ＮＯ．６
聊ＥＤＵｃＡⅡＯＮ
对称性、奇偶性在积分计算中应用的一个注解
李海红
竖夔查
Ｊｕｎｅ
摘要：在积分运算中，对称积分区域以及被积函数有奇、偶性的积分，均可用对称性和奇偶性简化计算。通过对奇偶性、对称性计算积分的五个定理及两个推论进行分析，在实例计算中阐述这些技巧的实用性，有助于学生学习并掌握微积分。
关键词：积分对称性奇偶性中图分类号：Ｇ６４２
文献标识码：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８１８１．２０１０．０６．１１６
在高等数学的教学过程中，常常发现学生在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了计算的难度。若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，则能化难为
Ｄ１：《ｘ，ｙ）∈Ｄｘ≥Ｏ，ｙ≥ｏ｝：②若，（－ｘ，ｙ）－－一ｌ（ｘ，ｙ）
或，ｏ，一ｙ））～ｌ（ｘ，ｙ）时・则ＪＪ
Ｄ
ｌ（ｘ，ｙ）丽＝ｏ．
易，简化计算。本文归纳总结了积分区域的对称性及被积函数的
奇偶性在积分计算中的一些应用，并举例说明。１利用对称区间上奇、偶函数的定积分性质
定理ｌ“ｘ）若卜ａ，ａ】在上连续（ａ＞０）
（４）设积分逸：域Ｄ笑】ｉ原点对称，对称］ｉ原点的两部分燧域
分别记为Ｄ１和Ｄ：，则①１１：＿１／（一ｘ，一力＝一１扛，Ｙ）时
仃，＠，ｙ），ｔ６的值为ｏ，②当，（－ｘ，－ｙ）＝，（ｘ，ｙ）时，
ｏ
①当，＠）为偶踊数时．
②蔚１０）为奇踊数时，
一ａ。ｔ（ｘ）ｄｘ＝２厝（ｘ胁：
一ｕ
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ｊｊ／（ｘ，ｙ）蕊的值为２ｆＩｌ（ｘ，ｙ）丽
定理３
ｆｄ，，ｏ胁＝ｏ．
ｏ一口
酬舶数豢ＯＳ引一４，旦４】Ｊ：的定积髓解凶为—二・，÷分别为［－生，生１上的偶函数、解凶为熹ＣＯＳ，未ＣＯＳ删朴；４，轧４的偶础
Ｃ
‘Ｘ
。Ｘ
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设，（ｘ，Ｙ，：）存Ｑ．１。，ｒ积，有：
（１）设Ｑ关了二‘照标丽ｘ＝Ｏ（ｙ＝０或ｚ＝Ｏ）对称，
则：①当，关于ｘ（ｙ或：）为奇函数时，ⅢＪ，（ｘ，ｙ，ｚ，ｉｖ
奇函数，由定理ｌ得：原式２』冬云妾五≯＋ｆ冬寺２２
４
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７ｃ７ｃ
々值为。．②袱：＿ｊｆ＿－（ｙ或二）为偶函数盹ｊ竹八墨ｙ，三沙
ｃ：
４
≈值为２ｆｆｆ，（ｘ，ｙ，ｚ沙，萁中Ｑ１＝案ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｑ１
’矗：
（２）设Ｑ关ｊ二ｚ轴（ｙ轴或：轴）对称，则：
ｘ≥ｏ（ｙ≥ｏ或ｚ≥
这样的例子很多，有的司直接应用定理１，有的可通过分解出一个奇函数和一个偶函数再应用定理１，从而达到简化积分计算。
２利用区域对称性和被积函数的奇偶性求重积分
①拗（墨只ｚ）关于任意两个变景为齑函数ｆｆｆｌ（ｘ，ｙ，ｚ），
的值为ｏ．②萄（ｘ，Ｙ，ｚ）关于任意两个变量为偶函数时
定理２谢工，ｙ）Ｄ
①’＿，ｏ，ｙ）父ｒ②当，＠，ｙ）天】ｊ
ｔ：可积，有：
（１）设Ｄ关ｙ轴对称：则
Ⅲ，（ｘ，ｙ，ｚ沙的值为２Ⅲ，（ｔｙ，ｚ）ａｖ．其中Ｑ。为对称区域Ｑ。
（３）设Ｑ荧ｊ二三个嫩标１：ｆｉｆｘ＝Ｏ、Ｙ＝０、ｚ＝Ｏ对称，
ｘ为奇函数时，ｊ＇ｊ＂１（ｘ，ｙ）谪的值为ｏ．
ｘ为偶函数时盯，＠，ｙ）硒的
Ｄ｛，＝《五ｙ）∈Ｄ１ｚ≥ｏ｝
赚Ⅲ，（ｔＹ，ｚ沙＝８Ⅲ／（ｔＹ，ｚ沙其中Ｑ。为Ｑ中的羚一
Ｏ
ｎｌ
位为２Ⅱ，（ｘ，ｙ）硒，其一１Ｉ
Ｄｔ’
３对称化积分区间求积分
推论１设ｍＪ在陋，６】上连续，则
（２）设ＤＸ－ｒｘ轴对称，则①当，０，Ｙ）哭』：Ｙ为奇函
数时．ｊＪ，ｏ，ｙ），ｔ６的值为ｏ．②当ｌ（ｘ，ｙ）天Ｊ：ｙ为偶甬
（１），＠）在区问［ａ，ｂ¨二的定积分等］：，＠＋Ｘｏ）在１４：ｉ＇ｒｑ［一Ｃ，ｃ】＂Ｉ拍０定积分或，＠一‰）在区ｎｑ【口，ｂ】上的定积分等１二，０）在【；，‘：问卜ｃ，ｃ】Ｉ二的定积分值。（２）／ｐ）存隧问［ｑ纠Ｊ：的定积分簿ｊ：／０＋ｂ一力
数时，ｆｆｌ（ｘ，ｙ）ｄ５为２盯，（ｘ，ｙ）ｄ５，其中Ｄ产《ｔｙ）∈Ｄｌｙ≥Ｏ｝．
（３）设Ｄ芙１：ｘ轴和Ｙ轴对称，①，０，ｙ）荧ｒｘ和Ｙ
轴均为偶函数，如Ｊｊ＇Ｊ＂Ｉ（ｘ，ｙ）娟＝４Ⅱ，ｏ，ｙ）丽，其中
万方数据
１５１一
晰℃教丁■
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在区问［口，６］卜．的定积分也等，：，０）－ｑ，∞＋ｂ一磅６Ｊｉｅｉ），Ｊ２Ｊ＇ｔ．，Ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ．其中厶＝ｋｙ）∈￡Ｉｘ≥ｏ（勒≥ｏ）｝
之和住区间【口，ｂ】＿Ｉ：响埏袱分的‘譬。
证嘭ｊ：
（略）
证明
（１）用定积分换元积分法令ｘ＝ｔ＋竺望
例计算鼻ｘ：ｄｓ，其ｔ”ｒ为球面ｘ２＋ｙ！＋ｚ：＝口：
被１’卜而ｘ＋Ｙ＋ｚ＝（）所截的网周．（中心对称变换）容易ｂｌ－－．｛ｌ，：ｆ。
解由对称性・１Ｊ‘知：
（２）用定积分换元积分法令ｘ＝ｔ７＋６－Ｉ
扩幽＝壬Ｙ２ｄｓ＝ｆ：２ｄｓ
（曲线Ｉ（ｘ）‘－ｊｆｌａ＋６一ｘ）关ｊ：．直线ｘ＝竺兰对称）容易证得。
例计算函数１告桃问［０，争上的定积分。
所以垂础＝弘］、２，Ｚ２胁＝等
解恻婚脐三斥慧出音
￥１１１
Ｘ＋ＣＯＳ
Ｘ
Ｚ
定理５（第‘类ｆｌｌ】谳积分）设分”光滑曲硼∑关于
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Ｆ（ｒ，儿ｚ）在∑上定义呵积。则
①若Ｆ关丁．ｘ为奇函数盹ｆｆＦ（ｘ，）Ｉ，：）ｄｓ雕．ｆｆｔｉ
４利用对称区间上非奇非偶函数的定积分性质
∑
推论２枞在卜ａ，ａ】上连续，贝ｌＪＯ）ｆ（ｘ）在区间卜ａ，ａ】上的定积
分等于价Ｊ与月一工Ｊ之和在区间卜ａ，ａ】上的定积分的一半。
为ｏ．②若声哭于ｘ为偶函数时，盯Ｆ’（ｘ，Ｙ，：）凼的
∑
②Ｍ在区间【一ａ，ａ】上的定积分等Ｔ＂ｆｌｘｊ－与ｆｌ－ｘ）之和在区间
【０，ａ】上的定积分。
蝴步∽肛蚶中∑扩ｈ咖∑忙。）｛』ｊ＿！明因为』二，ｏ协一三Ｃａ［，（ｘ）＋，（一功协
。一口
Ｚ。一
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Ｚ
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解记∑。为∑在第…。卦限的部分・积分曲面必ｊ：
则兰ｆ０删一／（－ｘ）］ｄｘ－－ｏ，糯①式成立。
ｙｏｚ面、ＺＯＸｌ＿目Ｉ对称，被积函数ｌ印留Ｉ哭于ｘ和Ｙ是偶
函数，由对称性Ｄ：ｘ：＋Ｙ２≤１，ｒ≥０，Ｙ≥０则
余Ｆ的②同理，ＩｉｉＥ。
ｖ’
例计算函数：二了在送：问卜１，１］上的定积分。
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‘
。。
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∑
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解凶为，（ｘ）＝１＋ｘ＿ＬＰ，，／（ｘ）＋，（一ｘ）＝ｘ：，则原式＝Ｊ≥２出＝｝
＝２驴瓜而＝警
一
像这样的题型看似十分复杂，但利用上面的公式则化难为易参考文献：
达到简化计算的目的。
【１】沈传锦．谈对称性、奇偶性在积分计算中的应用Ｕ】．闽西职业大５利用区域的对称性和被积函数的奇偶性求第一类曲线积分和学学报，２００２，（２）：４２一“．
第一类曲面积分
【２】李德新．利用对称原理计算定积分的三种方法［Ｉ】．高等数学研
定理４（第一类曲线积分）若Ｆｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ上有定义且可积，则：
究，２００４，（６）：４１、４２、４７．
【３】赖兴珲．对称性在定积中的应用【『】．高等函授学报．
①若Ｆ关于ｘ（或ｙ）为奇函数时，ｌ，Ｆ（ｘ，ｙ）丞的值为０，②若Ｆ关于ｘ（或ｙ）为偶函数时，ｌ，Ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ
作者简介：李海红，邵阳职业技术学院，湖南邵阳４２２０００
万方数据
—１５２—
对称性、奇偶性在积分计算中应用的一个注解
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李海红
邵阳职业技术学院,湖南邵阳,422000时代教育（教育教学版）TIME EDUCATION2010，""(6)0次
参考文献(3条)
1. 沈传锦.谈对称性、奇偶性在积分计算中的应用[J].闽西职业大学学报,2002,(2):42～44.2. 李德新.利用对称原理计算定积分的三种方法[J].高等数学研究,2004,(6):41、42、47.3. 赖兴珲.对称性在定积中的应用[J].高等函授学报.
相似文献(10条)
1.学位论文 刘荣万 约束力学系统积分理论若干问题的研究 2008
本文围绕约束力学系统的积分理论这一主题，较系统地研究了相对运动动力学系统的代数结构和经典积分理论、约束动力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题、动力学系统的离散变分原理、离散Noether对称性和第一积分、离散Lie对称性等三个方面问题。
笫一章，绪论：简要介绍约束动力学系统积分理论有关研究的进展，包括非Noether守恒量理论、约束力学系统相对运动动力学及其积分理论、以及离散力学系统对称性与守恒量理论的研究历史与现状。
笫二章，介绍变换Lie群和无限小变换的概念，重点介绍了单参数变换Lie群、点变换与扩展变换，给出本文的数学基础。
笫三章，通过引入了惯性力的广义势的概念，建立了相对运动动力学系统的第二类Lagrange方程、广义Hamilton正则方程和运动方程的其他形式，给出了相对运动动力学系统的能量积分方法和机械能守恒定律：建立了一阶非线性非完整系统相对运动新型的Routh方程，给出了一般非完整非保守相对运动动力学方程及其逆变代数形式，并研究其代数结构，指出该系统不仅有相容代数结构而且有Lie容许代数结构。从而可以将积分完整保守动力系统的Poisson积分方法部分地应用于非完整非保守相对运动动力学系统。
笫四章，首次提出动力学系统Lie对称性逆问题命题，并且给出Lagrange系统Lie对称性逆问题的一个解法，并进一步研究了准坐标下非完整力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题的解法；首次在相空间研究约束力学系统的Lie对称性与守恒量，给出了正则形式的Lie对称性质；将研究动力学系统的Lie对称性理论推广至连续介质情形，给出经典场的Lie对称性理论；最后研究了约束哈密顿系统的Lie对称性与守恒量，把系统由于奇异性而存在的限制方程看作是约束方程，建立了正则形式的动力学方程，并讨论其对称性质。
第五章，约束力学系统的离散对称性理论：对约束动力学系统分别给出其离散变分原理及离散运动方程，并且进一步研究了约束动力学系统的离散Noether对称性和离散第一积分；首次研究了非保守系统离散Lie对称性，将离散对称性理论的研究引向深入。 第六章，总结与展望：总结本文所得到的主要结果以及未来研究的一些设想。
2.期刊论文 姜鹏 三类积分的对称性算法 -沈阳化工学院学报2001,15(4)
通过积分区域、被积函数的几何对称性及积分区域的轮换对称性,定量给出了重积分、曲线积分和曲面积分的两种计算方法
3.学位论文 刘长路 积分方程组正解的对称性和单调性 2009
移动平面法是由前苏联数学家Alexanderoff在20世纪50年代早期创立的。接下来的几十年里，Serrin，Gidas，Ni和
L.Nirenberg，Caffarelli，Gidas，Spruck，Y.Li，W.Chen和C.Li，Chang and Yang等学者又进一步发展完善了这种方法.现在这种方法已经应用到自由边界问题，半线性偏微分方程以及其它许多问题中.特别地，对半线性偏微分方程它有着许多重要的贡献。
Chen，Li，和Ou在文章[3]中还证明(0-3)的所有符合一定渐进条件的解都是关于某点x0径向对称且单调减的。后来，对于包含两个积分方程的方程组，Chen，Li和Ou在文章[4]中也建立了它们解的径向对称性和单调性。
这时，自然而然我们就会问：我们能不能把上面的结论推广到包含三个甚至更多方程的方程组?
为了回答这个问题，我们先考虑包含三个方程的方程组，它与包含两个方程的方程组有一些不同，所以那里的证明方法并不能平行的照搬到这里.为了克服这些困难，我们需要做一些不同的假设。
那么(u，v，w)必是关于某点x0径向对称性和单调减的。
为了证明解的径向对称性和单调性，在这里我们使用了积分形式移动平面法，这种方法是由w.Chen，C.Li和B.Ou在文[3]中引入的，这种方法与偏微分方程中的传统的移动平面法不同.为了替代偏微分方程中的一些局部性质(如极值原理)我们建立了积分方程组的全局性质。 用同样的方法，我们还可以把定理推广到包含任意个方程的方程组。
4.期刊论文 刘洁. 戴长城. LIU Jie. DAI Chang-cheng 对称性在积分计算中的应用 -邵阳学院学报(自然科学版)2008,5(4)
本文给出了被积函数的奇偶性、积分区域的对称性及轮换对称性计算积分的几个定理和性质.并介绍了这些定理和性质在各种积分中的应用.
5.期刊论文 窦井波. 韩亚洲. DOU Jing-bo. HAN Ya-zhou 一个带不确定权的积分方程组解的对称性 -浙江大学学报（理学版）2010,37(3)
结合积分形式移动平面法的思想,讨论Rn上积分方程组{u(x)=∫Rn|x-y|α-na(y)v(y)qdy,v(x)=∫Rn|x-y|α-nb(y)u(y)pdy的正解关于某一点的对称性和单调性,其中01,1/p+1+1/q+1=n-α/n,a(x)和b(x)满足一些对称性、单调性.
6.期刊论文 孙建武. 宋扣兰. SUN Jian-wu. SONG Kou-lan 积分计算的对称性定理的推广及其应用 -淮阴师范学院学报（自然科学版）2006,5(3)
将定积分计算中的对称性定理推广到了二重积分、三重积分及第一型曲线积分和第一型曲面积分的一般情形,并用统一的形式给出对称性定理的推广,还介绍了积分计算的对称性定理的推广在广义对称性上的应用.
7.学位论文 张莹 约束Hamilton系统的量子对称性及其应用 2005
本文回顾了约束Hamilton系统的多种量子化方案，着重叙述了Faddeev-Senjanovic(FS)路径积分量子化方案。基于有限自由度系统相空间Green函数的生成泛函，文中导出了正规/奇异Lagrange量系统在整体变换下不变的量子正则Noether定理，并将此量子对称性用于Emden方程，指出经典对称所联系
的守恒量在量子理论中不再保持；用于电子-声子相互作用系统，说明一些经典守恒量在量子水平下仍旧保持；导出了有限自由度系统在定域变换下不变的量子正则Noether恒等式；导出整体变换下规范场在量子水平下的变换性质方程，用于非AbelChern-Simons(CS)场，求出了量子BRST荷，讨论了量子水平下场的共形对称性。
Poincaré-Cartan(PC)积分不变量在经典力学和场论中占重要地位，在经典理论中由于它和系统的运动方程等价，可视为动力学的一个基本原理。本文从相空间Green函数的生成泛函出发，考虑系统的在增广相空间中的变换性质，沿量子系统的运动轨线，导出了普遍情况下场论中正规/奇异
Lagrange量系统的量子PC积分不变量并推广到了高阶微商系统。证明了当场变量变换的Jacobi行列式不为1时，仍可导出量子PC积分不变，这与量子Noether(第一)定理是不同的。指出了在量子水平下该不变量与量子正则方程等价，从而把经典水平下的PC积分不变量推广到了量子水平。并讨论了量子PC积分不变量与正则方程、正则变换和Hamilton-Jacobi方程之间的联系。
由于任意子在凝聚态方面的应用占重要地位而引起人们广泛关注，在场论水平可以用CS理论来描述任意子的分数自旋和分数统计性质。本文对含CS项与极化子耦合的模型进行了(FS路径积分)量子化，研究了其量子对称性，利用量子Noether(第一)定理，得到了量子水平下的守恒量和分数自旋性质。并对含CS项的O(3)非线性σ模型的Abel理论与非Abel理论分别进行了量子水平下对称性的研究，同样得到分数自旋性质。在非AbelCS理论中系统的量子守恒角动量与经典Noether定理导出的结果不同之处在于还必须考虑鬼粒子对系统角动量的贡献，不能简单的认为经典理论中的结论在量子理论中仍保持有效。
8.期刊论文 陈琼. CHEN Qiong 积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用 -洛阳工业高等专科学校学报2007,17(3)
定积分的计算是高等数学的重要内容之一,但在积分计算时可以结合积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算.
9.期刊论文 魏莹. WEI Ying 巧用对称性计算积分 -湖北职业技术学院学报2007,10(3)
文章讨论了如何将积分区间(或区域)的对称性与被积函数的奇偶性正确配合简化积分计算,并介绍了利用积分区域(或积分曲线,积分曲面)的轮换对称性简化积分运算的方法.
10.期刊论文 崔海英. 戈西元. 常广平 对称性在积分计算中应用研究 -现代商贸工业2010,22(3)
把一元函数中奇偶函数在对称区间上的积分计算结论进行了两类推广,一类是把相应结果推广到了重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分的计算中,另一类是把函数的奇偶性和对称区间进行了推广,并通过例题说明他们在积分计算中的应用.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sdjy-j201006116.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：a53ead2f-2e7a-414e-a519-9dcf00f3c826
下载时间：2010年8月11日
ＮＯ．６
聊ＥＤＵｃＡⅡＯＮ
对称性、奇偶性在积分计算中应用的一个注解
李海红
竖夔查
Ｊｕｎｅ
摘要：在积分运算中，对称积分区域以及被积函数有奇、偶性的积分，均可用对称性和奇偶性简化计算。通过对奇偶性、对称性计算积分的五个定理及两个推论进行分析，在实例计算中阐述这些技巧的实用性，有助于学生学习并掌握微积分。
关键词：积分对称性奇偶性中图分类号：Ｇ６４２
文献标识码：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８１８１．２０１０．０６．１１６
在高等数学的教学过程中，常常发现学生在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了计算的难度。若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，则能化难为
Ｄ１：《ｘ，ｙ）∈Ｄｘ≥Ｏ，ｙ≥ｏ｝：②若，（－ｘ，ｙ）－－一ｌ（ｘ，ｙ）
或，ｏ，一ｙ））～ｌ（ｘ，ｙ）时・则ＪＪ
Ｄ
ｌ（ｘ，ｙ）丽＝ｏ．
易，简化计算。本文归纳总结了积分区域的对称性及被积函数的
奇偶性在积分计算中的一些应用，并举例说明。１利用对称区间上奇、偶函数的定积分性质
定理ｌ“ｘ）若卜ａ，ａ】在上连续（ａ＞０）
（４）设积分逸：域Ｄ笑】ｉ原点对称，对称］ｉ原点的两部分燧域
分别记为Ｄ１和Ｄ：，则①１１：＿１／（一ｘ，一力＝一１扛，Ｙ）时
仃，＠，ｙ），ｔ６的值为ｏ，②当，（－ｘ，－ｙ）＝，（ｘ，ｙ）时，
ｏ
①当，＠）为偶踊数时．
②蔚１０）为奇踊数时，
一ａ。ｔ（ｘ）ｄｘ＝２厝（ｘ胁：
一ｕ
Ｕ
ｊｊ／（ｘ，ｙ）蕊的值为２ｆＩｌ（ｘ，ｙ）丽
定理３
ｆｄ，，ｏ胁＝ｏ．
ｏ一口
酬舶数豢ＯＳ引一４，旦４】Ｊ：的定积髓解凶为—二・，÷分别为［－生，生１上的偶函数、解凶为熹ＣＯＳ，未ＣＯＳ删朴；４，轧４的偶础
Ｃ
‘Ｘ
。Ｘ
‘ｒ
设，（ｘ，Ｙ，：）存Ｑ．１。，ｒ积，有：
（１）设Ｑ关了二‘照标丽ｘ＝Ｏ（ｙ＝０或ｚ＝Ｏ）对称，
则：①当，关于ｘ（ｙ或：）为奇函数时，ⅢＪ，（ｘ，ｙ，ｚ，ｉｖ
奇函数，由定理ｌ得：原式２』冬云妾五≯＋ｆ冬寺２２
４
．
７ｃ７ｃ
々值为。．②袱：＿ｊｆ＿－（ｙ或二）为偶函数盹ｊ竹八墨ｙ，三沙
ｃ：
４
≈值为２ｆｆｆ，（ｘ，ｙ，ｚ沙，萁中Ｑ１＝案ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｑ１
’矗：
（２）设Ｑ关ｊ二ｚ轴（ｙ轴或：轴）对称，则：
ｘ≥ｏ（ｙ≥ｏ或ｚ≥
这样的例子很多，有的司直接应用定理１，有的可通过分解出一个奇函数和一个偶函数再应用定理１，从而达到简化积分计算。
２利用区域对称性和被积函数的奇偶性求重积分
①拗（墨只ｚ）关于任意两个变景为齑函数ｆｆｆｌ（ｘ，ｙ，ｚ），
的值为ｏ．②萄（ｘ，Ｙ，ｚ）关于任意两个变量为偶函数时
定理２谢工，ｙ）Ｄ
①’＿，ｏ，ｙ）父ｒ②当，＠，ｙ）天】ｊ
ｔ：可积，有：
（１）设Ｄ关ｙ轴对称：则
Ⅲ，（ｘ，ｙ，ｚ沙的值为２Ⅲ，（ｔｙ，ｚ）ａｖ．其中Ｑ。为对称区域Ｑ。
（３）设Ｑ荧ｊ二三个嫩标１：ｆｉｆｘ＝Ｏ、Ｙ＝０、ｚ＝Ｏ对称，
ｘ为奇函数时，ｊ＇ｊ＂１（ｘ，ｙ）谪的值为ｏ．
ｘ为偶函数时盯，＠，ｙ）硒的
Ｄ｛，＝《五ｙ）∈Ｄ１ｚ≥ｏ｝
赚Ⅲ，（ｔＹ，ｚ沙＝８Ⅲ／（ｔＹ，ｚ沙其中Ｑ。为Ｑ中的羚一
Ｏ
ｎｌ
位为２Ⅱ，（ｘ，ｙ）硒，其一１Ｉ
Ｄｔ’
３对称化积分区间求积分
推论１设ｍＪ在陋，６】上连续，则
（２）设ＤＸ－ｒｘ轴对称，则①当，０，Ｙ）哭』：Ｙ为奇函
数时．ｊＪ，ｏ，ｙ），ｔ６的值为ｏ．②当ｌ（ｘ，ｙ）天Ｊ：ｙ为偶甬
（１），＠）在区问［ａ，ｂ¨二的定积分等］：，＠＋Ｘｏ）在１４：ｉ＇ｒｑ［一Ｃ，ｃ】＂Ｉ拍０定积分或，＠一‰）在区ｎｑ【口，ｂ】上的定积分等１二，０）在【；，‘：问卜ｃ，ｃ】Ｉ二的定积分值。（２）／ｐ）存隧问［ｑ纠Ｊ：的定积分簿ｊ：／０＋ｂ一力
数时，ｆｆｌ（ｘ，ｙ）ｄ５为２盯，（ｘ，ｙ）ｄ５，其中Ｄ产《ｔｙ）∈Ｄｌｙ≥Ｏ｝．
（３）设Ｄ芙１：ｘ轴和Ｙ轴对称，①，０，ｙ）荧ｒｘ和Ｙ
轴均为偶函数，如Ｊｊ＇Ｊ＂Ｉ（ｘ，ｙ）娟＝４Ⅱ，ｏ，ｙ）丽，其中
万方数据
１５１一
晰℃教丁■
堕Ｑ！堕里堕里燮塑Ｑ堕
』鲤９
在区问［口，６］卜．的定积分也等，：，０）－ｑ，∞＋ｂ一磅６Ｊｉｅｉ），Ｊ２Ｊ＇ｔ．，Ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ．其中厶＝ｋｙ）∈￡Ｉｘ≥ｏ（勒≥ｏ）｝
之和住区间【口，ｂ】＿Ｉ：响埏袱分的‘譬。
证嘭ｊ：
（略）
证明
（１）用定积分换元积分法令ｘ＝ｔ＋竺望
例计算鼻ｘ：ｄｓ，其ｔ”ｒ为球面ｘ２＋ｙ！＋ｚ：＝口：
被１’卜而ｘ＋Ｙ＋ｚ＝（）所截的网周．（中心对称变换）容易ｂｌ－－．｛ｌ，：ｆ。
解由对称性・１Ｊ‘知：
（２）用定积分换元积分法令ｘ＝ｔ７＋６－Ｉ
扩幽＝壬Ｙ２ｄｓ＝ｆ：２ｄｓ
（曲线Ｉ（ｘ）‘－ｊｆｌａ＋６一ｘ）关ｊ：．直线ｘ＝竺兰对称）容易证得。
例计算函数１告桃问［０，争上的定积分。
所以垂础＝弘］、２，Ｚ２胁＝等
解恻婚脐三斥慧出音
￥１１１
Ｘ＋ＣＯＳ
Ｘ
Ｚ
定理５（第‘类ｆｌｌ】谳积分）设分”光滑曲硼∑关于
嫩标ｉｆｉｉｘ＝ｏ对称，１ｔ
Ｆ（ｒ，儿ｚ）在∑上定义呵积。则
①若Ｆ关丁．ｘ为奇函数盹ｆｆＦ（ｘ，）Ｉ，：）ｄｓ雕．ｆｆｔｉ
４利用对称区间上非奇非偶函数的定积分性质
∑
推论２枞在卜ａ，ａ】上连续，贝ｌＪＯ）ｆ（ｘ）在区间卜ａ，ａ】上的定积
分等于价Ｊ与月一工Ｊ之和在区间卜ａ，ａ】上的定积分的一半。
为ｏ．②若声哭于ｘ为偶函数时，盯Ｆ’（ｘ，Ｙ，：）凼的
∑
②Ｍ在区间【一ａ，ａ】上的定积分等Ｔ＂ｆｌｘｊ－与ｆｌ－ｘ）之和在区间
【０，ａ】上的定积分。
蝴步∽肛蚶中∑扩ｈ咖∑忙。）｛』ｊ＿！明因为』二，ｏ协一三Ｃａ［，（ｘ）＋，（一功协
。一口
Ｚ。一
州博箩雄∑一ｘ２∥被平ｍ“所截ｍ黼
＝｛ｆ口【／（功一／（－ｘ）］ａｘ。而，ｏ）～１（－ｘ）为奇函数，
Ｚ
ｏ—ａ
‘
解记∑。为∑在第…。卦限的部分・积分曲面必ｊ：
则兰ｆ０删一／（－ｘ）］ｄｘ－－ｏ，糯①式成立。
ｙｏｚ面、ＺＯＸｌ＿目Ｉ对称，被积函数ｌ印留Ｉ哭于ｘ和Ｙ是偶
函数，由对称性Ｄ：ｘ：＋Ｙ２≤１，ｒ≥０，Ｙ≥０则
余Ｆ的②同理，ＩｉｉＥ。
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例计算函数：二了在送：问卜１，１］上的定积分。
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一
像这样的题型看似十分复杂，但利用上面的公式则化难为易参考文献：
达到简化计算的目的。
【１】沈传锦．谈对称性、奇偶性在积分计算中的应用Ｕ】．闽西职业大５利用区域的对称性和被积函数的奇偶性求第一类曲线积分和学学报，２００２，（２）：４２一“．
第一类曲面积分
【２】李德新．利用对称原理计算定积分的三种方法［Ｉ】．高等数学研
定理４（第一类曲线积分）若Ｆｆ（ｘ，ｙ）在Ｌ上有定义且可积，则：
究，２００４，（６）：４１、４２、４７．
【３】赖兴珲．对称性在定积中的应用【『】．高等函授学报．
①若Ｆ关于ｘ（或ｙ）为奇函数时，ｌ，Ｆ（ｘ，ｙ）丞的值为０，②若Ｆ关于ｘ（或ｙ）为偶函数时，ｌ，Ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ
作者简介：李海红，邵阳职业技术学院，湖南邵阳４２２０００
万方数据
—１５２—
对称性、奇偶性在积分计算中应用的一个注解
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
李海红
邵阳职业技术学院,湖南邵阳,422000时代教育（教育教学版）TIME EDUCATION2010，""(6)0次
参考文献(3条)
1. 沈传锦.谈对称性、奇偶性在积分计算中的应用[J].闽西职业大学学报,2002,(2):42～44.2. 李德新.利用对称原理计算定积分的三种方法[J].高等数学研究,2004,(6):41、42、47.3. 赖兴珲.对称性在定积中的应用[J].高等函授学报.
相似文献(10条)
1.学位论文 刘荣万 约束力学系统积分理论若干问题的研究 2008
本文围绕约束力学系统的积分理论这一主题，较系统地研究了相对运动动力学系统的代数结构和经典积分理论、约束动力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题、动力学系统的离散变分原理、离散Noether对称性和第一积分、离散Lie对称性等三个方面问题。
笫一章，绪论：简要介绍约束动力学系统积分理论有关研究的进展，包括非Noether守恒量理论、约束力学系统相对运动动力学及其积分理论、以及离散力学系统对称性与守恒量理论的研究历史与现状。
笫二章，介绍变换Lie群和无限小变换的概念，重点介绍了单参数变换Lie群、点变换与扩展变换，给出本文的数学基础。
笫三章，通过引入了惯性力的广义势的概念，建立了相对运动动力学系统的第二类Lagrange方程、广义Hamilton正则方程和运动方程的其他形式，给出了相对运动动力学系统的能量积分方法和机械能守恒定律：建立了一阶非线性非完整系统相对运动新型的Routh方程，给出了一般非完整非保守相对运动动力学方程及其逆变代数形式，并研究其代数结构，指出该系统不仅有相容代数结构而且有Lie容许代数结构。从而可以将积分完整保守动力系统的Poisson积分方法部分地应用于非完整非保守相对运动动力学系统。
笫四章，首次提出动力学系统Lie对称性逆问题命题，并且给出Lagrange系统Lie对称性逆问题的一个解法，并进一步研究了准坐标下非完整力学系统的Lie对称性与守恒量及其逆问题的解法；首次在相空间研究约束力学系统的Lie对称性与守恒量，给出了正则形式的Lie对称性质；将研究动力学系统的Lie对称性理论推广至连续介质情形，给出经典场的Lie对称性理论；最后研究了约束哈密顿系统的Lie对称性与守恒量，把系统由于奇异性而存在的限制方程看作是约束方程，建立了正则形式的动力学方程，并讨论其对称性质。
第五章，约束力学系统的离散对称性理论：对约束动力学系统分别给出其离散变分原理及离散运动方程，并且进一步研究了约束动力学系统的离散Noether对称性和离散第一积分；首次研究了非保守系统离散Lie对称性，将离散对称性理论的研究引向深入。 第六章，总结与展望：总结本文所得到的主要结果以及未来研究的一些设想。
2.期刊论文 姜鹏 三类积分的对称性算法 -沈阳化工学院学报2001,15(4)
通过积分区域、被积函数的几何对称性及积分区域的轮换对称性,定量给出了重积分、曲线积分和曲面积分的两种计算方法
3.学位论文 刘长路 积分方程组正解的对称性和单调性 2009
移动平面法是由前苏联数学家Alexanderoff在20世纪50年代早期创立的。接下来的几十年里，Serrin，Gidas，Ni和
L.Nirenberg，Caffarelli，Gidas，Spruck，Y.Li，W.Chen和C.Li，Chang and Yang等学者又进一步发展完善了这种方法.现在这种方法已经应用到自由边界问题，半线性偏微分方程以及其它许多问题中.特别地，对半线性偏微分方程它有着许多重要的贡献。
Chen，Li，和Ou在文章[3]中还证明(0-3)的所有符合一定渐进条件的解都是关于某点x0径向对称且单调减的。后来，对于包含两个积分方程的方程组，Chen，Li和Ou在文章[4]中也建立了它们解的径向对称性和单调性。
这时，自然而然我们就会问：我们能不能把上面的结论推广到包含三个甚至更多方程的方程组?
为了回答这个问题，我们先考虑包含三个方程的方程组，它与包含两个方程的方程组有一些不同，所以那里的证明方法并不能平行的照搬到这里.为了克服这些困难，我们需要做一些不同的假设。
那么(u，v，w)必是关于某点x0径向对称性和单调减的。
为了证明解的径向对称性和单调性，在这里我们使用了积分形式移动平面法，这种方法是由w.Chen，C.Li和B.Ou在文[3]中引入的，这种方法与偏微分方程中的传统的移动平面法不同.为了替代偏微分方程中的一些局部性质(如极值原理)我们建立了积分方程组的全局性质。 用同样的方法，我们还可以把定理推广到包含任意个方程的方程组。
4.期刊论文 刘洁. 戴长城. LIU Jie. DAI Chang-cheng 对称性在积分计算中的应用 -邵阳学院学报(自然科学版)2008,5(4)
本文给出了被积函数的奇偶性、积分区域的对称性及轮换对称性计算积分的几个定理和性质.并介绍了这些定理和性质在各种积分中的应用.
5.期刊论文 窦井波. 韩亚洲. DOU Jing-bo. HAN Ya-zhou 一个带不确定权的积分方程组解的对称性 -浙江大学学报（理学版）2010,37(3)
结合积分形式移动平面法的思想,讨论Rn上积分方程组{u(x)=∫Rn|x-y|α-na(y)v(y)qdy,v(x)=∫Rn|x-y|α-nb(y)u(y)pdy的正解关于某一点的对称性和单调性,其中01,1/p+1+1/q+1=n-α/n,a(x)和b(x)满足一些对称性、单调性.
6.期刊论文 孙建武. 宋扣兰. SUN Jian-wu. SONG Kou-lan 积分计算的对称性定理的推广及其应用 -淮阴师范学院学报（自然科学版）2006,5(3)
将定积分计算中的对称性定理推广到了二重积分、三重积分及第一型曲线积分和第一型曲面积分的一般情形,并用统一的形式给出对称性定理的推广,还介绍了积分计算的对称性定理的推广在广义对称性上的应用.
7.学位论文 张莹 约束Hamilton系统的量子对称性及其应用 2005
本文回顾了约束Hamilton系统的多种量子化方案，着重叙述了Faddeev-Senjanovic(FS)路径积分量子化方案。基于有限自由度系统相空间Green函数的生成泛函，文中导出了正规/奇异Lagrange量系统在整体变换下不变的量子正则Noether定理，并将此量子对称性用于Emden方程，指出经典对称所联系
的守恒量在量子理论中不再保持；用于电子-声子相互作用系统，说明一些经典守恒量在量子水平下仍旧保持；导出了有限自由度系统在定域变换下不变的量子正则Noether恒等式；导出整体变换下规范场在量子水平下的变换性质方程，用于非AbelChern-Simons(CS)场，求出了量子BRST荷，讨论了量子水平下场的共形对称性。
Poincaré-Cartan(PC)积分不变量在经典力学和场论中占重要地位，在经典理论中由于它和系统的运动方程等价，可视为动力学的一个基本原理。本文从相空间Green函数的生成泛函出发，考虑系统的在增广相空间中的变换性质，沿量子系统的运动轨线，导出了普遍情况下场论中正规/奇异
Lagrange量系统的量子PC积分不变量并推广到了高阶微商系统。证明了当场变量变换的Jacobi行列式不为1时，仍可导出量子PC积分不变，这与量子Noether(第一)定理是不同的。指出了在量子水平下该不变量与量子正则方程等价，从而把经典水平下的PC积分不变量推广到了量子水平。并讨论了量子PC积分不变量与正则方程、正则变换和Hamilton-Jacobi方程之间的联系。
由于任意子在凝聚态方面的应用占重要地位而引起人们广泛关注，在场论水平可以用CS理论来描述任意子的分数自旋和分数统计性质。本文对含CS项与极化子耦合的模型进行了(FS路径积分)量子化，研究了其量子对称性，利用量子Noether(第一)定理，得到了量子水平下的守恒量和分数自旋性质。并对含CS项的O(3)非线性σ模型的Abel理论与非Abel理论分别进行了量子水平下对称性的研究，同样得到分数自旋性质。在非AbelCS理论中系统的量子守恒角动量与经典Noether定理导出的结果不同之处在于还必须考虑鬼粒子对系统角动量的贡献，不能简单的认为经典理论中的结论在量子理论中仍保持有效。
8.期刊论文 陈琼. CHEN Qiong 积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用 -洛阳工业高等专科学校学报2007,17(3)
定积分的计算是高等数学的重要内容之一,但在积分计算时可以结合积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算.
9.期刊论文 魏莹. WEI Ying 巧用对称性计算积分 -湖北职业技术学院学报2007,10(3)
文章讨论了如何将积分区间(或区域)的对称性与被积函数的奇偶性正确配合简化积分计算,并介绍了利用积分区域(或积分曲线,积分曲面)的轮换对称性简化积分运算的方法.
10.期刊论文 崔海英. 戈西元. 常广平 对称性在积分计算中应用研究 -现代商贸工业2010,22(3)
把一元函数中奇偶函数在对称区间上的积分计算结论进行了两类推广,一类是把相应结果推广到了重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分的计算中,另一类是把函数的奇偶性和对称区间进行了推广,并通过例题说明他们在积分计算中的应用.
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下载时间：2010年8月11日