重积分的应用

重积分的应用

引言 .

1 二重积分的概念及应用 ................................................................................................... 4

1.1 二重积分的概念 ........................................................ 4 1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用 ...................................... 4 1.3 利用二重积分求旋转体的体积 ............................................ 6

2 三重积分的概念及应用 ................................................................................................... 6

2.1 三重积分的概念 ........................................................ 6 2.2 利用三重积分求空间物体的质量 .......................................... 7 2.3 利用三重积分求物体的重心 .............................................. 7 2.4 利用三重积分求物体的转动惯量 .......................................... 8

3 多重积分的概念及其应用 ............................................................................................. 10

3.1 多重积分的概念 ....................................................... 10 3.2 多重积分的应用 ....................................................... 10

结论 ............................................................ 12 致谢 ............................................................ 13 参考文献 ........................................................ 14

为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的．

关键词:

重积分；转动惯量；不等式

Abstract

In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problem．Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role． Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary．

Keywords:

multiple integral; moment of inertia; inequality

引 言

重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野．

重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解决一些生活实际问题等方面的有力工具．它有相当广泛的应用范围和非常重要的应用价值．数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和繁琐,而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目的． 例如二重积分在积分不等式证明中的应用,借助一些定理,通过变换间接解决相关不等式的证明问题,运用二重积分证明不等式,不但可以丰富不等式证明的方法、开阔视野、创新思路,而且在特定情况下可以起到事半功倍的效果．同时,三重积分可以用于解决物体的质量、重心和转动惯量之类的问题．借助重积分工具去研究空间物体问题,不仅能获得简便的解题方法且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平． 因此,我们应该对重积分有比较深刻的了解,而且在遇到具体问题时要能够熟练运用．

由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要的作用,因此,对重积分的研究不可忽视. 我们应该加大对重积分的研究深度,使之在各个领域起到更大的作用．本文就重积分的应用,谈一点个人的感悟和体会．

1 二重积分的概念及应用

本章主要介绍将一元函数积分的概念和应用推广到二元函数，即二重积分的概念及应用．

1.1 二重积分的概念

设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义，用任意分法T将R分成n个小区域：R1,R2, ,Rn，设它们的面积分别是∆σ1,∆σ2, ,∆σn. 在小区域上任取一点Pk(ξk,ηk)(k=1,2, ,n)，作和

∑f(ξ

k=1

n

k

,ηk)∆σk (1-1)

称为二元函数f(x,y)在区域R的积分和．

令T=max{d(R1),d(R2), ,d(Rn)}

定义 1.1 设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义，若当→0时，二元函数f(x,y)在区域R的积分和(1-1)存在极限I（数I与分法T无关，也与点Pk的取法无关），记为

T→o

∑f(ξ

k=1

n

k

,ηk)∆σk=I

即∀ε>0,∃δ>0,∀T:

∑f(ξ

k=1

n

k

,ηk)∆σk-I

则称函数f(x,y)在R可积，I是二元函数f(x,y)在R的二重积分，记为

I=

⎰⎰f(x,y)dσ或I

R

=

⎰⎰f(x,y)dxdy

R

其中R称为积分区域，f(x,y)称为被积函数，dσ或dxdy称为面积微元．

1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用

在一些积分不等式证明中，由于被积函数不确定，不能直接求出积分式，本章介绍借助一些定理，通过变换间接证明积分不等式．

在积分不等式的证明中，需要用到以下定理及推论：

定理1.1 若函数f(x,y)在闭区域R={(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}上可积，且

∀x∈[a,b]，定积分I(x)=⎰f(x,y)dy存在，则累次积分⎰

cd

ba

⎡df(x,y)dy⎤dx也存在，

⎢⎥⎣⎰c⎦

且

⎰⎰

R

d

⎡f(x,y)dxdy=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx． ⎥a⎢⎣c⎦

b

特别地 当f(x,y)在矩形区域R={(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}上连续时，有

⎰⎰

R

ddb

⎡⎤⎡f(x,y)dxdy=⎰⎰f(x,y)dydx=⎰⎰f(x,y)dx⎤dy ⎥⎥a⎢c⎢⎣c⎦⎣a⎦

b

推论 若函数ϕ(x)在[a,b]上可积，函数φ(y)在[c,d]上可积，则乘积函数

ϕ(x)φ(y)在闭矩形域R={(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}上也可积，且

⎰⎰ϕ(x)φ(y)dxdy=⎰ϕ(x)dx⎰

R

a

bd

c

φ(y)dy

例1.1 若f(x)连续且f(x)≥0，则

⎡bf(x)coxkxdx⎤+⎡bf(x)sinkxdz⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎰a⎦⎣⎰a⎦

2

2

b

≤⎡⎰f(x)dx⎤ ⎢⎥⎣a⎦

2

证明：

⎡bf(x)coskxdx⎤+⎡bf(x)sinkxdx⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎰a⎦⎣⎰a⎦==≤

R

R

2

2

⎰⎰f(x)coskx⋅f(y)coskydxdy+⎰⎰f(x)sinkx⋅f(y)sinkydxdy⎰⎰

R

f(x)f(y)cosk(x-y)dxdyf(x)f(y)dxdy=

2

⎰⎰

R

⎰

b

a

f(x)dx⋅⎰f(y)

a

b

=⎡⎰f(x)dx⎤⎢⎥⎣a⎦

（其中：R:{(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}． ）

1.3 利用二重积分求旋转体的体积

本节介绍了通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法，进而得出一般积分公式．在计算中需用到的定理：

定理1.2 由连续曲线y=f(x,y)(f(x)≥0)，直线x=a,x=b，及x轴所围成的曲边梯形D绕不穿过曲边梯形内部的共面直线l:Ax+By+C=0旋转一周所围成的旋转体的体积为：

V=

2πA+B

2

2

⎰⎰

D

Ax+By+Cσ=

2πA+B

2

2

⎰

b

a

dx⎰

f(x)

Ax+By+Cdy

例1.2 求由y=x2，y=x所围成的平面绕直线y=x旋转一周所围成旋转体的体积．

D={(x,y)x2≤y≤x,0≤x≤1}，解：即∀(x,y)∈D，都有x≥y，D在y=x右下方，

所以x-y≥0,(x,y)∈D．由上述公式有

V=

2

2π+(-1)

2

⎰⎰

D

x2x4π23

x-yσ=2⎰dx⎰2(x-y)dy=2⎰(-x-dx=

0x02260

1

x

1

2 三重积分的概念及应用

本章介绍的三重积分不仅是二重积分的推广，也是解决某些实际问题所必需的．

2.1 三重积分的概念

设三元函数f(x,y,z)在有界闭体V有定义，用分法T将V分成n个小体：

V1,V2, ,Vn，设它们的体积分别是∆V1,∆V2, ,∆Vn．在小体Vk上任取一点Pk(ξk,ηk,ζk)(k=1,2, ,n)若→0时，和式∑f(ξk,ηk,ζk)∆Vk的极限存在，且与

k=1n

区域的分法和点Pk(ξk,ηk,ζk)的选取无关，则称f(x,y,z)在V上可积，并称此极限为f(x,y,z)在V上的三重积分，记为

⎰⎰⎰f(x,y,z)dV或⎰⎰⎰f(x,y,z)dxdydz

V

V

f(x,y,z)称为被积函数，V称为积分区域，dV或dxdydz称为体积微元．

2.2 利用三重积分求空间物体的质量

设物体占有空间区域V，体密度为ρ(x,y,z)，则物体的质量

M=⎰⎰⎰ρ(x,y,z)dxdydz．

V

例2.1 设空间区域V由z=x2+y2+1与平面z=2围成，已知V上任意一点的密度与该点到原点距离平方成正比，求V的质量m．

解：由已知密度ρ(x,y,z)=k(x2+y2+z2)(k>0)，则

m=⎰⎰⎰k(x2+y2+z2)dxdydz

V

作柱面坐标变换：x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,z=z，则

m=⎰dϕ⎰dρ⎰

2π

1

2

ρ+1

k(ρ2+x2)ρdz=

17

kπ 15

2.3 利用三重积分求物体的重心

设物体占有空间区域V，体密度为ρ(x,y,z)，则物体关于x,y,z轴的转动惯量为：

=

⎰⎰⎰xρ(x,y,z)dV

V

⎰⎰⎰ρ(x,y,z)dV

V

,=

⎰⎰⎰yρ(x,y,z)dV

V

⎰⎰⎰ρ(x,y,z)

V

,=

⎰⎰⎰zρ(x,y,z)dV

V

⎰⎰⎰ρ(x,y,z)dV

V

如果V是均匀的，即密度函数ρ(x,y,z)是常数，不妨设ρ(x,y,z)≡1，V的体积是I，则V的重心(的坐标分别是

=

111

xdV,=ydV,=zdV ⎰⎰⎰⎰⎰⎰I⎰⎰⎰IIVVV

例2.2 计算密度函数ρ(x,y,z)≡1的均匀上半球体V:x2+y2+z2≤a2(z≥0)的重心．

解：因为均匀半球体关于yz与zx都对称，所以在公式中，==0．下面求．

设I是半径为a的的半球体体积，已知I=πa3，求三重积分⎰⎰⎰zdV，作

V

2

3

柱面坐标变换：x=rcosϕ,y=rsinϕ,z=z，有

⎰⎰⎰zdV=⎰

V

2π

dϕ⎰rdr⎰

a

a2-x2

1

zdz=πa4

4

=

1I

⎰⎰⎰zdV=

V

3a 8

于是，均匀上半球体的重心是(0,0,a)．

38

2.4 利用三重积分求物体的转动惯量

设物体占有空间区域V，体密度为ρ(x,y,z)，则物体关于x,y,z轴即原点的转动惯量为

Ix=⎰⎰⎰(y2+z2)ρ(x,y,z)dV,Iy=⎰⎰⎰(z2+x2)ρ(x,y,z)dV,Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)ρ(x,y,z)dV

V

V

V

例2.3 计算密度函数ρ(x,y,z)≡1的均匀球体V:x2+y2+z2≤1，关于三个坐标轴的转动惯量．

解：由上面公式知，球体V关于三个坐标轴的转动惯量分别是

Ix=⎰⎰⎰(y2+z2)dV,Iy=⎰⎰⎰(z2+x2)dV,Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dV

V

V

V

因为球体关于三个坐标面对称，被积函数关于每个变量都是偶函数，所以

Ix=Iy=Iz，设I=Ix=Iy=Iz，有

3I=⎰⎰⎰2(x2+y2+z2)dV

V

π122π8

作球面坐标变换有I=⎰0dθ⎰0sinϕdϕ⎰0r4dr=π,即

315

8

Ix=Iy=Iz=π

15

沈阳大学毕业设计（论文） No

3 多重积分的概念及其应用

与一元函数的广义积分概念和应用类似，重积分概念也可以n维空间．

3.1 多重积分的概念

类似于以上两章二重积分和三重积分的概念，Rn中f(x1,x2, ,xn)在V上的n重积分，记为

⎰ ⎰f(y,y, ,y)dydy dy

1

2

n

1

2

v

n

=∑f(yk)∆V

→0

k=1

n

3.2 多重积分的应用

本节介绍利用多重积分证明毕达哥拉斯定理的一种推广． 考虑n维欧氏仿射空间Rn(n>2)中的一个n维单形

xi

⎧⎫xn

Ωn:=⎨(x1, ,xn)∈R:∑i≤1,xi≥0,i=1, ,n⎬ (3-1)

i=1ai⎩⎭

其中ai>0,i=1, ,n．Ω有n+1个顶点,即O=(0, ,0)和

Ai=(0. ,ai, ,0),i=1, ,n．

Ωn还有n+1个侧面，即n+1个顶点的对面，分别是除某个顶点以外其他n个

顶点组成的凸包，是一个n-1维单形．显然，只有一个侧面不通过原点O，即O的对面记作S且以S表示它的面积（n-1维体积）;其余n个侧面都通过原点，顶点Ai所对侧面记作Si且以Si表示它的面积，i=1, ,n．文献利用单形体积公式证明了S=S1+ +Sn(3-1)现在利用多重积分来证明式

(3-1)．因为顶点Ai(i=1, ,n)所对侧面是由Ωn与超平面xi=0，相交所成的n-1

2

2

2

维单形，即Si=Ωn⋂{(x1, ,xn)∈Rn:xi=0}，所以由文献求得

Si=⎰dx1 dxi-1dxi+1 dxn=

Si

a1 ai-1ai+1 an

i=1, ,n (3-2)

(n-1)!

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S

是由Ωn与超平面

xx1x2

++ +n=1相交所成的n-1维单形，有显示表示 a1a2an

⎛x1xn-1⎫

⎪S:xn=an 1-- -⎪ (x1, ,xn-1)∈D aa1n-1⎭⎝

其中

n-1

⎧⎫xn-1

D:⎨(x1, xn-1)∈R:∑i≤1,xi≥0,i=1, ,n-1⎬

i=1ai⎩⎭

由文献得

S=⎰

⎛∂xn

+ ∂x⎝1⎛∂xn⎫⎫⎛an⎫⎛ana1 an-1 ⎪⎪ ⎪ + +dx dx=++ +n-1⎪ a⎪ a ∂x⎪1

(n-1)!⎭⎝1⎭⎝1⎝n-1⎭

222

⎫

⎪⎪ (3-3) ⎭

2

根据式(3-2)和式(3-3)立即推得式(3-1)，因此毕达哥拉斯的推广得证．

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结 论

重积分在高等数学中应用非常广泛,涉及到数学知识的许多方面．本文讨论了重积分的有关知识,深入研究了用二重积分简便计算平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积的一般方法，而且给出了用二重积分证明积分不等式的证明思路．利用三重积分的物理意义和性质求物体的质量，空间物体的重心坐标和转动惯量，简便了以往复杂的计算过程．通过以上讨论我们了解到重积分是我们研究数学问题的一个有力工具,在今后的学习和日常生活中,我们需对重积分做进一步全面的理解和认识,让重积分这个有力的工具在我们的手中发挥更大的作用．

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致 谢

首先要感谢我的论文指导教师杨丹老师,从论文的选题、定稿、撰写,杨老师都给了我精心的指导,提出了许多宝贵的修改意见和建议,使我的论文能够顺利的完成,在此我深深的表示感谢!希望她在以后的生活里工作顺利,万事如意!其次，我要感谢培养教育我的沈阳大学,在沈阳大学浓厚的学术氛围中,我不断汲取知识，丰富自己的内涵．感谢对我倾囊赐教、鞭策鼓励的理学院诸位师长、恩师,他们的谆谆教诲我将铭记在心．祝恩师们事事顺心,家庭幸福!感谢同窗好友及学长们陪我共同度过了两年美好难忘的大学时光,我非常珍视和他们的友谊!祝他们前程似锦,事业有为!最感谢生我养我的父母,养育之恩无以回报,唯愿他们健康长寿，青春常驻!

沈阳大学毕业设计（论文） No

参考文献

[1]刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（下）[M]．北京：高等教育出版社,2008：333-385

[2]章曙雯．二重积分在不等式证明中的应用[J]．中国水运（理论版）,2006.5:231-234

[3]隋亚莉．用二重积分求旋转体的体积[J]．宁德师专学报,2007.2：1-3 [4]赵显著,黄安才．数学分析的方法与题解[M]．西安:陕西师范大学出版社,2005:688-709

[5]王丽燕．高等数学大讲堂[M]．大连：大连理工出版社，2004:368-385 [6]江家敏．略谈广义重积分[J]．开封教育学院学报,1990.3:48-53 [7]刘证．多重积分的两则应用[J]．鞍山科技大学学报,2006.12:563-565

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重积分的应用

引言 .

1 二重积分的概念及应用 ................................................................................................... 4

1.1 二重积分的概念 ........................................................ 4 1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用 ...................................... 4 1.3 利用二重积分求旋转体的体积 ............................................ 6

2 三重积分的概念及应用 ................................................................................................... 6

2.1 三重积分的概念 ........................................................ 6 2.2 利用三重积分求空间物体的质量 .......................................... 7 2.3 利用三重积分求物体的重心 .............................................. 7 2.4 利用三重积分求物体的转动惯量 .......................................... 8

3 多重积分的概念及其应用 ............................................................................................. 10

3.1 多重积分的概念 ....................................................... 10 3.2 多重积分的应用 ....................................................... 10

结论 ............................................................ 12 致谢 ............................................................ 13 参考文献 ........................................................ 14

为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的．

关键词:

重积分；转动惯量；不等式

Abstract

In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problem．Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role． Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary．

Keywords:

multiple integral; moment of inertia; inequality

引 言

重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野．

重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解决一些生活实际问题等方面的有力工具．它有相当广泛的应用范围和非常重要的应用价值．数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和繁琐,而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目的． 例如二重积分在积分不等式证明中的应用,借助一些定理,通过变换间接解决相关不等式的证明问题,运用二重积分证明不等式,不但可以丰富不等式证明的方法、开阔视野、创新思路,而且在特定情况下可以起到事半功倍的效果．同时,三重积分可以用于解决物体的质量、重心和转动惯量之类的问题．借助重积分工具去研究空间物体问题,不仅能获得简便的解题方法且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平． 因此,我们应该对重积分有比较深刻的了解,而且在遇到具体问题时要能够熟练运用．

由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要的作用,因此,对重积分的研究不可忽视. 我们应该加大对重积分的研究深度,使之在各个领域起到更大的作用．本文就重积分的应用,谈一点个人的感悟和体会．

1 二重积分的概念及应用

本章主要介绍将一元函数积分的概念和应用推广到二元函数，即二重积分的概念及应用．

1.1 二重积分的概念

设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义，用任意分法T将R分成n个小区域：R1,R2, ,Rn，设它们的面积分别是∆σ1,∆σ2, ,∆σn. 在小区域上任取一点Pk(ξk,ηk)(k=1,2, ,n)，作和

∑f(ξ

k=1

n

k

,ηk)∆σk (1-1)

称为二元函数f(x,y)在区域R的积分和．

令T=max{d(R1),d(R2), ,d(Rn)}

定义 1.1 设二元函数f(x,y)在有界闭区域R有定义，若当→0时，二元函数f(x,y)在区域R的积分和(1-1)存在极限I（数I与分法T无关，也与点Pk的取法无关），记为

T→o

∑f(ξ

k=1

n

k

,ηk)∆σk=I

即∀ε>0,∃δ>0,∀T:

∑f(ξ

k=1

n

k

,ηk)∆σk-I

则称函数f(x,y)在R可积，I是二元函数f(x,y)在R的二重积分，记为

I=

⎰⎰f(x,y)dσ或I

R

=

⎰⎰f(x,y)dxdy

R

其中R称为积分区域，f(x,y)称为被积函数，dσ或dxdy称为面积微元．

1.2 二重积分在积分不等式证明中的应用

在一些积分不等式证明中，由于被积函数不确定，不能直接求出积分式，本章介绍借助一些定理，通过变换间接证明积分不等式．

在积分不等式的证明中，需要用到以下定理及推论：

定理1.1 若函数f(x,y)在闭区域R={(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}上可积，且

∀x∈[a,b]，定积分I(x)=⎰f(x,y)dy存在，则累次积分⎰

cd

ba

⎡df(x,y)dy⎤dx也存在，

⎢⎥⎣⎰c⎦

且

⎰⎰

R

d

⎡f(x,y)dxdy=⎰⎰f(x,y)dy⎤dx． ⎥a⎢⎣c⎦

b

特别地 当f(x,y)在矩形区域R={(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}上连续时，有

⎰⎰

R

ddb

⎡⎤⎡f(x,y)dxdy=⎰⎰f(x,y)dydx=⎰⎰f(x,y)dx⎤dy ⎥⎥a⎢c⎢⎣c⎦⎣a⎦

b

推论 若函数ϕ(x)在[a,b]上可积，函数φ(y)在[c,d]上可积，则乘积函数

ϕ(x)φ(y)在闭矩形域R={(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}上也可积，且

⎰⎰ϕ(x)φ(y)dxdy=⎰ϕ(x)dx⎰

R

a

bd

c

φ(y)dy

例1.1 若f(x)连续且f(x)≥0，则

⎡bf(x)coxkxdx⎤+⎡bf(x)sinkxdz⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎰a⎦⎣⎰a⎦

2

2

b

≤⎡⎰f(x)dx⎤ ⎢⎥⎣a⎦

2

证明：

⎡bf(x)coskxdx⎤+⎡bf(x)sinkxdx⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎰a⎦⎣⎰a⎦==≤

R

R

2

2

⎰⎰f(x)coskx⋅f(y)coskydxdy+⎰⎰f(x)sinkx⋅f(y)sinkydxdy⎰⎰

R

f(x)f(y)cosk(x-y)dxdyf(x)f(y)dxdy=

2

⎰⎰

R

⎰

b

a

f(x)dx⋅⎰f(y)

a

b

=⎡⎰f(x)dx⎤⎢⎥⎣a⎦

（其中：R:{(x,y):a≤x≤b;c≤y≤d}． ）

1.3 利用二重积分求旋转体的体积

本节介绍了通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法，进而得出一般积分公式．在计算中需用到的定理：

定理1.2 由连续曲线y=f(x,y)(f(x)≥0)，直线x=a,x=b，及x轴所围成的曲边梯形D绕不穿过曲边梯形内部的共面直线l:Ax+By+C=0旋转一周所围成的旋转体的体积为：

V=

2πA+B

2

2

⎰⎰

D

Ax+By+Cσ=

2πA+B

2

2

⎰

b

a

dx⎰

f(x)

Ax+By+Cdy

例1.2 求由y=x2，y=x所围成的平面绕直线y=x旋转一周所围成旋转体的体积．

D={(x,y)x2≤y≤x,0≤x≤1}，解：即∀(x,y)∈D，都有x≥y，D在y=x右下方，

所以x-y≥0,(x,y)∈D．由上述公式有

V=

2

2π+(-1)

2

⎰⎰

D

x2x4π23

x-yσ=2⎰dx⎰2(x-y)dy=2⎰(-x-dx=

0x02260

1

x

1

2 三重积分的概念及应用

本章介绍的三重积分不仅是二重积分的推广，也是解决某些实际问题所必需的．

2.1 三重积分的概念

设三元函数f(x,y,z)在有界闭体V有定义，用分法T将V分成n个小体：

V1,V2, ,Vn，设它们的体积分别是∆V1,∆V2, ,∆Vn．在小体Vk上任取一点Pk(ξk,ηk,ζk)(k=1,2, ,n)若→0时，和式∑f(ξk,ηk,ζk)∆Vk的极限存在，且与

k=1n

区域的分法和点Pk(ξk,ηk,ζk)的选取无关，则称f(x,y,z)在V上可积，并称此极限为f(x,y,z)在V上的三重积分，记为

⎰⎰⎰f(x,y,z)dV或⎰⎰⎰f(x,y,z)dxdydz

V

V

f(x,y,z)称为被积函数，V称为积分区域，dV或dxdydz称为体积微元．

2.2 利用三重积分求空间物体的质量

设物体占有空间区域V，体密度为ρ(x,y,z)，则物体的质量

M=⎰⎰⎰ρ(x,y,z)dxdydz．

V

例2.1 设空间区域V由z=x2+y2+1与平面z=2围成，已知V上任意一点的密度与该点到原点距离平方成正比，求V的质量m．

解：由已知密度ρ(x,y,z)=k(x2+y2+z2)(k>0)，则

m=⎰⎰⎰k(x2+y2+z2)dxdydz

V

作柱面坐标变换：x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,z=z，则

m=⎰dϕ⎰dρ⎰

2π

1

2

ρ+1

k(ρ2+x2)ρdz=

17

kπ 15

2.3 利用三重积分求物体的重心

设物体占有空间区域V，体密度为ρ(x,y,z)，则物体关于x,y,z轴的转动惯量为：

=

⎰⎰⎰xρ(x,y,z)dV

V

⎰⎰⎰ρ(x,y,z)dV

V

,=

⎰⎰⎰yρ(x,y,z)dV

V

⎰⎰⎰ρ(x,y,z)

V

,=

⎰⎰⎰zρ(x,y,z)dV

V

⎰⎰⎰ρ(x,y,z)dV

V

如果V是均匀的，即密度函数ρ(x,y,z)是常数，不妨设ρ(x,y,z)≡1，V的体积是I，则V的重心(的坐标分别是

=

111

xdV,=ydV,=zdV ⎰⎰⎰⎰⎰⎰I⎰⎰⎰IIVVV

例2.2 计算密度函数ρ(x,y,z)≡1的均匀上半球体V:x2+y2+z2≤a2(z≥0)的重心．

解：因为均匀半球体关于yz与zx都对称，所以在公式中，==0．下面求．

设I是半径为a的的半球体体积，已知I=πa3，求三重积分⎰⎰⎰zdV，作

V

2

3

柱面坐标变换：x=rcosϕ,y=rsinϕ,z=z，有

⎰⎰⎰zdV=⎰

V

2π

dϕ⎰rdr⎰

a

a2-x2

1

zdz=πa4

4

=

1I

⎰⎰⎰zdV=

V

3a 8

于是，均匀上半球体的重心是(0,0,a)．

38

2.4 利用三重积分求物体的转动惯量

设物体占有空间区域V，体密度为ρ(x,y,z)，则物体关于x,y,z轴即原点的转动惯量为

Ix=⎰⎰⎰(y2+z2)ρ(x,y,z)dV,Iy=⎰⎰⎰(z2+x2)ρ(x,y,z)dV,Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)ρ(x,y,z)dV

V

V

V

例2.3 计算密度函数ρ(x,y,z)≡1的均匀球体V:x2+y2+z2≤1，关于三个坐标轴的转动惯量．

解：由上面公式知，球体V关于三个坐标轴的转动惯量分别是

Ix=⎰⎰⎰(y2+z2)dV,Iy=⎰⎰⎰(z2+x2)dV,Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dV

V

V

V

因为球体关于三个坐标面对称，被积函数关于每个变量都是偶函数，所以

Ix=Iy=Iz，设I=Ix=Iy=Iz，有

3I=⎰⎰⎰2(x2+y2+z2)dV

V

π122π8

作球面坐标变换有I=⎰0dθ⎰0sinϕdϕ⎰0r4dr=π,即

315

8

Ix=Iy=Iz=π

15

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3 多重积分的概念及其应用

与一元函数的广义积分概念和应用类似，重积分概念也可以n维空间．

3.1 多重积分的概念

类似于以上两章二重积分和三重积分的概念，Rn中f(x1,x2, ,xn)在V上的n重积分，记为

⎰ ⎰f(y,y, ,y)dydy dy

1

2

n

1

2

v

n

=∑f(yk)∆V

→0

k=1

n

3.2 多重积分的应用

本节介绍利用多重积分证明毕达哥拉斯定理的一种推广． 考虑n维欧氏仿射空间Rn(n>2)中的一个n维单形

xi

⎧⎫xn

Ωn:=⎨(x1, ,xn)∈R:∑i≤1,xi≥0,i=1, ,n⎬ (3-1)

i=1ai⎩⎭

其中ai>0,i=1, ,n．Ω有n+1个顶点,即O=(0, ,0)和

Ai=(0. ,ai, ,0),i=1, ,n．

Ωn还有n+1个侧面，即n+1个顶点的对面，分别是除某个顶点以外其他n个

顶点组成的凸包，是一个n-1维单形．显然，只有一个侧面不通过原点O，即O的对面记作S且以S表示它的面积（n-1维体积）;其余n个侧面都通过原点，顶点Ai所对侧面记作Si且以Si表示它的面积，i=1, ,n．文献利用单形体积公式证明了S=S1+ +Sn(3-1)现在利用多重积分来证明式

(3-1)．因为顶点Ai(i=1, ,n)所对侧面是由Ωn与超平面xi=0，相交所成的n-1

2

2

2

维单形，即Si=Ωn⋂{(x1, ,xn)∈Rn:xi=0}，所以由文献求得

Si=⎰dx1 dxi-1dxi+1 dxn=

Si

a1 ai-1ai+1 an

i=1, ,n (3-2)

(n-1)!

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S

是由Ωn与超平面

xx1x2

++ +n=1相交所成的n-1维单形，有显示表示 a1a2an

⎛x1xn-1⎫

⎪S:xn=an 1-- -⎪ (x1, ,xn-1)∈D aa1n-1⎭⎝

其中

n-1

⎧⎫xn-1

D:⎨(x1, xn-1)∈R:∑i≤1,xi≥0,i=1, ,n-1⎬

i=1ai⎩⎭

由文献得

S=⎰

⎛∂xn

+ ∂x⎝1⎛∂xn⎫⎫⎛an⎫⎛ana1 an-1 ⎪⎪ ⎪ + +dx dx=++ +n-1⎪ a⎪ a ∂x⎪1

(n-1)!⎭⎝1⎭⎝1⎝n-1⎭

222

⎫

⎪⎪ (3-3) ⎭

2

根据式(3-2)和式(3-3)立即推得式(3-1)，因此毕达哥拉斯的推广得证．

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结 论

重积分在高等数学中应用非常广泛,涉及到数学知识的许多方面．本文讨论了重积分的有关知识,深入研究了用二重积分简便计算平面图形绕任意直线旋转所成的旋转体的体积的一般方法，而且给出了用二重积分证明积分不等式的证明思路．利用三重积分的物理意义和性质求物体的质量，空间物体的重心坐标和转动惯量，简便了以往复杂的计算过程．通过以上讨论我们了解到重积分是我们研究数学问题的一个有力工具,在今后的学习和日常生活中,我们需对重积分做进一步全面的理解和认识,让重积分这个有力的工具在我们的手中发挥更大的作用．

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致 谢

首先要感谢我的论文指导教师杨丹老师,从论文的选题、定稿、撰写,杨老师都给了我精心的指导,提出了许多宝贵的修改意见和建议,使我的论文能够顺利的完成,在此我深深的表示感谢!希望她在以后的生活里工作顺利,万事如意!其次，我要感谢培养教育我的沈阳大学,在沈阳大学浓厚的学术氛围中,我不断汲取知识，丰富自己的内涵．感谢对我倾囊赐教、鞭策鼓励的理学院诸位师长、恩师,他们的谆谆教诲我将铭记在心．祝恩师们事事顺心,家庭幸福!感谢同窗好友及学长们陪我共同度过了两年美好难忘的大学时光,我非常珍视和他们的友谊!祝他们前程似锦,事业有为!最感谢生我养我的父母,养育之恩无以回报,唯愿他们健康长寿，青春常驻!

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参考文献

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[3]隋亚莉．用二重积分求旋转体的体积[J]．宁德师专学报,2007.2：1-3 [4]赵显著,黄安才．数学分析的方法与题解[M]．西安:陕西师范大学出版社,2005:688-709

[5]王丽燕．高等数学大讲堂[M]．大连：大连理工出版社，2004:368-385 [6]江家敏．略谈广义重积分[J]．开封教育学院学报,1990.3:48-53 [7]刘证．多重积分的两则应用[J]．鞍山科技大学学报,2006.12:563-565

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