概率论论文
关于概率论的起源发展及其应用
摘要
概率论是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是非常有特色的一个数学分支。当前，概率论与数理统计已广泛运用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中并且广泛的与其他学科渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科运用、研究的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已成为大学生中绝大数专业的学生必修的一门基础课。
关键词 起源发展，实际应用，思想方法
一、概率论的起源
但最初的概率的起源与赌博问题 概率论是一门研究事情发生的可能性问题，
有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫・卡尔达洛开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。十七世纪中叶，当时法国宫廷盛行着掷骰子游戏，游戏的规则是玩家连续掷四次骰子，如果其中没有六点出现，玩家赢，如果出现一次6点则庄家赢。按照这一游戏规则，长期来看，庄家扮演赢得角色，而玩家大部分时间是输
概率论论文
关于概率论的起源发展及其应用
摘要
概率论是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是非常有特色的一个数学分支。当前，概率论与数理统计已广泛运用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中并且广泛的与其他学科渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科运用、研究的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已成为大学生中绝大数专业的学生必修的一门基础课。
关键词 起源发展，实际应用，思想方法
一、概率论的起源
但最初的概率的起源与赌博问题 概率论是一门研究事情发生的可能性问题，
有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫・卡尔达洛开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。十七世纪中叶，当时法国宫廷盛行着掷骰子游戏，游戏的规则是玩家连续掷四次骰子，如果其中没有六点出现，玩家赢，如果出现一次6点则庄家赢。按照这一游戏规则，长期来看，庄家扮演赢得角色，而玩家大部分时间是输
解析：该问题属于条件概率问题，可以利用贝叶斯公式进行求解。设
ＡＡ12,......是互不相容的事件，且
+Ａ3ＡｎＰ？Ａｉ？>0(i=0,1,2？？，n).若对任意事件B有Ａ1+Ａ2+？？+Ａｎ？B,且P(B)>0，则贝叶斯公式为：
？ｐ？Ａｉ？ｐＢＡｉ
ｎＰＡｉＢ
？ｐ？Ａｊ？ｐＢＡｊ
ｊ？1
以A表示居民患肺病的事件，则Ａ表示居民无肺病。设B为检查后诊断为有肺病的事件，那么问题就是求P(A|B)。
由于Ｂ？Ａ+Ａ，又与互不相容，故由贝叶斯公式知
Ｐ(Ａ|Ｂ)？Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)
Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)？Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)
P(A)=0.001, P(Ａ)=0.999, P(A|B)=0.95, P(B|A)=0.002
因此，
0.001？0.950.001？0.95？0.002？0.999 Ｐ(Ａ|Ｂ)？？0.3223
3、二项分布管理科学中的应用
设有同类型的仪器300台，其工作是相互独立的，且发生事故的概率均为0.01.一台仪器发生故障，一个工人可以排除。
？至少配备多少维修工人才能保障仪器发生故障但不能即使排除的概率小于0.01？
？若一人包干20台仪器，求仪器发生故障但不能及时排除的概率。
解析：？设事件A=“仪器发生故障不能及时排除”，设配备x个维修工人，则事件A等价与“同时发上故障仪器数>x”。由于300台仪器在同一时间内是否正常工作可看成300重伯努利实验，发生故障的概率为p=0.01,所以
300300
ｋｋ30？0ｋ
所以 Ｐ(Ａ)？？Ｐ(ｋ)？？Ｃ30(30000.01)(0.99)
ｋ？ｘ？1ｋ？ｘ？1
300
ｋ!ｋ!ｋ？ｘ？1ｋ？ｘ？1
由题意有 P(A)
故，只需配备8个工人就可达到要求。
Ｐ(Ａ)？？3ｅｋ？3300？？3ｅｋ？3
？设仪器发生故障而不能及时排出的时间为B，则B等价于事件“在 20台仪器中，同一时间发生故障的仪器数>1”.与？同理：
2020
ｋｋ20？ｋ
Ｐ(Ｂ)？？Ｐ(ｋ)？？Ｃ20(0.01)(0.99)20
Ｋ？2ｋ？2
解得 P（B）=0.01725
由？？知，P（B）>P（A）。由此得出结论：当一个工人包干20台仪器的维修任务时，仪器发生故障而不能及时维修的概率大于0.01；而当8个工人共同负责300台仪器的维修任务时（平均每人37.5台），仪器发生故障而不能及时维修的概率却小于0.01。故一个人单干，不如8个工人合作好，同时经济效益也没有8个人合作好。
这个案例表明，概率的方法，在国民经济的某些问题中，对有效的使用人力和物力进行科学管理等方面有着重要的作用！
4，伯努利定理的使用
题目：从某工厂的产品中任取２００件来检查，结果发现其中有６件次品，能否相信该工厂产品的次品率ｐ？1%?
解析：假设该工厂的次品率ｐ？1%，则检查２００件产品其中次品率Ｘ？6的概率应为
2005
ｘｘ200？ｘＰ(Ｘ？6)？？Ｃ200(0.01)(0.99)
ｘ？6？1？？Ｃ200(0.01)ｘ？0ＸＸ(0.09)200？Ｘ
因为ｎ？200很大，且ｐ？0.01较小，故可按近似公式计算，并有？？200？0.01？2
5，从而 2ｘ
Ｐ(Ｘ？6)？1？？ｘ？0ｘ!ｅ？2？1？(0.1353？0.2707？0.2707？0.1804？0.0902？0.0361)
？0.0166
在工业生产中一般把概率小于０．０５的事件认为是小概率事件，由此可见上
？6是小概率事件。按小概率事件的实际不可能性原理，小概率事件在述事件Ｘ
个别试验中实际上是不可能发生的，而现在却发生了，所以不能相信该工厂产品
？1％的次品率ｐ。
四、函数与方程思想在概率中的应用
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系的观点建立变量之间固有或潜在的关系，通过函数形式，利用相关的函数性质，使问题得到解决。而方程的思想是将所求的量设成未知数，根据题目或问题中隐藏的等量关系列出符合条件的方程，通过解方程或对方程进行研究，来解决问题。函数与方程的思想相辅相成，那么，在实际问题中，列出未知量与已知量之间的方程关系或函数关系就至关重要了。下面举两个简单实例来说明。
一、方程思想
题目：甲乙两人独立解出同一道数学题的概率相同，已知该题被解出的概率为0.36。求甲独立解出该题的概率。
解析：可以设甲独立解出该锁题的概率为X。题被解出开三种情况：
？甲解出，乙未解出； ？乙解出，甲未解出；？甲乙都解出。可以得到一个方程式;
0.36=2X(1-X) + X？X
解得 X=0.2 即甲独立解出该题的概率为0.2。
二，函数思想
题目：设某种商品每周的需求量X服从区间上的均匀分布的随机变量，二经销商店的进货数量为区间中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，没处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时没一单位商品仅获利300元。为使商品所获利的期望不少于9280元，试确定最少进货量。
解析：设商店获得利润为T，进货量为y，则依据题意有
500ｙ？(Ｘ？ｙ)？300,ｙ？Ｘ？30,？Ｔ？ｇ(Ｘ)？？500Ｘ？(ｙ？Ｘ)？100,10？Ｘ？ｙ.？化简得
300Ｘ？200ｙ,ｙ？Ｘ？30,？Ｔ？ｇ(Ｘ)？？600Ｘ？100ｙ,10？Ｘ？ｙ.？
由题意知，期望ET≥9280，有
？？
9280？ＥＴ？)ｄｘ？ｇ(ｘ)ｆ(ｘ ？？
即
301？ｙ？？(600ｘ？100ｙ)ｄｘ？(300ｘ？200ｙ)ｄｘ？？10ｙ？？？ 20？？？7.5ｙ？350ｙ？5250,2 7.5ｙ？350ｙ？4030？02
解不等式得到
202？ｙ？26
3 即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位。
注：这个案例在充分展现概率论中的函数思想外，同时也很好地体现了概率在经济学中的完美应用。它解决了商品销售中的效益最大化问题，具有很重大的指导意义。
参考文献：
王勇等，概率论与数理统计。北京：高等教育出版社，2007
徐传胜，问题到方法论学科：概率论发展史研究。北京：科学出版社2010
概率论论文
关于概率论的起源发展及其应用
摘要
概率论是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是非常有特色的一个数学分支。当前，概率论与数理统计已广泛运用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中并且广泛的与其他学科渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科运用、研究的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已成为大学生中绝大数专业的学生必修的一门基础课。
关键词 起源发展，实际应用，思想方法
一、概率论的起源
但最初的概率的起源与赌博问题 概率论是一门研究事情发生的可能性问题，
有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫・卡尔达洛开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。十七世纪中叶，当时法国宫廷盛行着掷骰子游戏，游戏的规则是玩家连续掷四次骰子，如果其中没有六点出现，玩家赢，如果出现一次6点则庄家赢。按照这一游戏规则，长期来看，庄家扮演赢得角色，而玩家大部分时间是输
概率论论文
关于概率论的起源发展及其应用
摘要
概率论是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学，是从数量上研究随机现象的客观规律的一门数学学科，是近代数学的重要组成部分，也是非常有特色的一个数学分支。当前，概率论与数理统计已广泛运用于自然科学、社会科学、工程技术、工农业生产和军事技术中并且广泛的与其他学科渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科运用、研究的重要工具，也是科学家和工程师、经济师们最常用的工具。因此，概率论与数理统计已成为大学生中绝大数专业的学生必修的一门基础课。
关键词 起源发展，实际应用，思想方法
一、概率论的起源
但最初的概率的起源与赌博问题 概率论是一门研究事情发生的可能性问题，
有关。16世纪，意大利学者吉罗拉莫・卡尔达洛开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。十七世纪中叶，当时法国宫廷盛行着掷骰子游戏，游戏的规则是玩家连续掷四次骰子，如果其中没有六点出现，玩家赢，如果出现一次6点则庄家赢。按照这一游戏规则，长期来看，庄家扮演赢得角色，而玩家大部分时间是输
解析：该问题属于条件概率问题，可以利用贝叶斯公式进行求解。设
ＡＡ12,......是互不相容的事件，且
+Ａ3ＡｎＰ？Ａｉ？>0(i=0,1,2？？，n).若对任意事件B有Ａ1+Ａ2+？？+Ａｎ？B,且P(B)>0，则贝叶斯公式为：
？ｐ？Ａｉ？ｐＢＡｉ
ｎＰＡｉＢ
？ｐ？Ａｊ？ｐＢＡｊ
ｊ？1
以A表示居民患肺病的事件，则Ａ表示居民无肺病。设B为检查后诊断为有肺病的事件，那么问题就是求P(A|B)。
由于Ｂ？Ａ+Ａ，又与互不相容，故由贝叶斯公式知
Ｐ(Ａ|Ｂ)？Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)
Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)？Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ|Ａ)
P(A)=0.001, P(Ａ)=0.999, P(A|B)=0.95, P(B|A)=0.002
因此，
0.001？0.950.001？0.95？0.002？0.999 Ｐ(Ａ|Ｂ)？？0.3223
3、二项分布管理科学中的应用
设有同类型的仪器300台，其工作是相互独立的，且发生事故的概率均为0.01.一台仪器发生故障，一个工人可以排除。
？至少配备多少维修工人才能保障仪器发生故障但不能即使排除的概率小于0.01？
？若一人包干20台仪器，求仪器发生故障但不能及时排除的概率。
解析：？设事件A=“仪器发生故障不能及时排除”，设配备x个维修工人，则事件A等价与“同时发上故障仪器数>x”。由于300台仪器在同一时间内是否正常工作可看成300重伯努利实验，发生故障的概率为p=0.01,所以
300300
ｋｋ30？0ｋ
所以 Ｐ(Ａ)？？Ｐ(ｋ)？？Ｃ30(30000.01)(0.99)
ｋ？ｘ？1ｋ？ｘ？1
300
ｋ!ｋ!ｋ？ｘ？1ｋ？ｘ？1
由题意有 P(A)
故，只需配备8个工人就可达到要求。
Ｐ(Ａ)？？3ｅｋ？3300？？3ｅｋ？3
？设仪器发生故障而不能及时排出的时间为B，则B等价于事件“在 20台仪器中，同一时间发生故障的仪器数>1”.与？同理：
2020
ｋｋ20？ｋ
Ｐ(Ｂ)？？Ｐ(ｋ)？？Ｃ20(0.01)(0.99)20
Ｋ？2ｋ？2
解得 P（B）=0.01725
由？？知，P（B）>P（A）。由此得出结论：当一个工人包干20台仪器的维修任务时，仪器发生故障而不能及时维修的概率大于0.01；而当8个工人共同负责300台仪器的维修任务时（平均每人37.5台），仪器发生故障而不能及时维修的概率却小于0.01。故一个人单干，不如8个工人合作好，同时经济效益也没有8个人合作好。
这个案例表明，概率的方法，在国民经济的某些问题中，对有效的使用人力和物力进行科学管理等方面有着重要的作用！
4，伯努利定理的使用
题目：从某工厂的产品中任取２００件来检查，结果发现其中有６件次品，能否相信该工厂产品的次品率ｐ？1%?
解析：假设该工厂的次品率ｐ？1%，则检查２００件产品其中次品率Ｘ？6的概率应为
2005
ｘｘ200？ｘＰ(Ｘ？6)？？Ｃ200(0.01)(0.99)
ｘ？6？1？？Ｃ200(0.01)ｘ？0ＸＸ(0.09)200？Ｘ
因为ｎ？200很大，且ｐ？0.01较小，故可按近似公式计算，并有？？200？0.01？2
5，从而 2ｘ
Ｐ(Ｘ？6)？1？？ｘ？0ｘ!ｅ？2？1？(0.1353？0.2707？0.2707？0.1804？0.0902？0.0361)
？0.0166
在工业生产中一般把概率小于０．０５的事件认为是小概率事件，由此可见上
？6是小概率事件。按小概率事件的实际不可能性原理，小概率事件在述事件Ｘ
个别试验中实际上是不可能发生的，而现在却发生了，所以不能相信该工厂产品
？1％的次品率ｐ。
四、函数与方程思想在概率中的应用
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系的观点建立变量之间固有或潜在的关系，通过函数形式，利用相关的函数性质，使问题得到解决。而方程的思想是将所求的量设成未知数，根据题目或问题中隐藏的等量关系列出符合条件的方程，通过解方程或对方程进行研究，来解决问题。函数与方程的思想相辅相成，那么，在实际问题中，列出未知量与已知量之间的方程关系或函数关系就至关重要了。下面举两个简单实例来说明。
一、方程思想
题目：甲乙两人独立解出同一道数学题的概率相同，已知该题被解出的概率为0.36。求甲独立解出该题的概率。
解析：可以设甲独立解出该锁题的概率为X。题被解出开三种情况：
？甲解出，乙未解出； ？乙解出，甲未解出；？甲乙都解出。可以得到一个方程式;
0.36=2X(1-X) + X？X
解得 X=0.2 即甲独立解出该题的概率为0.2。
二，函数思想
题目：设某种商品每周的需求量X服从区间上的均匀分布的随机变量，二经销商店的进货数量为区间中的某一整数。商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，没处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时没一单位商品仅获利300元。为使商品所获利的期望不少于9280元，试确定最少进货量。
解析：设商店获得利润为T，进货量为y，则依据题意有
500ｙ？(Ｘ？ｙ)？300,ｙ？Ｘ？30,？Ｔ？ｇ(Ｘ)？？500Ｘ？(ｙ？Ｘ)？100,10？Ｘ？ｙ.？化简得
300Ｘ？200ｙ,ｙ？Ｘ？30,？Ｔ？ｇ(Ｘ)？？600Ｘ？100ｙ,10？Ｘ？ｙ.？
由题意知，期望ET≥9280，有
？？
9280？ＥＴ？)ｄｘ？ｇ(ｘ)ｆ(ｘ ？？
即
301？ｙ？？(600ｘ？100ｙ)ｄｘ？(300ｘ？200ｙ)ｄｘ？？10ｙ？？？ 20？？？7.5ｙ？350ｙ？5250,2 7.5ｙ？350ｙ？4030？02
解不等式得到
202？ｙ？26
3 即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位。
注：这个案例在充分展现概率论中的函数思想外，同时也很好地体现了概率在经济学中的完美应用。它解决了商品销售中的效益最大化问题，具有很重大的指导意义。
参考文献：
王勇等，概率论与数理统计。北京：高等教育出版社，2007
徐传胜，问题到方法论学科：概率论发展史研究。北京：科学出版社2010