高三文科数学专题复习之圆锥曲线
--椭圆
（一）椭圆
x2y2
1. 椭圆的性质：由椭圆方程2+2=1(a>b>0)
ab
（1）范围：-a≤x≤a，-b≤x≤a，椭圆落在x=±a，y=±b组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆
的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3 椭圆共有四个顶点：A(-a,0),A2(a,0)，B(0,-b),B2(0,b)。加两焦点
F1(-c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为
2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e=
bc
⇒e=-()2。0
aa
椭圆形状与e的关系：e→0,c→0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆
为椭圆在e=0时的特例。e→1,c→a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。
3. 椭圆的准线方程
a2x2y2a2
对于2+2=1，左准线l1:x=-；右准线l2:x=
ccaba2y2x2a2
对于2+2=1，下准线l1:y=-；上准线l2:y=
ccaba2a2-c2b2
焦点到准线的距离p=（焦参数） -c==
ccc
x2y2
1.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直
ab3a
上一点，∆F2PF1是底角为30 的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 21234
(A) (B) (C) (D)
2345
2.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4，则该椭圆的方
线x=程为
x2y2x2y2
+=1 （B）+=1 （A）
1612128x2y2x2y2
+=1 （D）+=1 （C）84124
3.【2012高考上海文16】对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx+ny=1的曲线是椭圆”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
2
2
x2y2
4.【2012高考江西文8】椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦
ab
点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
A.
11
B. C.
D.
542
x2y2
5.椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）
259
A．5 B．6 C．4 D．10
x2y2
6.【2012高考四川文15】椭圆2+=
1(a为定值，且a>的的左焦点为F，直线
a5
x=m与椭圆相交于点A、B，∆FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
7.已知椭圆错误！未找到引用源。（a>b>0）,点P（错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）在椭圆上，椭圆的离心率是______。
x2y2
8.【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右
ab⎛e焦点分别为F1(-c，0)．已知(1，
e)和 0)，F2(c， 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心⎝⎭
率．椭圆的方程是______。
x2y2
9.【2012高考广东文20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C12+2=1（a>b>0）
ab
的左焦点为F1(-1,0)，且点P(0,1)在C1上.椭圆C1的方程是______。
x2y2
10.【2102高考北京文19】已知椭圆C：2+2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），
ab
， 椭圆C的方程是______。
x2y211.【2012高考山东文21】 如图，椭圆M:2+2=1(a>b>
0)，直线x=±a
ab
和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8. 椭圆M的标准方程是______。
；
12.【2012高考湖南文21】在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.椭圆E的方程是______。
1
的椭圆E2
x2
+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C113【2012高考陕西文20】已知椭圆C1:4
有相同的离心率，椭圆C2的方程是______。
14.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
x2y2
如图，F1,F2分别是椭圆C：2+2=1（a>b>0）
ab
的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a, b 的值.
1.【解析】∵△F2PF1是底角为300的等腰三角形，
33
a，∴e=，故选C. 24
2.【解析】因为2c=4⇔c=2，由一条准线方程为x=-4可得该椭圆的焦点在x轴上县
∴∠PF2A=60，|PF2|=|F1F2|=2c，∴|AF2|=c，∴2c=
a2
=4⇔a2=4c=8，所以b2=a2-c2=8-4=4。故选答案C c
⎧m>0,⎪
3.【解析】方程mx2+ny2=1的曲线表示椭圆，常数常数m,n的取值为⎨n>0,所以，由
⎪m≠n,⎩
mn>0得不到程mx2+ny2=1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示
椭圆，能推出mn>0，因而必要.所以答案选择B.
4.【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF1=a-c，F1F2=2c，
F1B=a+c.又已知AF1，F1F2，F1B成等比数列，故(a-c)(a+c)=(2c)2，即
a2-c2=4c2，则a2=5c2.
故e=
5. A
c=.
即椭圆的离心率为. a55
2
2
6.[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又 a-c=5∴c=2,∴e=
c2
=a3
1212aab25b232a,a
)在椭圆上⇔2+2=1⇔2=⇔e=1-2=⇔e=点P
52aba8a87
8.由题设知，a2=b2+c2，e=，由点(1，e)在椭圆上，得
12a
2
c
a
+
e2b
2
=1⇒
1a
2
+
c2ab
2
22222222
=1⇒b+c=ab⇒a=ab⇒b=12
，
⎛e∴c2=a2-
1。由点 在椭圆上，得
2⎝⎭
e2⎝⎭c2⎝⎭a2-13422
=1⇒+=1⇒+=1⇒a-4a+4=0⇒a=2 2+244
14abaa
22
x2
∴椭圆的方程为+y2=1。
2
9. 因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0)，所以c=1，
x2y21
点P(0,1)代入椭圆2+2=1，得2=1，即b=1，
abb
所以a=b+c=2，
2
2
2
x2
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
2
⎧a=2⎪
x2y2⎪c
10.
解：由题意得⎨解得b=.所以椭圆C的方程为+=1. =
42⎪2a222
⎪a=b+c⎩
ca2-b2311.e==⇒=„„① 2
aa4
矩形ABCD面积为8，即2a⋅2b=8„„② 由①②解得：a=2,b=1，
x2
∴椭圆M的标准方程是+y2=1.
4
12. 由x+y-4x+2=0，得(x-2)+y=2.故圆Ｃ的圆心为点
2
2
2
2
x2y2
(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为2+2=1(a>b>0),其焦距为2c，由题设知
abx2y2c1222
=1. c=2,e==,∴a=2c=4,b=a-c=12.故椭圆Ｅ的方程为：+
1612a2
y2x2
=1(a>2)，13.由已知可设椭圆C2的方程为2+ a4
a=4．= y2x2
．
故椭圆C2的方程为16+4=1
14.【解析】（I）∠F1AF2=60⇔a=2c⇔e=
ο
c1
= a2
（Ⅱ）设BF2=m；则BF1=2a-m
在∆BF1F2中，BF1=BF2+F1F2-2BF2⨯F1F2⨯cos120 ⇔(2a-m)2=m2+a2+am⇔m=
2
2
2
ο
3a 5
113S=⨯F2F1⨯AB⨯sin60ο⇔⨯a⨯(a+a)⨯= ∆
AF1B面积2252
⇔a=10,c=5,b=
高三文科数学专题复习之圆锥曲线
--椭圆
（一）椭圆
x2y2
1. 椭圆的性质：由椭圆方程2+2=1(a>b>0)
ab
（1）范围：-a≤x≤a，-b≤x≤a，椭圆落在x=±a，y=±b组成的矩形中。 （2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆
的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
（3 椭圆共有四个顶点：A(-a,0),A2(a,0)，B(0,-b),B2(0,b)。加两焦点
F1(-c,0),F2(c,0)共有六个特殊点。A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴。长分别为
2a,2b。a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。e=
bc
⇒e=-()2。0
aa
椭圆形状与e的关系：e→0,c→0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆
为椭圆在e=0时的特例。e→1,c→a,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
2. 椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。
3. 椭圆的准线方程
a2x2y2a2
对于2+2=1，左准线l1:x=-；右准线l2:x=
ccaba2y2x2a2
对于2+2=1，下准线l1:y=-；上准线l2:y=
ccaba2a2-c2b2
焦点到准线的距离p=（焦参数） -c==
ccc
x2y2
1.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直
ab3a
上一点，∆F2PF1是底角为30 的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 21234
(A) (B) (C) (D)
2345
2.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4，则该椭圆的方
线x=程为
x2y2x2y2
+=1 （B）+=1 （A）
1612128x2y2x2y2
+=1 （D）+=1 （C）84124
3.【2012高考上海文16】对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx+ny=1的曲线是椭圆”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
2
2
x2y2
4.【2012高考江西文8】椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦
ab
点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为
A.
11
B. C.
D.
542
x2y2
5.椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）
259
A．5 B．6 C．4 D．10
x2y2
6.【2012高考四川文15】椭圆2+=
1(a为定值，且a>的的左焦点为F，直线
a5
x=m与椭圆相交于点A、B，∆FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
7.已知椭圆错误！未找到引用源。（a>b>0）,点P（错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）在椭圆上，椭圆的离心率是______。
x2y2
8.【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右
ab⎛e焦点分别为F1(-c，0)．已知(1，
e)和 0)，F2(c， 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心⎝⎭
率．椭圆的方程是______。
x2y2
9.【2012高考广东文20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C12+2=1（a>b>0）
ab
的左焦点为F1(-1,0)，且点P(0,1)在C1上.椭圆C1的方程是______。
x2y2
10.【2102高考北京文19】已知椭圆C：2+2=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），
ab
， 椭圆C的方程是______。
x2y211.【2012高考山东文21】 如图，椭圆M:2+2=1(a>b>
0)，直线x=±a
ab
和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8. 椭圆M的标准方程是______。
；
12.【2012高考湖南文21】在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.椭圆E的方程是______。
1
的椭圆E2
x2
+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C113【2012高考陕西文20】已知椭圆C1:4
有相同的离心率，椭圆C2的方程是______。
14.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）
x2y2
如图，F1,F2分别是椭圆C：2+2=1（a>b>0）
ab
的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a, b 的值.
1.【解析】∵△F2PF1是底角为300的等腰三角形，
33
a，∴e=，故选C. 24
2.【解析】因为2c=4⇔c=2，由一条准线方程为x=-4可得该椭圆的焦点在x轴上县
∴∠PF2A=60，|PF2|=|F1F2|=2c，∴|AF2|=c，∴2c=
a2
=4⇔a2=4c=8，所以b2=a2-c2=8-4=4。故选答案C c
⎧m>0,⎪
3.【解析】方程mx2+ny2=1的曲线表示椭圆，常数常数m,n的取值为⎨n>0,所以，由
⎪m≠n,⎩
mn>0得不到程mx2+ny2=1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示
椭圆，能推出mn>0，因而必要.所以答案选择B.
4.【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：AF1=a-c，F1F2=2c，
F1B=a+c.又已知AF1，F1F2，F1B成等比数列，故(a-c)(a+c)=(2c)2，即
a2-c2=4c2，则a2=5c2.
故e=
5. A
c=.
即椭圆的离心率为. a55
2
2
6.[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又 a-c=5∴c=2,∴e=
c2
=a3
1212aab25b232a,a
)在椭圆上⇔2+2=1⇔2=⇔e=1-2=⇔e=点P
52aba8a87
8.由题设知，a2=b2+c2，e=，由点(1，e)在椭圆上，得
12a
2
c
a
+
e2b
2
=1⇒
1a
2
+
c2ab
2
22222222
=1⇒b+c=ab⇒a=ab⇒b=12
，
⎛e∴c2=a2-
1。由点 在椭圆上，得
2⎝⎭
e2⎝⎭c2⎝⎭a2-13422
=1⇒+=1⇒+=1⇒a-4a+4=0⇒a=2 2+244
14abaa
22
x2
∴椭圆的方程为+y2=1。
2
9. 因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0)，所以c=1，
x2y21
点P(0,1)代入椭圆2+2=1，得2=1，即b=1，
abb
所以a=b+c=2，
2
2
2
x2
所以椭圆C1的方程为+y2=1.
2
⎧a=2⎪
x2y2⎪c
10.
解：由题意得⎨解得b=.所以椭圆C的方程为+=1. =
42⎪2a222
⎪a=b+c⎩
ca2-b2311.e==⇒=„„① 2
aa4
矩形ABCD面积为8，即2a⋅2b=8„„② 由①②解得：a=2,b=1，
x2
∴椭圆M的标准方程是+y2=1.
4
12. 由x+y-4x+2=0，得(x-2)+y=2.故圆Ｃ的圆心为点
2
2
2
2
x2y2
(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为2+2=1(a>b>0),其焦距为2c，由题设知
abx2y2c1222
=1. c=2,e==,∴a=2c=4,b=a-c=12.故椭圆Ｅ的方程为：+
1612a2
y2x2
=1(a>2)，13.由已知可设椭圆C2的方程为2+ a4
a=4．= y2x2
．
故椭圆C2的方程为16+4=1
14.【解析】（I）∠F1AF2=60⇔a=2c⇔e=
ο
c1
= a2
（Ⅱ）设BF2=m；则BF1=2a-m
在∆BF1F2中，BF1=BF2+F1F2-2BF2⨯F1F2⨯cos120 ⇔(2a-m)2=m2+a2+am⇔m=
2
2
2
ο
3a 5
113S=⨯F2F1⨯AB⨯sin60ο⇔⨯a⨯(a+a)⨯= ∆
AF1B面积2252
⇔a=10,c=5,b=