索洛模型:人均资本和资本产出比的收敛速度

k =s f (k ) -(n +g +&)k 说明k 是k 的函数，有k =k (k)

令n+g+&=λ，那么有k

∙∙∙∙∙∙=k (k)= sf(k) – λk 【0】. ∙

已知k (k*)=0，其中k *是稳态的人均资本存量，此式表示当经济到达稳态时，人均资本存量不再增加。由此可知，在稳态时，sf(k*)-λk*=0,可得到k*/f(k*)=s/λ（该式表明稳态下资本产出比恒定）或者s=λk*/f(k*) 【1】对函数k (k)在稳态点k*附近进行一阶泰勒展开，得到一个一阶线性近似表达式： ∙

k -k (k *)≈[∂k (k *) /∂k ](k -k *),

因为k (k *)=0，所以有k ≈[∂k (k *) /∂k ](k -k *)【2】

另外，把【0】两边对k 求导得到∂k (k ) /∂k =sf ' (k ) -λ【3】

当k =k *时，【3】变为∂k (k *) /∂k =sf ' (k *) -λ【4】

将【1】代入到【4】中得，∂k (k *) /∂k =λk *f ' (k *) /f (k *)-λ【5】

其中，k *f ' (k *) /f (k *)实际上是资本对产出贡献的份额

因为生产函数形式为Y =(AL ) 1-αK α, 资本对产出贡献的份额为α

所以α=k *f ' (k *) /f (k *)【6】

所以【5】可化为∂k (k *) /∂k =λα-λ=-（1-α）λ【7】

将【7】代入【2】得到k ≈-(1-α) λ(k -k *)【8】

令k (t ) -k *=X (t ), 那么X (t ) =dX (t ) /dt =d [k (t ) -k *]/dt =dk (t ) /dt -dk */dt =dk (t ) /dt -0=dk (t ) /dt =k (t ) ，即X (t ) =k (t 【) 9】

所以【8】可化为X (t ) ≈-(1-α) λX (t ), 即X (t ) /X (t ) ≈-(1-α) λ【10】

t 由【10】可得到X (t ) =X (0) e -(1-α) λ【11】, 其中X (0) =k (0) -k *∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙

所以其实【11】就是k (t ) -k *=[k (0) -k *]e -(1-α) λt

进一步变形为k (t ) =[k (0) -k *]e -(1-α) λt +k *【12】，

收敛于稳态人均资量本k 存*。它的经济学意义是t 随的着变化，人均资本k 存以量(1-α)(n+g +&)的速度

等式【12】其实等价于蒋中一得到的式子k (t ) 1-α-s /λ=[k (0) -s /λ]e -(1-α) λt 其中s /λ=(k *)1-α是稳态时的资本产出比，蒋中一式子的经济学意义是资本产出比k 1-α以（-1-α）(n +g +&)的速度收敛到稳态资本产出比(k *)1-α所以资本产出比k /y 的收敛速度也可以用同样的式子来表示。因为我们同样可以证明人均收入y 的收敛速度和人均资本存量k *是一样的，