常微分方程的发展史
摘要：20世纪以来, 随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展, 也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透, 出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解. 常微分方程的解会含有一个或多个任意常数, 其个数就是方程的阶数. 偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数, 其个数随方程的阶数而定. 命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化, 人们就可能得到方程所有的解, 于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”. 在很长一段时间里, 人们致力于“求通解”.
关键词：常微分方程，发展，起源
正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727) 和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716) 发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年) 中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705) 提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748) 、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695) 独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。
1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。
1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。
1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 给出了恰当方程的定义。他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765) 各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年代，一阶常微分方程的初等方法都已清楚了，与此相联系，通解与特解的问题也弄清楚了。
1734 年，克莱罗在他的著作中处理了现在以他的名字命名的方程，他给出了一个新的解，从而提出了奇解的问题。奇解是不能通过给积分常数以一个确定的值由通解来求得。欧拉、拉普拉斯(P.S.Laplace ，法国，1749-1827 )、达朗贝尔(J.Alembert，法国，1717-1783) 都涉及奇解这个问题，然而只有拉格朗日(J.Lagrange，意大利，1736-1813) 对奇解与通解的联系作了系统的研究，他给出了从通解消去常数项从而得到奇解的一般方法．但在奇解理论中，有些特殊的困难他并没有认识到。奇解的完整理论是19 世纪发展起来的。其中黎曼(G.Riemann ，德国，1826-1866 )作出了突出的贡献。
1728 年，欧拉由于力学问题的推动，把一类二阶微分方程用变量替换成一阶微分方程组，这标志着二阶方程的系统研究的开始。此后，欧拉完整地解决了常系数线性齐次方程的
求解问题和非齐次的n 阶线性常微分方程的求解问题。拉格朗日在1762 年至1765 年间又对变系数齐次线性微分方程进行了研究。
在18 世纪前半叶，常微分方程的研究重点是对初等函数施行有限次代数运算、变量代换和不定积分把解表示出来：至18 世纪下半叶，数学家们又讨论了求线性常微分方程解的常数变易法和无穷级数解法等方法：至18 世纪末，常微分方程己发展成一个独立的数学分支。
19 世纪，柯西(A.L.Cauchy ，法国，1789-185) 、刘维尔(J.Liouville，法国，1809-1882) 、维尔斯特拉斯(K.Weierstrass，德国，1815-1879) 和皮卡(E.Picard ，法国，1865-1941) 对初值问题的存在唯一性理论作了一系列研究，建立了解的存在性的优势函数、逐次逼近等证明方法。这些方法又可应用于高阶常微分方程和复数域中的微分方程组法国数学家庞加莱(H.Poincare，1854-1912) 和俄国的李雅普诺夫(Liapunov，1857-1918) 共同奠定了稳定性的理论基础。自群论引入常微分方程后，使常微分方程的研究重点转向解析理论和定性理论。19世纪末，法国数学家庞加莱连续发表了4 篇文章，依赖几何拓扑直观对定性理论进行了研究，李雅普诺夫应用十分严密的分析法又进行了研究，从而奠定了微分方程定性理论的基础。由于行星或卫星轨道的稳定性问题，周期解的重要性提到日程上来。西格尔(L.Siegel ，德国，1896-1981) 创立了周期系统的线性齐次微分方程的数学理论。在 1877 年的论文中，他求出了对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解，并证明了二阶微分方程有周期解．
20 世纪，微分方程进入了广泛深入发展阶段。随着大量的边缘学科的产生和发展，出现了不少新型的微分方程(组) ，微分方程在无线电、飞机飞行、导弹飞行、化学反应等方面得到了广泛的应用，从而进一步促进了这一学科的发展，使之不断完善，对它的研究也从定性上升到定量阶段。像动力系统、泛函微分方程、奇异摄动方程以及复域上的定性理论等等都是在传统微分方程的基础上发展起来的新分支。
参考文献：M ·克莱因. 古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1979.
李文林. 数学史教程[M].北京:高等教育出版社,2002.
王树禾. 数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.
常微分方程的发展史
摘要：20世纪以来, 随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展, 也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透, 出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解. 常微分方程的解会含有一个或多个任意常数, 其个数就是方程的阶数. 偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数, 其个数随方程的阶数而定. 命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化, 人们就可能得到方程所有的解, 于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”. 在很长一段时间里, 人们致力于“求通解”.
关键词：常微分方程，发展，起源
正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727) 和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716) 发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年) 中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705) 提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748) 、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695) 独立地解决了后者。
有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。
1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。
1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。
1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783) 给出了恰当方程的定义。他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765) 各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年代，一阶常微分方程的初等方法都已清楚了，与此相联系，通解与特解的问题也弄清楚了。
1734 年，克莱罗在他的著作中处理了现在以他的名字命名的方程，他给出了一个新的解，从而提出了奇解的问题。奇解是不能通过给积分常数以一个确定的值由通解来求得。欧拉、拉普拉斯(P.S.Laplace ，法国，1749-1827 )、达朗贝尔(J.Alembert，法国，1717-1783) 都涉及奇解这个问题，然而只有拉格朗日(J.Lagrange，意大利，1736-1813) 对奇解与通解的联系作了系统的研究，他给出了从通解消去常数项从而得到奇解的一般方法．但在奇解理论中，有些特殊的困难他并没有认识到。奇解的完整理论是19 世纪发展起来的。其中黎曼(G.Riemann ，德国，1826-1866 )作出了突出的贡献。
1728 年，欧拉由于力学问题的推动，把一类二阶微分方程用变量替换成一阶微分方程组，这标志着二阶方程的系统研究的开始。此后，欧拉完整地解决了常系数线性齐次方程的
求解问题和非齐次的n 阶线性常微分方程的求解问题。拉格朗日在1762 年至1765 年间又对变系数齐次线性微分方程进行了研究。
在18 世纪前半叶，常微分方程的研究重点是对初等函数施行有限次代数运算、变量代换和不定积分把解表示出来：至18 世纪下半叶，数学家们又讨论了求线性常微分方程解的常数变易法和无穷级数解法等方法：至18 世纪末，常微分方程己发展成一个独立的数学分支。
19 世纪，柯西(A.L.Cauchy ，法国，1789-185) 、刘维尔(J.Liouville，法国，1809-1882) 、维尔斯特拉斯(K.Weierstrass，德国，1815-1879) 和皮卡(E.Picard ，法国，1865-1941) 对初值问题的存在唯一性理论作了一系列研究，建立了解的存在性的优势函数、逐次逼近等证明方法。这些方法又可应用于高阶常微分方程和复数域中的微分方程组法国数学家庞加莱(H.Poincare，1854-1912) 和俄国的李雅普诺夫(Liapunov，1857-1918) 共同奠定了稳定性的理论基础。自群论引入常微分方程后，使常微分方程的研究重点转向解析理论和定性理论。19世纪末，法国数学家庞加莱连续发表了4 篇文章，依赖几何拓扑直观对定性理论进行了研究，李雅普诺夫应用十分严密的分析法又进行了研究，从而奠定了微分方程定性理论的基础。由于行星或卫星轨道的稳定性问题，周期解的重要性提到日程上来。西格尔(L.Siegel ，德国，1896-1981) 创立了周期系统的线性齐次微分方程的数学理论。在 1877 年的论文中，他求出了对月球运动的诸微分方程确定一个近似于实际观察到的运动的周期解，并证明了二阶微分方程有周期解．
20 世纪，微分方程进入了广泛深入发展阶段。随着大量的边缘学科的产生和发展，出现了不少新型的微分方程(组) ，微分方程在无线电、飞机飞行、导弹飞行、化学反应等方面得到了广泛的应用，从而进一步促进了这一学科的发展，使之不断完善，对它的研究也从定性上升到定量阶段。像动力系统、泛函微分方程、奇异摄动方程以及复域上的定性理论等等都是在传统微分方程的基础上发展起来的新分支。
参考文献：M ·克莱因. 古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,1979.
李文林. 数学史教程[M].北京:高等教育出版社,2002.
王树禾. 数学思想史[M].北京:国防工业出版社,2003.