洛阳师范学院学报２００８年第５期
・２９・
偶数阶幻方的构造方法及程序实现
黄绍龙，赵涛
（洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳４７１０２２）
摘要：本文主要介绍了偶数阶幻方的构造方法，并利用Ｊａｖａ语言设计出程序实现构造方
法．
关键词：偶数；幻方；构造；Ｊａｖａ中图分类号：ＴＰ３１１收稿日期：２００８—０４—０７
作者简介：黄绍龙（１９８０一），男，河南平顶山人，助教．
文献标识码：Ａ
文章编号：１００９—４７９０（２００８）０５—００２９—０４
０引言
的４×４元组结构．例如８阶幻方可分成４个上述结构（见图２），无圈的按自左至右、自上至下的顺序把１～６４个数填上，有圈处虚位以待；有圈的按自右至左、自下至上的顺序把１～６４个数填上，无圈处虚位以待．利用此法生成８阶幻方（见图３）．
幻方是曾经在欧洲广泛流行的一种古老的数学游戏．给定１，２，…，／７，２这些数字，要求把它排列成／７，Ｘｎ的方阵，并使得每一行、每一列和每一条
对角线上的ｎ个数字之和都是丛｝挈盟．我们
二
把这样的／７，阶方阵叫做ｎ阶幻方，每一行数字的和叫做幻方的和，简称幻和．幻方最早起源于我国的洛书河图，宋朝数学家杨辉称幻方为纵横
刚２｜．
奇数阶幻方可以利用卢培步法方便地构造，而偶数阶幻方需要使用特殊的方法来实现．
由于２阶的幻方不存在，所以将偶数阶幻方分为稚阶和４后＋２阶（ｋ＝１，２，３，…）两种情
况．
Ｘ
图２图３
１．２当／１．＝４ｋ＋２时幻方的构造
任何４后＋２阶幻方都可由２．｜｝＋１阶幻方与２２方块复合而成，６是此类型的最小阶．
以６阶幻方为例介绍此方法，３阶幻方（洛书）如图４所示．将每一单元格分成４等块，各小块的值与单元格的值相同，则行和、列和、对角和均为３０，（见图５）．记为方阵肘．用０，１，２，３组成的２×２的小方块拼成一个６
Ｘ
１偶数阶幻方的构造方法
１．１当／／，＝４七时幻方的构造
南宋末年数学家杨辉的“易换术”是４矗阶幻方的一种构造方法．以４阶幻方为例，构造方法可表述为：一十六子，排为四行，外角相更，内角互换‘１１（见图１）．
６的大方块，
使其行和、列和、对角和均为９，（见图６）．记为方阵Ⅳ．故６阶幻方为方阵Ｍ＋９Ｎ或４肘一Ⅳ
…，（见图７、图８）．
图１
图１（Ｃ）中数字可分为有圈型和无圈型．对任何４七阶幻方，可将其等分为ｋ２个图１（Ｃ）所示
图４
万方数据
图５
图６
・３０・
对于大于６阶的４Ｉｊ｝＋２阶幻方的构造是以６＋２阶方阵Ⅳ的核心是图６所示的６Ｘ６方阵，周Ｘ２方块组成：上半部分都是Ａ
＋１）２Ⅳ或４Ｍ—Ｎ均是４五＋２阶幻方（如图１１、
对于上述构造法，验证Ｍ十（２ｋ＋１）２，ｖ或
记Ｓ（。）为ｎ阶幻方的幻和，Ｓ’㈤为４．｜｝＋２阶７㈩为４尼＋２阶幻方对应方阵Ｊ７、ｒ行和（或列因为Ｓ’（Ⅳ１＝９＋６（ｋ—１）＝３（２ｋ＋１）
。，
ｏ（肘）２
ｚ×—————ｒ——一
．
（２ｋ＋１）【ｌ＋（２ｋ＋１）２】
＝（２ｋ＋Ｉ）３＋（２ｋ＋Ｉ）
Ｊ（４ｋ＋２）２—————ｒ——一
。
（４ｋ＋２）【ｌ＋（４ｋ＋２）２】
＝４（２ｋ＋１）３＋（２ｋ＋１）
万方数据
洛阳师范学院学报２００８年第５期
所有Ｓ７（椰＋（觋＋１）２・Ｓ７（肿
＝（２后＋１）３＋（２蠡＋１）
＋（２后＋１）２・３（２无＋１）
＝４（２蠡＋１）３＋（２后＋１）＝｜ｓ（舭＋２）
４Ｓ’（＿｝Ｉｆ）一Ｓ’（．１ｖ）＝４［（２蠡＋１）３＋（２后＋１）】一３（２ｋ＋１）
＝４（２ｋ＋１）３＋（２ｋ＋１）＝Ｓ（４Ｊ｝＋２）
观察两种形式的４｜ｊ｝＋２阶幻方，它们都是由１～（４ｋ＋２）２个数组成．若把它们如Ｍ中同值的
２
Ｘ
２方块为单位进行划分，则有如下规律．①１～（４ｋ＋２）２个数分为如下４组：
ｌ～（２ｋ＋１）２，（２ｋ＋１）２＋１～２（２ｋ＋１）２，
２（２忌＋１）２＋１—３（２ｋ＋１）２，３（２ｋ＋１）２＋１～
（４ｋ＋２）２．
肘＋（２ｋ＋１）２Ｎ是把２Ｘ２方块的每一小块的
数值对应每组第ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｉ（２ｋ＋１）ｚ）个数．
②１～（４ｋ＋２）２个数分为如下（２ｋ＋１）２
组：
１～４，５～８，９～１２，…，［（４磊＋２）２—３］一（４ｋ＋２）２
４Ｍ—Ｎ是把２
Ｘ
２方块的每一小块的数值对
应每组的４个连续自然数．
２程序设计
Ｊａｖａ语言具有动态分配数组空间的特点，设计出的程序可以由用户输入所求幻方的阶数，比使用ｃ语言实现更加方便．程序源代码及注释如
下‘３，４｜．
ｉｍｐｏｒｔ
ｊａｖａ．ｕｔｉｌ．Ｓｃａｎｎｅｒ；
ｐｕｂｌｉｃｃｌａｓｓＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ
｛／水ｍａｉｎ函数中要求用户输入幻方的阶数
并根据阶数的类型调用相应的幻方构造函数术／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄｍａｉｎ（Ｓｔｒｉｎｇ
ａｒｇｓ［］）
｛ｉｎｔａ［］［］；
Ｓｃａｎｎｅｒｉｎｐｕｔ＝ｎｅｗＳｃａｎｎｅｒ（Ｓｙｓｔｅｍ．ｉｎ）；
ｉｎｔ
ｋ＝ｉｎｐｕｔ．ｎｅｘｔＩｎｔ（）；
ａ＝ｎｅｗ
ｉｎｔ［ｋ＋Ｉ］［ｋ＋１］；
ｉｆ（ｋ＝＝２）Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（”Ｐｌｅａｓｅ
ｉｎ—
ｐｕｔ
ｋ！＝２．”）；／／不存在阶数为２的幻方
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｋ％２１＝０）ｏｄｄＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ａ，ｋ，１）；／／奇数阶幻方
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｋ％４ｔ－＝０）ｋ４ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ａ，ｋ）；／／４ｋ型幻方
ｅｌｓｅ
ｋ４２ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ａ，ｋ）；
／／４ｋ＋２型幻方
阶幻方为基础的，以１０阶幻方的构造过程说明步骤如下（圆括号中为１０阶幻方对应步骤的方阵）：①应用卢培步法生成２尼＋１阶幻方．（５阶幻方）；②幻方每一单元格分为４等块，各块的值与单元格值相同，记为方阵Ｍ（如图９）；③４ｋ围由四种类型的２型豳，下半部分都是Ｂ型困，左边中间是Ｃ型
因，右边中间是Ｄ型圈（如图１０）；④肘＋（２尼
１２、．
４Ｍ—Ｊ７、ｒ均是４．ｊ｝＋２阶幻方（ｋ＝１，２，３，…）如下：幻方对应方阵Ｍ行和（或列和、对角和，三者相等），．Ｓ和、对角和，三者相等）．
洛阳师范学院学报２００８年第５期
｝
／／输出幻方函数，参数是储存幻方的数组的名称
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄ
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ｉｎｔａｒｒａｙ［］［］）
｛ｆｏｒ（ｉｎｔ
ｒｏｗ＝１；ｒｏｗ＜ａｒｒａｙ．１ｅｎｇｔｈ；ｒｏｗ＋
＋）
｛ｆｏｒ（ｉｎｔｃｏｌｕｍｎ＝１；ｃｏｌｕｍｎ＜ａｒｒａｙ［ｒｏｗ］．
１ｅｎｇｔｈ；ｃｏｌｕｍｎ＋＋１
Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｆｆ（”％５ｄ”，ａｒｒａｙ［ｒｏｗ］
［ｃｏｌｕｍｎ］）；
Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（）；｝｝
／术阶数能被４整除的幻方构造函数，参数依次是储存幻方的数组的名称、幻方的阶数木／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄｋ４ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｉｎｔ
ａｒｒａｙ［］
［］，ｉｎｔｋ）
｛ｉｎｔｉ＿１，ｊ，ｃｌ＝１，ｃ２＝ｋ木ｋ；
ｗｈｉｌｅ（ｉ＜ｋ）｛ｊ＝ｌ；ｗｈｉｌｅ（ｊ＜ｋ１
｛ａｒｒａｙ［ｉ］ＥＪ］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋２］［ｊ＋２］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋３］［ｊ＋３］
＝ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ＋３］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋１］［ｊ＋２］＝ａ卜ｒａｙ［ｉ＋２］［ｊ＋１］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋３］［ｊ］＝一ｌ；
ｊ＋＝４；｝
ｉ＋＝４：
｝／：一＝把４ｋ阶的看作ｋ２个４木４的方块，将主对角线和反对角线上的元素标记为一１米／
ｆｏｒ（ｉ＿１；ｉ＜＝ｋ；ｉ＋＋）ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ；ｊ＋＋）
｛ｉｆ（ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝＝０）ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＿ｃｌ；ｅｌｓｅａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝ｃ２；ｃｌ＋＋；ｃ２一一；｝／木标记为０的进行正向依次赋值ｊａｖａ在整型数组实例化时将所有元素初始值赋为０），标记为一１的进行反向依次赋值木／
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；｝
／水卢培步法求奇数阶幻方的函数，参数依次是储存幻方的数组的名称、幻方的阶数，标志位ｆｌａｇ（为１表示主函数直接调用求奇数阶幻方，为０表示ｋ４２ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ函数进行的调用）木／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄｏｄｄＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｉｎｔ
ａｒｒａｙ［］
［］，ｉｎｔ
ｋ，ｉｎｔ
ｆｌａｇ）
｛ｉｎｔｉ＝ｋ，ｊ＝（ｋ＋１）／２，Ｃ＝１；
ｗｈｉｌｅ（ｃ＜＝ｋ：Ｉｃｋ）．
｛ａｒｒａｙ［ｉ］ＥＪ］＝ｅ；万方数据
ｉｆ（ｃ％ｋ＝＝０）ｉ一＝１；
／／若Ｃ是ｋ的倍数，走卒步（向上走）
ｅｌｓｅ｛ｉ＋＝１；ｊ＋＝１；
／／若ｃ不是ｋ的倍数，走士步（向右下走）
ｉｆ（ｉ＞ｋ）ｉ－１；ｉｆ（ｊ＞ｋ）ｊ＝１；｝
ｉｆ（ｆｌａｇ＝＝１）ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；
｝
／＝．ｃ阶数被４除余２的幻方构造函数，参数依次是储存幻方的数组的名称、幻方的阶数木／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄ
ｋ４２ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｉｎｔａｒｒａｙ［］
［］，ｉｎｔｋ）
｛ｉｎｔａ［］［］＝ｎｅｗｉｎｔ［ｋ＋１］［ｋ＋１］，ｂ［］［］＝ｎｅｗｉｎｔ［ｋ＋１］［ｋ＋１］，ｍ［］［］＝ｎｅｗｉｎｔ［ｋ／２＋１］［ｋ／２＋１］，ｉ，ｊ；
ｏｄｄＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｍ，ｋ／２，０）；ｆｏｒ（ｉ＝１；ｉ＜＝ｋ／２；ｉ＋＋）ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ／２；ｊ＋＋）
ａ［２术ｉ一１］［２：ｉ：ｊ—１］＝ａ［２术ｉ一１］［２术
ｊ］＝ａ［２术ｉ］［２术ｊ＿１］＝ａ［２术ｉ］［２术ｊ］＝ｍ［ｉ］［ｊ］；
／／由ｋ／２奇数阶幻方衍生出１比４的ｋ阶方阵Ｍ
ｉ＿１；ｊ＝１；
ｗｈｉｌｅ（ｉ＜ｋ）
｛ｊ＝１；
ｗｈｉｌｅ（ｊ＜ｋ）
｛ｉｆ（ｉ＜ｋ／２｜Ｉｉ＝＝ｋ／２＆＆（ｊ＝＝ｋ／２＋２ｌＩｊ＝＝ｋ／２—２）｜Ｉｉ－＝ｋ／２＋２＆＆ｊ＝＝ｋ／２）
／／上半部分Ａ型１２３０
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝１．ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝２．ｂ［ｉ＋１］［ｊ］＝３；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝ｏ；｝
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｉ＝＝ｋ／２＆＆ｊ＜ｋ／２—２１
／／左半部分Ｃ型３１０２
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝３；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝１；ｂ［ｉ＋１］
［ｊ］＝０．ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝２；｝
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｉ－＝ｋ／２＆＆ｊ＞ｋ／２＋２）
／／右半部分Ｄ型２０１３
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝２；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝０；ｂ［ｉ＋１］
［ｊ］＝１；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝３；｝
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｉ＝＝ｋ／２＆＆ｊ＝＝ｋ／２
ｉ＝＝ｋ／２
＋２＆＆（ｊ＝＝ｋ／２＋２Ｉｌｊ＝＝ｋ／２—２））
／／６，Ｉｃ
６核心中央和两足１２０３
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝１；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝２；ｂ［ｉ＋１］
・３２・
洛阳师范学院学报２００８年第５期
［ｊ］＝０；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝３；｝
ｅｌｓｅ／／下半部分Ｂ型２１０３
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝２；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝１；ｂ［ｉ＋１］
［ｊ］＝０；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝３；｝
ｊ＋＝２；
３结论
均衡是幻方的特点，因此均衡的思想也必然贯穿于幻方构造过程的始终．幻方独特的结构使人着迷，而借助于计算机程序设计语言，可以使人们以更加方便和快捷的方式去观察、了解和认识幻方的奥秘．
参考文献
［１］欧阳录．幻方与幻立方的当代理论［Ｍ］．长沙：湖南
教育出版社，２００４．
［２］屈婉玲．组合数学［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９８９．［３］印曼．Ｊａｖａ语言与面向对象程序设计［Ｍ］．北京：清华
大学出版社，２０００．
｝
ｉ＋＝２：
｝／／构造方阵Ⅳ
ｆｏｒ（ｉ＝１；ｉ＜＝ｋ；ｉ＋＋）
ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ；ｊ＋＋）
ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝４术ａ［ｉ］［ｊ］一ｂ［ｉ］
［Ｊ］；／／４Ｍ—Ｎ幻方形式
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；
Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（）
／／两种幻方输出时中间隔一行；
ｆｏｒ（ｉ＝ｌ；ｉ＜＝ｋ；ｉ＋＋）ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ；ｊ＋＋）
［４］Ｈ．Ｍ．Ｄｅｉｔｅｌ．ＳｍａｌｌＪａｖａＨｏｗ
ｔｏ
Ｐｒｏｇａｍ［Ｍ］．北京：电
ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝ａ［ｉ］［ｊ］＋（ｋ／２）术（ｋ／２）
木ｂ［ｉ］［ｊ］；／／Ｍ＋（ｋ／２）２Ｎ幻方形式
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；
子工业出版社，２００５．
ＭｅｔｈｏｄｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄＰｒＯｇｒａｍｏｆＥｖｅｎＯｒｄｅｒＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ
ＨＵＡＮＧＳｈａｏ—ｌｏｎｇ，ＺＨＡＯＴａｏ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＬｕｏｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ４７１０２２，Ｃｈｉｎａ）
ｅｖｅｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｉｎＪａｖａｆｏｒｔｈｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓｇｉｖｅｎ．
ｏｒｄｅｒｍａｇｉｃｓｑｕａｒｅ．Ａｎｄｔｈｅｐｒｏｇｒａｍ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｖｅｎ；ｍａｇｉｃｓｑｕａｒｅ；ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；Ｊａｖａ
（上接第２５页）
［９］Ｍｉｌｓｈｔｅｉｎ
Ｃｌａｓｓｅｓｉｎ
Ｅ，ＢｉｈａｍＯ，ａｎｄＳｏｌｏｍｏｎＳ．ＵｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙＩｓｏｔｒｏｐｉｃ，Ａｂｅｌｉａｎ，ａｎｄ
Ｎｏｎ—Ａｂｅｌｉａｎ
Ｓａｎｄｐｉｌｅ
Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ
Ｒｅｖ
Ｅ，１９９８，５８（１）：
３０３—３１０．
ＵｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙＣｌａｓｓｅｓｉｎＴｗｏ－・ＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＳｅｌｆ・－ＯｒｇａｎｉｚｅｄＣｄｔｉｃａｌＲｉｃｅ・－ＰｉｌｅＭｏｄｅｌｓ
ＳＵＮＨｏｎｇ－Ｚｈａｎｇ；ＴＡＮＧＺｈｅｎｇ・Ｘｉｎ；ＬＩＵＬｉｅ；ＬＩＵＧａｎｇ；ＳＵＸｉａｎｇ—ｒｉｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ
ｏｎ
４７１００３，Ｃｈｉｎａ）
ｏｒ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ。ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｒｉｃｅ—ｐｉｌｅｍｏｄｅｌｓ
ｔｈｅｓｑｕａｒｅｌａｔｔｉｃｅ，ｗｈｉｃｈｈａｖｅｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ
ａ
ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
ａ
ｒｅ—
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ａｒｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｆｔｅｒｓｔｅａｄｙ
ｔｈｅ
ｓｔａｔｅ
ｓｈｏｒｔｔｒａｎｓｉｅｎｔｔｉｍｅ，ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｒｅａｃｈｅｓ
ｃｒｉｔｉｃａｌ
ｉｎｗｈｉｃｈａｖａｌａｎｃｈｅｓｏｆａｃｔｉｖｉｔｙａｒｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｐｏｗｅｒ．１ａｗ．Ｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
ｍｏｄｅｌａｎｄ
ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ
ｍｏｄｅｌａｒｅ
ｎｏｔｉｎｔｈｅ
ｓａｌｎｅ
ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙｃｌａｓｓ．Ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌａｖａｌａｎｃｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｓｏｆｔｈｅｄｅｔｅｒ－
ｍｉｎｉｓｔｉｃｍｏｄｅｌａｒｅ丁。＝１．０９±０．０２，，／－。＝１．１０±０．０２ａｎｄ下。＝１．１４±０．０２．Ａｎｄｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌａｖａｌａｎｅｈｅ
ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ
ｏｆｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｏｄｅｌａｒｅｒ。＝１．２５４－０．０２，ｒ。＝１．２９４－０．０２ａｎｄ１－。＝１．４０４－０．０２．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｌｆ－ｏｒｇａｎｉｚｅｄｃｒｉｔｉｃａｌｉｔｙ；ｐｏｗｅｒ—ｌａｗ；ｒｉｃｅ—ｐｉｌｅｍｏｄｅｌ
万方数据
洛阳师范学院学报２００８年第５期
・２９・
偶数阶幻方的构造方法及程序实现
黄绍龙，赵涛
（洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳４７１０２２）
摘要：本文主要介绍了偶数阶幻方的构造方法，并利用Ｊａｖａ语言设计出程序实现构造方
法．
关键词：偶数；幻方；构造；Ｊａｖａ中图分类号：ＴＰ３１１收稿日期：２００８—０４—０７
作者简介：黄绍龙（１９８０一），男，河南平顶山人，助教．
文献标识码：Ａ
文章编号：１００９—４７９０（２００８）０５—００２９—０４
０引言
的４×４元组结构．例如８阶幻方可分成４个上述结构（见图２），无圈的按自左至右、自上至下的顺序把１～６４个数填上，有圈处虚位以待；有圈的按自右至左、自下至上的顺序把１～６４个数填上，无圈处虚位以待．利用此法生成８阶幻方（见图３）．
幻方是曾经在欧洲广泛流行的一种古老的数学游戏．给定１，２，…，／７，２这些数字，要求把它排列成／７，Ｘｎ的方阵，并使得每一行、每一列和每一条
对角线上的ｎ个数字之和都是丛｝挈盟．我们
二
把这样的／７，阶方阵叫做ｎ阶幻方，每一行数字的和叫做幻方的和，简称幻和．幻方最早起源于我国的洛书河图，宋朝数学家杨辉称幻方为纵横
刚２｜．
奇数阶幻方可以利用卢培步法方便地构造，而偶数阶幻方需要使用特殊的方法来实现．
由于２阶的幻方不存在，所以将偶数阶幻方分为稚阶和４后＋２阶（ｋ＝１，２，３，…）两种情
况．
Ｘ
图２图３
１．２当／１．＝４ｋ＋２时幻方的构造
任何４后＋２阶幻方都可由２．｜｝＋１阶幻方与２２方块复合而成，６是此类型的最小阶．
以６阶幻方为例介绍此方法，３阶幻方（洛书）如图４所示．将每一单元格分成４等块，各小块的值与单元格的值相同，则行和、列和、对角和均为３０，（见图５）．记为方阵肘．用０，１，２，３组成的２×２的小方块拼成一个６
Ｘ
１偶数阶幻方的构造方法
１．１当／／，＝４七时幻方的构造
南宋末年数学家杨辉的“易换术”是４矗阶幻方的一种构造方法．以４阶幻方为例，构造方法可表述为：一十六子，排为四行，外角相更，内角互换‘１１（见图１）．
６的大方块，
使其行和、列和、对角和均为９，（见图６）．记为方阵Ⅳ．故６阶幻方为方阵Ｍ＋９Ｎ或４肘一Ⅳ
…，（见图７、图８）．
图１
图１（Ｃ）中数字可分为有圈型和无圈型．对任何４七阶幻方，可将其等分为ｋ２个图１（Ｃ）所示
图４
万方数据
图５
图６
・３０・
对于大于６阶的４Ｉｊ｝＋２阶幻方的构造是以６＋２阶方阵Ⅳ的核心是图６所示的６Ｘ６方阵，周Ｘ２方块组成：上半部分都是Ａ
＋１）２Ⅳ或４Ｍ—Ｎ均是４五＋２阶幻方（如图１１、
对于上述构造法，验证Ｍ十（２ｋ＋１）２，ｖ或
记Ｓ（。）为ｎ阶幻方的幻和，Ｓ’㈤为４．｜｝＋２阶７㈩为４尼＋２阶幻方对应方阵Ｊ７、ｒ行和（或列因为Ｓ’（Ⅳ１＝９＋６（ｋ—１）＝３（２ｋ＋１）
。，
ｏ（肘）２
ｚ×—————ｒ——一
．
（２ｋ＋１）【ｌ＋（２ｋ＋１）２】
＝（２ｋ＋Ｉ）３＋（２ｋ＋Ｉ）
Ｊ（４ｋ＋２）２—————ｒ——一
。
（４ｋ＋２）【ｌ＋（４ｋ＋２）２】
＝４（２ｋ＋１）３＋（２ｋ＋１）
万方数据
洛阳师范学院学报２００８年第５期
所有Ｓ７（椰＋（觋＋１）２・Ｓ７（肿
＝（２后＋１）３＋（２蠡＋１）
＋（２后＋１）２・３（２无＋１）
＝４（２蠡＋１）３＋（２后＋１）＝｜ｓ（舭＋２）
４Ｓ’（＿｝Ｉｆ）一Ｓ’（．１ｖ）＝４［（２蠡＋１）３＋（２后＋１）】一３（２ｋ＋１）
＝４（２ｋ＋１）３＋（２ｋ＋１）＝Ｓ（４Ｊ｝＋２）
观察两种形式的４｜ｊ｝＋２阶幻方，它们都是由１～（４ｋ＋２）２个数组成．若把它们如Ｍ中同值的
２
Ｘ
２方块为单位进行划分，则有如下规律．①１～（４ｋ＋２）２个数分为如下４组：
ｌ～（２ｋ＋１）２，（２ｋ＋１）２＋１～２（２ｋ＋１）２，
２（２忌＋１）２＋１—３（２ｋ＋１）２，３（２ｋ＋１）２＋１～
（４ｋ＋２）２．
肘＋（２ｋ＋１）２Ｎ是把２Ｘ２方块的每一小块的
数值对应每组第ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｉ（２ｋ＋１）ｚ）个数．
②１～（４ｋ＋２）２个数分为如下（２ｋ＋１）２
组：
１～４，５～８，９～１２，…，［（４磊＋２）２—３］一（４ｋ＋２）２
４Ｍ—Ｎ是把２
Ｘ
２方块的每一小块的数值对
应每组的４个连续自然数．
２程序设计
Ｊａｖａ语言具有动态分配数组空间的特点，设计出的程序可以由用户输入所求幻方的阶数，比使用ｃ语言实现更加方便．程序源代码及注释如
下‘３，４｜．
ｉｍｐｏｒｔ
ｊａｖａ．ｕｔｉｌ．Ｓｃａｎｎｅｒ；
ｐｕｂｌｉｃｃｌａｓｓＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ
｛／水ｍａｉｎ函数中要求用户输入幻方的阶数
并根据阶数的类型调用相应的幻方构造函数术／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄｍａｉｎ（Ｓｔｒｉｎｇ
ａｒｇｓ［］）
｛ｉｎｔａ［］［］；
Ｓｃａｎｎｅｒｉｎｐｕｔ＝ｎｅｗＳｃａｎｎｅｒ（Ｓｙｓｔｅｍ．ｉｎ）；
ｉｎｔ
ｋ＝ｉｎｐｕｔ．ｎｅｘｔＩｎｔ（）；
ａ＝ｎｅｗ
ｉｎｔ［ｋ＋Ｉ］［ｋ＋１］；
ｉｆ（ｋ＝＝２）Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（”Ｐｌｅａｓｅ
ｉｎ—
ｐｕｔ
ｋ！＝２．”）；／／不存在阶数为２的幻方
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｋ％２１＝０）ｏｄｄＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ａ，ｋ，１）；／／奇数阶幻方
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｋ％４ｔ－＝０）ｋ４ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ａ，ｋ）；／／４ｋ型幻方
ｅｌｓｅ
ｋ４２ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ａ，ｋ）；
／／４ｋ＋２型幻方
阶幻方为基础的，以１０阶幻方的构造过程说明步骤如下（圆括号中为１０阶幻方对应步骤的方阵）：①应用卢培步法生成２尼＋１阶幻方．（５阶幻方）；②幻方每一单元格分为４等块，各块的值与单元格值相同，记为方阵Ｍ（如图９）；③４ｋ围由四种类型的２型豳，下半部分都是Ｂ型困，左边中间是Ｃ型
因，右边中间是Ｄ型圈（如图１０）；④肘＋（２尼
１２、．
４Ｍ—Ｊ７、ｒ均是４．ｊ｝＋２阶幻方（ｋ＝１，２，３，…）如下：幻方对应方阵Ｍ行和（或列和、对角和，三者相等），．Ｓ和、对角和，三者相等）．
洛阳师范学院学报２００８年第５期
｝
／／输出幻方函数，参数是储存幻方的数组的名称
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄ
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ｉｎｔａｒｒａｙ［］［］）
｛ｆｏｒ（ｉｎｔ
ｒｏｗ＝１；ｒｏｗ＜ａｒｒａｙ．１ｅｎｇｔｈ；ｒｏｗ＋
＋）
｛ｆｏｒ（ｉｎｔｃｏｌｕｍｎ＝１；ｃｏｌｕｍｎ＜ａｒｒａｙ［ｒｏｗ］．
１ｅｎｇｔｈ；ｃｏｌｕｍｎ＋＋１
Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｆｆ（”％５ｄ”，ａｒｒａｙ［ｒｏｗ］
［ｃｏｌｕｍｎ］）；
Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（）；｝｝
／术阶数能被４整除的幻方构造函数，参数依次是储存幻方的数组的名称、幻方的阶数木／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄｋ４ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｉｎｔ
ａｒｒａｙ［］
［］，ｉｎｔｋ）
｛ｉｎｔｉ＿１，ｊ，ｃｌ＝１，ｃ２＝ｋ木ｋ；
ｗｈｉｌｅ（ｉ＜ｋ）｛ｊ＝ｌ；ｗｈｉｌｅ（ｊ＜ｋ１
｛ａｒｒａｙ［ｉ］ＥＪ］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋２］［ｊ＋２］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋３］［ｊ＋３］
＝ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ＋３］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋１］［ｊ＋２］＝ａ卜ｒａｙ［ｉ＋２］［ｊ＋１］＝ａｒｒａｙ［ｉ＋３］［ｊ］＝一ｌ；
ｊ＋＝４；｝
ｉ＋＝４：
｝／：一＝把４ｋ阶的看作ｋ２个４木４的方块，将主对角线和反对角线上的元素标记为一１米／
ｆｏｒ（ｉ＿１；ｉ＜＝ｋ；ｉ＋＋）ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ；ｊ＋＋）
｛ｉｆ（ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝＝０）ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＿ｃｌ；ｅｌｓｅａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝ｃ２；ｃｌ＋＋；ｃ２一一；｝／木标记为０的进行正向依次赋值ｊａｖａ在整型数组实例化时将所有元素初始值赋为０），标记为一１的进行反向依次赋值木／
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；｝
／水卢培步法求奇数阶幻方的函数，参数依次是储存幻方的数组的名称、幻方的阶数，标志位ｆｌａｇ（为１表示主函数直接调用求奇数阶幻方，为０表示ｋ４２ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ函数进行的调用）木／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄｏｄｄＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｉｎｔ
ａｒｒａｙ［］
［］，ｉｎｔ
ｋ，ｉｎｔ
ｆｌａｇ）
｛ｉｎｔｉ＝ｋ，ｊ＝（ｋ＋１）／２，Ｃ＝１；
ｗｈｉｌｅ（ｃ＜＝ｋ：Ｉｃｋ）．
｛ａｒｒａｙ［ｉ］ＥＪ］＝ｅ；万方数据
ｉｆ（ｃ％ｋ＝＝０）ｉ一＝１；
／／若Ｃ是ｋ的倍数，走卒步（向上走）
ｅｌｓｅ｛ｉ＋＝１；ｊ＋＝１；
／／若ｃ不是ｋ的倍数，走士步（向右下走）
ｉｆ（ｉ＞ｋ）ｉ－１；ｉｆ（ｊ＞ｋ）ｊ＝１；｝
ｉｆ（ｆｌａｇ＝＝１）ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；
｝
／＝．ｃ阶数被４除余２的幻方构造函数，参数依次是储存幻方的数组的名称、幻方的阶数木／
ｐｕｂｌｉｃｓｔａｔｉｃｖｏｉｄ
ｋ４２ＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｉｎｔａｒｒａｙ［］
［］，ｉｎｔｋ）
｛ｉｎｔａ［］［］＝ｎｅｗｉｎｔ［ｋ＋１］［ｋ＋１］，ｂ［］［］＝ｎｅｗｉｎｔ［ｋ＋１］［ｋ＋１］，ｍ［］［］＝ｎｅｗｉｎｔ［ｋ／２＋１］［ｋ／２＋１］，ｉ，ｊ；
ｏｄｄＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ（ｍ，ｋ／２，０）；ｆｏｒ（ｉ＝１；ｉ＜＝ｋ／２；ｉ＋＋）ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ／２；ｊ＋＋）
ａ［２术ｉ一１］［２：ｉ：ｊ—１］＝ａ［２术ｉ一１］［２术
ｊ］＝ａ［２术ｉ］［２术ｊ＿１］＝ａ［２术ｉ］［２术ｊ］＝ｍ［ｉ］［ｊ］；
／／由ｋ／２奇数阶幻方衍生出１比４的ｋ阶方阵Ｍ
ｉ＿１；ｊ＝１；
ｗｈｉｌｅ（ｉ＜ｋ）
｛ｊ＝１；
ｗｈｉｌｅ（ｊ＜ｋ）
｛ｉｆ（ｉ＜ｋ／２｜Ｉｉ＝＝ｋ／２＆＆（ｊ＝＝ｋ／２＋２ｌＩｊ＝＝ｋ／２—２）｜Ｉｉ－＝ｋ／２＋２＆＆ｊ＝＝ｋ／２）
／／上半部分Ａ型１２３０
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝１．ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝２．ｂ［ｉ＋１］［ｊ］＝３；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝ｏ；｝
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｉ＝＝ｋ／２＆＆ｊ＜ｋ／２—２１
／／左半部分Ｃ型３１０２
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝３；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝１；ｂ［ｉ＋１］
［ｊ］＝０．ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝２；｝
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｉ－＝ｋ／２＆＆ｊ＞ｋ／２＋２）
／／右半部分Ｄ型２０１３
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝２；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝０；ｂ［ｉ＋１］
［ｊ］＝１；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝３；｝
ｅｌｓｅ
ｉｆ（ｉ＝＝ｋ／２＆＆ｊ＝＝ｋ／２
ｉ＝＝ｋ／２
＋２＆＆（ｊ＝＝ｋ／２＋２Ｉｌｊ＝＝ｋ／２—２））
／／６，Ｉｃ
６核心中央和两足１２０３
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝１；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝２；ｂ［ｉ＋１］
・３２・
洛阳师范学院学报２００８年第５期
［ｊ］＝０；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝３；｝
ｅｌｓｅ／／下半部分Ｂ型２１０３
｛ｂ［ｉ］［ｊ］＝２；ｂ［ｉ］［ｊ＋１］＝１；ｂ［ｉ＋１］
［ｊ］＝０；ｂ［ｉ＋１］［ｊ＋１］＝３；｝
ｊ＋＝２；
３结论
均衡是幻方的特点，因此均衡的思想也必然贯穿于幻方构造过程的始终．幻方独特的结构使人着迷，而借助于计算机程序设计语言，可以使人们以更加方便和快捷的方式去观察、了解和认识幻方的奥秘．
参考文献
［１］欧阳录．幻方与幻立方的当代理论［Ｍ］．长沙：湖南
教育出版社，２００４．
［２］屈婉玲．组合数学［Ｍ］．北京：北京大学出版社，１９８９．［３］印曼．Ｊａｖａ语言与面向对象程序设计［Ｍ］．北京：清华
大学出版社，２０００．
｝
ｉ＋＝２：
｝／／构造方阵Ⅳ
ｆｏｒ（ｉ＝１；ｉ＜＝ｋ；ｉ＋＋）
ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ；ｊ＋＋）
ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝４术ａ［ｉ］［ｊ］一ｂ［ｉ］
［Ｊ］；／／４Ｍ—Ｎ幻方形式
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；
Ｓｙｓｔｅｍ．ｏｕｔ．ｐｒｉｎｔｌｎ（）
／／两种幻方输出时中间隔一行；
ｆｏｒ（ｉ＝ｌ；ｉ＜＝ｋ；ｉ＋＋）ｆｏｒ（ｊ＝１；ｊ＜＝ｋ；ｊ＋＋）
［４］Ｈ．Ｍ．Ｄｅｉｔｅｌ．ＳｍａｌｌＪａｖａＨｏｗ
ｔｏ
Ｐｒｏｇａｍ［Ｍ］．北京：电
ａｒｒａｙ［ｉ］［ｊ］＝ａ［ｉ］［ｊ］＋（ｋ／２）术（ｋ／２）
木ｂ［ｉ］［ｊ］；／／Ｍ＋（ｋ／２）２Ｎ幻方形式
ｏｕｔｐｕｔＡｒｒａｙ（ａｒｒａｙ）；
子工业出版社，２００５．
ＭｅｔｈｏｄｏｆＳｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄＰｒＯｇｒａｍｏｆＥｖｅｎＯｒｄｅｒＭａｇｉｃＳｑｕａｒｅ
ＨＵＡＮＧＳｈａｏ—ｌｏｎｇ，ＺＨＡＯＴａｏ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ
ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＬｕｏｙａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ４７１０２２，Ｃｈｉｎａ）
ｅｖｅｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｅｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｉｎＪａｖａｆｏｒｔｈｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓｇｉｖｅｎ．
ｏｒｄｅｒｍａｇｉｃｓｑｕａｒｅ．Ａｎｄｔｈｅｐｒｏｇｒａｍ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｖｅｎ；ｍａｇｉｃｓｑｕａｒｅ；ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；Ｊａｖａ
（上接第２５页）
［９］Ｍｉｌｓｈｔｅｉｎ
Ｃｌａｓｓｅｓｉｎ
Ｅ，ＢｉｈａｍＯ，ａｎｄＳｏｌｏｍｏｎＳ．ＵｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙＩｓｏｔｒｏｐｉｃ，Ａｂｅｌｉａｎ，ａｎｄ
Ｎｏｎ—Ａｂｅｌｉａｎ
Ｓａｎｄｐｉｌｅ
Ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ
Ｒｅｖ
Ｅ，１９９８，５８（１）：
３０３—３１０．
ＵｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙＣｌａｓｓｅｓｉｎＴｗｏ－・ＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＳｅｌｆ・－ＯｒｇａｎｉｚｅｄＣｄｔｉｃａｌＲｉｃｅ・－ＰｉｌｅＭｏｄｅｌｓ
ＳＵＮＨｏｎｇ－Ｚｈａｎｇ；ＴＡＮＧＺｈｅｎｇ・Ｘｉｎ；ＬＩＵＬｉｅ；ＬＩＵＧａｎｇ；ＳＵＸｉａｎｇ—ｒｉｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＨｅｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｕｏｙａｎｇ
ｏｎ
４７１００３，Ｃｈｉｎａ）
ｏｒ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ。ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｒｉｃｅ—ｐｉｌｅｍｏｄｅｌｓ
ｔｈｅｓｑｕａｒｅｌａｔｔｉｃｅ，ｗｈｉｃｈｈａｖｅｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ
ａ
ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
ａ
ｒｅ—
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ａｒｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ａｆｔｅｒｓｔｅａｄｙ
ｔｈｅ
ｓｔａｔｅ
ｓｈｏｒｔｔｒａｎｓｉｅｎｔｔｉｍｅ，ｔｈｅｓｙｓｔｅｍｒｅａｃｈｅｓ
ｃｒｉｔｉｃａｌ
ｉｎｗｈｉｃｈａｖａｌａｎｃｈｅｓｏｆａｃｔｉｖｉｔｙａｒｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｐｏｗｅｒ．１ａｗ．Ｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ
ｍｏｄｅｌａｎｄ
ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ
ｍｏｄｅｌａｒｅ
ｎｏｔｉｎｔｈｅ
ｓａｌｎｅ
ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙｃｌａｓｓ．Ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌａｖａｌａｎｃｈｅｅｘｐｏｎｅｎｔｓｏｆｔｈｅｄｅｔｅｒ－
ｍｉｎｉｓｔｉｃｍｏｄｅｌａｒｅ丁。＝１．０９±０．０２，，／－。＝１．１０±０．０２ａｎｄ下。＝１．１４±０．０２．Ａｎｄｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌａｖａｌａｎｅｈｅ
ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ
ｏｆｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｍｏｄｅｌａｒｅｒ。＝１．２５４－０．０２，ｒ。＝１．２９４－０．０２ａｎｄ１－。＝１．４０４－０．０２．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｅｌｆ－ｏｒｇａｎｉｚｅｄｃｒｉｔｉｃａｌｉｔｙ；ｐｏｗｅｒ—ｌａｗ；ｒｉｃｅ—ｐｉｌｅｍｏｄｅｌ
万方数据