第２３卷第２期２００８年６月
景德镇高专学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｎｇｄｅｚｈｅｎＣｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅＣｏ］］ｅｇｅ
Ｖ０１．２３Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００８
二重积分证明积分不等式的若干应用
张仁华①
（童春职业技术学院数学糸，江西童舂３３６０００）
摘要：本文蛤出了一个一无函敦积分问题转化成二元函数积分问是的定理．并应用该定理槔讨了定积分不等式的证
明方法。
关键词：二重积分；积分不等式；积分区城中图分类号：０
１７２．２
文献标识码：Ａ文章编号：１００８—８４５ｓ（２００８）０２－００２２－０２
一元函数积分不等式的证明，常用的方法是引进参数或
辅助函数构建相应的变限积分。再利用定积分的性质和分部积分法等，其证明思路、方法跌宕起伏。难以驾驭。有时把一元函数的积分问题转化成二元函数的二重积分问题却带来很大方便，因为在二重积分的证明和计算中，通常使用的方法是
而矿叭善）ｇ（，，）一以ｙ）ｇ（膏）］。出方》０
即有：ｆｒ旷（量）矿（，，）＋，（，，），（并）］
卫
≯２
ｆ『抓髫）ｇ（，，扰，，）ｇ（茹）］如毋
蕾
化二重积分为累次积分。当积分区域为矩形、被积函数可分
离变量时，如下定理是成立的。
于是由（４）式得：
定理若，（算）在［Ｃｔ，ｂ］上可积。ｇ（），）在［ｃ。ｄ］上可积。则二元函数以ｓ）ｇ（ｙ）在平面区域Ｄ一｛（ｘ，ｙ）Ｉ口‘鼻‘６。ｃ‘，，‘ｄ｝上可积。且．
工‰出Ｍ舳≯ｇ㈧？‘ｙ川小ｍ毋
，●
，●
－Ｊ以茹）ｇ（毒）出・Ｉ，（，，）・掌（，，）毋
“Ｊ●
，●
，■
职善）ｇ（，，）如咖－ｊ【．，（髫）也Ｉ。ｇ（ｙ）方
题。
（１）
一Ｉ以ｚ）ｓ（ｓ）出Ｉ，（善）ｇ（并）出
●●，●
该定理简化了一些函数的积分计算问题，现考察以下命
一［ｆ么等）ｇ（茗）ａｓ３。
命题ｌ若和在［ａ，ｂ］上可积，证明不等式
－●
，●
ｊ
，●
［ｆ以茹）ｇ（髫）如］３‘ｆ，（算）如・Ｉ矿（膏）如
证明：利用定积分与积分变量符号无关的性质和定积分
即：［ｆ，（善）ｇ（牟）如］３‘ｌ，（茹）出ｌ
，●●●
Ｓ：（ｚ）ａｓ
■●
命题１中的不等式也称Ｃａｕｃｈｙ－Ｓｃｈｗａｎ积分不等式，若采用通常的证明方法是引人参数，即考察［以量）＋Ｉ・ｓ（ｓ）］。，
由于
的性质可知，函数，（茹）－与９２（ｘ）在［口。６］上也可积，再由以上
定理可得：
工≯（ｘ）ａｓ・工‘，（髫）出一Ｊ【≯（并）如・工‘，（），）方
；ｆ【尸（髫）矿（，，）如毋葛
其中Ｄ－｛（ｘ，ｙ）Ｉ口‘善‘ｂ，ａ‘，，‘ｂ｝；同理有
ｏ●●●
ｆ‘叭善）＋Ｉ．譬（并）］２如ｆ叭善）＋Ｉ・譬（并）］２如
（２）
－工．，（膏）＋２ｌ工么茹）ｇ（并）＆＋，ｆ‘扎）ａｓ≥０
再考虑其判别式；
．
ｆｆ。／（ｓ）ａｓ．ｆ‘矿（善）如．胪（），）暑２（并）出咖・Ｊ矿（善）如－胪（），）暑２（并）出咖
＇
（３）
△－［工么薯）ｇ（善）ａｓ３２一工．，（并）出上‘，（并）出‘０
命题ｌ也成立。当然这种方法构思有一定难度。参数引入较为突然。初学者不易接受此种证法。
命题２设ｐ（善）是［４，６］上的可积函数，且ｐ（善）＞０，
由（２）、（３）式左右分别相加并变形得：
Ｉ，（茹）如ｆ
ｓ＝（ｘ）ａｓ
－÷０扩（膏），（，，）＋，（，，）矿（并）］出咖
①收稿日期：２００７—１１－２２
作者简介：张仁华（１９５７一）．男．江西丰城人．副教授。
厂（善）和葺（茹）是Ｅｏ，６］上的单调增加函数，则
２００８年第２期张仁华：二重积分证明积分不等式的若干应用
利用对称性，又有：
・２３・
［．ｐ（茗状名）出［．ｐ（石）ｇ（名）出上ｐ（茗状名）如上ｐ（石）ｇ（名）出
《工．ｐ（善）出ｆ＿（茹），（茗）・ｓ．Ｃｘ）如
该不等式称为契比雪夫不等式。
证明：令
．
Ｊ＝驴（，，炉（量）（膏一ｙ）
ｊ
，，）叭鼻）－ｆ（），）］≥０于是
（８）
（７）、（８）式相加，并由题设，对任意ｘ，ｙｅ【ａ，ｂ］，有（善一
，＝Ｉｐｏ），（茗涫（茗）出Ｊ，：［．ｐｏ狄茗涫（茗）出［‘ｐ（ｘ）ａｚ一［．ｐＧ次茗）出［．ｐｏ）ｇ（互）出—ＩｐＧ次茗）出Ｊｐｏ）ｇ（互）出
●０
“
２，＝｜『（茗一，，扩（茹旷（ｙ）Ｌｆ（善）一，（），）］ｄ曩ａｙ≥０
面
即，≥０
ｏ●●●
＝ｆ．ｐＧ抓ｚ溆茹）吐．ｐ（ｙ）方一上．ｐ。），（善）叫．ｐ◇）ｇ（ｙ）方
ｚ肛Ｇ狄譬）ｇ（髫）ｐ∽如咖一肛ｏ），【茗）ｐ（ｙ）ｇｏ）如方
ｔ肛（善）ｐ（，，班善）［ｇ（善）一ｇ（），）］出方ｊ
其中Ｄ＝ｌ（ｘ，ｙ）Ｉ口《譬《ｂ，ａ《ｙ《ｂ｝
（利用定理）
．故鲁—一≥等一
．ｅ０
Ｉ矿（茹）出ｌ矿（茹）如
Ｉ，（互）如ｌ，（互）出
棚
为了进一步阐析定理的广泛应用，下面再举两上例题。例ｌ
证明［１１。嗣出］２＞子（１一ｅ以）
ｍ
咔
即：，＝肛（，）ｐ（ｙ），（茹）Ｉｓ（善）一ｇ（ｙ）］出方
卫
（５）
证明：因为ｅ。在［ｏ，１］上，－－Ｊ移１，由偶函数及对称性，ｅ。
同上交换善和ｙ的位置得：
在［一１，ｏ］上也可积，又因为ｆ１
（６）
ｅ。出积不出来（不是初等函
，＝肛（鼻）ｐ（，，抓ｙ）［ｇ（，，）一ｇ（茹）］出方
（５）、（６）式相加得：
数），我们可以应用定理把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题，再估计这个积分值。当然，应注意本题被积函数的特征，变换成极坐标形式计算更为简便。
，≈÷驴＠）ｐ（ｙ）叭∞一以），）］【ｇ＠）一ｇ（ｙ）］出咖
因为ｐ（ｘ）是［口，６］上的正值函数以量）与ｓ（ｘ）均为［口，
６］上的单调增加函数，故上式中被积函数非负，因而，≥０，于是有
．●
’
记，＝ＩＩｅ’１２出，则２，＝。ｅ＂ｄｘ，故
由
（２，）２＝Ｌ１ｔ嗣如Ｌ１ｅ。１２如
，●
上Ｐ（髫），（茹）出上ｐ（量）ｇ（量）出
≤［．ｐ（茹状茹）ｇ（互）出［．ｐ（茗）出≤Ｊｐ（茹状茹）ｇ（互）出ｆｐ（茗）出
■■■●
＝Ｌ１ｅ嗣出Ｌ‘。书毋＝驴茹书如匆
＞驴州蛐－上ｈ吨１瑁审由
＝＇ｒ（１一。ｑ）＞０
（１）
其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）Ｉ一１《髫《１。一１《，，≤１｝，Ｄ’；ｌ（善，
命题３设函数以髫）为［０，１］上的单调增加的连续函数，证
明！
孽丝≥牲
Ｊ
，，）Ｉ，＋，≤１｝．
Ｄ，因此（１）式是成立的。
。
以上不等式应用了连续非负函数的积分性质，显然Ｄ’ｃ
』矿（善）如
０
Ｊ，（量）如
ａ０
证明：记Ｄ＝ｌ（ｘ，ｙ）１０≤善《１，０《，，《Ｉ｝令
所以，２＞早（１一ｅ一），即［上１ｅ审如】２＞子（１一ｅ一）
参考文献：
［１］
同济大学应用数学系．高等教学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
，＝上１矿（鼻）出工１矿（量）如一上◆（鼻）出上◆（聋）出
由定理可得：
，２矿（茗）ｄｘ／（ｙ）出方一驴（鼻）矿（），）出？
＝眇（膏矿（ｙ）（善一，，）出咖
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＰｒｏｏｆ
ｏｎ
２０Ｄ２．
［２】李正元等．数学复习全书（理工类）［Ｍ】．北京：固謇行政学院出版
（７）
社．２００６．
ｔｈｅＩｎｔｅｇｒａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｙｂｙＤｏｕｂｌｅＩｎｔｅｇｒａｌ
Ｒｅｎ—ｈｕａ
ＺＨＡＮＧ
（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＹｉｃｕｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ０ｆｖｏｃａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙｉｃｈｕｎ，Ｊｉａｎｇｘｉ３３６０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓ
ｔｗｏ
ａ
ｔｈｅｏｒｅｍｄｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｆｒｏｍ
ａｌｌ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆ
ａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆ
ｏｎｅ
ｖａｒｉａｂｌｅ
ｔｏ
ｔｈａｔ０ｆ曩ｆｕｎｃｔｉｏｎ０ｆ
ｖａｒｉａｂｌｅｓ。ｔｈｅｎｐｒｏｂｅｓ
ａ
ｐｒｏｏｆｏｎ－ｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｗｉｔｈｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｉｎｔｅｇｒａｌｄｏｍａｉｎ
二重积分证明积分不等式的若干应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
张仁华， ZHANG Ren-hua
宜春职业技术学院数学系,江西,宜春,336000景德镇高专学报
JOURNAL OF JINGDEZHEN COMPREHENSIVE COLLEGE2008，23(2)0次
参考文献(2条)
1.同济大学应用数学系 高等教学 20022.李正元 数学复习全书(理工类) 2006
相似文献(10条)
1.期刊论文 章曙雯.Zhang Shuwen 二重积分在积分不等式证明中的应用 -中国水运（理论版）2006,4(5)
利用二重积分中的一个定理,证明了一类积分不等式.
2.期刊论文 奚修章 证明一类定积分不等式的有效方法 -济宁师范专科学校学报2002,23(3)
根据定积分不等式的结构特征,把证明较繁或难以入手的定积分不等式问题,探讨出简洁明快的证明方法.
3.期刊论文 缪倩娟.贡韶红.Miao Qianjuan.Gong Shaohong 关于分部积分法的进一步探讨 -中国科技信息2006,
分部积分法因其对积分具有转化作用,在定积分的估值计算,及积分等式、不等式证明,和二重积分计算等方面具有一些特殊计算作用.此外,分部积分的计算方法可推广至渐次积分.
4.期刊论文 王五生 一个推广的二变量时滞积分不等式及其应用 -系统科学与数学2010,30(3)
建立了一类二变量的时滞积分不等式,不等式包含一个一重积分和两个二重积分,二重积分内包含两个不同的没有假设单调性的未知函数的复合函数.使用单调化技术,给出积分不等式中未知函数的估计.结果能对相关文献中考虑的积分不等式中未知函数进行估计.进一步,结果给出了一类积分一微分方程解的估计.
5.期刊论文 韩艳光 对二重积分解决定积分问题的探讨 -魅力中国2009,
定积分不等式的证明方法多种多样,一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性,最值等.在很多时候,我们也可以把定积分的不等式问题化为二重积分进行处理,使问题迎刃而解.本文通过一些例子,进行对二重积分解决定积分问题的探讨.
6.期刊论文 臧秀娟.ZANG Xiu-juan 构造二重积分解决定积分问题 -丹东纺专学报2005,12(1)
定积分不等式的证明方法多种多样.一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性、最值等.本文将给出一种方法,即利用变量替换手段将定积分转化为二重积分,再去证明.
7.期刊论文 辛萍芳 利用对称性证明积分不等式 -高等函授学报（自然科学版）2002,15(5)
本文给出命题
8.期刊论文 王娟.WANG Juan 关于积分不等式的证明 -长春师范学院学报（自然科学版）2007,26(2)
本文就积分不等式的证明给出了利用极限运算、二重积分正定性、Hilbert空间的性质及概率论等不同于传统的构造辅助函数和Taylor展开的方法.
9.期刊论文 刘宗光 浅谈Euler-Poisson积分的求值 -高等数学研究2005,8(2)
运用积分不等式,利用辅助函数,利用数列极限,利用广义二重积分以及利用Γ函数求Euler-Poisson积分的值
10.期刊论文 王五生.WANG Wu-sheng 一类二变量积分不等式及其在积分-微分方程中的应用 -大学数学2010,26(2)
建立了一类二变量的积分不等式,该不等式包含了一个一重积分和两个二重积分.利用分析技巧,给出了积分不等式中未知函数的估计.这一结果可以作为研究积分-微分方程解的定性性质的工具.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jdzgzxb200802012.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：686c93d3-51a3-46bc-b7d4-9dce016d2dfb
下载时间：2010年8月10日
第２３卷第２期２００８年６月
景德镇高专学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｎｇｄｅｚｈｅｎＣｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅＣｏ］］ｅｇｅ
Ｖ０１．２３Ｎｏ．２Ｊｕｎ．２００８
二重积分证明积分不等式的若干应用
张仁华①
（童春职业技术学院数学糸，江西童舂３３６０００）
摘要：本文蛤出了一个一无函敦积分问题转化成二元函数积分问是的定理．并应用该定理槔讨了定积分不等式的证
明方法。
关键词：二重积分；积分不等式；积分区城中图分类号：０
１７２．２
文献标识码：Ａ文章编号：１００８—８４５ｓ（２００８）０２－００２２－０２
一元函数积分不等式的证明，常用的方法是引进参数或
辅助函数构建相应的变限积分。再利用定积分的性质和分部积分法等，其证明思路、方法跌宕起伏。难以驾驭。有时把一元函数的积分问题转化成二元函数的二重积分问题却带来很大方便，因为在二重积分的证明和计算中，通常使用的方法是
而矿叭善）ｇ（，，）一以ｙ）ｇ（膏）］。出方》０
即有：ｆｒ旷（量）矿（，，）＋，（，，），（并）］
卫
≯２
ｆ『抓髫）ｇ（，，扰，，）ｇ（茹）］如毋
蕾
化二重积分为累次积分。当积分区域为矩形、被积函数可分
离变量时，如下定理是成立的。
于是由（４）式得：
定理若，（算）在［Ｃｔ，ｂ］上可积。ｇ（），）在［ｃ。ｄ］上可积。则二元函数以ｓ）ｇ（ｙ）在平面区域Ｄ一｛（ｘ，ｙ）Ｉ口‘鼻‘６。ｃ‘，，‘ｄ｝上可积。且．
工‰出Ｍ舳≯ｇ㈧？‘ｙ川小ｍ毋
，●
，●
－Ｊ以茹）ｇ（毒）出・Ｉ，（，，）・掌（，，）毋
“Ｊ●
，●
，■
职善）ｇ（，，）如咖－ｊ【．，（髫）也Ｉ。ｇ（ｙ）方
题。
（１）
一Ｉ以ｚ）ｓ（ｓ）出Ｉ，（善）ｇ（并）出
●●，●
该定理简化了一些函数的积分计算问题，现考察以下命
一［ｆ么等）ｇ（茗）ａｓ３。
命题ｌ若和在［ａ，ｂ］上可积，证明不等式
－●
，●
ｊ
，●
［ｆ以茹）ｇ（髫）如］３‘ｆ，（算）如・Ｉ矿（膏）如
证明：利用定积分与积分变量符号无关的性质和定积分
即：［ｆ，（善）ｇ（牟）如］３‘ｌ，（茹）出ｌ
，●●●
Ｓ：（ｚ）ａｓ
■●
命题１中的不等式也称Ｃａｕｃｈｙ－Ｓｃｈｗａｎ积分不等式，若采用通常的证明方法是引人参数，即考察［以量）＋Ｉ・ｓ（ｓ）］。，
由于
的性质可知，函数，（茹）－与９２（ｘ）在［口。６］上也可积，再由以上
定理可得：
工≯（ｘ）ａｓ・工‘，（髫）出一Ｊ【≯（并）如・工‘，（），）方
；ｆ【尸（髫）矿（，，）如毋葛
其中Ｄ－｛（ｘ，ｙ）Ｉ口‘善‘ｂ，ａ‘，，‘ｂ｝；同理有
ｏ●●●
ｆ‘叭善）＋Ｉ．譬（并）］２如ｆ叭善）＋Ｉ・譬（并）］２如
（２）
－工．，（膏）＋２ｌ工么茹）ｇ（并）＆＋，ｆ‘扎）ａｓ≥０
再考虑其判别式；
．
ｆｆ。／（ｓ）ａｓ．ｆ‘矿（善）如．胪（），）暑２（并）出咖・Ｊ矿（善）如－胪（），）暑２（并）出咖
＇
（３）
△－［工么薯）ｇ（善）ａｓ３２一工．，（并）出上‘，（并）出‘０
命题ｌ也成立。当然这种方法构思有一定难度。参数引入较为突然。初学者不易接受此种证法。
命题２设ｐ（善）是［４，６］上的可积函数，且ｐ（善）＞０，
由（２）、（３）式左右分别相加并变形得：
Ｉ，（茹）如ｆ
ｓ＝（ｘ）ａｓ
－÷０扩（膏），（，，）＋，（，，）矿（并）］出咖
①收稿日期：２００７—１１－２２
作者简介：张仁华（１９５７一）．男．江西丰城人．副教授。
厂（善）和葺（茹）是Ｅｏ，６］上的单调增加函数，则
２００８年第２期张仁华：二重积分证明积分不等式的若干应用
利用对称性，又有：
・２３・
［．ｐ（茗状名）出［．ｐ（石）ｇ（名）出上ｐ（茗状名）如上ｐ（石）ｇ（名）出
《工．ｐ（善）出ｆ＿（茹），（茗）・ｓ．Ｃｘ）如
该不等式称为契比雪夫不等式。
证明：令
．
Ｊ＝驴（，，炉（量）（膏一ｙ）
ｊ
，，）叭鼻）－ｆ（），）］≥０于是
（８）
（７）、（８）式相加，并由题设，对任意ｘ，ｙｅ【ａ，ｂ］，有（善一
，＝Ｉｐｏ），（茗涫（茗）出Ｊ，：［．ｐｏ狄茗涫（茗）出［‘ｐ（ｘ）ａｚ一［．ｐＧ次茗）出［．ｐｏ）ｇ（互）出—ＩｐＧ次茗）出Ｊｐｏ）ｇ（互）出
●０
“
２，＝｜『（茗一，，扩（茹旷（ｙ）Ｌｆ（善）一，（），）］ｄ曩ａｙ≥０
面
即，≥０
ｏ●●●
＝ｆ．ｐＧ抓ｚ溆茹）吐．ｐ（ｙ）方一上．ｐ。），（善）叫．ｐ◇）ｇ（ｙ）方
ｚ肛Ｇ狄譬）ｇ（髫）ｐ∽如咖一肛ｏ），【茗）ｐ（ｙ）ｇｏ）如方
ｔ肛（善）ｐ（，，班善）［ｇ（善）一ｇ（），）］出方ｊ
其中Ｄ＝ｌ（ｘ，ｙ）Ｉ口《譬《ｂ，ａ《ｙ《ｂ｝
（利用定理）
．故鲁—一≥等一
．ｅ０
Ｉ矿（茹）出ｌ矿（茹）如
Ｉ，（互）如ｌ，（互）出
棚
为了进一步阐析定理的广泛应用，下面再举两上例题。例ｌ
证明［１１。嗣出］２＞子（１一ｅ以）
ｍ
咔
即：，＝肛（，）ｐ（ｙ），（茹）Ｉｓ（善）一ｇ（ｙ）］出方
卫
（５）
证明：因为ｅ。在［ｏ，１］上，－－Ｊ移１，由偶函数及对称性，ｅ。
同上交换善和ｙ的位置得：
在［一１，ｏ］上也可积，又因为ｆ１
（６）
ｅ。出积不出来（不是初等函
，＝肛（鼻）ｐ（，，抓ｙ）［ｇ（，，）一ｇ（茹）］出方
（５）、（６）式相加得：
数），我们可以应用定理把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题，再估计这个积分值。当然，应注意本题被积函数的特征，变换成极坐标形式计算更为简便。
，≈÷驴＠）ｐ（ｙ）叭∞一以），）］【ｇ＠）一ｇ（ｙ）］出咖
因为ｐ（ｘ）是［口，６］上的正值函数以量）与ｓ（ｘ）均为［口，
６］上的单调增加函数，故上式中被积函数非负，因而，≥０，于是有
．●
’
记，＝ＩＩｅ’１２出，则２，＝。ｅ＂ｄｘ，故
由
（２，）２＝Ｌ１ｔ嗣如Ｌ１ｅ。１２如
，●
上Ｐ（髫），（茹）出上ｐ（量）ｇ（量）出
≤［．ｐ（茹状茹）ｇ（互）出［．ｐ（茗）出≤Ｊｐ（茹状茹）ｇ（互）出ｆｐ（茗）出
■■■●
＝Ｌ１ｅ嗣出Ｌ‘。书毋＝驴茹书如匆
＞驴州蛐－上ｈ吨１瑁审由
＝＇ｒ（１一。ｑ）＞０
（１）
其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）Ｉ一１《髫《１。一１《，，≤１｝，Ｄ’；ｌ（善，
命题３设函数以髫）为［０，１］上的单调增加的连续函数，证
明！
孽丝≥牲
Ｊ
，，）Ｉ，＋，≤１｝．
Ｄ，因此（１）式是成立的。
。
以上不等式应用了连续非负函数的积分性质，显然Ｄ’ｃ
』矿（善）如
０
Ｊ，（量）如
ａ０
证明：记Ｄ＝ｌ（ｘ，ｙ）１０≤善《１，０《，，《Ｉ｝令
所以，２＞早（１一ｅ一），即［上１ｅ审如】２＞子（１一ｅ一）
参考文献：
［１］
同济大学应用数学系．高等教学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，
，＝上１矿（鼻）出工１矿（量）如一上◆（鼻）出上◆（聋）出
由定理可得：
，２矿（茗）ｄｘ／（ｙ）出方一驴（鼻）矿（），）出？
＝眇（膏矿（ｙ）（善一，，）出咖
ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＰｒｏｏｆ
ｏｎ
２０Ｄ２．
［２】李正元等．数学复习全书（理工类）［Ｍ】．北京：固謇行政学院出版
（７）
社．２００６．
ｔｈｅＩｎｔｅｇｒａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｙｂｙＤｏｕｂｌｅＩｎｔｅｇｒａｌ
Ｒｅｎ—ｈｕａ
ＺＨＡＮＧ
（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＹｉｃｕｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅ０ｆｖｏｃａｔｉｏｎａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｙｉｃｈｕｎ，Ｊｉａｎｇｘｉ３３６０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｐｅｒｐｒｅｓｅｎｔｓ
ｔｗｏ
ａ
ｔｈｅｏｒｅｍｄｅａｌｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｔｒａｎｓｆｅｒｆｒｏｍ
ａｌｌ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｏｆ
ａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆ
ｏｎｅ
ｖａｒｉａｂｌｅ
ｔｏ
ｔｈａｔ０ｆ曩ｆｕｎｃｔｉｏｎ０ｆ
ｖａｒｉａｂｌｅｓ。ｔｈｅｎｐｒｏｂｅｓ
ａ
ｐｒｏｏｆｏｎ－ｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｗｉｔｈｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｉｎｔｅｇｒａｌｄｏｍａｉｎ
二重积分证明积分不等式的若干应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
张仁华， ZHANG Ren-hua
宜春职业技术学院数学系,江西,宜春,336000景德镇高专学报
JOURNAL OF JINGDEZHEN COMPREHENSIVE COLLEGE2008，23(2)0次
参考文献(2条)
1.同济大学应用数学系 高等教学 20022.李正元 数学复习全书(理工类) 2006
相似文献(10条)
1.期刊论文 章曙雯.Zhang Shuwen 二重积分在积分不等式证明中的应用 -中国水运（理论版）2006,4(5)
利用二重积分中的一个定理,证明了一类积分不等式.
2.期刊论文 奚修章 证明一类定积分不等式的有效方法 -济宁师范专科学校学报2002,23(3)
根据定积分不等式的结构特征,把证明较繁或难以入手的定积分不等式问题,探讨出简洁明快的证明方法.
3.期刊论文 缪倩娟.贡韶红.Miao Qianjuan.Gong Shaohong 关于分部积分法的进一步探讨 -中国科技信息2006,
分部积分法因其对积分具有转化作用,在定积分的估值计算,及积分等式、不等式证明,和二重积分计算等方面具有一些特殊计算作用.此外,分部积分的计算方法可推广至渐次积分.
4.期刊论文 王五生 一个推广的二变量时滞积分不等式及其应用 -系统科学与数学2010,30(3)
建立了一类二变量的时滞积分不等式,不等式包含一个一重积分和两个二重积分,二重积分内包含两个不同的没有假设单调性的未知函数的复合函数.使用单调化技术,给出积分不等式中未知函数的估计.结果能对相关文献中考虑的积分不等式中未知函数进行估计.进一步,结果给出了一类积分一微分方程解的估计.
5.期刊论文 韩艳光 对二重积分解决定积分问题的探讨 -魅力中国2009,
定积分不等式的证明方法多种多样,一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性,最值等.在很多时候,我们也可以把定积分的不等式问题化为二重积分进行处理,使问题迎刃而解.本文通过一些例子,进行对二重积分解决定积分问题的探讨.
6.期刊论文 臧秀娟.ZANG Xiu-juan 构造二重积分解决定积分问题 -丹东纺专学报2005,12(1)
定积分不等式的证明方法多种多样.一般常规的方法有:研究被积函数在给定区间上的单调性、凸性、最值等.本文将给出一种方法,即利用变量替换手段将定积分转化为二重积分,再去证明.
7.期刊论文 辛萍芳 利用对称性证明积分不等式 -高等函授学报（自然科学版）2002,15(5)
本文给出命题
8.期刊论文 王娟.WANG Juan 关于积分不等式的证明 -长春师范学院学报（自然科学版）2007,26(2)
本文就积分不等式的证明给出了利用极限运算、二重积分正定性、Hilbert空间的性质及概率论等不同于传统的构造辅助函数和Taylor展开的方法.
9.期刊论文 刘宗光 浅谈Euler-Poisson积分的求值 -高等数学研究2005,8(2)
运用积分不等式,利用辅助函数,利用数列极限,利用广义二重积分以及利用Γ函数求Euler-Poisson积分的值
10.期刊论文 王五生.WANG Wu-sheng 一类二变量积分不等式及其在积分-微分方程中的应用 -大学数学2010,26(2)
建立了一类二变量的积分不等式,该不等式包含了一个一重积分和两个二重积分.利用分析技巧,给出了积分不等式中未知函数的估计.这一结果可以作为研究积分-微分方程解的定性性质的工具.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_jdzgzxb200802012.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：686c93d3-51a3-46bc-b7d4-9dce016d2dfb
下载时间：2010年8月10日