k (i =1, 2, L , C n ) 与其代数余子式A i 的乘积之和，即
D =∑M i A i =M 1A 1+M 2A 2+L +M m A m
i =1
m
k
=其中 m =C n
n !
。
k ! (n −k )!
定理的证明从略。
显然行列式按一行（列）展开的定理是Laplace 展开定理的特例。
三、举例
Laplace 展开定理表明：一个n 阶行列式可用若干个k 阶与n −k 阶子式计算求得。如果行列式的某k 行（列）中含有较多的0，用此定理可是计算大为简化。
例1 用Laplace 展开定理计算
1
2
D =0
[***********]00 21
解 按1，2行展开。这两行共组成C 52=10个二阶子式，但其中不为零的只有3个，即
M 1=
121020
=−3，M 2==2，M 3==4 212212
对应的代数余子式为
120220020
A 1=(−1) 1+2+1+2212=−7，A 2=(−1) 1+2+1+3012=−6，A 3=(−1) 1+2+2+3012=0。
021
故 D =M 1A 1+M 2A 2+M 3A 3=9
021021
a 11L a 1k M
例2 证明 D =
0M 0
L L
0M 0
a 11L a 1k =M
b 11L b 1r ⋅M
M
L b rr
M L c 1k
M L c rk
a k 1L a kk c 11M c r 1
b 11L b 1r M M b r 1L b rr
a k 1L a kk b r 1
证 按前k 行展开。前k 行共组成C r k +k 个k 阶子式，但其中不为零的只有1个，即
a 11L a 1k
M 1=M ，
a k 1L a kk
对应的代数余子式为
b 11L b 1r b 11L b 1r
A (1+2+) +(1+2+1=(−1) L +k L +k ) M M =M M
b r 1L b rr b r 1L b rr
a 11L a 1k b 11L b 1r
故 D =M 1A 1=M
⋅M M a k 1L a kk b r 1L b rr
练习
用Laplace 展开定理计算下列各题
10021．
03400560。 7008
a b a 0b
O
D a b N
2．计算2n 阶行列式2n
=
0c d 0。
c N
O
c
d
d
3．计算n +1阶行列式
1a 100L 00−11−a 1
a 20L
00
D =
0−11−a 2
a 3L
0M M M M
0000L 1−a n −1a n 0
L
−1
1−a n
。