高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：k =tan α=
y 1-y 2y 2-y 1
=
x 1-x 2x 2-x 1
①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2 ①相交：斜率k 1≠k 2（前提是斜率都存在）
特例----垂直时： l 1⊥x 轴，即k 1不存在，则k 2=0； 斜率都存在时：k 1∙k 2=-1 。 ②平行： 斜率都存在时：k 1=k 2, b 1≠b 2；
斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：k 1=k 2, b 1=b 2； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：y -y 0=k (x -x 0) 将已知点(x 0, y 0) 与斜率k 直接带入即可；
②斜截式：y =kx +b 将已知截距(0, b ) 与斜率k 直接带入即可； ③两点式：带入即可；
④截距式：+=1 将已知截距坐标(a , 0), (0, b ) 直接带入即可； ⑤一般式：Ax +By +C =0 ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式：
①两点间距离：P 1P 2=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2 ②点到直线距离：d =
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
y -y 1x -x 1
=，(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2) 将已知两点(x 1, y 1), (x 2, y 2) 直接y 2-y 1x 2-x 1
x a y b
③平行直线间距离：d =
C 1-C 2A +B
2
2
4、中点、三分点坐标公式：已知两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
x 1+x 2y 1+y 2
, ) 22
2x +x 2y +y
②AB 三分点(s 1, t 1), (s 2, t 2) ：(12, 12) 靠近A 的三分点坐标
33x +2x 2y 1+2y 2
, ) 靠近B 的三分点坐标 (1
33
①AB 中点(x 0, y 0) ：(
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5. 直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）, 对称后的点坐标为P ’（x ，y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：
①+PB 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②-的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③PA +PB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。 3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0
=> m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解=>必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论： 斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
2
2
直线与两定点所在直线平行； 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法：
22D E ⎫
第一种：圆的一般方程——x +y +Dx +Ey +F =0 其中圆心C ⎛ -, -⎪，
2⎭⎝2
半径r =
D 2+E 2-4F
2
.
当D 2+E 2-4F 0时，方程表示一个圆，
D E ⎫
当D 2+E 2-4F =0时，方程表示一个点⎛ -, -⎪.
⎝2
2⎭
当D 2+E 2-4F 0时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程——(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 其中点C (a , b ) 为圆心，r 为半径的圆 第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：⎧⎨
x =a +r cos θ
⎩y =b +r sin θ
（θ为参数）
注：圆的直径方程：已知A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ⇒(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0 3. 点和圆的位置关系：给定点M (x 0, y 0) 及圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①M 在圆C 内⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2 r 2 ②M 在圆C 上⇔（x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2 ③M 在圆C 外⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2 r 2 4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2(r 0) ； 直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0) ； 圆心C (a , b ) 到直线l 的距离d =①d =r 时，l 与C 相切；
Aa +Bb +C A +B
2
2
.
②d r 时，l 与C 相交；， ③d r 时，l 与C 相离. 5、圆的切线方程：
①一般方程若点(x 0 , y 0) 在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0, y 0) 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)
⎧y 1-y 0=k (x 1-x 0)
⎪
②若点(x 0 ,y 0) 不在圆上，圆心为(a,b)则⎨b -y 1-k (a -x 1)
⎪R =
R 2+1⎩
，联立求出k ⇒切线
方程. （注：过圆外的点引切线必定有两条, 若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。） 6. 圆系方程：
假设两圆方程为：C 1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
（1）过两圆的交点圆方程可设为：x 2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x 2+y2+D2x+E2y+F2）=0 (2)过两圆的交点的直线方程：x 2+y2+D1x+E1y+F1- x 2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程） 7. 与圆有关的计算：
弦长的计算：
AB=2*√R 2-d 2 其中R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离:
AB=（√1+k2）*∣X 1-X 2∣ , 其中k 是直线的斜率，X 1与X 2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根, 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径 8. 圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则（x-a ）/（y-b ）的最值可以转化为圆上的点与该点（a ，b ）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y 的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y 轴上的截距最值化。 9. 圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标.
高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：k =tan α=
y 1-y 2y 2-y 1
=
x 1-x 2x 2-x 1
①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2 ①相交：斜率k 1≠k 2（前提是斜率都存在）
特例----垂直时： l 1⊥x 轴，即k 1不存在，则k 2=0； 斜率都存在时：k 1∙k 2=-1 。 ②平行： 斜率都存在时：k 1=k 2, b 1≠b 2；
斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：k 1=k 2, b 1=b 2； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：
①点斜式：y -y 0=k (x -x 0) 将已知点(x 0, y 0) 与斜率k 直接带入即可；
②斜截式：y =kx +b 将已知截距(0, b ) 与斜率k 直接带入即可； ③两点式：带入即可；
④截距式：+=1 将已知截距坐标(a , 0), (0, b ) 直接带入即可； ⑤一般式：Ax +By +C =0 ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式：
①两点间距离：P 1P 2=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2 ②点到直线距离：d =
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
y -y 1x -x 1
=，(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2) 将已知两点(x 1, y 1), (x 2, y 2) 直接y 2-y 1x 2-x 1
x a y b
③平行直线间距离：d =
C 1-C 2A +B
2
2
4、中点、三分点坐标公式：已知两点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)
x 1+x 2y 1+y 2
, ) 22
2x +x 2y +y
②AB 三分点(s 1, t 1), (s 2, t 2) ：(12, 12) 靠近A 的三分点坐标
33x +2x 2y 1+2y 2
, ) 靠近B 的三分点坐标 (1
33
①AB 中点(x 0, y 0) ：(
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5. 直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P （x 0，y 0）, 对称后的点坐标为P ’（x ，y ），则pp ’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp ’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
2、动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”：
①+PB 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②-的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； ③PA +PB 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。 3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0
=> m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解=>必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论： 斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
2
2
直线与两定点所在直线平行； 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法：
22D E ⎫
第一种：圆的一般方程——x +y +Dx +Ey +F =0 其中圆心C ⎛ -, -⎪，
2⎭⎝2
半径r =
D 2+E 2-4F
2
.
当D 2+E 2-4F 0时，方程表示一个圆，
D E ⎫
当D 2+E 2-4F =0时，方程表示一个点⎛ -, -⎪.
⎝2
2⎭
当D 2+E 2-4F 0时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程——(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 其中点C (a , b ) 为圆心，r 为半径的圆 第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：⎧⎨
x =a +r cos θ
⎩y =b +r sin θ
（θ为参数）
注：圆的直径方程：已知A (x 1, y 1) B (x 2, y 2) ⇒(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0 3. 点和圆的位置关系：给定点M (x 0, y 0) 及圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①M 在圆C 内⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2 r 2 ②M 在圆C 上⇔（x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2 ③M 在圆C 外⇔(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2 r 2 4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆C ：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2(r 0) ； 直线l ：Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0) ； 圆心C (a , b ) 到直线l 的距离d =①d =r 时，l 与C 相切；
Aa +Bb +C A +B
2
2
.
②d r 时，l 与C 相交；， ③d r 时，l 与C 相离. 5、圆的切线方程：
①一般方程若点(x 0 , y 0) 在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0, y 0) 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)
⎧y 1-y 0=k (x 1-x 0)
⎪
②若点(x 0 ,y 0) 不在圆上，圆心为(a,b)则⎨b -y 1-k (a -x 1)
⎪R =
R 2+1⎩
，联立求出k ⇒切线
方程. （注：过圆外的点引切线必定有两条, 若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X 轴的直线。） 6. 圆系方程：
假设两圆方程为：C 1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
（1）过两圆的交点圆方程可设为：x 2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x 2+y2+D2x+E2y+F2）=0 (2)过两圆的交点的直线方程：x 2+y2+D1x+E1y+F1- x 2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程） 7. 与圆有关的计算：
弦长的计算：
AB=2*√R 2-d 2 其中R 是圆的半径，d 等于圆心到直线的距离:
AB=（√1+k2）*∣X 1-X 2∣ , 其中k 是直线的斜率，X 1与X 2是直线与圆的方程联立之后得到的两个根, 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径 8. 圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则（x-a ）/（y-b ）的最值可以转化为圆上的点与该点（a ，b ）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P （x ，y ）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y 的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y 轴上的截距最值化。 9. 圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标.