一、函数的起源(产生)十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度;要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题, 这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关系进行研究,这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。十七世纪中叶,笛卡儿(Descartes )引入变数(变量)的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解;后来,牛顿( Newton )、莱布尼兹(Leibniz )分别独立的建立了微分学说。这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”( fluent )一词来表示变量间的关系。1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”( fluent )这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。(定义1)这可以说是函数的第一个“定义”。例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示 x , x2, x3,…。显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在 1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里(Bernoulli,Johann )给出了函数的明确定义:变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。(定义2)并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔 (D’Alembert)和欧拉( Euler )在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在 1748年欧拉的定义是:函数是随意画出的一条曲线。(定义 3)在此之前的 1734年,欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。实际上,这两种定义(定义 1和定义 2)就是现在通用的函数的两种表示方法:解析法和图像法。后来,由于富里埃级数的出现,沟通了解析式与曲线间的联系,但是用解析式来定义函数,显然是片面的,因为有很多函数是没有解析式的, 如狄利克雷函数。1775年,欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义:如果某些变量,以这样一种方式依赖与另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之而变化,则将前面的变量称为后面变量的函数。(定义 4)这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素,体现了“自变”到“因变”的生动过程 , 但未提到两个变量之间的对应关系,因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征,只是科学的定义函数概念的“雏形”。函数是从研究物体运动而引出的一个概念,因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系,如自由落体运动下降的路程,单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显,只从运动中变量“变化”观点来理解函数,对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 , 不好解释。十九世纪初,拉克若斯( Lacroix )正式提出只要有一个变量依赖另一个变量,前者就是后者的函数。 1834年 , 俄国数学家罗巴契夫斯基(Лобачевский)进一步提出函数的定义: x 的函数是这样的一个数,它对于每一个 x 都有确定的值,并且随着 x 一起变化,函数值可以由解析式给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法,函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的。(定义 5)这实际是“列表定义”,好像有一个“表格”,其中一栏是 x 值,另一栏是与它相对应的 y 值。这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,把函数的“对应”思想表现出来,而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。十九世纪法国数学家柯西( Cauchy )更明确的给出定义:有两个互相联系的变量,一个变量的数值可以在某一范围内任意变化,这样的变量叫做自变量,另一个变量的数值随着自变量的数值而变化,这个变量称为因变量,并且称因变量为自变量的函数。(定义 6)1829年 , 狄利克雷( Dirichlet )给出了所谓狄利克雷函数: y=1 当 x 为有理数时; y=0 当 x 为无理数时。这个函数并不复杂,但不能用解析式来表示,
一、函数的起源(产生)十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度;要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题, 这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关系进行研究,这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。十七世纪中叶,笛卡儿(Descartes )引入变数(变量)的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解;后来,牛顿( Newton )、莱布尼兹(Leibniz )分别独立的建立了微分学说。这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”( fluent )一词来表示变量间的关系。1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”( fluent )这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。(定义1)这可以说是函数的第一个“定义”。例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示 x , x2, x3,…。显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念在 1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里(Bernoulli,Johann )给出了函数的明确定义:变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。(定义2)并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔 (D’Alembert)和欧拉( Euler )在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在 1748年欧拉的定义是:函数是随意画出的一条曲线。(定义 3)在此之前的 1734年,欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。实际上,这两种定义(定义 1和定义 2)就是现在通用的函数的两种表示方法:解析法和图像法。后来,由于富里埃级数的出现,沟通了解析式与曲线间的联系,但是用解析式来定义函数,显然是片面的,因为有很多函数是没有解析式的, 如狄利克雷函数。1775年,欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义:如果某些变量,以这样一种方式依赖与另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之而变化,则将前面的变量称为后面变量的函数。(定义 4)这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素,体现了“自变”到“因变”的生动过程 , 但未提到两个变量之间的对应关系,因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征,只是科学的定义函数概念的“雏形”。函数是从研究物体运动而引出的一个概念,因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系,如自由落体运动下降的路程,单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显,只从运动中变量“变化”观点来理解函数,对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 , 不好解释。十九世纪初,拉克若斯( Lacroix )正式提出只要有一个变量依赖另一个变量,前者就是后者的函数。 1834年 , 俄国数学家罗巴契夫斯基(Лобачевский)进一步提出函数的定义: x 的函数是这样的一个数,它对于每一个 x 都有确定的值,并且随着 x 一起变化,函数值可以由解析式给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法,函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的。(定义 5)这实际是“列表定义”,好像有一个“表格”,其中一栏是 x 值,另一栏是与它相对应的 y 值。这个定义指出了对应关系(条件)的必要性,把函数的“对应”思想表现出来,而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。十九世纪法国数学家柯西( Cauchy )更明确的给出定义:有两个互相联系的变量,一个变量的数值可以在某一范围内任意变化,这样的变量叫做自变量,另一个变量的数值随着自变量的数值而变化,这个变量称为因变量,并且称因变量为自变量的函数。(定义 6)1829年 , 狄利克雷( Dirichlet )给出了所谓狄利克雷函数: y=1 当 x 为有理数时; y=0 当 x 为无理数时。这个函数并不复杂,但不能用解析式来表示,