误差理论习题答疑 目录 1. 绪论
2. 误差基本原理 3. 误差的合成与分解 4. 最小二乘法原理 5. 回归分析
绪论 绪论1-4
-4 在测量某一长度时，读数值为2.31m, 其最大绝对误差为20um ，试求其最大相对误
差。
解：最大相对误差≈（最大绝对 误差）/测得值，
绪论1-5
1-5
使用凯特摆时，由公式
为(1.04230
对误差。如果
。 给定。今测出长度
给定。今测出长度
0.0005)s 。试求g 及最大相
，
0.00005)m , 振动时间T 为(2.0480测出为 (1.04220
0.0005)m ，为了使g 的误差能小于
T 的测量必须精确到多少？
解：由
全微分，
令
得
，
对进行得
，从
而的最大相对误差为
：
由
得
，所以，
绪论1-7
。
1-7 为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
, 解：设微安表的量程为误差
, 相对误差
，测量时指针的指示值为X ，微安表的精度等级为S ，最大
，一般
故当X 越接近
相对误差就越小，故在
使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。
绪论1-9
,1-9 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km, 优秀选手能在
距离50m 远处准确射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高？
解：火箭射击的相对误差
：选手射击的相对误差
：
所以，相比较可见火箭的射击精度高。
绪论1-10
,1-10 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm，其测量误
差分别为差为
而用第三种方法测量另一零件的长度L2 =150mm ，其测量误
，试比较三种测量方法精度的高低.
解：第一种方法测量的相对误差为：第二种方法测量的相对误差为：
第三种方法测量的相对误差为：
相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。
第二章：误差基本原理
算术平均值
标准差及算术平均值的标准差 测量结果表达方式 粗大误差判断及剔除 误差基本原理2-2 ,
2-2 测量某物体共8次，测得数据（单位为g ）为236.45，236.37，23.51，236.34，236.39，
236.48，236.47，236.40。试求算术平均值及其标准差. , 解：算术平均值为：
算术平均值的标准差是：
2-3 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。
解
：
①
别
捷
尔
斯
法
：
查表得
：，所
以
：
, ③最大误差法：查表得：所以，
综上所述，用贝塞尔公式得到的标准差是0.0212g ，别捷尔斯法计算得
到的标准是0.02427g 、极差法是0.02109g 和最大误差法是0.01941g ，故最大误差法计算的得到的标准差最小，别捷尔斯法最大。
2-9 已知某仪器测量的标准差为0.5
。① 若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测
得值为26.2025mm ，试写出测量结果。② 若重复测量10次，测得值（单位为mm ）为26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③ 若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次 重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
解：①
，测量结果
：
②
测量结果：
, ③可由测得数据计算得
：
,
所以对①，测量结果为：
对②，测量结果为：
2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角
甲：，乙：，试求其测量结果。
，，
，
，
各测量五次，测得值如下：
，，
解：对于甲来说
对于乙来
说
所以两个测量者的权是：不妨取
所以，
即为所求。
2-16 对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另
一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断两组数据间有无系统误差。
解：用秩和检验法有：将两组数据混合排列，
得
因为
差。
所以有根据怀疑存在系统误
2-17 等精度测量某一电压10次，测得结果（单位为V ）为25.94，25.97，25.98，26.01，
26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现 象，为判断是否接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新作了10次等精度测量，
测得结果（单位为V ）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04， 25.94，26.02。试用t 检验法（取为0.05）判断两测量值之间是否有系统误差。
解：用t 检验法判断：第一次测量的数
据
，
第二次测量数据：；
所以
：
因为
，取
，查t 分布表，得
所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。
2-19 对某量进行两组测量，测得数据如下：
;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41
1.57
;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解：将两组混合排列成下表：
得，
因为秩和T 近
似服从正态分布，
所以，数学期望为，
标准差，
所以，,
故，当置信概率p
测量值之间存在系统误差。 而当置信概率p> 98.76% 时，
此时有根据怀疑两组
此时无根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。
2-20 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，28.52，28.53，28.53，28.50，
28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值以消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差 测量值。
思路：
① 莱以特准则：计算
得
根据莱以特准则，第14次测量值的残余误差
，
所以它含有粗大误差，故将它剔除。再根据剩下的14个测量值重复上述步骤。
② 格罗布斯准则： 按照测量值的大小，顺序排列得，可怀疑，由于
，现在有2个测量值
故应该先怀疑X(1)是否含有粗大误差，
计算
,
。故第14个测量值X(1) 含有粗大误差，应剔
除。
注意：此时不能直接对x （15）进行判断，一次只能剔除一个粗差。
重复上述步骤，判断是否还含有粗差。
③狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重复。
第三章：误差的合成与分解
知识点：
系统误差合成 随机误差合成 相关系数
微小误差取舍原则
误差的分解及等作用原则
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为
，已知测量的系统误差为
极限误差为 ，其体积的极限误差。
思路：
1. 按测得值计算得V ；
2. 根据系统误差的合成原理求得V 的系 统误差；
3. 计算长方体的体积；
4. 根据极限误差的合成原理求得极限误 差；此时可写出测量结果表达式。 解：因为
， ，
， ， 11.2
，，测量的，试求立方体的体积及
体积的系统误差：
所以，长方体的体积是：
极限误差为（局部误差方和根）：
所以，立方体的体积是
，体积的极限误差是3-4 测量某电路的电流
，电压
，测量的标准差分别为
，求所耗功率
及其标准差
。
解：先求所耗功率：
所以，
所以，该电路所耗功率为0.2835W ，其标准差为
解：因为
所以，
解：如图所示，由勾股定理得
然后对d1，d2，H1,H2分别求偏导，即得出误差传递系数。
3-10
假定从支点到重心的长度为L 的单摆振动周期为T
，重力加速度可由公式
给出。若要求测量g 的相对标准差
差时，测量L 和T 的相对标准差应该是多少？
试问按等作用原则分配误
因为测量项目有两个，所以n= 2。按等作用原理分配误差，得
同理，
综上所述，测量L 和T 的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。
第五章：最小二乘法原理
知识点：
最小二乘法原理 正规方程
两种参数估计的方法 精度估计
推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘 法参数估计
参数最小二乘法估计矩阵形式的简 单推导及回顾： 由误差方程
且要求
最小，则：
所以：
理论基础：
5-1 由测量方程试
二乘法处理及其相应精度。 解：方法一（常规）： 1. 列出误差方程组：
求x 、y 的最小
即，
由上式可解得结果：
2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数
可得正规方程
将 y x，的结果代入分别求得：
得，
由题已知，
， 得
由不定乘数的方程组
方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程
上式可以表示为
即解得，
将最佳估计值代入误差方程可得，
将计算得到的数据代入式中
由已知，不定常
中各元素，即
为求出估计量 y ，x ，的标准差，首先求出不定常数数
的系数与正规方程的系数相同，因而
是矩阵
5-3 测力计示值与测量时的温度t 的对应值独立测得如下表所示。
/ FN 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78 设t 无误差，F 值随t 的变化呈线性关系最小二乘估计及其相应精度。 解：利用矩阵求解，误差方程
可写成
试给出线性方程中系数k0和k 的
试中，
所以
将最佳估计值代入误差方程
得
为求出估计量 k 0,、k ，的标准差, 需要求出不定乘数 dji 的系数，而不定乘数
Dji 的系数与正规方程的系数相同，因而Dij 是矩阵中各元素，即
则
可得估计量的标准差为
5－5 不等精度测量的方程组如下：
解：利用矩阵计算
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。
5－7 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数X1， x2，的二乘法处理及其相应精度。
所以
21
解得
则
第六章回归分析
知识点：
一元线性回归 多元线性回归
方差分析及显著性检验
22
LOGO
第六章回归分析
6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力 有关。对某种材料试验的数据如下：
正应力/ x Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 抗剪强度 / y Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 / x Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 / y Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9
假设正应力的数值是精确的，求①抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。②当正应力 为24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ 解：①
23
6-7 在4 种不同温度下观测某化学反应生成物含量 的百分数，每种在同一温度下重复观测三次，数据如 下：
求y 对x 的线性回归方程，并进行方差分析和显著性检验
24
6-11 用表差法法验证下列数据可以用曲线
x 0.20 0.50 0.70 1.20 1.60 2.10 2.50 2.80 3.20 3.70 y 4.22 4.32 4.45 5.33 6.68 8.91 11.22 13.39 16.53 21.20 解：将表中 y x，画图得曲线如图所示，从曲线上按入下表。，因表中
表示。
读取
表示
列
极接近常数，此组观测数据可用
25
6-12 炼焦炉的焦化时间y 与炉宽1 x 及烟
道管相对温度2 x 的数据如下：
y/min 6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.42 1
x/m 1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.20 7.12 8.87 9.80 10.65
x2 1.15 3.40 4.10 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.40 求回归方程
检验显著性，并
讨论x1，x2 对y 的影响。
26
27
28
29
误差理论习题答疑 目录 1. 绪论
2. 误差基本原理 3. 误差的合成与分解 4. 最小二乘法原理 5. 回归分析
绪论 绪论1-4
-4 在测量某一长度时，读数值为2.31m, 其最大绝对误差为20um ，试求其最大相对误
差。
解：最大相对误差≈（最大绝对 误差）/测得值，
绪论1-5
1-5
使用凯特摆时，由公式
为(1.04230
对误差。如果
。 给定。今测出长度
给定。今测出长度
0.0005)s 。试求g 及最大相
，
0.00005)m , 振动时间T 为(2.0480测出为 (1.04220
0.0005)m ，为了使g 的误差能小于
T 的测量必须精确到多少？
解：由
全微分，
令
得
，
对进行得
，从
而的最大相对误差为
：
由
得
，所以，
绪论1-7
。
1-7 为什么在使用微安表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？
, 解：设微安表的量程为误差
, 相对误差
，测量时指针的指示值为X ，微安表的精度等级为S ，最大
，一般
故当X 越接近
相对误差就越小，故在
使用微安表时，希望指针在全量程的2/3范围内使用。
绪论1-9
,1-9 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km, 优秀选手能在
距离50m 远处准确射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高？
解：火箭射击的相对误差
：选手射击的相对误差
：
所以，相比较可见火箭的射击精度高。
绪论1-10
,1-10 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm，其测量误
差分别为差为
而用第三种方法测量另一零件的长度L2 =150mm ，其测量误
，试比较三种测量方法精度的高低.
解：第一种方法测量的相对误差为：第二种方法测量的相对误差为：
第三种方法测量的相对误差为：
相比较可知：第三种方法测量的精度最高，第一种方法测量的精度最低。
第二章：误差基本原理
算术平均值
标准差及算术平均值的标准差 测量结果表达方式 粗大误差判断及剔除 误差基本原理2-2 ,
2-2 测量某物体共8次，测得数据（单位为g ）为236.45，236.37，23.51，236.34，236.39，
236.48，236.47，236.40。试求算术平均值及其标准差. , 解：算术平均值为：
算术平均值的标准差是：
2-3 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差，并比较之。
解
：
①
别
捷
尔
斯
法
：
查表得
：，所
以
：
, ③最大误差法：查表得：所以，
综上所述，用贝塞尔公式得到的标准差是0.0212g ，别捷尔斯法计算得
到的标准是0.02427g 、极差法是0.02109g 和最大误差法是0.01941g ，故最大误差法计算的得到的标准差最小，别捷尔斯法最大。
2-9 已知某仪器测量的标准差为0.5
。① 若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测
得值为26.2025mm ，试写出测量结果。② 若重复测量10次，测得值（单位为mm ）为26.2025，26.2028，26.2028，26.2025，26.2026，26.2022，26.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③ 若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次 重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
解：①
，测量结果
：
②
测量结果：
, ③可由测得数据计算得
：
,
所以对①，测量结果为：
对②，测量结果为：
2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角
甲：，乙：，试求其测量结果。
，，
，
，
各测量五次，测得值如下：
，，
解：对于甲来说
对于乙来
说
所以两个测量者的权是：不妨取
所以，
即为所求。
2-16 对某一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另
一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断两组数据间有无系统误差。
解：用秩和检验法有：将两组数据混合排列，
得
因为
差。
所以有根据怀疑存在系统误
2-17 等精度测量某一电压10次，测得结果（单位为V ）为25.94，25.97，25.98，26.01，
26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现 象，为判断是否接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新作了10次等精度测量，
测得结果（单位为V ）为25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04， 25.94，26.02。试用t 检验法（取为0.05）判断两测量值之间是否有系统误差。
解：用t 检验法判断：第一次测量的数
据
，
第二次测量数据：；
所以
：
因为
，取
，查t 分布表，得
所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。
2-19 对某量进行两组测量，测得数据如下：
;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41
1.57
;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解：将两组混合排列成下表：
得，
因为秩和T 近
似服从正态分布，
所以，数学期望为，
标准差，
所以，,
故，当置信概率p
测量值之间存在系统误差。 而当置信概率p> 98.76% 时，
此时有根据怀疑两组
此时无根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。
2-20 对某量进行15次测量，测得数据为28.53，28.52，28.50，28.52，28.53，28.53，28.50，
28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值以消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差 测量值。
思路：
① 莱以特准则：计算
得
根据莱以特准则，第14次测量值的残余误差
，
所以它含有粗大误差，故将它剔除。再根据剩下的14个测量值重复上述步骤。
② 格罗布斯准则： 按照测量值的大小，顺序排列得，可怀疑，由于
，现在有2个测量值
故应该先怀疑X(1)是否含有粗大误差，
计算
,
。故第14个测量值X(1) 含有粗大误差，应剔
除。
注意：此时不能直接对x （15）进行判断，一次只能剔除一个粗差。
重复上述步骤，判断是否还含有粗差。
③狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重复。
第三章：误差的合成与分解
知识点：
系统误差合成 随机误差合成 相关系数
微小误差取舍原则
误差的分解及等作用原则
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为
，已知测量的系统误差为
极限误差为 ，其体积的极限误差。
思路：
1. 按测得值计算得V ；
2. 根据系统误差的合成原理求得V 的系 统误差；
3. 计算长方体的体积；
4. 根据极限误差的合成原理求得极限误 差；此时可写出测量结果表达式。 解：因为
， ，
， ， 11.2
，，测量的，试求立方体的体积及
体积的系统误差：
所以，长方体的体积是：
极限误差为（局部误差方和根）：
所以，立方体的体积是
，体积的极限误差是3-4 测量某电路的电流
，电压
，测量的标准差分别为
，求所耗功率
及其标准差
。
解：先求所耗功率：
所以，
所以，该电路所耗功率为0.2835W ，其标准差为
解：因为
所以，
解：如图所示，由勾股定理得
然后对d1，d2，H1,H2分别求偏导，即得出误差传递系数。
3-10
假定从支点到重心的长度为L 的单摆振动周期为T
，重力加速度可由公式
给出。若要求测量g 的相对标准差
差时，测量L 和T 的相对标准差应该是多少？
试问按等作用原则分配误
因为测量项目有两个，所以n= 2。按等作用原理分配误差，得
同理，
综上所述，测量L 和T 的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。
第五章：最小二乘法原理
知识点：
最小二乘法原理 正规方程
两种参数估计的方法 精度估计
推荐掌握：基于矩阵的的最小二乘 法参数估计
参数最小二乘法估计矩阵形式的简 单推导及回顾： 由误差方程
且要求
最小，则：
所以：
理论基础：
5-1 由测量方程试
二乘法处理及其相应精度。 解：方法一（常规）： 1. 列出误差方程组：
求x 、y 的最小
即，
由上式可解得结果：
2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数
可得正规方程
将 y x，的结果代入分别求得：
得，
由题已知，
， 得
由不定乘数的方程组
方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程
上式可以表示为
即解得，
将最佳估计值代入误差方程可得，
将计算得到的数据代入式中
由已知，不定常
中各元素，即
为求出估计量 y ，x ，的标准差，首先求出不定常数数
的系数与正规方程的系数相同，因而
是矩阵
5-3 测力计示值与测量时的温度t 的对应值独立测得如下表所示。
/ FN 43.61 43.63 43.68 43.71 43.74 43.78 设t 无误差，F 值随t 的变化呈线性关系最小二乘估计及其相应精度。 解：利用矩阵求解，误差方程
可写成
试给出线性方程中系数k0和k 的
试中，
所以
将最佳估计值代入误差方程
得
为求出估计量 k 0,、k ，的标准差, 需要求出不定乘数 dji 的系数，而不定乘数
Dji 的系数与正规方程的系数相同，因而Dij 是矩阵中各元素，即
则
可得估计量的标准差为
5－5 不等精度测量的方程组如下：
解：利用矩阵计算
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。
5－7 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式，并给出未知参数X1， x2，的二乘法处理及其相应精度。
所以
21
解得
则
第六章回归分析
知识点：
一元线性回归 多元线性回归
方差分析及显著性检验
22
LOGO
第六章回归分析
6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力 有关。对某种材料试验的数据如下：
正应力/ x Pa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9 抗剪强度 / y Pa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9 / x Pa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6 / y Pa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9
假设正应力的数值是精确的，求①抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。②当正应力 为24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ 解：①
23
6-7 在4 种不同温度下观测某化学反应生成物含量 的百分数，每种在同一温度下重复观测三次，数据如 下：
求y 对x 的线性回归方程，并进行方差分析和显著性检验
24
6-11 用表差法法验证下列数据可以用曲线
x 0.20 0.50 0.70 1.20 1.60 2.10 2.50 2.80 3.20 3.70 y 4.22 4.32 4.45 5.33 6.68 8.91 11.22 13.39 16.53 21.20 解：将表中 y x，画图得曲线如图所示，从曲线上按入下表。，因表中
表示。
读取
表示
列
极接近常数，此组观测数据可用
25
6-12 炼焦炉的焦化时间y 与炉宽1 x 及烟
道管相对温度2 x 的数据如下：
y/min 6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.42 1
x/m 1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.20 7.12 8.87 9.80 10.65
x2 1.15 3.40 4.10 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.40 求回归方程
检验显著性，并
讨论x1，x2 对y 的影响。
26
27
28
29