第二章 平面向量
知识要点
知识点一：向量的有关概念及表示方法
1．向量的基本概念
（1）定义： ；向量的大小叫做
（2）特定大小或关系的向量
①零向量： ②单位向量：
③共线向量（平行向量）： 规定：零向量与任何向量
④相等向量： ⑤相反向量： 规定：零向量的相反向量是它本身
2．向量的表示法
①字母表示法： ②几何表示法： ③代数表示法：
知识点二：向量的运算
1．向量的加法、减法
2．向量的数乘（实数与向量的积）
（1）定义与法则：
（2）运算律：交换律、结合律、分配律
知识点三：定理与公式
1．共线定理：2．平面向量基本定理：3．三点共线定理：
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C 、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
2、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |=|b |，则a =b ；
③若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC ；
⑤若m =n ，n =k ，则m =k ；⑥a b ，b c ，则a c .
其中不正确的命题的个数为（ ）
A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO , BO , OC , OD 是（ ）
A 、相等的向量 B 、平行的向量 C、有相同起点的向量 D 、模相等的向量
4、判断下列各命题的真假：
（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、
D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b
③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ）A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③
6、下列命中，正确的是（ ）
A 、|a |＝|b |⇒a ＝b B 、|a |＞|b |⇒a ＞b
C 、a ＝b ⇒a ∥b D 、｜a ｜＝0⇒a ＝0
7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）
A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
二、填空题
8、平行向量是否一定方向相同？ 9、不相等的向量是否一定不平行？
10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平
行的向量是什么向量？
12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
13、两个非零向量相等的充要条件是什么？
三、解答题
14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，
B AB AB （1）找出图中与共线的向量； （2）找出图中与相等A
的向量； （3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量.
提高题：
2、下列说法中错误的是（ ） ．．
A 、零向量是没有方向的 B 、零向量的长度为0
C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量的方向是任意的
3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点, 那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A 、一条线段 B 、一段圆弧 C 、圆上一群孤立点 D 、一个单位圆
4、在△ABC 中,AB=AC,D、E 分别是AB 、AC 的中点, 则（ ）
A 、 与AC 共线 B 、 与CB 共线 C 、 与相等 D 、 与相等
5、下列命题正确的是（ ）
A 、向量与是两平行向量 B 、若a 、b 都是单位向量, 则a =b
C 、若=DC , 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
6、在下列结论中, 正确的结论为（ ）
(1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件
(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件
(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件
(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b的充分不必要条件
A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4)
二、填空题
8、已知非零向量a ∥b , 若非零向量c ∥a , 则c 与b 必定
9、已知a 、b 是两非零向量, 且a 与b 不共线, 若非零向量c 与a 共线, 则c 与b 必定
10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点, 则终点所构成的图形是; 若这些向量为单位向量, 则终点构成的图形是
11、已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC=60°, 则|BC |=
12、在四边形ABCD 中, =, 且||=||,则四边形ABCD 是
参考答案
一、选择题
1、D ；2、C ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；7、C
二、填空题
8、不一定
9、不一定
10、零向量
11、零向量
12、平行向量
13、长度相等且方向相同
三、解答题
14、解：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF ∥BC 且EF ＝1
2BC
又因为D 是BC 的中点
∴①与 EF 共线的向量有： FE , BD , DB , DC , CD ， BC , CB ②与 EF 的模大小相等的向量有 FE , BD , DB , DC , CD ③与 EF 相等的向量有： DB , CD .
15、解：（1） AO = BF ， BO = AE ；
（2）与 AO 共线的向量为： BF , CO , DE
（3）与 AO 模相等的向量有： CO , DO , BO , BF , CF , AE , DE
（4）向量 AO 与 CO 不相等. 因为它们的方向不相同.
第二章 平面向量
知识要点
知识点一：向量的有关概念及表示方法
1．向量的基本概念
（1）定义： ；向量的大小叫做
（2）特定大小或关系的向量
①零向量： ②单位向量：
③共线向量（平行向量）： 规定：零向量与任何向量
④相等向量： ⑤相反向量： 规定：零向量的相反向量是它本身
2．向量的表示法
①字母表示法： ②几何表示法： ③代数表示法：
知识点二：向量的运算
1．向量的加法、减法
2．向量的数乘（实数与向量的积）
（1）定义与法则：
（2）运算律：交换律、结合律、分配律
知识点三：定理与公式
1．共线定理：2．平面向量基本定理：3．三点共线定理：
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C 、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
2、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |=|b |，则a =b ；
③若AB =DC ，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB =DC ；
⑤若m =n ，n =k ，则m =k ；⑥a b ，b c ，则a c .
其中不正确的命题的个数为（ ）
A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO , BO , OC , OD 是（ ）
A 、相等的向量 B 、平行的向量 C、有相同起点的向量 D 、模相等的向量
4、判断下列各命题的真假：
（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、
D 必在同一条直线上；（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b
③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ）A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③
6、下列命中，正确的是（ ）
A 、|a |＝|b |⇒a ＝b B 、|a |＞|b |⇒a ＞b
C 、a ＝b ⇒a ∥b D 、｜a ｜＝0⇒a ＝0
7、下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有（ ）
A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个
二、填空题
8、平行向量是否一定方向相同？ 9、不相等的向量是否一定不平行？
10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平
行的向量是什么向量？
12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
13、两个非零向量相等的充要条件是什么？
三、解答题
14、如图所示，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，
B AB AB （1）找出图中与共线的向量； （2）找出图中与相等A
的向量； （3）找出图中与｜AB ｜相等的向量； （4）找出图中与EC 相等的向量.
提高题：
2、下列说法中错误的是（ ） ．．
A 、零向量是没有方向的 B 、零向量的长度为0
C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量的方向是任意的
3、把平面上一切单位向量的始点放在同一点, 那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A 、一条线段 B 、一段圆弧 C 、圆上一群孤立点 D 、一个单位圆
4、在△ABC 中,AB=AC,D、E 分别是AB 、AC 的中点, 则（ ）
A 、 与AC 共线 B 、 与CB 共线 C 、 与相等 D 、 与相等
5、下列命题正确的是（ ）
A 、向量与是两平行向量 B 、若a 、b 都是单位向量, 则a =b
C 、若=DC , 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
6、在下列结论中, 正确的结论为（ ）
(1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件
(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件
(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件
(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b的充分不必要条件
A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4)
二、填空题
8、已知非零向量a ∥b , 若非零向量c ∥a , 则c 与b 必定
9、已知a 、b 是两非零向量, 且a 与b 不共线, 若非零向量c 与a 共线, 则c 与b 必定
10、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点, 则终点所构成的图形是; 若这些向量为单位向量, 则终点构成的图形是
11、已知|AB |=1,| AC |=2,若∠BAC=60°, 则|BC |=
12、在四边形ABCD 中, =, 且||=||,则四边形ABCD 是
参考答案
一、选择题
1、D ；2、C ；3、D ；4、C ；5、B ；6、C ；7、C
二、填空题
8、不一定
9、不一定
10、零向量
11、零向量
12、平行向量
13、长度相等且方向相同
三、解答题
14、解：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF ∥BC 且EF ＝1
2BC
又因为D 是BC 的中点
∴①与 EF 共线的向量有： FE , BD , DB , DC , CD ， BC , CB ②与 EF 的模大小相等的向量有 FE , BD , DB , DC , CD ③与 EF 相等的向量有： DB , CD .
15、解：（1） AO = BF ， BO = AE ；
（2）与 AO 共线的向量为： BF , CO , DE
（3）与 AO 模相等的向量有： CO , DO , BO , BF , CF , AE , DE
（4）向量 AO 与 CO 不相等. 因为它们的方向不相同.