２０１５年第５期中学数学研究
・１７．－
满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡，所以答
案就不是那么简单了．而且，学生的自由选择已被“再创造”的“再”限制了．学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导者是熟知的东西．笔者认为，
至于指导的“程度”，也就是要达到弗赖・登塔尔说的“学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡”．在探究性教学中，要找到
恰到好处的指导程度，必须要考虑三个因素：问题难
探究性学习也要在教师的指导下有目的的展开，这里涉及到两个问题是需要认真回答的；一是往哪儿指导和在哪里指导，二是探究性学习的“程度”．
关于往哪儿指导的问题，弗赖・登塔尔先生的回答是：“到一种活动中去’：？换句话说，学生应该再
创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算
度，学生程度，时间成本．根据问题的难易程度，立足学生“最近发展区”，以及教学时间的限制，从而决定探究教学的铺垫多少；脚手架的密疏；思考坡度的陡缓。川．在上述教学实例中，笔者的教学目标是引导学生学会探究，如何从特殊到一般的研究过程，学
生基础较好，问题难度适中，时间较为宽裕，所以教学铺垫仅仅是一道学生做过的题目，脚手架比较疏，
法，用语言描述而不是语言．通俗的说，就是教师嘈
造一种教学活动，引导学生自己完成某个数学概念、
思考的坡度较缓但计算的要求较高，如此一来，整个探究的．教学过程顺畅、教学效果明显、学生反响很
好．
参考文献
［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）
［Ｍ］．人民教育出版社，２００３，４．
［２］弗莱・登塔尔．作为教育任务的数学［Ｍ］．陈昌平，唐瑞
芬等，编译，上海教育出版社，１９９５．
［３］曹平原．高中数学课表实施中的困惑与对策［Ｊ］．高中数
学教育，２０１４．１／２．３—７，１２．
［４］赵祥枝．引导学生主动探究，促进数学思维发展［Ｊ］．中
学数学教学参考．２０１４．５，３７．
［５］乔爱萍．论弗赖・登塔尔数学教育思想的现实意义［Ｊ］．
江苏教育研究．２０１４．２，５４．
［６］张晓拔．数学教学要重视培养学生反思习惯［Ｊ］．数学教
育学报，２００８（６）．
［７］张奠宙，于波．数学教育的“中国道路”［Ｍ］．上海教育出
版社，２０１３，６（１２８）．
定理、性质的推导过程．如果把在探索过程中的学生比喻为看不清知识前景的盲人，教师作为一个知识的明眼人，就应该始终站在学生身后的不远处．学生碰到沟壑，教师能上前牵引他；当他走反了方向时，
上前把他指引到正确的道路上来，这就是教师“有
指导”的意义∞Ｊ．上述例子也回答了在哪里指导的问题，在数学牛，在生活中，如果我们经常遇到一个对象，如果它有普遍的运用价值，我们就要研究它．
通过一些问题串的提出，引导学生不仅关心“知道了什么知识”，更要引导学生关心知识是“怎么形成
的”．，“怎么知道的”，“为什么要研究它们”．在思维的岔口处，教师指导学生要用数学美导航，在等价化
归的行为背后，教师要点化出数学人思维迁移的特
色，引导学生对于如何进行数学思考进行再思考．通过指导学生回顾“做数学”的过程，深究活动中涉及的知识、方法、思路、策略，“学生的理解才可能从一
个水平升华到更高水平∞一．
么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么ａ么１么１么１么１么ａ么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１
如
何编制
压
轴
（２１２３００）
填
王海东
空
题
江苏省丹阳市第五中学
高三学生都有这样的感觉，每次大考后都说压轴填空题考的都不是原题，做过的都没有考，那这些
孔出现，只有这样才能够有效地区分学生的数学能
力，发现与培养学生的创新意识．现结合２０１４届高三各大市的模考题，就压轴填空题改编和编制谈谈
自己的看法．
方法１
移花接木法
没有做过的题目是怎么编出来的，笔者也一直有这
样的疑惑，就加强了这方面的研究．０５年新课改我
们江苏高考数学试卷改革，数学试卷由１４个填空加６个解答构成，填空比例非常大，所以压轴填空题不可能全部照搬照抄现成的试题，一定要力争以新面
移花接木法，就是把表面上不同，而问题实质一
致的若干个问题有机地衔接在一起，老师要有发散
・１８・
中学数学研究
２０１５第５期
性思维，能够左右逢源，触类旁通，实现“横向到边”的效能，有利于培养学生思维的综合性．…
题１
（２０１４南京一模）若关于菇的不等式（积
一２０）ｌｇ丝≤０对任意的正实数戈恒成立，则实数口
的取值范围是
．
分析：由题意可知口＞０，作出函数八戈）＝似一
２０和ｇ（菇）＝ｌｇ等的筒图．由题意以茄）・ｇ（石）≤ｏ
恒成立，所以两个函数的零点相同，即垫：２口，所以
“
口＝／ｌｏ（负值舍去）．
本题解法数形结合，解题时用到了ｙ＝ｌｇ警的
单调性，思考是否可以把对数函数换成高中常用的
二次函数，指数函数，三角函数等来改编题目，如换成二次函数可以改编为下题．
变１
若不等式（ｏ并一１）［３石２一（口＋１）搿一１］
≥０对任意并∈（０，＋∞）恒成立，则实数口的值为
题２
（２０１４南京二模）设函数八戈）＝∞＋
ｓｉ似＋ｃｏ蚍．若函数八戈）的图像上存在不同的两点Ａ，曰，使得曲线ｙ＝八石）在点Ａ，曰处的切线互相垂
直，则实数口的取值范围为
．
分析，（菇）＝ｏ＋瓜ｏｓ（ｘ＋军）∈［口一厄，ｏ
＋拉］，存在点Ａ，日处的切线互相垂直，即厂（％）・厂（茗。）＝一１有解，由零点存在性定理得至少有０∈
［口一拉，口＋在］，即一在≤口≤在．此时只需满足（口
＋拉）・（ｏ一在）≤一ｌ，解得一ｌ≤ｏ≤１．本题的关键是利用厂（硝）・厂（戈。）＝一１有解去求口的取值范围．理解本质可以编一个双变量的题目，加大难
度．
变２
设函数八茁）＝Ⅱ菇＋６ｓｉ眦．若函数以戈）的
图像上存在不同的两点Ａ，日，使得曲线ｙ＝以菇）在
点Ａ，Ｂ处的切线互相垂直，则６２＋２口的最小值为
题３
（２０１４丹阳模拟）设函数八石）＝
√ｎ菇２＋缸＋ｃ（ｎ＜ｏ）的定义域为Ｄ，若所有点（ｓ，
八ｆ））（ｓ，￡∈Ｄ）构成一个正方形区域，则口的值为
岸山Ｊ＝２厅’．．．。＝“
此题中正方形边长相等，那函数的定义域与值
域的区间长度相等，若令ｃ＝０可以改编为一种常规
的题型，也有一定的难度．
变３
已知函数八ｘ）＝￣／ｏ戈２＋如，存在正数
６，使得八菇）定义域和值域相同，则非零实数口的值
为——．
方法２
常规题拓展改编
借助平时练习中的素材和背景，采用拓展追问的方式，引发学生深层次的思维活动，实现“纵向到底”的功效，这种方法的好处是能够培养学生的数学探究能力．
如基本不等式中经常做这样的题目，①已知正
数算，），满足并＋ｙ＋３＝石ｙ，则ｚ），的取值范围为
足戈＋２ｙ＋３＝２戈ｙ，则并ｙ的取值范围为——．
．改变系数变得难一些，（参已知正数戈，，，满
①②解题思路相同，可以由基本不等式解出．再加
大难度可以把②中条件等价变为上＋去＋熹＝ｌ，
算
二ｙ
二菇了
在问法设计上，要求不仅要求出戈ｙ最小值，还要能指出何时取最值，填空只有一个空格，怎么填出更多的内容．２０１４无锡期末考卷这题编的就很有新意，以圆为背景与基本不等式完美结合，一个空格考查
了更多的内容，给人启示，我们以后命题也可以把基本不等式的题目改编成这样的题型．
题４
若第一象限内的动点Ｐ（石，ｙ）满足土＋
亡＋≠Ｌ＝１，Ｒ＝戈ｙ，则以Ｐ为圆心Ｒ为半径且面积二ｊ）厶ｘｊ）
最小的圆的方程为
．
方法３
背景转换
背景转换就是指常规题型换个背景，给人耳目一新的感觉，如函数题编成数列题，函数最值题编为
线性规划题，椭圆题编为双曲线题，三角题编为导数
题等．
题５
已知以石）＝ｌｏｇ：（戈一２），若实数ｍ，ｎ满
足八ｍ）＋八２ｎ）＝３，则ｍ＋ｎ的最小值是
分析以ｍ）＋八２ｎ）＝３代入化简得（ｍ一２）・
（ｎ—１）＝４，ｍ＋ｎ＝（，ｎ一２）＋（ｎ一１）＋３≥
２￣／（ｍ一２）（ｎ一１）＋３＝７．本题考查对数函数与基本不等式，比较灵活，难度中等．换个数列背景可
以变为
２０１５年第５期
变５
中学数学研究
・１９・
公差为ｄ，各项均为正整数的等差数列
ｏ。｝中，若ｎ。＝１，口。＝６５，则ｎ＋ｄ的最小值等于
且满足ＰＭ・ＰⅣ＝０．若ＰＱ＝Ｐ肼＋ＰⅣ，则ｌＰＱＩ的
最小值为
．
小值．
题６求函数八菇）＝铧（戈＞丢）的最分析：本题是比较典型的八石）＝型等
数列是特殊的函数，换个数列背景本题可以改
变６
（改编２）根据圆的对称性，让Ｐ在圆戈２＋），２＝
５运动，这样也不会改变原题答案，但Ｐ，Ｍ，Ⅳ都运动起来，必然加大试题难度．
变８
在平面直角坐标系戈Ｄｙ中，已知圆Ｄ：戈２
＋ｙ２＝１６，若点Ｐ在圆戈２＋ｙ２＝５上运动，Ｍ，Ⅳ为
求最值问题，可用求导或基本不等式解决以菇）＝
圆０上不同的两点，且满足删・ＰⅣ＝０．若ＰＱ＝
ＰＭ＋ＰⅣ，则ＩＰＱＩ的最小值为
方法５
题型改造
｝［（２戈一１）＋丢告］＋竽≥２ｌ，所以以石）最小值
为２１．
编为很好的数列题．
高考试题命题材料好，考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，变为一道新颖的填空
题．
数列｛ｎ。｝的前ｎ项和为Ｊｓ。，若｛口。｝和
．
｛５。｝都是等差数列，则垒坐的最小值是
Ⅱ“
高考选择题改编
题８
本题是由２０１０年江苏高考第１９题第１问与题６结合改编，原题：设各项均为正数的数列｛口。｝的前ｎ
（２０１４湖北第１０题）已知函数以咒）是定
１
义在ＪＲ上的奇函数，当ｘ≥ｏ时以茗）＝÷（Ｉ
二
ｚ一
项和．ｓ。，已知２口：＝ｏ，＋ｏｓ，数列｛√石）是公差为ｄ
的等差数列，求数列｛ｎ。｝的通项公式．
方法４
将问题特殊化或一般化改编
０２
Ｉ＋Ｉｚ一２０２
Ｉ一３口２），若Ｖ戈∈尺√＾（戈一１）≤
．
以戈），则实数口的取值范围为
将问题特殊化或一般化改编可以是曲具体数字推广到一般性字母，也可以由有限项拓展到无限项，
定点拓展到动点等．
题７
本题考查了函数的奇偶性性质，分段函数，最值及恒成立，较难．
题９
（２０１４新课标Ⅱ第１２题）设函数八菇）＝
（２０１４常州期末）在平面直角坐标系戈０ｙ
届ｉｎ警．若存在八戈）的极值点戈。满足戈。２＋
［厂（菇。）］２＜ｍ２，则ｍ的取值范围是等．考查三角函数的极值点，有新意．
．
中，已知圆０：菇２＋），２＝１６，点Ｐ（１，２），Ｍ，Ⅳ为圆Ｄ
上不同的两点，且满足删・Ｐ，ｖ＝０．若Ｐ（）＝删＋
ＰⅣ，则ＩＰＱ轨迹法求解．
本题考查函数极值点，存在性，不等式，难度中高考解答题改编
（２０１４江苏第１９题）已知函数八戈）＝ｅ。＋ｅ一，
其中ｅ是自然对数的底数．（１）略；（２）若关于算的不
Ｉ的最小值为——．
。
分析：本题解法思路灵活，较难．下面给出一种
取肘Ⅳ的中点日，连结ＰＨ，０Ｐ，Ｄ日，设日（ｘｏ，
ｙｏ、），电ｏＨ２＋Ｈ抒＝１Ｌ６，ＨＭ＝ＨＰ祷。砰＋Ｈ矿＝
等式，吹戈）≤ｅ１＋ｍ一１在（０，＋∞）上恒成立，求
实数ｍ的取值范围；（３）已知正数。满足：存在‰∈
１６，所以菇：＋），ｊ＋（ｚｏ一１）２＋（‰一２）２＝１６，即（戈。
一÷）ｚ＋（％一１）：：孕．设Ｑ（”），则
，
［１，＋∞），使得八戈。）＜ｏ（一戈；＋３‰）成立．试比较
ｅ”１与ｏ”１的大小，并证明你的结论．
菇＋ｌ
第二问改为
题１０
若关于戈的不等式ｍｅ。＋（ｍ一１）ｅ一一
Ｉ石ｏ２—ｉ一，
｛【拍２７，
变７
Ｑｍｉｎ躬万施ｙ二２耐∥。２７，所以Ｐ
ｍ＋１≤０在算∈（０，＋∞）上恒成立，则实数ｍ的
取值范围为
第三问改为题１１
．
（改编１）根据圆的对称性将点Ｐ放在特殊位
置，仍然不改变答案，但可以稍微降低难度．
若存在戈∈［１，＋∞），使得ｅ。＋ｅ１＜
在平面直角坐标系ｚｏｙ中，已知圆０：ｚ２
口（一ｚ３＋３菇）成立，则正数口的取值范围为
＋严＝１６，点Ｐ（帕，ｏ），Ｍ，Ⅳ为圆Ｄ上不同的两点，
・２０・
中学数学研究
２０１５第５期
上述两题都是非常好的填空题，题１０考查恒成下手，是二一道非常严格的把关题．无奈之中，部分学
立，用分离参数和基本不等式求解．题１１考查存在
生直接取凡＝ｌ算得ｍ的最小值为５来应付，然而５
性问题，转化为构造函数求最值问题．
正是最终的正确结果．有的同学碰运气却有不费吹填空题命题还需注意的事项拉１
灰之力的意外之喜，这样的缺憾存在，会严重伤害考在填空命题时，还应注意以下几点：（１）所填内查的可信度，也是每一位命题者应竭力避免的．旧。
容是题目这个陈述旬的关键词，所要填写的内容应本文主要讲了压轴填空题的改编和编制方法，当清晰、突出，且所填内容不宜过长．除个别开放性其实数学试题的命制，不只是在教学检测环节才需问题外，所填的内容大多是唯一的．（２）文字叙述应要，与教师平时的教学也是密不可分的，作为教师，当准确、简练，题干不宜过长．（３）空格不宜过多，确
研究试题的命题方法，不仅可以提高自己的数学命保题目表述的完整性与科学性．一般不超过两个空
题能力，而且能够更好地培养学生的思维能力，提高
格，最好只留一个空格．（４）压轴填空题不能让学生课堂教学效率．
随便取个特殊值就正好做出正确答案．如２Ｑ１２盐城
２模的压轴填空题可能考虑的不是很全面．
参考文献
题１２
在等差数列｛ｏ。｝中，ｏ：＝５，ｏ。＝２１，记
［１］卓斌．例谈改编高中数学教材例习题的常用方法［Ｊ］．数
数列｛上｝的前ｎ项和为．ｓ。，若Ｊｓ：川一ｓ。≤罢对凡∈
学通报，２０１１（２）：１６—１９．
Ｌｏｎ
Ｊ
工Ｊ
［２］刘明．高中数学试题的命题方法［Ｊ］．中学数学教学参
Ⅳ＿匣成立，则正整数ｍ的最小值为
考，２０１３（３）：５３—５５．
．．
本题构造了数列多重知识和方法的综合应用，
［３］臧殿高．把关试题的鉴赏与思考［Ｊ］．中学数学教学参思维和计算上均有明显难度，大部分学生甚至无从
考，２０１４（３）：６０—６２．
ｚａ么１么１么１么１么ａ么１么１么１么１么１么１么１么１么１
ｃＡ￡Ａ胡ｚａ绢么ｔ么Ｉ么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１
一个猜想不等式的肯定及推广
江苏省泰州市姜堰区实验初级中学（２２５５００）潘庆
江苏泰州市姜堰区沈高镇夏朱村
（２２５５３８）
陈罗英
题目
设ｎ，６，ｃ是正实数，且口＋６＋ｃ＝１，则证明：按题意口，６，ｃ是正买数，且ｎ＋６＋ｃ＝１，
有（熹刊（土－６）（点．ｃ）≥（詈）３（１）
贝００《ｏ，６，ｃ＜１，要证（１＋口”）（１＋６“）（１＋ｃ“）≥
在文［１］中马占山罗江萍两位老师给出了不等
（１＋者）３，只需证ｌｎ（１＋口“）＋ｌｎ（１＋６“）＋ｌｎ（１＋
式（１）的“又一简证”．进而提出并证明了三个探究．其中
探究２
设口，６，ｃ是正实数，且口＋６＋ｃ＝１，则
（１＋口，）（１＋６，）（１＋ｃ。）≥（罂）３
（２）
ｍ）＝篙＞叭戈）＝号攀＞
ｃ４）≥１ｎ（１＋古）３＝３ｌｎ（１＋专）．
构造函数八菇）＝ｌｎ（１＋菇“）（算∈（０，１）），则
探究３
设ｏ，６，ｃ是正实数，且ｏ＋６＋ｃ＝１，则
０（ｎ≥２，０＜ｚ＜１），可知，函数以ｚ）＝ｌｎ（１＋（１＋。２）（１＋６２）（１＋ｃ２）≥（尝）３
（３）
戈“）（ｚ∈（０，１））是严格下凸函数．由琴生不等式知
最后提出猜想
八戈，）＋八ｚ：）＋…＋八戈。）≥矾鱼二兰＿二二±鱼），依
设ｏ，６，ｃ是正实数，口＋６＋ｃ＝１，ｎ≥２，则（１＋
次取石１＝ｏ，戈２＝６，戈３＝ｃ，则厂（ｏ）＋八６）＋以ｃ）≥
０４）（１＋６“）（１＋ｃ“）≥（１＋：｝）３
（４）
轨型萼旦），即ｌｎ（１＋ｏ“）（１＋６ｎ）（１＋ｃｎ）：
在探究中笔者发现，该猜想成立．且可推广．
２０１５年第５期中学数学研究
・１７．－
满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡，所以答
案就不是那么简单了．而且，学生的自由选择已被“再创造”的“再”限制了．学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导者是熟知的东西．笔者认为，
至于指导的“程度”，也就是要达到弗赖・登塔尔说的“学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡”．在探究性教学中，要找到
恰到好处的指导程度，必须要考虑三个因素：问题难
探究性学习也要在教师的指导下有目的的展开，这里涉及到两个问题是需要认真回答的；一是往哪儿指导和在哪里指导，二是探究性学习的“程度”．
关于往哪儿指导的问题，弗赖・登塔尔先生的回答是：“到一种活动中去’：？换句话说，学生应该再
创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算
度，学生程度，时间成本．根据问题的难易程度，立足学生“最近发展区”，以及教学时间的限制，从而决定探究教学的铺垫多少；脚手架的密疏；思考坡度的陡缓。川．在上述教学实例中，笔者的教学目标是引导学生学会探究，如何从特殊到一般的研究过程，学
生基础较好，问题难度适中，时间较为宽裕，所以教学铺垫仅仅是一道学生做过的题目，脚手架比较疏，
法，用语言描述而不是语言．通俗的说，就是教师嘈
造一种教学活动，引导学生自己完成某个数学概念、
思考的坡度较缓但计算的要求较高，如此一来，整个探究的．教学过程顺畅、教学效果明显、学生反响很
好．
参考文献
［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）
［Ｍ］．人民教育出版社，２００３，４．
［２］弗莱・登塔尔．作为教育任务的数学［Ｍ］．陈昌平，唐瑞
芬等，编译，上海教育出版社，１９９５．
［３］曹平原．高中数学课表实施中的困惑与对策［Ｊ］．高中数
学教育，２０１４．１／２．３—７，１２．
［４］赵祥枝．引导学生主动探究，促进数学思维发展［Ｊ］．中
学数学教学参考．２０１４．５，３７．
［５］乔爱萍．论弗赖・登塔尔数学教育思想的现实意义［Ｊ］．
江苏教育研究．２０１４．２，５４．
［６］张晓拔．数学教学要重视培养学生反思习惯［Ｊ］．数学教
育学报，２００８（６）．
［７］张奠宙，于波．数学教育的“中国道路”［Ｍ］．上海教育出
版社，２０１３，６（１２８）．
定理、性质的推导过程．如果把在探索过程中的学生比喻为看不清知识前景的盲人，教师作为一个知识的明眼人，就应该始终站在学生身后的不远处．学生碰到沟壑，教师能上前牵引他；当他走反了方向时，
上前把他指引到正确的道路上来，这就是教师“有
指导”的意义∞Ｊ．上述例子也回答了在哪里指导的问题，在数学牛，在生活中，如果我们经常遇到一个对象，如果它有普遍的运用价值，我们就要研究它．
通过一些问题串的提出，引导学生不仅关心“知道了什么知识”，更要引导学生关心知识是“怎么形成
的”．，“怎么知道的”，“为什么要研究它们”．在思维的岔口处，教师指导学生要用数学美导航，在等价化
归的行为背后，教师要点化出数学人思维迁移的特
色，引导学生对于如何进行数学思考进行再思考．通过指导学生回顾“做数学”的过程，深究活动中涉及的知识、方法、思路、策略，“学生的理解才可能从一
个水平升华到更高水平∞一．
么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么ａ么１么１么１么１么ａ么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１
如
何编制
压
轴
（２１２３００）
填
王海东
空
题
江苏省丹阳市第五中学
高三学生都有这样的感觉，每次大考后都说压轴填空题考的都不是原题，做过的都没有考，那这些
孔出现，只有这样才能够有效地区分学生的数学能
力，发现与培养学生的创新意识．现结合２０１４届高三各大市的模考题，就压轴填空题改编和编制谈谈
自己的看法．
方法１
移花接木法
没有做过的题目是怎么编出来的，笔者也一直有这
样的疑惑，就加强了这方面的研究．０５年新课改我
们江苏高考数学试卷改革，数学试卷由１４个填空加６个解答构成，填空比例非常大，所以压轴填空题不可能全部照搬照抄现成的试题，一定要力争以新面
移花接木法，就是把表面上不同，而问题实质一
致的若干个问题有机地衔接在一起，老师要有发散
・１８・
中学数学研究
２０１５第５期
性思维，能够左右逢源，触类旁通，实现“横向到边”的效能，有利于培养学生思维的综合性．…
题１
（２０１４南京一模）若关于菇的不等式（积
一２０）ｌｇ丝≤０对任意的正实数戈恒成立，则实数口
的取值范围是
．
分析：由题意可知口＞０，作出函数八戈）＝似一
２０和ｇ（菇）＝ｌｇ等的筒图．由题意以茄）・ｇ（石）≤ｏ
恒成立，所以两个函数的零点相同，即垫：２口，所以
“
口＝／ｌｏ（负值舍去）．
本题解法数形结合，解题时用到了ｙ＝ｌｇ警的
单调性，思考是否可以把对数函数换成高中常用的
二次函数，指数函数，三角函数等来改编题目，如换成二次函数可以改编为下题．
变１
若不等式（ｏ并一１）［３石２一（口＋１）搿一１］
≥０对任意并∈（０，＋∞）恒成立，则实数口的值为
题２
（２０１４南京二模）设函数八戈）＝∞＋
ｓｉ似＋ｃｏ蚍．若函数八戈）的图像上存在不同的两点Ａ，曰，使得曲线ｙ＝八石）在点Ａ，曰处的切线互相垂
直，则实数口的取值范围为
．
分析，（菇）＝ｏ＋瓜ｏｓ（ｘ＋军）∈［口一厄，ｏ
＋拉］，存在点Ａ，日处的切线互相垂直，即厂（％）・厂（茗。）＝一１有解，由零点存在性定理得至少有０∈
［口一拉，口＋在］，即一在≤口≤在．此时只需满足（口
＋拉）・（ｏ一在）≤一ｌ，解得一ｌ≤ｏ≤１．本题的关键是利用厂（硝）・厂（戈。）＝一１有解去求口的取值范围．理解本质可以编一个双变量的题目，加大难
度．
变２
设函数八茁）＝Ⅱ菇＋６ｓｉ眦．若函数以戈）的
图像上存在不同的两点Ａ，日，使得曲线ｙ＝以菇）在
点Ａ，Ｂ处的切线互相垂直，则６２＋２口的最小值为
题３
（２０１４丹阳模拟）设函数八石）＝
√ｎ菇２＋缸＋ｃ（ｎ＜ｏ）的定义域为Ｄ，若所有点（ｓ，
八ｆ））（ｓ，￡∈Ｄ）构成一个正方形区域，则口的值为
岸山Ｊ＝２厅’．．．。＝“
此题中正方形边长相等，那函数的定义域与值
域的区间长度相等，若令ｃ＝０可以改编为一种常规
的题型，也有一定的难度．
变３
已知函数八ｘ）＝￣／ｏ戈２＋如，存在正数
６，使得八菇）定义域和值域相同，则非零实数口的值
为——．
方法２
常规题拓展改编
借助平时练习中的素材和背景，采用拓展追问的方式，引发学生深层次的思维活动，实现“纵向到底”的功效，这种方法的好处是能够培养学生的数学探究能力．
如基本不等式中经常做这样的题目，①已知正
数算，），满足并＋ｙ＋３＝石ｙ，则ｚ），的取值范围为
足戈＋２ｙ＋３＝２戈ｙ，则并ｙ的取值范围为——．
．改变系数变得难一些，（参已知正数戈，，，满
①②解题思路相同，可以由基本不等式解出．再加
大难度可以把②中条件等价变为上＋去＋熹＝ｌ，
算
二ｙ
二菇了
在问法设计上，要求不仅要求出戈ｙ最小值，还要能指出何时取最值，填空只有一个空格，怎么填出更多的内容．２０１４无锡期末考卷这题编的就很有新意，以圆为背景与基本不等式完美结合，一个空格考查
了更多的内容，给人启示，我们以后命题也可以把基本不等式的题目改编成这样的题型．
题４
若第一象限内的动点Ｐ（石，ｙ）满足土＋
亡＋≠Ｌ＝１，Ｒ＝戈ｙ，则以Ｐ为圆心Ｒ为半径且面积二ｊ）厶ｘｊ）
最小的圆的方程为
．
方法３
背景转换
背景转换就是指常规题型换个背景，给人耳目一新的感觉，如函数题编成数列题，函数最值题编为
线性规划题，椭圆题编为双曲线题，三角题编为导数
题等．
题５
已知以石）＝ｌｏｇ：（戈一２），若实数ｍ，ｎ满
足八ｍ）＋八２ｎ）＝３，则ｍ＋ｎ的最小值是
分析以ｍ）＋八２ｎ）＝３代入化简得（ｍ一２）・
（ｎ—１）＝４，ｍ＋ｎ＝（，ｎ一２）＋（ｎ一１）＋３≥
２￣／（ｍ一２）（ｎ一１）＋３＝７．本题考查对数函数与基本不等式，比较灵活，难度中等．换个数列背景可
以变为
２０１５年第５期
变５
中学数学研究
・１９・
公差为ｄ，各项均为正整数的等差数列
ｏ。｝中，若ｎ。＝１，口。＝６５，则ｎ＋ｄ的最小值等于
且满足ＰＭ・ＰⅣ＝０．若ＰＱ＝Ｐ肼＋ＰⅣ，则ｌＰＱＩ的
最小值为
．
小值．
题６求函数八菇）＝铧（戈＞丢）的最分析：本题是比较典型的八石）＝型等
数列是特殊的函数，换个数列背景本题可以改
变６
（改编２）根据圆的对称性，让Ｐ在圆戈２＋），２＝
５运动，这样也不会改变原题答案，但Ｐ，Ｍ，Ⅳ都运动起来，必然加大试题难度．
变８
在平面直角坐标系戈Ｄｙ中，已知圆Ｄ：戈２
＋ｙ２＝１６，若点Ｐ在圆戈２＋ｙ２＝５上运动，Ｍ，Ⅳ为
求最值问题，可用求导或基本不等式解决以菇）＝
圆０上不同的两点，且满足删・ＰⅣ＝０．若ＰＱ＝
ＰＭ＋ＰⅣ，则ＩＰＱＩ的最小值为
方法５
题型改造
｝［（２戈一１）＋丢告］＋竽≥２ｌ，所以以石）最小值
为２１．
编为很好的数列题．
高考试题命题材料好，考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，变为一道新颖的填空
题．
数列｛ｎ。｝的前ｎ项和为Ｊｓ。，若｛口。｝和
．
｛５。｝都是等差数列，则垒坐的最小值是
Ⅱ“
高考选择题改编
题８
本题是由２０１０年江苏高考第１９题第１问与题６结合改编，原题：设各项均为正数的数列｛口。｝的前ｎ
（２０１４湖北第１０题）已知函数以咒）是定
１
义在ＪＲ上的奇函数，当ｘ≥ｏ时以茗）＝÷（Ｉ
二
ｚ一
项和．ｓ。，已知２口：＝ｏ，＋ｏｓ，数列｛√石）是公差为ｄ
的等差数列，求数列｛ｎ。｝的通项公式．
方法４
将问题特殊化或一般化改编
０２
Ｉ＋Ｉｚ一２０２
Ｉ一３口２），若Ｖ戈∈尺√＾（戈一１）≤
．
以戈），则实数口的取值范围为
将问题特殊化或一般化改编可以是曲具体数字推广到一般性字母，也可以由有限项拓展到无限项，
定点拓展到动点等．
题７
本题考查了函数的奇偶性性质，分段函数，最值及恒成立，较难．
题９
（２０１４新课标Ⅱ第１２题）设函数八菇）＝
（２０１４常州期末）在平面直角坐标系戈０ｙ
届ｉｎ警．若存在八戈）的极值点戈。满足戈。２＋
［厂（菇。）］２＜ｍ２，则ｍ的取值范围是等．考查三角函数的极值点，有新意．
．
中，已知圆０：菇２＋），２＝１６，点Ｐ（１，２），Ｍ，Ⅳ为圆Ｄ
上不同的两点，且满足删・Ｐ，ｖ＝０．若Ｐ（）＝删＋
ＰⅣ，则ＩＰＱ轨迹法求解．
本题考查函数极值点，存在性，不等式，难度中高考解答题改编
（２０１４江苏第１９题）已知函数八戈）＝ｅ。＋ｅ一，
其中ｅ是自然对数的底数．（１）略；（２）若关于算的不
Ｉ的最小值为——．
。
分析：本题解法思路灵活，较难．下面给出一种
取肘Ⅳ的中点日，连结ＰＨ，０Ｐ，Ｄ日，设日（ｘｏ，
ｙｏ、），电ｏＨ２＋Ｈ抒＝１Ｌ６，ＨＭ＝ＨＰ祷。砰＋Ｈ矿＝
等式，吹戈）≤ｅ１＋ｍ一１在（０，＋∞）上恒成立，求
实数ｍ的取值范围；（３）已知正数。满足：存在‰∈
１６，所以菇：＋），ｊ＋（ｚｏ一１）２＋（‰一２）２＝１６，即（戈。
一÷）ｚ＋（％一１）：：孕．设Ｑ（”），则
，
［１，＋∞），使得八戈。）＜ｏ（一戈；＋３‰）成立．试比较
ｅ”１与ｏ”１的大小，并证明你的结论．
菇＋ｌ
第二问改为
题１０
若关于戈的不等式ｍｅ。＋（ｍ一１）ｅ一一
Ｉ石ｏ２—ｉ一，
｛【拍２７，
变７
Ｑｍｉｎ躬万施ｙ二２耐∥。２７，所以Ｐ
ｍ＋１≤０在算∈（０，＋∞）上恒成立，则实数ｍ的
取值范围为
第三问改为题１１
．
（改编１）根据圆的对称性将点Ｐ放在特殊位
置，仍然不改变答案，但可以稍微降低难度．
若存在戈∈［１，＋∞），使得ｅ。＋ｅ１＜
在平面直角坐标系ｚｏｙ中，已知圆０：ｚ２
口（一ｚ３＋３菇）成立，则正数口的取值范围为
＋严＝１６，点Ｐ（帕，ｏ），Ｍ，Ⅳ为圆Ｄ上不同的两点，
・２０・
中学数学研究
２０１５第５期
上述两题都是非常好的填空题，题１０考查恒成下手，是二一道非常严格的把关题．无奈之中，部分学
立，用分离参数和基本不等式求解．题１１考查存在
生直接取凡＝ｌ算得ｍ的最小值为５来应付，然而５
性问题，转化为构造函数求最值问题．
正是最终的正确结果．有的同学碰运气却有不费吹填空题命题还需注意的事项拉１
灰之力的意外之喜，这样的缺憾存在，会严重伤害考在填空命题时，还应注意以下几点：（１）所填内查的可信度，也是每一位命题者应竭力避免的．旧。
容是题目这个陈述旬的关键词，所要填写的内容应本文主要讲了压轴填空题的改编和编制方法，当清晰、突出，且所填内容不宜过长．除个别开放性其实数学试题的命制，不只是在教学检测环节才需问题外，所填的内容大多是唯一的．（２）文字叙述应要，与教师平时的教学也是密不可分的，作为教师，当准确、简练，题干不宜过长．（３）空格不宜过多，确
研究试题的命题方法，不仅可以提高自己的数学命保题目表述的完整性与科学性．一般不超过两个空
题能力，而且能够更好地培养学生的思维能力，提高
格，最好只留一个空格．（４）压轴填空题不能让学生课堂教学效率．
随便取个特殊值就正好做出正确答案．如２Ｑ１２盐城
２模的压轴填空题可能考虑的不是很全面．
参考文献
题１２
在等差数列｛ｏ。｝中，ｏ：＝５，ｏ。＝２１，记
［１］卓斌．例谈改编高中数学教材例习题的常用方法［Ｊ］．数
数列｛上｝的前ｎ项和为．ｓ。，若Ｊｓ：川一ｓ。≤罢对凡∈
学通报，２０１１（２）：１６—１９．
Ｌｏｎ
Ｊ
工Ｊ
［２］刘明．高中数学试题的命题方法［Ｊ］．中学数学教学参
Ⅳ＿匣成立，则正整数ｍ的最小值为
考，２０１３（３）：５３—５５．
．．
本题构造了数列多重知识和方法的综合应用，
［３］臧殿高．把关试题的鉴赏与思考［Ｊ］．中学数学教学参思维和计算上均有明显难度，大部分学生甚至无从
考，２０１４（３）：６０—６２．
ｚａ么１么１么１么１么ａ么１么１么１么１么１么１么１么１么１
ｃＡ￡Ａ胡ｚａ绢么ｔ么Ｉ么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１么１
一个猜想不等式的肯定及推广
江苏省泰州市姜堰区实验初级中学（２２５５００）潘庆
江苏泰州市姜堰区沈高镇夏朱村
（２２５５３８）
陈罗英
题目
设ｎ，６，ｃ是正实数，且口＋６＋ｃ＝１，则证明：按题意口，６，ｃ是正买数，且ｎ＋６＋ｃ＝１，
有（熹刊（土－６）（点．ｃ）≥（詈）３（１）
贝００《ｏ，６，ｃ＜１，要证（１＋口”）（１＋６“）（１＋ｃ“）≥
在文［１］中马占山罗江萍两位老师给出了不等
（１＋者）３，只需证ｌｎ（１＋口“）＋ｌｎ（１＋６“）＋ｌｎ（１＋
式（１）的“又一简证”．进而提出并证明了三个探究．其中
探究２
设口，６，ｃ是正实数，且口＋６＋ｃ＝１，则
（１＋口，）（１＋６，）（１＋ｃ。）≥（罂）３
（２）
ｍ）＝篙＞叭戈）＝号攀＞
ｃ４）≥１ｎ（１＋古）３＝３ｌｎ（１＋专）．
构造函数八菇）＝ｌｎ（１＋菇“）（算∈（０，１）），则
探究３
设ｏ，６，ｃ是正实数，且ｏ＋６＋ｃ＝１，则
０（ｎ≥２，０＜ｚ＜１），可知，函数以ｚ）＝ｌｎ（１＋（１＋。２）（１＋６２）（１＋ｃ２）≥（尝）３
（３）
戈“）（ｚ∈（０，１））是严格下凸函数．由琴生不等式知
最后提出猜想
八戈，）＋八ｚ：）＋…＋八戈。）≥矾鱼二兰＿二二±鱼），依
设ｏ，６，ｃ是正实数，口＋６＋ｃ＝１，ｎ≥２，则（１＋
次取石１＝ｏ，戈２＝６，戈３＝ｃ，则厂（ｏ）＋八６）＋以ｃ）≥
０４）（１＋６“）（１＋ｃ“）≥（１＋：｝）３
（４）
轨型萼旦），即ｌｎ（１＋ｏ“）（１＋６ｎ）（１＋ｃｎ）：
在探究中笔者发现，该猜想成立．且可推广．