课 题：椭圆及其标准方程 (1) 教学目的：
12、熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆
34、启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 授课类型：新授课课时安排：2课时教 具教学过程：
一、新知引入：
1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔²波普彗星将逐渐接近
地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还
年2月至3月间,如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔²波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）
2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？
（2）在这个运动过程中，什么是不变的？
二、讲解新课： 1、椭圆定义：
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫
作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点--- （2）绳长--思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫
2、根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c>0）.
则F1(-c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a>2c)（常数） ∴P={PPF1+PF2=2a}
又 PF1=(x+c)2+y2，
∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a，
化简，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， 由定义2a>2c,∴a2-c2>0
令∴a2-c2=b2代入，得 b2x2+a2y2=a2b2，
x2y2
两边同除ab得 2+2=1
ab
此即为它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭其中a2=c2+b如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成
2
2
x2y2
F1(0,-c),F2(0,c),只要将方程2+2=1中的x,y调换，即可得
ab
y2x2
+2=1，也是2
ab理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；2222xyyx在2+2=1与2+2=1这两个标准方程abab
中，都有a>b>0的要求，如方程x2y2
+=1(m>0,n>0,m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标mn
xyx2y2
准方程，可与直线截距式+=1类比，如2+2=1中，由于a>b，所以在x
abab
轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小
三、讲解范例：
例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离 之和等于10；
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2y2
2+2=1 (a>b>0)
ab
2a=10,2c=8
∴a=5,c=4
∴b2=a2-c2=52-42=9
x2y2
+=所以所求椭圆标准方程为
259
若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何； 四、课堂练习：
x2y2
+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距1、椭圆
259
离为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 A.5 B.6 C.4 D.10
x2y2
+=1的焦点坐标是„„„„„„„„„„„„„„„【 】 2.椭圆
25169
A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±13) D.(±13，0) 3. a=6,c=1,焦点在y五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a>2b>0；
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定； ③a、b、c的几何意义六、课后作业：
1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,cx2y2x2y2x2y2
+=1；②+=1；③-=1；④4y2+9x2=①224242
x2y2
+=1的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦椭圆
169
点F1的弦，则∆F2CD
课题：椭圆的标准方程（2） 教学目的：
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2教学重点：教学难点：待定系数法 课时安排：2课时 授课类型：新授课 教学过程： 一.复习回顾
椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)
（2）2a
a>b>0②是a2=b2+c2（要区别与习惯思维下的勾股定理c2=a2+b2）； ③是定方程“型”与曲线“形”．
二.例题讲解
例1: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).
(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (3)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
(4)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,－10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.
(5)求与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点,且过点(3,-2).
例2: 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程
变式：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。
例3:(1)方程Ax2+By2=C是否可以表示椭圆?若能表示椭圆,则A,B,C需要满足的条件是什么?
x2y2
+=1表示椭圆,求k的取值范围. (2)若方程
3+k2-k
小结：
（1）椭圆的定义及标准方程；
（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中a,b,c的关系； （3）掌握判断焦点的方法；
Ax2+By2=C在一定的条件之下可以表示椭圆，有时利于解题；
如何来求椭圆方程？
（4）用定义法求椭圆的方程
课题：椭圆的几何性质
教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.
教学重、难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 课时安排：2课时
教学过程： （一）复习：
1．椭圆的标准方程. （二）新课讲解： 1．范围：
x2y2y
由标准方程知，椭圆上点的坐标(x,y)满足不等式2≤1,2≤1，
abB2
∴x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b， A2 A1说明椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里. O F2 x A2 2．对称性：
在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,-y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以-x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以-x代替x，-y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是
对称中心，
椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，则B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个
交点。同理令y=0得x=±a，即A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，
a和b分
别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt∆OB2F2中，
|OB2|=b，
|OF2|=c，|B2F2|=a，且|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2，即c2=a2-c2． 4．离心率：
c
椭圆的焦距与长轴的比e=叫椭圆的离心率.
a
∵a>c>0，∴0
圆越扁；
当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2． （三）例题分析：
例1．求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．
x2y2
解：把已知方程化为标准方程2+2=1，a=5，b=4，
ab
∴c==3，
c3
∴椭圆长轴和短轴长分别为2a=10和2b=8，离心率e==，
a5
焦点坐标F1(-3,0)，F2(3,0)，顶点A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0,-4)，
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P(-3,0)、Q(0,-2)；
（2）长轴长等于20，离心率等于3
5
．
解：（1）由题意，a=3，b=2，又∵长轴在x轴上，
x2y2
所以，椭圆的标准方程为9+
4=1． （2）由已知2a=20，e=c3
a=5
，
∴a=10，c=6，∴b2=102-62=64，
所以，椭圆的标准方程为
x2y2y2100+64=1或100+x2
64
=1．
五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．
B2(0,4)．
课题：椭圆的综合应用
【学习目的】：1、掌握椭圆中的定义解题和几何性质的应用；
2、能够学会分析问题和创造地解决问题及提高综合的应用能力；
【学习重点】：椭圆方程的综合应用 [课时安排]：2课时
【小题训练】：
x2y2
+=1的焦点坐标是„„„„„„„„„„„„„„【 】 1、椭圆
m-2m+5
（A）(±7, 0) （B）(0, ±7) （C）(±7,0) （D）(0, ±7) 2
=10为不含根式的形式是„【 】
x2y2x2y2x2y2x2y2
=1 （B）+=1 （C）+=1 （D）+=1 （A）+
[1**********]925
1
3、若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线
3
的方程是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 x2y2x2y2x29y2x2y2
+=1 （B）+=1 （C）+=1 （D）+=1 （A）
[1**********]
x2y2
=1上一点，以点P以及焦点F1, F2为顶点的三角形的面4、点P为椭圆+
54
积为1，则点P的坐标是„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】
（A） (
±
, 1) （B）
(, ±1) （C）
(, 1) （D）(
±, ±2222
1)
5、若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为„„„„„„„„„„„„【 】
x2y2x2y2
+=1(y≠0) （B）+=1(y≠0) （A）
1003610084x2y2x2y2
+=1(x≠0) （D）+=1(x≠0) （C）
1003610084
6、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为„„„【 】
3391
2 （C） （D） （A） （B）35410
【典型例题】：
x2y2
例1、椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a,0), B(0,b)的直线的
ab
例2、在△ABC中，B（－2，0）、C（2，0）、A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC满足的条件及相应的右边
.
x2y2
例3、已知椭圆方程：2+2=1(a>b>0)， 设F为椭圆的一个焦点，P是椭
ab
圆上的一点；
（1）一平行于x轴的直线 l交椭圆于A、B两点，求证：AF+BF为定值。 （2）设长轴的两端点为A、B，连接AP、BP分别交短轴所在直线于M、N求证：
OM⋅ON为定值。
【达标作业】：
x2y2
1、点P是长轴在x轴上的椭圆2+2=1上的点，F1, F2分别为椭圆的两个焦
ab
点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|²|PF2|的最大值与最小值之差一定是【 】 （A）1 （B）a2 （C）b2 （D）c2
2、一个圆心在椭圆右焦点F2，且过椭圆的中心O(0, 0)，该圆与椭圆交于点P，设F1是椭圆的左焦点，直线PF1恰和圆相切于点P，则椭圆的离心率是【 】
（A）3－1 （B）2－3 （C）
2
（D） 22
3、
【 】
（A）3 （B）8 （C）13 （D）16
x2y2
+=1上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2, 4、如果椭圆N是MF1的中8125
点,O是坐标原点,则ON的长为 【 】
3
（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
2
x2y2
+=1上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=60°， 5、P为椭圆
10064
则△F1PF2的面积为 ；
6、椭圆的两焦点为F1(－4, 0), F2(4, 0)，点P在椭圆上，已知△PF1F2的面积
的最大值为12，则此椭圆的方程是 ；
7、线段AB=4，PA+PB=6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，PM长度的最大值、最小值分别为 、 ；
x2y2
=1具有相同的离心率且过点（2，
8、与椭圆+
43
是 ；
9、设圆(x+1)2+y2=1的圆心为C，A(1, 0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一
点，AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M，则点M的轨迹方程为 ；
10、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC
过椭圆中心O，如图，且²=0，BC=2AC，求椭圆的方程。
课题:双曲线的标准方程（1） 【教学目标】
:
1.知识与技能
掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法
教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】：新授课 【课时安排】：2课时【教 具】：多媒体 【教学过程】: 一.情境设置
(1)复习提问：
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ (2)探究新知:
(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？ ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹） 二．理论建构 1.双曲线的定义
引导学生概括出双曲线的定义：
定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（大于0且小于
概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2”
2.双曲线的标准方程
现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）
（1）建系
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
(2) 设点
设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a
（3）列式
由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}. 即:
x+c2+y2
-
x-c2+y2
=2a,
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。化简，整理
x+c得：
2
+y-
2
x-c2
+y=±2a
2
移项两边平方得
两边再平方后整理得
-a2x2-a2y2=a2c2-a2
2
cx-a2=±ax-c)+y2由双曲线定义知
(c
2
))
2c>2a即
c>a,∴c2-a2>0,设c2-a2=b2(b>0)x2y2
2-2=1(a>0,b>0)
ab
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），
思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?
y2x2
学生得到: 双曲线的标准方程:2-2=1,(a>b>0).
ab
注:
(1)双曲线的标准方程的特点：
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
x2y2
焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：2-2=1(a>0,b>0)；
aby2x2
焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：2-2=1(a>0,b>0)
ab
②a,b,c有关系式c2=a2+b2成立，且a>0,b>0,c>其中a与b的大小关系:可以为a=b,a(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母
x2、y2项的分母的大小来确定，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2
项的系数是正的，那么焦点在y三.数学应用
例1已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于8解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2y2
-2=1(a>0,b>02ab
∵2a=8,2c=10 ∴a=4,c=5 ∴b2=52-42=x2y2
-=1所求双曲线标准方程为
916
变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？ 变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？ 变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？ 变式4:若||PF1|-|PF2||=12呢？
四.课堂小结:双曲线的定义，标准方程 五．作业
课 题：双曲线及其标准方程（2）
1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 3教学重点：教学难点：教学过程：
一、复习引入： 双曲线的定义，标准方程 二、讲解范例
x2y2
-=1所表示的曲线。 *例1．判断方程
9-kk-3
例2．已知∆ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使
1
sinB-sinC=sinA，求点A2
例3．求与圆(x-3)2+y2=1及(x+3)2+y2=9
课堂练习
1．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
2求经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)，焦点在y
x2y2x2y2
+=1和双曲线2-=1有相同的焦点，则实数n的值是 3．椭圆
34n216n
x2y2
-=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜*4．已知F1,F2是双曲线
169
角为600，那么PF2+QF2-的值为________
高二数学达标作业
x2y2x2y2
+=1和双曲线2-=1有相同的焦点，则实数n的值是 （ ）*1．椭圆 34n216n
A ±5 B ±3 C 5 D 9
x2
-y2=1的焦点，点P在双曲线上,且∠F1PF2=900,则*2．设F1,F2是双曲线4
点P到x轴的距离为( ) A 1 B
5
C 2 D 5
x2y2
*3．P为双曲线2-2=1(a>0,b>0)上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的
ab
圆与圆x2+y2=a2的位置关系是（）
A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 4．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
*5．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
6．已知双曲线9x2-16y2=576的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积
x2y2
*（1）已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且
ab
∠F1PF2=m，求△F1PF2的面积
x2y2
*2）（已知椭圆2+2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2=m，
ab
求△F1PF2的面积
课题：双曲线的简单几何性质（共2课时）
一、教学目标
1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 二、教学重点、难点
重点：双曲线的几何性质及初步运用。 难点：双曲线的渐近线。 三、教学过程
(一)复习提问引入新课
1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格
(三)渐近线
双曲线的范围在以直线y=
bb
x和y=-x为边界的平面区域内，那么从x,y的aa
bx2y2
变化趋势看，双曲线2-2=1与直线y=±x具有怎样的关系呢？
aab
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线y=双曲线在第一象限的部分可写成：
b
x的关系。 a
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON． 在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解
x2y2
=1的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近例1求双曲线-
43
线方程．
分析：由双曲线的标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是y=±
a
x． b
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为
曲线的标准方程。
4
，求双3
x2y2
=
1共渐近线，且经过A-3点的双曲线的标准方*例3求与双曲线-
169
()
及离心率．
分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程
x2y2
=m(m∈R,m≠0) 求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为-
169
例4求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
例5 如图，设M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线l：x=
5
常数，求点M的轨迹方程．
4
16
的距离的比是5
分析：若设点M(x,y)，则
MF=
d=x-
，到直线l：x=
16
的距离5
16
，则容易得点M的轨迹方程． 5
（六）课堂练习
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程． (1)16x2－9y2=144； (2)16x2－9y2=－144． 2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
*
曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离．
课题：抛物线的标准方程 【教学目的】：
1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量； 2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平； 【教学重点】：抛物线的标准方程 【教学难点】：抛物线标准方程的不同形式 【授课类型】：新授课【课时安排】：2课时【教 具】：多媒体 【教学过程】： 一、复习引入：
1、回顾椭圆和双曲线的定义 2、生活中抛物线的引例：
3、把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了二、讲解新课： 1、 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 注: (1)定点F不在这条定直线l；
(1)定点F在这条定直线l，则点的轨迹是什么？ 2、推导抛物线的标准方程： 如图所示，建立直角坐标系，设KF=p（p>0）,
p
那么焦点F的坐标为(,0)，准线l的方程为
2px=-，
2
pp
设抛物线上的点M(x,y)，则有(x-)2+y2=|x+22
化简方程得 y2=2px(p>0 方程y2=2px(p>0)p
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(,0)，
2
p
它的准线方程是x=-2
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=-2px，x2=2py，x2=-2py.3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出KF=p（p>0），
(1)y2=2px(p>0), 焦点:(,0)，准线l：x=2pp
(2)x2=2py(p>0), 焦点:(0,)，准线l：y=-22pp
(3)y2=-2px(p>0), 焦点:(-,0)，准线l：x=22p(4) x2=-2py(p>0), 焦点:(0,-)，准线l：y=2相同点：(1)抛物线都过原点；
(2)对称轴为坐标轴；
(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称；
12pp
=； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
442
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，
方程右端为±2px、左端为y2；
图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项， 方程右端为±2py，左端为x（2）开口方向在x轴（或轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半
轴上，方程右端取正号；
开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是y2=6x （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。
33
解析：（1）p=3，焦点坐标是（，0）准线方程是x=-．
22p
（2）焦点在y轴负半轴上，＝2，
2
所以所求抛物线的标准议程是x2=-8y． 例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0） （2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类
标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
p
解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，
2
所以所求抛物线的标准议程是y2=-20x．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
9
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
2
4
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
3
94
∴所求抛物线的标准方程是y2=x或x2＝－y
23
例2 已知抛物线的标准方程是（1）y2=12x，（2）y=12x2， 求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值．
解：（1）p=6，焦点坐标是（3，0）准线方程x=-3
111
（2）先化为标准方程x2=y，p=，焦点坐标是（0，），
22448
1
准线方程是y=-.
48
四、课堂练习：
11
（1）y2＝8x （2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0 （4）y=-x2
6
2（1）焦点是F（－2，01
（2）准线方程是y=3
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y（4）经过点A（6，－23．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0； （3）根据图形判断解有几种可能 五、小结 ：
课 题：抛物线的简单几何性质（1） 教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课教学过程：
一、复习引入： 1．抛物线定义：
2．抛物线的标准方程：二、讲解新课：
注意强调p的几何意义：焦点到准线的距离
2、通径：2p 三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，灯口直径197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm，由抛物线的性质可知，当灯泡按装载抛物线的焦点处，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1 mm）
例3 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点， 求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切． 四、课堂练习：课本47页 练习 1，2，3
五、小结 ：高二数学达标作业
1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果
x1+x2=6，那么|AB|=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则
|MP|+|MF|的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、
QF的长分别是p、q，则
11
+=（ ） pq
（A）2a （B）
14 （C）4a （D） 2aa
4．过抛物线y2=4x焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是 ______
5．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
6.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2=x上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M
7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
8．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
【课 题】：抛物线的几何性质（2）
【教学目标】： 1、掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质； 2、培养学生分析问题、解决问题的能力； 【教学重点】：抛物线的性质及简单应用； 【教学难点】：抛物线的性质及简单应用； 【教学过程】：
一、小题训练
1、若直线y=kx+1与抛物线y2=x仅有一个公共点，则k的值为 ( )
11313
A. B. 0或 C.0或- D. 或-
44444
2、抛物线y2=4x关于直线x+y=0对称的抛物线方程是 （ ）
A．x2=4y B．y2=-4x C．y=4x2 D．x2=-4y
3、动点M以每秒2长度单位的速度沿直线l：y=x-2移动，则M穿过抛物线y2=4x的内部需要的时间是
4、抛物线y2=2x中被点A（1，1）平分的弦所在的直线的方程是
二、例题选讲
例1、设抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦AB的长为3，
（1）求m的值.
（2）以弦AB为底边，x轴上的P为顶点组成的三角形面积为39时，求P点坐标；
例2、过抛物线y2=2px（p>0）的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，
证明：AB与抛物线的对称轴交于定点。
例3、过抛物线y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC，它们交
抛物线于B、C两点，求直线BC的斜率
高二数学达标作业
1、顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点M（5，-4）的抛物线的方程是 （ ）
16161616
y D x2=y A y2=x B y2=x C x2=
35532、在抛物线y2=8x上有一点P，它到焦点的距离为20，则P点的坐标为3、设抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范
围为（ ）
（6，+∞）（3，+∞）+∞）+∞）A B [6， C D [3，
4、下列说法中，错误的是 （ ）
A 任何抛物线都只有一个顶点；
B 在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短；
C 过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条； D 抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短
5、过抛物线x=ay2的焦点的一条直线和抛物线交于A（x1，y1）B（x2，y2），则x1x2=
6、在抛物线y=4x2上求一点P，使得P点到直线y=4x-5的距离最短，并求出最短距离。
7、抛物线y2=ax（a>0）上有一点P（3，m），它到焦点的距离为4，求a，m的值。
8、已知A、B是抛物线y2=-7x上的点，OA⊥OB，求△AOB的面积的最小值
9、过抛物线y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC，它们交抛物线于B、C两点，求直线BC的斜率
课 题：椭圆及其标准方程 (1) 教学目的：
12、熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆
34、启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 授课类型：新授课课时安排：2课时教 具教学过程：
一、新知引入：
1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔²波普彗星将逐渐接近
地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还
年2月至3月间,如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔²波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）
2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？
（2）在这个运动过程中，什么是不变的？
二、讲解新课： 1、椭圆定义：
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫
作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点--- （2）绳长--思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）
在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫
2、根据定义推导椭圆标准方程：
取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c>0）.
则F1(-c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a>2c)（常数） ∴P={PPF1+PF2=2a}
又 PF1=(x+c)2+y2，
∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a，
化简，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， 由定义2a>2c,∴a2-c2>0
令∴a2-c2=b2代入，得 b2x2+a2y2=a2b2，
x2y2
两边同除ab得 2+2=1
ab
此即为它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭其中a2=c2+b如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成
2
2
x2y2
F1(0,-c),F2(0,c),只要将方程2+2=1中的x,y调换，即可得
ab
y2x2
+2=1，也是2
ab理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；2222xyyx在2+2=1与2+2=1这两个标准方程abab
中，都有a>b>0的要求，如方程x2y2
+=1(m>0,n>0,m≠n)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标mn
xyx2y2
准方程，可与直线截距式+=1类比，如2+2=1中，由于a>b，所以在x
abab
轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2,y2分母的大小
三、讲解范例：
例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离 之和等于10；
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2y2
2+2=1 (a>b>0)
ab
2a=10,2c=8
∴a=5,c=4
∴b2=a2-c2=52-42=9
x2y2
+=所以所求椭圆标准方程为
259
若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何； 四、课堂练习：
x2y2
+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距1、椭圆
259
离为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 A.5 B.6 C.4 D.10
x2y2
+=1的焦点坐标是„„„„„„„„„„„„„„„【 】 2.椭圆
25169
A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±13) D.(±13，0) 3. a=6,c=1,焦点在y五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a>2b>0；
②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定； ③a、b、c的几何意义六、课后作业：
1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,cx2y2x2y2x2y2
+=1；②+=1；③-=1；④4y2+9x2=①224242
x2y2
+=1的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦椭圆
169
点F1的弦，则∆F2CD
课题：椭圆的标准方程（2） 教学目的：
1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题； 2教学重点：教学难点：待定系数法 课时安排：2课时 授课类型：新授课 教学过程： 一.复习回顾
椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)
（2）2a
a>b>0②是a2=b2+c2（要区别与习惯思维下的勾股定理c2=a2+b2）； ③是定方程“型”与曲线“形”．
二.例题讲解
例1: 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).
(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. (3)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).
(4)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,－10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.
(5)求与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点,且过点(3,-2).
例2: 已知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程
变式：已知B(-3,0)，C(3,0)，CA,BC,AB的长组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。
例3:(1)方程Ax2+By2=C是否可以表示椭圆?若能表示椭圆,则A,B,C需要满足的条件是什么?
x2y2
+=1表示椭圆,求k的取值范围. (2)若方程
3+k2-k
小结：
（1）椭圆的定义及标准方程；
（2）椭圆的标准方程有两个；标准方程中a,b,c的关系； （3）掌握判断焦点的方法；
Ax2+By2=C在一定的条件之下可以表示椭圆，有时利于解题；
如何来求椭圆方程？
（4）用定义法求椭圆的方程
课题：椭圆的几何性质
教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.
教学重、难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 课时安排：2课时
教学过程： （一）复习：
1．椭圆的标准方程. （二）新课讲解： 1．范围：
x2y2y
由标准方程知，椭圆上点的坐标(x,y)满足不等式2≤1,2≤1，
abB2
∴x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b， A2 A1说明椭圆位于直线x=±a，y=±b所围成的矩形里. O F2 x A2 2．对称性：
在曲线方程里，若以-y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,-y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以-x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以-x代替x，-y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称.
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是
对称中心，
椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3．顶点：
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，则B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个
交点。同理令y=0得x=±a，即A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，
a和b分
别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt∆OB2F2中，
|OB2|=b，
|OF2|=c，|B2F2|=a，且|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2，即c2=a2-c2． 4．离心率：
c
椭圆的焦距与长轴的比e=叫椭圆的离心率.
a
∵a>c>0，∴0
圆越扁；
当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2． （三）例题分析：
例1．求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．
x2y2
解：把已知方程化为标准方程2+2=1，a=5，b=4，
ab
∴c==3，
c3
∴椭圆长轴和短轴长分别为2a=10和2b=8，离心率e==，
a5
焦点坐标F1(-3,0)，F2(3,0)，顶点A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0,-4)，
例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P(-3,0)、Q(0,-2)；
（2）长轴长等于20，离心率等于3
5
．
解：（1）由题意，a=3，b=2，又∵长轴在x轴上，
x2y2
所以，椭圆的标准方程为9+
4=1． （2）由已知2a=20，e=c3
a=5
，
∴a=10，c=6，∴b2=102-62=64，
所以，椭圆的标准方程为
x2y2y2100+64=1或100+x2
64
=1．
五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．
B2(0,4)．
课题：椭圆的综合应用
【学习目的】：1、掌握椭圆中的定义解题和几何性质的应用；
2、能够学会分析问题和创造地解决问题及提高综合的应用能力；
【学习重点】：椭圆方程的综合应用 [课时安排]：2课时
【小题训练】：
x2y2
+=1的焦点坐标是„„„„„„„„„„„„„„【 】 1、椭圆
m-2m+5
（A）(±7, 0) （B）(0, ±7) （C）(±7,0) （D）(0, ±7) 2
=10为不含根式的形式是„【 】
x2y2x2y2x2y2x2y2
=1 （B）+=1 （C）+=1 （D）+=1 （A）+
[1**********]925
1
3、若圆x2+y2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的，则所得曲线
3
的方程是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】 x2y2x2y2x29y2x2y2
+=1 （B）+=1 （C）+=1 （D）+=1 （A）
[1**********]
x2y2
=1上一点，以点P以及焦点F1, F2为顶点的三角形的面4、点P为椭圆+
54
积为1，则点P的坐标是„„„„„„„„„„„„„„„„„【 】
（A） (
±
, 1) （B）
(, ±1) （C）
(, 1) （D）(
±, ±2222
1)
5、若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为„„„„„„„„„„„„【 】
x2y2x2y2
+=1(y≠0) （B）+=1(y≠0) （A）
1003610084x2y2x2y2
+=1(x≠0) （D）+=1(x≠0) （C）
1003610084
6、如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为„„„【 】
3391
2 （C） （D） （A） （B）35410
【典型例题】：
x2y2
例1、椭圆2+2=1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a,0), B(0,b)的直线的
ab
例2、在△ABC中，B（－2，0）、C（2，0）、A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC满足的条件及相应的右边
.
x2y2
例3、已知椭圆方程：2+2=1(a>b>0)， 设F为椭圆的一个焦点，P是椭
ab
圆上的一点；
（1）一平行于x轴的直线 l交椭圆于A、B两点，求证：AF+BF为定值。 （2）设长轴的两端点为A、B，连接AP、BP分别交短轴所在直线于M、N求证：
OM⋅ON为定值。
【达标作业】：
x2y2
1、点P是长轴在x轴上的椭圆2+2=1上的点，F1, F2分别为椭圆的两个焦
ab
点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|²|PF2|的最大值与最小值之差一定是【 】 （A）1 （B）a2 （C）b2 （D）c2
2、一个圆心在椭圆右焦点F2，且过椭圆的中心O(0, 0)，该圆与椭圆交于点P，设F1是椭圆的左焦点，直线PF1恰和圆相切于点P，则椭圆的离心率是【 】
（A）3－1 （B）2－3 （C）
2
（D） 22
3、
【 】
（A）3 （B）8 （C）13 （D）16
x2y2
+=1上一点M到此椭圆一个焦点F1的距离为2, 4、如果椭圆N是MF1的中8125
点,O是坐标原点,则ON的长为 【 】
3
（A）2 （B） 4 （C） 8 （D）
2
x2y2
+=1上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=60°， 5、P为椭圆
10064
则△F1PF2的面积为 ；
6、椭圆的两焦点为F1(－4, 0), F2(4, 0)，点P在椭圆上，已知△PF1F2的面积
的最大值为12，则此椭圆的方程是 ；
7、线段AB=4，PA+PB=6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，PM长度的最大值、最小值分别为 、 ；
x2y2
=1具有相同的离心率且过点（2，
8、与椭圆+
43
是 ；
9、设圆(x+1)2+y2=1的圆心为C，A(1, 0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一
点，AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M，则点M的轨迹方程为 ；
10、已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC
过椭圆中心O，如图，且²=0，BC=2AC，求椭圆的方程。
课题:双曲线的标准方程（1） 【教学目标】
:
1.知识与技能
掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法
教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.
【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用 【教学难点】: 双曲线标准方程的推导 【授课类型】：新授课 【课时安排】：2课时【教 具】：多媒体 【教学过程】: 一.情境设置
(1)复习提问：
问题 1：椭圆的定义是什么？
问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？
问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ (2)探究新知:
(1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。
(2)设问：①|MF1|与|MF2|哪个大？
②点M到F1与F2两点的距离的差怎样表示？ ③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？
（请学生回答：应小于|F1F2| 且大于零，当常数等于|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数大于|F1F2| 时，无轨迹） 二．理论建构 1.双曲线的定义
引导学生概括出双曲线的定义：
定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（大于0且小于
概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2”
2.双曲线的标准方程
现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）
（1）建系
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
(2) 设点
设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a
（3）列式
由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}. 即:
x+c2+y2
-
x-c2+y2
=2a,
（4）化简方程
由一位学生板演，教师巡视。化简，整理
x+c得：
2
+y-
2
x-c2
+y=±2a
2
移项两边平方得
两边再平方后整理得
-a2x2-a2y2=a2c2-a2
2
cx-a2=±ax-c)+y2由双曲线定义知
(c
2
))
2c>2a即
c>a,∴c2-a2>0,设c2-a2=b2(b>0)x2y2
2-2=1(a>0,b>0)
ab
这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），
思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?
y2x2
学生得到: 双曲线的标准方程:2-2=1,(a>b>0).
ab
注:
(1)双曲线的标准方程的特点：
①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
x2y2
焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：2-2=1(a>0,b>0)；
aby2x2
焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：2-2=1(a>0,b>0)
ab
②a,b,c有关系式c2=a2+b2成立，且a>0,b>0,c>其中a与b的大小关系:可以为a=b,a(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母
x2、y2项的分母的大小来确定，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2
项的系数是正的，那么焦点在y三.数学应用
例1已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于8解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2y2
-2=1(a>0,b>02ab
∵2a=8,2c=10 ∴a=4,c=5 ∴b2=52-42=x2y2
-=1所求双曲线标准方程为
916
变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？ 变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？ 变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？ 变式4:若||PF1|-|PF2||=12呢？
四.课堂小结:双曲线的定义，标准方程 五．作业
课 题：双曲线及其标准方程（2）
1．使学生掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用； 2．使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 3教学重点：教学难点：教学过程：
一、复习引入： 双曲线的定义，标准方程 二、讲解范例
x2y2
-=1所表示的曲线。 *例1．判断方程
9-kk-3
例2．已知∆ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使
1
sinB-sinC=sinA，求点A2
例3．求与圆(x-3)2+y2=1及(x+3)2+y2=9
课堂练习
1．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
2求经过点P(-3,27)和Q(-62,-7)，焦点在y
x2y2x2y2
+=1和双曲线2-=1有相同的焦点，则实数n的值是 3．椭圆
34n216n
x2y2
-=1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，且PQ的倾斜*4．已知F1,F2是双曲线
169
角为600，那么PF2+QF2-的值为________
高二数学达标作业
x2y2x2y2
+=1和双曲线2-=1有相同的焦点，则实数n的值是 （ ）*1．椭圆 34n216n
A ±5 B ±3 C 5 D 9
x2
-y2=1的焦点，点P在双曲线上,且∠F1PF2=900,则*2．设F1,F2是双曲线4
点P到x轴的距离为( ) A 1 B
5
C 2 D 5
x2y2
*3．P为双曲线2-2=1(a>0,b>0)上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的
ab
圆与圆x2+y2=a2的位置关系是（）
A 内切 B 外切 C 外切或内切 D 4．求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A（-5，2）的双曲线的标准方程。
*5．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s． (1)爆炸点应在什么样的曲线上？
(2)已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340 m／s，求曲线的方程．
6．已知双曲线9x2-16y2=576的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2=900，求△F1PF2的面积
x2y2
*（1）已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，且
ab
∠F1PF2=m，求△F1PF2的面积
x2y2
*2）（已知椭圆2+2=1(a>0,b>0)的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2=m，
ab
求△F1PF2的面积
课题：双曲线的简单几何性质（共2课时）
一、教学目标
1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 二、教学重点、难点
重点：双曲线的几何性质及初步运用。 难点：双曲线的渐近线。 三、教学过程
(一)复习提问引入新课
1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？
下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质． (二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格
(三)渐近线
双曲线的范围在以直线y=
bb
x和y=-x为边界的平面区域内，那么从x,y的aa
bx2y2
变化趋势看，双曲线2-2=1与直线y=±x具有怎样的关系呢？
aab
根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线y=双曲线在第一象限的部分可写成：
b
x的关系。 a
当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON． 在其他象限内也可以证明类似的情况．
现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字
母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字
这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精
再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：
变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
这时，指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解
x2y2
=1的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近例1求双曲线-
43
线方程．
分析：由双曲线的标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y轴上的渐近线是y=±
a
x． b
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为
曲线的标准方程。
4
，求双3
x2y2
=
1共渐近线，且经过A-3点的双曲线的标准方*例3求与双曲线-
169
()
及离心率．
分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程
x2y2
=m(m∈R,m≠0) 求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为-
169
例4求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
例5 如图，设M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线l：x=
5
常数，求点M的轨迹方程．
4
16
的距离的比是5
分析：若设点M(x,y)，则
MF=
d=x-
，到直线l：x=
16
的距离5
16
，则容易得点M的轨迹方程． 5
（六）课堂练习
1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程． (1)16x2－9y2=144； (2)16x2－9y2=－144． 2．求双曲线的标准方程：
(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；
*
曲线的方程．
点到两准线及右焦点的距离．
课题：抛物线的标准方程 【教学目的】：
1、掌握抛物线中的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量； 2、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平； 【教学重点】：抛物线的标准方程 【教学难点】：抛物线标准方程的不同形式 【授课类型】：新授课【课时安排】：2课时【教 具】：多媒体 【教学过程】： 一、复习引入：
1、回顾椭圆和双曲线的定义 2、生活中抛物线的引例：
3、把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了二、讲解新课： 1、 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 注: (1)定点F不在这条定直线l；
(1)定点F在这条定直线l，则点的轨迹是什么？ 2、推导抛物线的标准方程： 如图所示，建立直角坐标系，设KF=p（p>0）,
p
那么焦点F的坐标为(,0)，准线l的方程为
2px=-，
2
pp
设抛物线上的点M(x,y)，则有(x-)2+y2=|x+22
化简方程得 y2=2px(p>0 方程y2=2px(p>0)p
（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(,0)，
2
p
它的准线方程是x=-2
（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=-2px，x2=2py，x2=-2py.3、抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出KF=p（p>0），
(1)y2=2px(p>0), 焦点:(,0)，准线l：x=2pp
(2)x2=2py(p>0), 焦点:(0,)，准线l：y=-22pp
(3)y2=-2px(p>0), 焦点:(-,0)，准线l：x=22p(4) x2=-2py(p>0), 焦点:(0,-)，准线l：y=2相同点：(1)抛物线都过原点；
(2)对称轴为坐标轴；
(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称；
12pp
=； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
442
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，
方程右端为±2px、左端为y2；
图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项， 方程右端为±2py，左端为x（2）开口方向在x轴（或轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半
轴上，方程右端取正号；
开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，三、讲解范例：
例1 （1）已知抛物线标准方程是y2=6x （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可；
（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。
33
解析：（1）p=3，焦点坐标是（，0）准线方程是x=-．
22p
（2）焦点在y轴负半轴上，＝2，
2
所以所求抛物线的标准议程是x2=-8y． 例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0） （2）经过点A（2，－3）
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类
标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
p
解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，
2
所以所求抛物线的标准议程是y2=-20x．
（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py．
9
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
2
4
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
3
94
∴所求抛物线的标准方程是y2=x或x2＝－y
23
例2 已知抛物线的标准方程是（1）y2=12x，（2）y=12x2， 求它的焦点坐标和准线方程．
分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值．
解：（1）p=6，焦点坐标是（3，0）准线方程x=-3
111
（2）先化为标准方程x2=y，p=，焦点坐标是（0，），
22448
1
准线方程是y=-.
48
四、课堂练习：
11
（1）y2＝8x （2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0 （4）y=-x2
6
2（1）焦点是F（－2，01
（2）准线方程是y=3
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y（4）经过点A（6，－23．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点评：练习时注意（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；（2）p表示焦点到准线的距离故p＞0； （3）根据图形判断解有几种可能 五、小结 ：
课 题：抛物线的简单几何性质（1） 教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课教学过程：
一、复习引入： 1．抛物线定义：
2．抛物线的标准方程：二、讲解新课：
注意强调p的几何意义：焦点到准线的距离
2、通径：2p 三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2,-22)，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，灯口直径197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm，由抛物线的性质可知，当灯泡按装载抛物线的焦点处，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1 mm）
例3 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点， 求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切． 四、课堂练习：课本47页 练习 1，2，3
五、小结 ：高二数学达标作业
1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果
x1+x2=6，那么|AB|=（ ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P(3,1)，则
|MP|+|MF|的最小值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、
QF的长分别是p、q，则
11
+=（ ） pq
（A）2a （B）
14 （C）4a （D） 2aa
4．过抛物线y2=4x焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是 ______
5．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
6.定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2=x上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M
7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
8．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
【课 题】：抛物线的几何性质（2）
【教学目标】： 1、掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质； 2、培养学生分析问题、解决问题的能力； 【教学重点】：抛物线的性质及简单应用； 【教学难点】：抛物线的性质及简单应用； 【教学过程】：
一、小题训练
1、若直线y=kx+1与抛物线y2=x仅有一个公共点，则k的值为 ( )
11313
A. B. 0或 C.0或- D. 或-
44444
2、抛物线y2=4x关于直线x+y=0对称的抛物线方程是 （ ）
A．x2=4y B．y2=-4x C．y=4x2 D．x2=-4y
3、动点M以每秒2长度单位的速度沿直线l：y=x-2移动，则M穿过抛物线y2=4x的内部需要的时间是
4、抛物线y2=2x中被点A（1，1）平分的弦所在的直线的方程是
二、例题选讲
例1、设抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦AB的长为3，
（1）求m的值.
（2）以弦AB为底边，x轴上的P为顶点组成的三角形面积为39时，求P点坐标；
例2、过抛物线y2=2px（p>0）的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，
证明：AB与抛物线的对称轴交于定点。
例3、过抛物线y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC，它们交
抛物线于B、C两点，求直线BC的斜率
高二数学达标作业
1、顶点在原点，对称轴为x轴，且经过点M（5，-4）的抛物线的方程是 （ ）
16161616
y D x2=y A y2=x B y2=x C x2=
35532、在抛物线y2=8x上有一点P，它到焦点的距离为20，则P点的坐标为3、设抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范
围为（ ）
（6，+∞）（3，+∞）+∞）+∞）A B [6， C D [3，
4、下列说法中，错误的是 （ ）
A 任何抛物线都只有一个顶点；
B 在抛物线上所有的点中，顶点到焦点的距离最短；
C 过一定点的所有直线中，与抛物线恰有一个公共点的直线最多有两条； D 抛物线的所有焦点弦中，通径的长最短
5、过抛物线x=ay2的焦点的一条直线和抛物线交于A（x1，y1）B（x2，y2），则x1x2=
6、在抛物线y=4x2上求一点P，使得P点到直线y=4x-5的距离最短，并求出最短距离。
7、抛物线y2=ax（a>0）上有一点P（3，m），它到焦点的距离为4，求a，m的值。
8、已知A、B是抛物线y2=-7x上的点，OA⊥OB，求△AOB的面积的最小值
9、过抛物线y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC，它们交抛物线于B、C两点，求直线BC的斜率