第四章 静定结构的位移计算
一. 教学内容
理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下的位移。
掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。
一. 教学目的
掌握各种静定结构的位移计算, 为超静定结构的内力和位移计算打好基础。 二. 主要章节 第一节、概述 第二节、功和虚功原理
第三节、单位荷载法计算位移的 第四节、结构在荷载作用下的位移计算 第五节、图乘法
第六节、 温度作用时静定结构的位移计算 第七节、支座移动时静定结构的位移计算 第八节、线性变形体系的互等定理 §6-9 小结 §6-10 思考与讨论 §6-11 习题 §6-12 测验 三. 学习指导
本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。
四. 参考资料
《建筑力学教程》P61～80
第一节、概述
一. 教学目的
了解位移的概念。 二. 主要内容 . 结构位移计算概述 三. 学习指导
本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。
四. 参考资料 《建筑力学》P61 6.1.1位移的概念：
结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。
结构的位移通常有两种（图6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。
图6-1
结构位移计算的目的：
(1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。
(2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。
6.1.2. 产生位移的原因：
(1) 荷载作用；
(2) 温度变化和材料胀缩； (3) 支座的沉降和制造误差。 位移计算的理论基础----虚力原理
第二节、功和虚功原理 第一节、 单跨静定梁
一. 教学目的
掌握刚体和变形体的虚功原理； 掌握虚功原理的应用。 二. 主要内容
1. 刚体和变形体的虚功原理； 2. 虚功原理的应用。 三. 参考资料 《建筑力学》P62～P63
6.2.1 刚体体系的虚功原理 1. 刚体虚功原理
虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下： 设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。
虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。
本节是利用假设的位移进行求解未知力。 下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理.
图示4-1a 是一
几何可变体系，已
图4-1a
知力 P ，为了平衡是求力 F 的大小。
虚设一位移状态图4-1b ，位移的假设应与荷载相一
图4-1b
致。
根据虚功原理, 可以通过以下计算求出力 F
:
特点:
(1). 位移是假设的；
(2). 解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系； (3). 采用几何几何的方法求解静力平衡问题。
2. 应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法 虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。 力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。 位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。
由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。 刚体体系的虚功原理可用如下方法进行：
(1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力 FX 来代替, 同时, 结构则相应的变为机构.
(2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力 FX 和主动荷载 F P 相应的位移分别是 ΔX 和 ΔP ，利用虚功原理可得：
(3)求出 ΔX 和 ΔP 之间的相互关系，即可求得 FX ：
(4)为了计算方便，假设 ΔX = 1 ，此时， ΔP 则用 δP 表示。
以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于 ΔX = 1，所以又称单位支座位移法。
3. 实例分析
求图4-2a 所示简支粱支座 B 的支反力及截面 C 处的弯矩
.
图4-2
解:
(1)求支座 B 的支反力 R 。
力状态：将支座 B 去掉，用支反力R 代替，同时也变成几何可变体系（图4-2-b ）。
位移状态：在支座 B 处设一竖向位移1， AB 杆成斜线（图4-2-c ）。 则：支反力的虚功为 1R ； 均不荷载的虚功为：
(2)求 R 截面处的弯矩 M
力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面 C 由刚接改为铰接，注意 C 截面的弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图4-2d ）。
位移状态 ：设 C 处的竖向位移为1，则 AC 、 BC 段的转角分别为：
2、 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理
虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。
下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用----虚力原理，另一方面通过此例子，应掌握支座移动时静定结构的位移计算。
如图6-2a 中所示的静定粱，支座C 向上移动了一个已知距离c 1, 现在求B 处的位移Δ。
图6-2
为了应用虚功原理，计算图6-2a 中的位移状态中的位移，应根据所求位移来虚设力系，由于位移状态为给定状态，力状态为虚设状态，因此称为虚力原理。
根据虚功原理力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外，其它方面两者完全无关， 因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够在实际状态的所求位移Δ上做虚功，应在该点施加一集中力大小为1（为什么）----在拟求位移的方向上设置单位荷载，而在其它处不再设置荷载（图6-2b ）。应用平衡条件可求出支座反力。
利用虚功原理可得：
结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。
6.2.2 变形体的虚功原理
（1）. 变形体的虚功原理
虚功原理是力学中的一个基本原理，它有两个基本形式：
虚力原理、虚位移原理 变形体的虚功原理可表述为：
设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功W 恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内力虚功 W i 。
可简单写成：外力功 W =内力功 W i
虚功原理涉及两组彼此无关的量----作用于结构的平衡力系和符合结构约束条件的微小连续变形系。
（2）、变形体虚功原理的应用条件
变形体虚功原理的应用条件是： 力系应当满足平衡条件----力系是平衡的；位移应当符合支承情况并保持结构的连续性-----变形符合约束条件，且是微小连续的。
虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。 （3）. 变形体虚功原理的表达式
对于任意一个结构则虚功原理的一般形式可表示为：
如果力系是给定的，位移是虚设的，则上式为变形体的虚位移方程，可用于求力系中的某未知力。
如果位移是给定的，力系是虚设的，则上式为变形体的虚力方程，可用于求给定变形状态中某未知位移。这也是本章的主要内容。
第三节、单位荷载法计算位移 一、教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，理解广义力、广义荷载和单位荷载法，利用虚功原理，根据所求位移，假设出虚设的力状态。正确理解结构位移计算的一般公式。
二. 主要内容 1. 单位荷载法 2. 位移计算的一般步骤 3. 广义力和广义位移 三. 学习指导
本节的主要内容是单位荷载法以及相应的表达式，对于相应的理论没有给出进一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是单位荷载法。
四. 参考资料 《建筑力学教程》 P64 6.3.1. 单位荷载法
根据虚力原理的基本表达式：
为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载 P 。这样上式就变成：
进一步令P =1，便有：
式中，
是结构在集中单位荷载P =1作用下的支反力和内力，
它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。
由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位荷载力系，通过上式计算位移，这就是单位荷载法计算位移的基本思路。
下面讨论位移计算的一般步骤和思路 6.3.2. 位移计算的一般步骤
求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：
(1) 虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。
(2) 在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。 (3) 利用公式：
可求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反，具体计算可参考荷载作用下的位移计算和温度变化下的位移计算。
下面将讨论 如何建立虚设状态----单位荷载状态。 6.3.3. 广义位移和虚设状态
本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载：
第四节、结构在荷载作用下的位移计算 一. 教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，掌握结构在荷载作用下的位移计算。正确理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式, 能够计算结构的位移。
二. 主要内容
1. 各种结构的位移计算公式 2. 粱的位移计算实例 3. 桁架位移计算实例 三. 学习指导
本节的主要内容是用积分法计算结构的位移，对于相应的理论没有给出一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是结构的位移计算，学习的方法是多进行练习，学习的基础是结构内力的计算和表示。
四. 参考资料 《建筑力学》P65～67
6.4.1. 各种结构位移计算公式
根据虚功原理和单位荷载法，对于位移计算可以得出以下结论：
下面讨论结构在荷载作用下的计算公式，利用材料力学中内力与应变的关系：
这里，E 和G 分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A 和 I 分别是杆件截面的面积和惯性矩。k 是与截面形状有关的系数。
将上两个结论进行统一，可得出荷载作用下弹性位移的一般公式
内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定两者的乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。
各类结构的位移计算： (1) 粱和刚架
由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为
(2) 桁架
桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为
(3) 组合结构
桁粱混合结构中，一些杆件以弯为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为
(4) 拱
对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即
当压力线与拱轴线不相近时，只考虑弯曲变形的影响。
6.4.2. 粱的位移计算实例 位移计算的基本步骤：
(1) 根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段的内力方程； (2) 列实际荷载作用下的各杆段内力方程；
(3) 将各内力方程分别代入到相应的计算公式中，分段积分后再求和，即可计算所求位移。
实例分析：
试计算图6-3a 所示悬臂粱在B 端的竖向位移 ，EI 为常数。
图6-3
解: 虚设单位荷载图6-3b 。 实际荷载和单位荷载的弯矩方程为：
利用计算位移公式可得
计算结果为正说明实际位移方向与单位荷载方向一致。 有关粱和刚架的位移计算将在图乘法中继续分析。 6.4.3. 桁架的位移计算
计算图示是结构E 点的挠度，上弦杆截面面积为A 1 =120cm 2，弹性模量为E 1 =103 kN / cm 2下弦杆截面面积为A 2 =100cm 2，弹性模量为E 2 =2.1×104 kN / cm 2腹杆截面面积为A 3 =64cm 2，弹性模量为E 3=2.1×104 kN / cm 2
图6-4
解：在结点E 加单位力，并求相应的内力（图6-4b ）。 求实际荷载的内力(图6-4c) 。
由于对称性，可计算一半内力，杆DF 的长度只取一半。列表计算位移
所以
第五节、图乘法
一. 教学目的
正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义, 能够利用图乘法计算粱、刚架的位移，理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加进行图乘。
二. 主要内容 1. 图乘法及应用条件 2. 常见图形的面积和形心 3. 图乘法的几个具体问题 4. 图乘法应用举例(1) 5. 图乘法应用举例(2) 三. 学习指导
图乘法是粱、刚架位移计算的主要方法也是位移计算的重点，应重点掌握，练习和测验都是围绕图乘进行的，应多做练习。
四. 参考资料
《建筑力学》 P69-74 6.5.1. 图乘法及应用条件 根据计算粱和刚架位移的公式：
为避免微分运算，以下介绍一种计算方法----图乘法。 下面说明图乘法的内容和应用条件
图6-5为某直杆段 AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线( M i 图), 如果抗弯刚度 EI 为常数，则可进行以下计算：
图
6-5
上式中y 0是在M K 图形心C 对应处的M i 图标距，A 是M K 图的面积，因此：
位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。 应用图乘法应注意两点： 1. 应用条件：
杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距 y 0 应取自直线图形中。
2. 正负号规定：
面积 A 与标距 y 0 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。 6.5.2. 常见图形的面积和形心
根据图乘法，位移计算主要是计算图形的面积、形心和标距，下面介绍常见图形的形心和面积：
三角形
二次抛物线
二次抛物线
二次抛物线
三次抛物线
图6-6
以上图形的抛物线均为标准抛物线----抛物线的顶点处的切线都是与基线平行。
对于复杂图形问题可以参考应用图乘法时的几个具体问题。
6.5.3. 应用图乘法时的几个具体问题
(1) 如果两个图形都是直线图形, 则标距可任取自其中一个图形。 (2) 如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。如图6-7所示
n 次抛物线
图
6-7
则计算结果应为：
图6-8
(3) 如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
如图6-8两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此，
对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物线分解为标准抛物线图形和直线图形。
图6-9
讨论：
以上抛物线中的M 0 的两个图形并不相似, 为什么面积和形心的横坐标是相同的?
6.5.4. 图乘法应用举例 (1)
试计算图6-10a 所示悬臂粱B 点的竖向位移，EI 为常数。
图6-10
解:虚设单位荷载（图6-10b),
作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图(图6-10a 、图6-10b) 。
应用图乘法，实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标：
继续
6.5.5. 图乘法应用举例 (2)
试求出图6-11a 所示刚架结点B 的水平位移, EI 为常数。
图6-11
解:作实际状态和单位荷载的弯矩图(图6-11b 、
c)
§6-6 温度改变时的位移计算
对于静定结构温度变化时，材料发生伸缩变形，结构因而产生位移。位移的计算仍然应用虚功原理。
虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功，下面结合实例分析温度变化时结构的位移计算公式。
图6-12位移刚架结构，杆件的内侧温度升高 t 1，外侧温度升高 t 2，温度沿高度 h 是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。
图6-12
为了计算位移，应虚设单位荷载，图6-12b 是求C 点竖向位移的单位荷载。 以下讨论温度变化时的变形(图6-12C ) 轴线处温度的升高为：
轴向应变ε和曲率κ分别为
α为线膨胀系数 应用虚功原理可得
当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，可得
实例分析
第六节、 温度作用时静定结构的位移计算
实例分析:
试分析图6-13a 所示刚架 C 点的水平位移，已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升了10。C ，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，截面高为 h , 线膨胀系数为α。
图6-13
解 虚设单位荷载并画轴力图和弯矩图(图6-13b 、c) 有
第八节、线性变形体系的互等定理 一. 教学目的
正确理解功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理，为今后的学习奠定良好的基础。
二. 主要内容 1. 功的互等定理 2. 位移互等定理 3. 反力互等定理 三. 学习指导
互等定理是为今后的学习做准备，本节的重点是对定理的理解。 四. 参考资料
《建筑力学教程(Ⅰ)》P287～291 6.8.1. 功的互等定理
以下讨论的互等定理只适用于线性变形体系：材料处于弹性阶段；结构变形很小，不影响力的作用。
设有两组外力分别作用在同一结构图6-15，分别称为第一状态和第二状态。
图6-16
对于两种状态应用虚功原理：
外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态 ，位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态。
于是可得功的互等定理：
第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功。即
根据功的互等定理可得位移互等定理 6.8.2. 位移互等定理 对于6-15图的两种状态
图6-15
有功的互等定理可得
当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作δ12和δ21。 于是得
δ12和δ21又可称为位移影响系数，即：Δ12 = P 12δ12 这就是位移互等定理：
位移互等定理表明第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移。
注意：这里的荷载和位移都是广义荷载和广义位移，一般情况下定理中的两个广义位移的量纲可能不相同，但是影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。
6.8.3. 反力互等定理
图6-16
如图6-16所示为同一线性变形的两种状态。下面讨论由于图中的变形一起的反力的变化，注意图中的反力在用双下标，第一个下标i 表示反力与相应的位移 C i 对应，第二个下标表示位移产生的反力，如 F 12 表示由位移 C 2 引起的与位移C 1对应的反力。
应用功的互等定理可得：
进一步有
上式实际上就是反力互等定理:
在任一线性变形体中, 由位移C 1 引起的与位移 C 2 相应的反力影响系数 r 21, 等于由位移 C 2 所应起的与位移 C 1 相应的反力影响系数 r 12 。
定理的关键是支反力应与位移相对应，可以是广义力和广义位移。
本章小结
在静定结构与超静定结构分析中，本章内容起着承上启下的作用。它既是静定结构的结尾，又是超静定部分的先导。
本章的基本原理是虚功原理， 基本方法是单位荷载法。 位移计算的一般公式是：
位移计算时应注重方法的灵活性，主要体现在：
1. 位移计算公式不但适应静定结构，同时也适应与超静定结构，要了解其使用的范围。
2. 不同的结构和状态又不同的计算公式，粱和刚架、桁架、支座移动、温度改变各有相应的计算公式和方法。
3. 图乘法是计算粱和刚架的位移的基本方法，一方面要了解图乘法的应用条件，另一方面要熟练掌握计算方法。
4. 对于单位荷载法，要能够正确的根据所求位移，虚设出单位荷载状态。
本章思考与讨论
1. 虚功原理的应用条件是什么?
2. 如何理解虚功的概念比实功的概念应用更广泛 3. 如何根据所求位移去选择单位荷载?
4. 应用单位荷载法求位移时, 所求的位移方向如何确定? 5. 图乘法的应用条件是什么? 6. 图乘法中如何确定面积和竖标?
7. 支座移动和温度变化为什么不产生内力, 二者在计算时又有何不同? 8. 应用图乘法如何确定正负号? 温度变化时又如何确定位移的正负号? 9. 单位荷载有无单位, 实际结构的内力与单位荷载的内力的量刚是否相同?
10. 对于非标准抛物线的图乘为什么叠加后面积和形心位置不发生变化? 11. 对于下面两图如何进行图乘
12. 功的互等定理和位移互等定理各说明了什么物理意义?
第四章 静定结构的位移计算
一. 教学内容
理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下的位移。
掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。
一. 教学目的
掌握各种静定结构的位移计算, 为超静定结构的内力和位移计算打好基础。 二. 主要章节 第一节、概述 第二节、功和虚功原理
第三节、单位荷载法计算位移的 第四节、结构在荷载作用下的位移计算 第五节、图乘法
第六节、 温度作用时静定结构的位移计算 第七节、支座移动时静定结构的位移计算 第八节、线性变形体系的互等定理 §6-9 小结 §6-10 思考与讨论 §6-11 习题 §6-12 测验 三. 学习指导
本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。
四. 参考资料
《建筑力学教程》P61～80
第一节、概述
一. 教学目的
了解位移的概念。 二. 主要内容 . 结构位移计算概述 三. 学习指导
本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。
四. 参考资料 《建筑力学》P61 6.1.1位移的概念：
结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。
结构的位移通常有两种（图6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。
图6-1
结构位移计算的目的：
(1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。
(2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。
6.1.2. 产生位移的原因：
(1) 荷载作用；
(2) 温度变化和材料胀缩； (3) 支座的沉降和制造误差。 位移计算的理论基础----虚力原理
第二节、功和虚功原理 第一节、 单跨静定梁
一. 教学目的
掌握刚体和变形体的虚功原理； 掌握虚功原理的应用。 二. 主要内容
1. 刚体和变形体的虚功原理； 2. 虚功原理的应用。 三. 参考资料 《建筑力学》P62～P63
6.2.1 刚体体系的虚功原理 1. 刚体虚功原理
虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下： 设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。
虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互独立性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。
本节是利用假设的位移进行求解未知力。 下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理.
图示4-1a 是一
几何可变体系，已
图4-1a
知力 P ，为了平衡是求力 F 的大小。
虚设一位移状态图4-1b ，位移的假设应与荷载相一
图4-1b
致。
根据虚功原理, 可以通过以下计算求出力 F
:
特点:
(1). 位移是假设的；
(2). 解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系； (3). 采用几何几何的方法求解静力平衡问题。
2. 应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法 虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。 力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。 位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。
由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。 刚体体系的虚功原理可用如下方法进行：
(1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力 FX 来代替, 同时, 结构则相应的变为机构.
(2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力 FX 和主动荷载 F P 相应的位移分别是 ΔX 和 ΔP ，利用虚功原理可得：
(3)求出 ΔX 和 ΔP 之间的相互关系，即可求得 FX ：
(4)为了计算方便，假设 ΔX = 1 ，此时， ΔP 则用 δP 表示。
以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于 ΔX = 1，所以又称单位支座位移法。
3. 实例分析
求图4-2a 所示简支粱支座 B 的支反力及截面 C 处的弯矩
.
图4-2
解:
(1)求支座 B 的支反力 R 。
力状态：将支座 B 去掉，用支反力R 代替，同时也变成几何可变体系（图4-2-b ）。
位移状态：在支座 B 处设一竖向位移1， AB 杆成斜线（图4-2-c ）。 则：支反力的虚功为 1R ； 均不荷载的虚功为：
(2)求 R 截面处的弯矩 M
力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面 C 由刚接改为铰接，注意 C 截面的弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图4-2d ）。
位移状态 ：设 C 处的竖向位移为1，则 AC 、 BC 段的转角分别为：
2、 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理
虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。
下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用----虚力原理，另一方面通过此例子，应掌握支座移动时静定结构的位移计算。
如图6-2a 中所示的静定粱，支座C 向上移动了一个已知距离c 1, 现在求B 处的位移Δ。
图6-2
为了应用虚功原理，计算图6-2a 中的位移状态中的位移，应根据所求位移来虚设力系，由于位移状态为给定状态，力状态为虚设状态，因此称为虚力原理。
根据虚功原理力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外，其它方面两者完全无关， 因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够在实际状态的所求位移Δ上做虚功，应在该点施加一集中力大小为1（为什么）----在拟求位移的方向上设置单位荷载，而在其它处不再设置荷载（图6-2b ）。应用平衡条件可求出支座反力。
利用虚功原理可得：
结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。
6.2.2 变形体的虚功原理
（1）. 变形体的虚功原理
虚功原理是力学中的一个基本原理，它有两个基本形式：
虚力原理、虚位移原理 变形体的虚功原理可表述为：
设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功W 恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内力虚功 W i 。
可简单写成：外力功 W =内力功 W i
虚功原理涉及两组彼此无关的量----作用于结构的平衡力系和符合结构约束条件的微小连续变形系。
（2）、变形体虚功原理的应用条件
变形体虚功原理的应用条件是： 力系应当满足平衡条件----力系是平衡的；位移应当符合支承情况并保持结构的连续性-----变形符合约束条件，且是微小连续的。
虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。 （3）. 变形体虚功原理的表达式
对于任意一个结构则虚功原理的一般形式可表示为：
如果力系是给定的，位移是虚设的，则上式为变形体的虚位移方程，可用于求力系中的某未知力。
如果位移是给定的，力系是虚设的，则上式为变形体的虚力方程，可用于求给定变形状态中某未知位移。这也是本章的主要内容。
第三节、单位荷载法计算位移 一、教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，理解广义力、广义荷载和单位荷载法，利用虚功原理，根据所求位移，假设出虚设的力状态。正确理解结构位移计算的一般公式。
二. 主要内容 1. 单位荷载法 2. 位移计算的一般步骤 3. 广义力和广义位移 三. 学习指导
本节的主要内容是单位荷载法以及相应的表达式，对于相应的理论没有给出进一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是单位荷载法。
四. 参考资料 《建筑力学教程》 P64 6.3.1. 单位荷载法
根据虚力原理的基本表达式：
为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载 P 。这样上式就变成：
进一步令P =1，便有：
式中，
是结构在集中单位荷载P =1作用下的支反力和内力，
它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。
由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位荷载力系，通过上式计算位移，这就是单位荷载法计算位移的基本思路。
下面讨论位移计算的一般步骤和思路 6.3.2. 位移计算的一般步骤
求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：
(1) 虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。
(2) 在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。 (3) 利用公式：
可求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反，具体计算可参考荷载作用下的位移计算和温度变化下的位移计算。
下面将讨论 如何建立虚设状态----单位荷载状态。 6.3.3. 广义位移和虚设状态
本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载：
第四节、结构在荷载作用下的位移计算 一. 教学目的
在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，掌握结构在荷载作用下的位移计算。正确理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式, 能够计算结构的位移。
二. 主要内容
1. 各种结构的位移计算公式 2. 粱的位移计算实例 3. 桁架位移计算实例 三. 学习指导
本节的主要内容是用积分法计算结构的位移，对于相应的理论没有给出一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是结构的位移计算，学习的方法是多进行练习，学习的基础是结构内力的计算和表示。
四. 参考资料 《建筑力学》P65～67
6.4.1. 各种结构位移计算公式
根据虚功原理和单位荷载法，对于位移计算可以得出以下结论：
下面讨论结构在荷载作用下的计算公式，利用材料力学中内力与应变的关系：
这里，E 和G 分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A 和 I 分别是杆件截面的面积和惯性矩。k 是与截面形状有关的系数。
将上两个结论进行统一，可得出荷载作用下弹性位移的一般公式
内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定两者的乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。
各类结构的位移计算： (1) 粱和刚架
由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为
(2) 桁架
桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为
(3) 组合结构
桁粱混合结构中，一些杆件以弯为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为
(4) 拱
对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即
当压力线与拱轴线不相近时，只考虑弯曲变形的影响。
6.4.2. 粱的位移计算实例 位移计算的基本步骤：
(1) 根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段的内力方程； (2) 列实际荷载作用下的各杆段内力方程；
(3) 将各内力方程分别代入到相应的计算公式中，分段积分后再求和，即可计算所求位移。
实例分析：
试计算图6-3a 所示悬臂粱在B 端的竖向位移 ，EI 为常数。
图6-3
解: 虚设单位荷载图6-3b 。 实际荷载和单位荷载的弯矩方程为：
利用计算位移公式可得
计算结果为正说明实际位移方向与单位荷载方向一致。 有关粱和刚架的位移计算将在图乘法中继续分析。 6.4.3. 桁架的位移计算
计算图示是结构E 点的挠度，上弦杆截面面积为A 1 =120cm 2，弹性模量为E 1 =103 kN / cm 2下弦杆截面面积为A 2 =100cm 2，弹性模量为E 2 =2.1×104 kN / cm 2腹杆截面面积为A 3 =64cm 2，弹性模量为E 3=2.1×104 kN / cm 2
图6-4
解：在结点E 加单位力，并求相应的内力（图6-4b ）。 求实际荷载的内力(图6-4c) 。
由于对称性，可计算一半内力，杆DF 的长度只取一半。列表计算位移
所以
第五节、图乘法
一. 教学目的
正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义, 能够利用图乘法计算粱、刚架的位移，理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加进行图乘。
二. 主要内容 1. 图乘法及应用条件 2. 常见图形的面积和形心 3. 图乘法的几个具体问题 4. 图乘法应用举例(1) 5. 图乘法应用举例(2) 三. 学习指导
图乘法是粱、刚架位移计算的主要方法也是位移计算的重点，应重点掌握，练习和测验都是围绕图乘进行的，应多做练习。
四. 参考资料
《建筑力学》 P69-74 6.5.1. 图乘法及应用条件 根据计算粱和刚架位移的公式：
为避免微分运算，以下介绍一种计算方法----图乘法。 下面说明图乘法的内容和应用条件
图6-5为某直杆段 AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线( M i 图), 如果抗弯刚度 EI 为常数，则可进行以下计算：
图
6-5
上式中y 0是在M K 图形心C 对应处的M i 图标距，A 是M K 图的面积，因此：
位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。 应用图乘法应注意两点： 1. 应用条件：
杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距 y 0 应取自直线图形中。
2. 正负号规定：
面积 A 与标距 y 0 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。 6.5.2. 常见图形的面积和形心
根据图乘法，位移计算主要是计算图形的面积、形心和标距，下面介绍常见图形的形心和面积：
三角形
二次抛物线
二次抛物线
二次抛物线
三次抛物线
图6-6
以上图形的抛物线均为标准抛物线----抛物线的顶点处的切线都是与基线平行。
对于复杂图形问题可以参考应用图乘法时的几个具体问题。
6.5.3. 应用图乘法时的几个具体问题
(1) 如果两个图形都是直线图形, 则标距可任取自其中一个图形。 (2) 如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。如图6-7所示
n 次抛物线
图
6-7
则计算结果应为：
图6-8
(3) 如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
如图6-8两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此，
对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物线分解为标准抛物线图形和直线图形。
图6-9
讨论：
以上抛物线中的M 0 的两个图形并不相似, 为什么面积和形心的横坐标是相同的?
6.5.4. 图乘法应用举例 (1)
试计算图6-10a 所示悬臂粱B 点的竖向位移，EI 为常数。
图6-10
解:虚设单位荷载（图6-10b),
作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图(图6-10a 、图6-10b) 。
应用图乘法，实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标：
继续
6.5.5. 图乘法应用举例 (2)
试求出图6-11a 所示刚架结点B 的水平位移, EI 为常数。
图6-11
解:作实际状态和单位荷载的弯矩图(图6-11b 、
c)
§6-6 温度改变时的位移计算
对于静定结构温度变化时，材料发生伸缩变形，结构因而产生位移。位移的计算仍然应用虚功原理。
虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功，下面结合实例分析温度变化时结构的位移计算公式。
图6-12位移刚架结构，杆件的内侧温度升高 t 1，外侧温度升高 t 2，温度沿高度 h 是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。
图6-12
为了计算位移，应虚设单位荷载，图6-12b 是求C 点竖向位移的单位荷载。 以下讨论温度变化时的变形(图6-12C ) 轴线处温度的升高为：
轴向应变ε和曲率κ分别为
α为线膨胀系数 应用虚功原理可得
当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，可得
实例分析
第六节、 温度作用时静定结构的位移计算
实例分析:
试分析图6-13a 所示刚架 C 点的水平位移，已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升了10。C ，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，截面高为 h , 线膨胀系数为α。
图6-13
解 虚设单位荷载并画轴力图和弯矩图(图6-13b 、c) 有
第八节、线性变形体系的互等定理 一. 教学目的
正确理解功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理，为今后的学习奠定良好的基础。
二. 主要内容 1. 功的互等定理 2. 位移互等定理 3. 反力互等定理 三. 学习指导
互等定理是为今后的学习做准备，本节的重点是对定理的理解。 四. 参考资料
《建筑力学教程(Ⅰ)》P287～291 6.8.1. 功的互等定理
以下讨论的互等定理只适用于线性变形体系：材料处于弹性阶段；结构变形很小，不影响力的作用。
设有两组外力分别作用在同一结构图6-15，分别称为第一状态和第二状态。
图6-16
对于两种状态应用虚功原理：
外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态 ，位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态。
于是可得功的互等定理：
第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功。即
根据功的互等定理可得位移互等定理 6.8.2. 位移互等定理 对于6-15图的两种状态
图6-15
有功的互等定理可得
当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作δ12和δ21。 于是得
δ12和δ21又可称为位移影响系数，即：Δ12 = P 12δ12 这就是位移互等定理：
位移互等定理表明第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移。
注意：这里的荷载和位移都是广义荷载和广义位移，一般情况下定理中的两个广义位移的量纲可能不相同，但是影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。
6.8.3. 反力互等定理
图6-16
如图6-16所示为同一线性变形的两种状态。下面讨论由于图中的变形一起的反力的变化，注意图中的反力在用双下标，第一个下标i 表示反力与相应的位移 C i 对应，第二个下标表示位移产生的反力，如 F 12 表示由位移 C 2 引起的与位移C 1对应的反力。
应用功的互等定理可得：
进一步有
上式实际上就是反力互等定理:
在任一线性变形体中, 由位移C 1 引起的与位移 C 2 相应的反力影响系数 r 21, 等于由位移 C 2 所应起的与位移 C 1 相应的反力影响系数 r 12 。
定理的关键是支反力应与位移相对应，可以是广义力和广义位移。
本章小结
在静定结构与超静定结构分析中，本章内容起着承上启下的作用。它既是静定结构的结尾，又是超静定部分的先导。
本章的基本原理是虚功原理， 基本方法是单位荷载法。 位移计算的一般公式是：
位移计算时应注重方法的灵活性，主要体现在：
1. 位移计算公式不但适应静定结构，同时也适应与超静定结构，要了解其使用的范围。
2. 不同的结构和状态又不同的计算公式，粱和刚架、桁架、支座移动、温度改变各有相应的计算公式和方法。
3. 图乘法是计算粱和刚架的位移的基本方法，一方面要了解图乘法的应用条件，另一方面要熟练掌握计算方法。
4. 对于单位荷载法，要能够正确的根据所求位移，虚设出单位荷载状态。
本章思考与讨论
1. 虚功原理的应用条件是什么?
2. 如何理解虚功的概念比实功的概念应用更广泛 3. 如何根据所求位移去选择单位荷载?
4. 应用单位荷载法求位移时, 所求的位移方向如何确定? 5. 图乘法的应用条件是什么? 6. 图乘法中如何确定面积和竖标?
7. 支座移动和温度变化为什么不产生内力, 二者在计算时又有何不同? 8. 应用图乘法如何确定正负号? 温度变化时又如何确定位移的正负号? 9. 单位荷载有无单位, 实际结构的内力与单位荷载的内力的量刚是否相同?
10. 对于非标准抛物线的图乘为什么叠加后面积和形心位置不发生变化? 11. 对于下面两图如何进行图乘
12. 功的互等定理和位移互等定理各说明了什么物理意义?