学 号:
作者姓名: 学 院：
专业班级: 导师姓名:
利用对称性简化第一类曲面积分的计算
摘要
曲面积分的计算是积分运用中的一个难点. 在某些曲面积分的计算过程中, 若能利用对称性, 则可以简化曲面积分的计算过程. 本文介绍了几种常见的有关对称性在两类积分计算中的几个重要结论, 并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化曲面积分的计算方法.
关键词: 曲面积分; 积分区域; 奇偶性; 对称性
预备知识
为了使全文连贯, 我们将在本章列出以下几个定义和相关的性质. 定义1 设平面区域为D , 若对∀(x , y ) ∈D 均有(2a -x , y ) ∈D , 则称D 关于直线x =a 对称, 点(x , y ) 与(2a -x , y ) 是关于x =a 的对称点. 若对∀(x , y ) ∈D 均有
(x ,2b -y ) ∈D , 则D 关于直线y =b 对称, (x , y ) 与(x ,2b -y ) 是关于y =b 的对称
（显然当a =0, b =0时D 分别关于y , x 轴对称）.
定义2 设平面区域为D , 若对∀(x , y ) ∈D 均有(y -a , x -a ) ∈D , 则称D 关于
y =x +a 对称, 点(x , y ) 与(y -a , x -a ) 是关于y =x +a 的对称点. 若对∀(x , y ) ∈D
均有(a -y , a -x ) ∈D , 则称D 关于直线y =±z 对称.
注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称; 平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称; 空间曲面、空间曲线关于平行于坐标面的平面对称, 也有以上类似的定义.
定义3 设函数f (x , y , z )在空间曲面∑上有定义, 若对∀(x , y , z )∈∑均有
(-x , y , z )∈∑, 且ƒ(-x , y , z )=f (x , y , z ), 则称ƒ(x , y , z )关于x 为偶函数; 若对
∀(x , y , z )∈∑均有f (-x , y , z )=-f (x , y , z ), 则称f (x , y , z )关于x 为奇函数; 类似可以定义函数f (x , y , z )关于y , z 变量的奇偶性.
利用对称性简化曲面积分的计算
一．利用对称性简化计算第一类曲面积分
1第一类曲面积分的定义
定义： 设曲面∑为有界光滑（或分片光滑）曲面, 函数z =f (x , y , z )在∑上有界. 将曲面∑用一个光滑曲线网分成n 片小曲面∆∑1, ∆∑2, ···, ∆∑n ,并记
∆∑i 的面积为∆S i . 在每片∆∑i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作和式∑f (ξi ,ηi ,ζi )∆S i .
i =1n
如果当所有小曲面∆∑i 的最大直径λ趋于零时, 这个和式的极限存在, 且极限值与小曲面的分法和点(ξi ,ηi ,ζi )的取法无关, 则称此极限值为f (x , y , z )在曲面∑上的第一类曲面积分, 记为⎰⎰f (x , y , z )dS , 即
∑
⎰⎰f (x , y , z )dS =lim ∑f (ξ,η,ζ)∆S ,
∑
λ→0
i
i
i
i
i =1
n
其中f (x , y , z )称为被积函数, ∑称为积分曲面.
2第一类曲面积分对称性定理
定理1：设f (x , y , z ) 在分片光滑的曲面∑上连续. 若∑关于xoy 面对称, 则
⎰⎰
∑
0, 若f (x , y , z ) 关于z 为奇函数，⎧
⎪
f (x , y , z )dS =⎨2f (x , y , z )dS , 若f (x , y , z ) 关于z 为偶函数.
⎪⎰⎰⎩∑1
其中∑1为∑在xoy 面上方的部分.
若∑关于yoz 平面（或zox 平面）对称, f (x , y , z ) 关于x （或y ）为奇函数或
偶函数也有类似的结论.
定理2： 若积分曲面∑关于x , y , z 具有轮换对称性, 则
⎰⎰f (x , y , z ) dS =⎰⎰f (y , z , x ) dS =⎰⎰f (z , x , y ) dS
∑
∑
∑
=
1
[f (x , y , z ) +f (y , z , x ) +f (z , x , y ) ]dS . 3⎰⎰∑
3. 第一类曲面积分对称性定理的应用
例1 计算曲面积分⎰⎰(x +y +z ) dS , 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上
∑
z ≥h (0解: 利用定理1知
⎰⎰xdS =⎰⎰ydS =0
∑
∑
设D xy ={(x , y ) |x 2+y 2≤a 2-h 2},则
⎰⎰(x +y +z ) dS
∑
=⎰⎰zdS
∑
=
Dxy
⎰⎰
=a ⎰⎰dxdy
Dxy
=πa (a 2-h 2) .
例2：计算⎰⎰(xy +yz +zx )
dS , ∑为锥面z =x 2+y 2=2ax 所截
∑
下的部分.
解: 因为∑关于zox 面对称, 被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数, 由定理1
⎰⎰(
xy +yz +zx )dS =⎰⎰zxdS =⎰⎰
∑
∑
D xy
.
又因为
,
z =z x =
z y =
,
dS ==
所以
原式
D xy
π
=2πd θ⎰
-2
2a cos θ
r 3cos θdr
π
=4
5
cos ⎰
πθd θ 2-2
=
4. 例3 .
计算曲面积分⎰⎰x , 其中∑:x 2+y 2+z 2=a 2.
∑
解: 令∑1:x 2+y 2+z 2=a 2, 0≤x ≤a ,0≤y ≤a ,0≤z ≤a . 则,
D 1:x 2+y 2≤a 2,0≤x ≤a ,0≤y ≤a ,
dS ==
.
∑关于原点对称, 且被积函数f (x , y , z
) =x 分别为关于x , y , z 的偶函数, 则根据定理1得
,
x ⎰⎰∑
=8⎰⎰x
∑1
=8a ⎰⎰x 8dxdy
D 1
=8a ⎰⎰r 9cos 8θdrd θ
D 1
π
20
=8a ⎰cos θd θ⎰r 9dr
a
a 107!! π
. =8a
108!! 2
=
7
πa 11. 64
例4. 计算曲面积分⎰⎰z 2dS , 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2.
∑
解: 如果按照常规方法来解, 计算量比较大, 如果利用对称函数的特性, 非常简捷.
因为球面x 2+y 2+z 2=a 2关于x , y , z 具有轮换对称性, 所以根据定理2得,
⎰⎰x dS =⎰⎰y dS =⎰⎰z dS
∑
∑
∑
2z ⎰⎰dS =∑
222
1222
x +y +z dS ()⎰⎰3∑
1
a 2dS ⎰⎰3∑
=
1
=a 2⋅4πa 2 34
=πa 4. 3
总结
本文运用对称性和积分学中的有关知识, 在前人研究的基础之上, 对于利用对称性简化曲面积分中的计算进行了探讨, 由此可见, 上述关于曲面积分对称性的定理对于在特殊情况下简化曲面积分的计算是非常有效的, 所以在解题过程中注意积分区域是否有某种对称性以及被积函数是否与之相匹配的奇、偶性, 则可减少一些繁琐的计算, 提高解题效率.
学 号:
作者姓名: 学 院：
专业班级: 导师姓名:
利用对称性简化第一类曲面积分的计算
摘要
曲面积分的计算是积分运用中的一个难点. 在某些曲面积分的计算过程中, 若能利用对称性, 则可以简化曲面积分的计算过程. 本文介绍了几种常见的有关对称性在两类积分计算中的几个重要结论, 并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化曲面积分的计算方法.
关键词: 曲面积分; 积分区域; 奇偶性; 对称性
预备知识
为了使全文连贯, 我们将在本章列出以下几个定义和相关的性质. 定义1 设平面区域为D , 若对∀(x , y ) ∈D 均有(2a -x , y ) ∈D , 则称D 关于直线x =a 对称, 点(x , y ) 与(2a -x , y ) 是关于x =a 的对称点. 若对∀(x , y ) ∈D 均有
(x ,2b -y ) ∈D , 则D 关于直线y =b 对称, (x , y ) 与(x ,2b -y ) 是关于y =b 的对称
（显然当a =0, b =0时D 分别关于y , x 轴对称）.
定义2 设平面区域为D , 若对∀(x , y ) ∈D 均有(y -a , x -a ) ∈D , 则称D 关于
y =x +a 对称, 点(x , y ) 与(y -a , x -a ) 是关于y =x +a 的对称点. 若对∀(x , y ) ∈D
均有(a -y , a -x ) ∈D , 则称D 关于直线y =±z 对称.
注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称; 平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称; 空间曲面、空间曲线关于平行于坐标面的平面对称, 也有以上类似的定义.
定义3 设函数f (x , y , z )在空间曲面∑上有定义, 若对∀(x , y , z )∈∑均有
(-x , y , z )∈∑, 且ƒ(-x , y , z )=f (x , y , z ), 则称ƒ(x , y , z )关于x 为偶函数; 若对
∀(x , y , z )∈∑均有f (-x , y , z )=-f (x , y , z ), 则称f (x , y , z )关于x 为奇函数; 类似可以定义函数f (x , y , z )关于y , z 变量的奇偶性.
利用对称性简化曲面积分的计算
一．利用对称性简化计算第一类曲面积分
1第一类曲面积分的定义
定义： 设曲面∑为有界光滑（或分片光滑）曲面, 函数z =f (x , y , z )在∑上有界. 将曲面∑用一个光滑曲线网分成n 片小曲面∆∑1, ∆∑2, ···, ∆∑n ,并记
∆∑i 的面积为∆S i . 在每片∆∑i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作和式∑f (ξi ,ηi ,ζi )∆S i .
i =1n
如果当所有小曲面∆∑i 的最大直径λ趋于零时, 这个和式的极限存在, 且极限值与小曲面的分法和点(ξi ,ηi ,ζi )的取法无关, 则称此极限值为f (x , y , z )在曲面∑上的第一类曲面积分, 记为⎰⎰f (x , y , z )dS , 即
∑
⎰⎰f (x , y , z )dS =lim ∑f (ξ,η,ζ)∆S ,
∑
λ→0
i
i
i
i
i =1
n
其中f (x , y , z )称为被积函数, ∑称为积分曲面.
2第一类曲面积分对称性定理
定理1：设f (x , y , z ) 在分片光滑的曲面∑上连续. 若∑关于xoy 面对称, 则
⎰⎰
∑
0, 若f (x , y , z ) 关于z 为奇函数，⎧
⎪
f (x , y , z )dS =⎨2f (x , y , z )dS , 若f (x , y , z ) 关于z 为偶函数.
⎪⎰⎰⎩∑1
其中∑1为∑在xoy 面上方的部分.
若∑关于yoz 平面（或zox 平面）对称, f (x , y , z ) 关于x （或y ）为奇函数或
偶函数也有类似的结论.
定理2： 若积分曲面∑关于x , y , z 具有轮换对称性, 则
⎰⎰f (x , y , z ) dS =⎰⎰f (y , z , x ) dS =⎰⎰f (z , x , y ) dS
∑
∑
∑
=
1
[f (x , y , z ) +f (y , z , x ) +f (z , x , y ) ]dS . 3⎰⎰∑
3. 第一类曲面积分对称性定理的应用
例1 计算曲面积分⎰⎰(x +y +z ) dS , 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2上
∑
z ≥h (0解: 利用定理1知
⎰⎰xdS =⎰⎰ydS =0
∑
∑
设D xy ={(x , y ) |x 2+y 2≤a 2-h 2},则
⎰⎰(x +y +z ) dS
∑
=⎰⎰zdS
∑
=
Dxy
⎰⎰
=a ⎰⎰dxdy
Dxy
=πa (a 2-h 2) .
例2：计算⎰⎰(xy +yz +zx )
dS , ∑为锥面z =x 2+y 2=2ax 所截
∑
下的部分.
解: 因为∑关于zox 面对称, 被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数, 由定理1
⎰⎰(
xy +yz +zx )dS =⎰⎰zxdS =⎰⎰
∑
∑
D xy
.
又因为
,
z =z x =
z y =
,
dS ==
所以
原式
D xy
π
=2πd θ⎰
-2
2a cos θ
r 3cos θdr
π
=4
5
cos ⎰
πθd θ 2-2
=
4. 例3 .
计算曲面积分⎰⎰x , 其中∑:x 2+y 2+z 2=a 2.
∑
解: 令∑1:x 2+y 2+z 2=a 2, 0≤x ≤a ,0≤y ≤a ,0≤z ≤a . 则,
D 1:x 2+y 2≤a 2,0≤x ≤a ,0≤y ≤a ,
dS ==
.
∑关于原点对称, 且被积函数f (x , y , z
) =x 分别为关于x , y , z 的偶函数, 则根据定理1得
,
x ⎰⎰∑
=8⎰⎰x
∑1
=8a ⎰⎰x 8dxdy
D 1
=8a ⎰⎰r 9cos 8θdrd θ
D 1
π
20
=8a ⎰cos θd θ⎰r 9dr
a
a 107!! π
. =8a
108!! 2
=
7
πa 11. 64
例4. 计算曲面积分⎰⎰z 2dS , 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2.
∑
解: 如果按照常规方法来解, 计算量比较大, 如果利用对称函数的特性, 非常简捷.
因为球面x 2+y 2+z 2=a 2关于x , y , z 具有轮换对称性, 所以根据定理2得,
⎰⎰x dS =⎰⎰y dS =⎰⎰z dS
∑
∑
∑
2z ⎰⎰dS =∑
222
1222
x +y +z dS ()⎰⎰3∑
1
a 2dS ⎰⎰3∑
=
1
=a 2⋅4πa 2 34
=πa 4. 3
总结
本文运用对称性和积分学中的有关知识, 在前人研究的基础之上, 对于利用对称性简化曲面积分中的计算进行了探讨, 由此可见, 上述关于曲面积分对称性的定理对于在特殊情况下简化曲面积分的计算是非常有效的, 所以在解题过程中注意积分区域是否有某种对称性以及被积函数是否与之相匹配的奇、偶性, 则可减少一些繁琐的计算, 提高解题效率.