关于函数极限及其不等式性质的思考

2004年9月渭南师范学院学报Sept.2004　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第19卷第5期JournalofWeinanTeachersCollegeVol.19　No.5

关于函数极限及其不等式性质的思考

牛怀岗,赵正波

(渭南师范学院,陕西渭南714000)

摘　要:讨论了函数概念引入的合理方法,;的关系进行了讨论,得到极限的这个性质的本质.

关键词:极限;一阶谓词;性质

中图分类号:O159　　　-5128(2004)05-0049-04

收稿日期:2004—04—,渭南师范学院学报编辑部编辑;赵正波(1966—),男,陕西华县人,渭南师作者简介:.

在数学分析中,极限的概念是最基本的概念之一,而数学分析的根本任务就是用极限工具来研究函数的分析性质(即连续性、可导性、可积性),而极限的性质大大简化了研究的过程.这里我们对极限的概念和性质在逻辑的基础上进行进一步整理,使得这个概念和性质更加形式化,更加简练和易于操作.

1　极限的概念

极限的概念分为数列的极限、函数的极限和多元函数的极限.而数列的极限是函数极限的前期工作,函数极限是研究函数的分析性质的工具,对于多元函数来说,可导性(偏导数、方向导数)和可积性(重积分)也是通过函数极限(导数和函数极限)来讨论的,多元函数的连续性虽然是用多元函数的极限来定义的,但是其主要结论是通过一元函数的连续性实现的,因而函数极限在研究函数或多元函数的分析性质上起着重要作用,而多元函数的极限重要性明显降级,因而我们也是把重点放在函数极限和数列极限上.函数极限和数列极限有某些共性,在概念的叙述和性质的讨论上是类似的.这里我们把数列的极限和函数的极限归结在一起研究.

1.1　函数极限的概念

我们以x趋于x0时的函数极限为例说明,例如文[1]中用“当x趋于x0(x≠x0)时,对应的函数值能否趋于某个定数A”引入讨论,然后直接给出函数极限的精确定义.显然,没有从实际问题或具体函数对象来分析引入这个描述的意义.因而导致函数极限概念的理解始终是一个难点.教材中的本意是借助数列极限和x趋于∞时函数的极限类推出来,但是没有道明其中的关系,因而这种不明也造成理解上的难点.更给以后的其它种类型极限的定义形式进行类推写出定义和应用造成同样的困难.下面我们对照数列极限的概念分五个步骤引入对这个概念实现的过程的叙述:

(1)由实际问题引入数列{1/2n},而且在具体问题中用到了n的无限增大的现实意义,这时导致此数列通项1/2n无限接近于0,抽象出来对于数列{an}满足一种性质“当n无限增大时,an无限的接近于某一个实数a”;

(2)上述性质可以用语言“在当n充分大时,数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小”描述;(3)用ε-N”语言描述为“:对于任意的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,有|an-a|

(4)满足上述性质的数列{an}与常数a记为:Liman=a;n→∞

(5)读作“当n趋于∞时,an趋于a”.

(2)、(5)是语言描述,而(3)、(4)是概念的叙述,是数学形式化语言.并且(1)、(2)、上述描述中,(1)、

(3)是对性质的等价描述,满足上述条件的数列和(4)、(5)是等价的.我们通过上述比较函数极限概念的引

(5)两个步骤是相反的.到底这两个步骤是因为什么原因相反,还是它们的概念本身有什入可以看出(3)、

么不同?

(5)两个步骤明显表明两个步骤之间是先有(3)的条件的满足而后有(4)、(5)的记数列极限的这(3)、

　牛怀岗,等:关于函数极限及其不等式性质的思考　　　　　　　　　　　第19卷・　　　　　　　　　　　　　　50・

(5)两个步骤改变次序的做法是不合适的,因为应该是先有定义式,再号和读法.很明显,函数极限把(3)、

(2)步的做法,然后引入函数极限的定义,即有记号、读法.因而函数概念的引入也应该先有(1)、“当自变量

x无限接近x0时,函数f(x)无限的接近常数A”“,当x与x0之差的绝对值充分小时,函数f(x)与常数

ε-δA之差的绝对值可以任意小”,再有步骤⑶引入“”语言定义,然后是记号和读法.

1.2　其它类型的极限由自变量的变化不同和函数的变化不同,函数的极限、数列极限和无穷大量共有种类型,为了叙述

ε-δ方便,我们把它们简称为函数极限的各种类型,而它们的所有定义形式,“”定

义.我们通过自变量的变化趋势(可以用→表示):

表1　(1)

x→x0(2)x→x0+(3)x→x-(+)-∞6)x→∞(7)n→∞

2　函数的变化趋势

F(x)an)→AⅡⅢⅣF(x)(或an)→∞F(x)(或an)→+∞F(x)(或an)→-∞

(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)和表2Ⅰ、我们把表1中的(1)、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ各取一个变化趋势放在一起构成

一种类型的极限的语言表示(读法),然后写成记号(极限记号),最后写出它们的定义.

表中任何自变量的趋向(但不相等)都可以用不等式(或邻域)来表示,如表3.

表3

x→x0x→x0+x→x0-x→+∞

x>Mx→-∞x>-Mx→∞n→∞n>N0M

　　表中任何函数趋向都可以用不等式(或邻域)来表示,如表4.

表4

F(x)(或an)→AF(x)(或an)→+∞F(x)(或an)→-∞

f(x)>Gf(x)>-GF(x)(或an)→∞ε|f(x)-A|→

表3、表4中ε,δ,M,G都是正数.|f(x)|>G

我们把写出极限的定义分两步完成:

表5

(1)

(2)Π函数的变化标准Π函数的变化标准留空处写自变量的变化要求填写自变量的变化要求函数的变化要求函数的变化要求

例如把(1)、Ⅱ结合得到的极限类型读作“当x→x0时,f(x)→+∞”,记作Limf(x)=+∞,它表示n→∞

的G-δ定义形式分两步完成:

第一步,我们先把函数的趋向转化为不等式,中间留下空处写自变量的趋向,即

ΠG>0,,f(X)>G,

第二步,把自变量的变化趋势转化为不等式,添在空处,即

ΠG>0,|G,

所以得到“当x→x0时,f(x)→+∞”的定义.把记号与G-δ定义形式连接起来,即

Limf(x)=+∞Ζf(x)满足:ΠG>0,当0G.n→∞

ε-δ上述方法可以写在一行完成,这样我们就很容易的写出函数极限的各种类型的“”定义,通过上

述步骤完成.

2004年第5期　　　　　　　　　　　　　　　　渭南师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・51・2　极限的不等式性质

函数极限的性质有:唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则等.唯一性是用来保证我们求出的极限的确定性,局部有界性、局部保号性是用在四则运算证明过程中,迫敛性、四则运算法则是用在极限的计算中1极限的计算是极限作为工具处理问题的基础,保不等式性只是在以后的理论中一些很小的问题中才会用到,这个保不等式性和其它一些性质的作用是不能比的,那么把它们并列在一起又是什么意图?下面我们对这个保不等式性进行分析,.

,而且使得其性质的讨论也有类似地方法和结果,,对于其它类型的极限有类似的结论.

2.1　极限的不等式性质

通常的数学分析教材(例如文[1]),,都是先在性质中证明了保不等式性质,即:

命题1　设{an}bn.若存在正数N0,使得当n>N0时,有an≤bn,则Liman≤Limn→∞n→∞bn

然后,:

命题2　设Liman=a,Limbn=b,且aN时,有an

　　从形式上来看,二者之间似乎存在某种关系,即就是好象是逆否的关系.但是,书中并没有讲明,因而它们之间并不是逆否命题的关系,否则作为数学的完美性标准,一定会指明的.那么,它们之间是否有关系?它们的关系到底是什么?为此,我们把上述的命题1、2及保号性统称为极限的不等式性质,下面进行讨论.

2.2　一阶语言中的命题的否定

为了说明上述问题,我们这里先对一阶谓词作一些说明.现在,随着命题演算(命题逻辑)和一阶谓词演算(谓词逻辑)的广泛学习和应用,使得诸如此类的证明问题变得更加容易讨论.而这两个命题的证明和它们之间关系的讨论没有超出命题演算和一阶谓词演算,即可以由命题演算和一阶谓词演算来完成.一般的命题演算和一阶谓词演算系统在各种离散数学教材[2]和数理逻辑教材[3]中都可以找到.这里我们只对起关键作用的一阶谓词演算中的命题的否定叙述如下:

3)┐B,其中,B是公式,当Pi为量词Πxi时,Pi3为若A=(P1)……(Pn)B,则┐A=(P13)……(Pn

ϖxi量词;当Pi为量词ϖxi时,Pi3为量词Πxi;(i=1,…,n).

2.3　不等式性质及保号性的关系

在大前提Liman=a,Limbn=b都存在的条件之下,命题2的成立可以推得命题1成立,即a

涵“存在正数N,使得当n>N时有an

所以“存在正数N,使得当n>N时有anN使得an≥bn”成立蕴涵a≥b.而命题1中的条件中,把an和bn互换则有:00

(即存在正数N0,使得当n>N0时有an≥bn,满足条件“对于任意正数N,存在n0>N时有an≥bn”

对于任意正数N>N0,只要取n0=[N]+1即可),

所以有Liman≥Limbn.n→∞n→∞

另外,由命题2可以得到数列极限的保号性性:

若Liman=a>0(a

r}),则由rN0时有an>r>0(an

3　结束语

由以上的讨论可以知道,命题1的成立可以看作命题2的逆否命题的一个应用,因而命题2的成立蕴涵了命题1的成立;同时保号性性质也可以作为命题2的一个推论,这充分说明命题2的结论比命题1好.从另一个方面命题2的结果和数列极限的其它几个性质相比较,在几何意义上也是相同的,在数列收敛时,无数多个点集中在极限点的任意(小)的一个邻域内,而之外最多只有有限个点,即由这一个极限点

　牛怀岗,等:关于函数极限及其不等式性质的思考　　　　　　　　　　　第19卷・　　　　　　　　　　　　　　52・

的有界性决定了无数个点(整个数列)的有界性;由这一个极限点的保号性决定了无数个点(存在正数N0,使得当n>N0时)的保号性;由这一个极限点的不等式决定了无数个点(存在正数N0,使得当n>N0时)的不等式性质.

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]李盘林,李丽双,李　洋,等.离散数学[M].北京:高等教育出版社,1999.

[3]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].北京:科学出版社[责任编辑　詹歆睿]

OnandItsInequality

N2gang,ZHAOZheng2bo

WeinanTeachersCollege,714000Weinan,China)

Abstract:Themethodoffunctionalconceptisintroducedhere,andformulizedmethodforwritingalltypesoffunctionlimitsisgiventoo.Therelationoflimitpropertyofinequalityisdiscussedandthenatureofobtainingthispropertyispro2vided.

KeyWords:limit;firstorderpredicate;property

(上接第48页)

低于种群y对x产生的环境替b

代量时,最终种群x趋于其环境容纳量,种群y趋于灭绝;当ace>bd时,x的环境容纳量高于种群cebb

y对x产生的环境替代量时,两种群互相不能构成威胁,于是两种群都将保存下来而不会绝灭.ce条件ace

参考文献:

[1]杨秀香1离散系统的两种群同时捕获的最优化问题[J].工程数学学报,2004,21(1):81～851

[2]徐胜林,肖冬梅1一类捕食与被捕食系统的定性分析[J]1华中师范大学报报(自然科学版),1999,33(1):11～151

[3]毛　凯,李日华1种群竞争模型的稳定性分析[J].生物数学学报,1999,14(3):288～2921

[4]王　联,王慕秋1常差分方程[M].乌鲁木齐:新疆大学出版社,19911275～2921

[5]马知恩1种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996141～451

[6]姜启源1数学模型[M].北京:高等教育出版社,19931185～2171

[责任编辑　牛怀岗]

StabilityAnalysisofthePredator2PreyDiscreteModelwith

FunctionalResponse

YANGXiu2xiang

(DepartmentofMathematics,WeinanTeachersCollege,714000Weinan,China)

Abstract:Applyingthestabilityofthediscretedifferentialequations,aspeciesofpredator2preymodelwithfunctionalre2sponseisconsidered.Itprovesthatthemodelhasauniquestablepositiveequilibriumpointandasymptoticstabilityoftwoequilib2riumpointsinsomeparametricrangeandthusecologicallyobtainsnecessaryconditionsforthepersistentsurvivaloftwospeciesofpredator2prey.

KeyWords:predator2prey;discretemodel;equilibriumpoint;stability

2004年9月渭南师范学院学报Sept.2004　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第19卷第5期JournalofWeinanTeachersCollegeVol.19　No.5

关于函数极限及其不等式性质的思考

牛怀岗,赵正波

(渭南师范学院,陕西渭南714000)

摘　要:讨论了函数概念引入的合理方法,;的关系进行了讨论,得到极限的这个性质的本质.

关键词:极限;一阶谓词;性质

中图分类号:O159　　　-5128(2004)05-0049-04

收稿日期:2004—04—,渭南师范学院学报编辑部编辑;赵正波(1966—),男,陕西华县人,渭南师作者简介:.

在数学分析中,极限的概念是最基本的概念之一,而数学分析的根本任务就是用极限工具来研究函数的分析性质(即连续性、可导性、可积性),而极限的性质大大简化了研究的过程.这里我们对极限的概念和性质在逻辑的基础上进行进一步整理,使得这个概念和性质更加形式化,更加简练和易于操作.

1　极限的概念

极限的概念分为数列的极限、函数的极限和多元函数的极限.而数列的极限是函数极限的前期工作,函数极限是研究函数的分析性质的工具,对于多元函数来说,可导性(偏导数、方向导数)和可积性(重积分)也是通过函数极限(导数和函数极限)来讨论的,多元函数的连续性虽然是用多元函数的极限来定义的,但是其主要结论是通过一元函数的连续性实现的,因而函数极限在研究函数或多元函数的分析性质上起着重要作用,而多元函数的极限重要性明显降级,因而我们也是把重点放在函数极限和数列极限上.函数极限和数列极限有某些共性,在概念的叙述和性质的讨论上是类似的.这里我们把数列的极限和函数的极限归结在一起研究.

1.1　函数极限的概念

我们以x趋于x0时的函数极限为例说明,例如文[1]中用“当x趋于x0(x≠x0)时,对应的函数值能否趋于某个定数A”引入讨论,然后直接给出函数极限的精确定义.显然,没有从实际问题或具体函数对象来分析引入这个描述的意义.因而导致函数极限概念的理解始终是一个难点.教材中的本意是借助数列极限和x趋于∞时函数的极限类推出来,但是没有道明其中的关系,因而这种不明也造成理解上的难点.更给以后的其它种类型极限的定义形式进行类推写出定义和应用造成同样的困难.下面我们对照数列极限的概念分五个步骤引入对这个概念实现的过程的叙述:

(1)由实际问题引入数列{1/2n},而且在具体问题中用到了n的无限增大的现实意义,这时导致此数列通项1/2n无限接近于0,抽象出来对于数列{an}满足一种性质“当n无限增大时,an无限的接近于某一个实数a”;

(2)上述性质可以用语言“在当n充分大时,数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小”描述;(3)用ε-N”语言描述为“:对于任意的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,有|an-a|

(4)满足上述性质的数列{an}与常数a记为:Liman=a;n→∞

(5)读作“当n趋于∞时,an趋于a”.

(2)、(5)是语言描述,而(3)、(4)是概念的叙述,是数学形式化语言.并且(1)、(2)、上述描述中,(1)、

(3)是对性质的等价描述,满足上述条件的数列和(4)、(5)是等价的.我们通过上述比较函数极限概念的引

(5)两个步骤是相反的.到底这两个步骤是因为什么原因相反,还是它们的概念本身有什入可以看出(3)、

么不同?

(5)两个步骤明显表明两个步骤之间是先有(3)的条件的满足而后有(4)、(5)的记数列极限的这(3)、

　牛怀岗,等:关于函数极限及其不等式性质的思考　　　　　　　　　　　第19卷・　　　　　　　　　　　　　　50・

(5)两个步骤改变次序的做法是不合适的,因为应该是先有定义式,再号和读法.很明显,函数极限把(3)、

(2)步的做法,然后引入函数极限的定义,即有记号、读法.因而函数概念的引入也应该先有(1)、“当自变量

x无限接近x0时,函数f(x)无限的接近常数A”“,当x与x0之差的绝对值充分小时,函数f(x)与常数

ε-δA之差的绝对值可以任意小”,再有步骤⑶引入“”语言定义,然后是记号和读法.

1.2　其它类型的极限由自变量的变化不同和函数的变化不同,函数的极限、数列极限和无穷大量共有种类型,为了叙述

ε-δ方便,我们把它们简称为函数极限的各种类型,而它们的所有定义形式,“”定

义.我们通过自变量的变化趋势(可以用→表示):

表1　(1)

x→x0(2)x→x0+(3)x→x-(+)-∞6)x→∞(7)n→∞

2　函数的变化趋势

F(x)an)→AⅡⅢⅣF(x)(或an)→∞F(x)(或an)→+∞F(x)(或an)→-∞

(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)和表2Ⅰ、我们把表1中的(1)、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ各取一个变化趋势放在一起构成

一种类型的极限的语言表示(读法),然后写成记号(极限记号),最后写出它们的定义.

表中任何自变量的趋向(但不相等)都可以用不等式(或邻域)来表示,如表3.

表3

x→x0x→x0+x→x0-x→+∞

x>Mx→-∞x>-Mx→∞n→∞n>N0M

　　表中任何函数趋向都可以用不等式(或邻域)来表示,如表4.

表4

F(x)(或an)→AF(x)(或an)→+∞F(x)(或an)→-∞

f(x)>Gf(x)>-GF(x)(或an)→∞ε|f(x)-A|→

表3、表4中ε,δ,M,G都是正数.|f(x)|>G

我们把写出极限的定义分两步完成:

表5

(1)

(2)Π函数的变化标准Π函数的变化标准留空处写自变量的变化要求填写自变量的变化要求函数的变化要求函数的变化要求

例如把(1)、Ⅱ结合得到的极限类型读作“当x→x0时,f(x)→+∞”,记作Limf(x)=+∞,它表示n→∞

的G-δ定义形式分两步完成:

第一步,我们先把函数的趋向转化为不等式,中间留下空处写自变量的趋向,即

ΠG>0,,f(X)>G,

第二步,把自变量的变化趋势转化为不等式,添在空处,即

ΠG>0,|G,

所以得到“当x→x0时,f(x)→+∞”的定义.把记号与G-δ定义形式连接起来,即

Limf(x)=+∞Ζf(x)满足:ΠG>0,当0G.n→∞

ε-δ上述方法可以写在一行完成,这样我们就很容易的写出函数极限的各种类型的“”定义,通过上

述步骤完成.

2004年第5期　　　　　　　　　　　　　　　　渭南师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・51・2　极限的不等式性质

函数极限的性质有:唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、迫敛性、四则运算法则等.唯一性是用来保证我们求出的极限的确定性,局部有界性、局部保号性是用在四则运算证明过程中,迫敛性、四则运算法则是用在极限的计算中1极限的计算是极限作为工具处理问题的基础,保不等式性只是在以后的理论中一些很小的问题中才会用到,这个保不等式性和其它一些性质的作用是不能比的,那么把它们并列在一起又是什么意图?下面我们对这个保不等式性进行分析,.

,而且使得其性质的讨论也有类似地方法和结果,,对于其它类型的极限有类似的结论.

2.1　极限的不等式性质

通常的数学分析教材(例如文[1]),,都是先在性质中证明了保不等式性质,即:

命题1　设{an}bn.若存在正数N0,使得当n>N0时,有an≤bn,则Liman≤Limn→∞n→∞bn

然后,:

命题2　设Liman=a,Limbn=b,且aN时,有an

　　从形式上来看,二者之间似乎存在某种关系,即就是好象是逆否的关系.但是,书中并没有讲明,因而它们之间并不是逆否命题的关系,否则作为数学的完美性标准,一定会指明的.那么,它们之间是否有关系?它们的关系到底是什么?为此,我们把上述的命题1、2及保号性统称为极限的不等式性质,下面进行讨论.

2.2　一阶语言中的命题的否定

为了说明上述问题,我们这里先对一阶谓词作一些说明.现在,随着命题演算(命题逻辑)和一阶谓词演算(谓词逻辑)的广泛学习和应用,使得诸如此类的证明问题变得更加容易讨论.而这两个命题的证明和它们之间关系的讨论没有超出命题演算和一阶谓词演算,即可以由命题演算和一阶谓词演算来完成.一般的命题演算和一阶谓词演算系统在各种离散数学教材[2]和数理逻辑教材[3]中都可以找到.这里我们只对起关键作用的一阶谓词演算中的命题的否定叙述如下:

3)┐B,其中,B是公式,当Pi为量词Πxi时,Pi3为若A=(P1)……(Pn)B,则┐A=(P13)……(Pn

ϖxi量词;当Pi为量词ϖxi时,Pi3为量词Πxi;(i=1,…,n).

2.3　不等式性质及保号性的关系

在大前提Liman=a,Limbn=b都存在的条件之下,命题2的成立可以推得命题1成立,即a

涵“存在正数N,使得当n>N时有an

所以“存在正数N,使得当n>N时有anN使得an≥bn”成立蕴涵a≥b.而命题1中的条件中,把an和bn互换则有:00

(即存在正数N0,使得当n>N0时有an≥bn,满足条件“对于任意正数N,存在n0>N时有an≥bn”

对于任意正数N>N0,只要取n0=[N]+1即可),

所以有Liman≥Limbn.n→∞n→∞

另外,由命题2可以得到数列极限的保号性性:

若Liman=a>0(a

r}),则由rN0时有an>r>0(an

3　结束语

由以上的讨论可以知道,命题1的成立可以看作命题2的逆否命题的一个应用,因而命题2的成立蕴涵了命题1的成立;同时保号性性质也可以作为命题2的一个推论,这充分说明命题2的结论比命题1好.从另一个方面命题2的结果和数列极限的其它几个性质相比较,在几何意义上也是相同的,在数列收敛时,无数多个点集中在极限点的任意(小)的一个邻域内,而之外最多只有有限个点,即由这一个极限点

　牛怀岗,等:关于函数极限及其不等式性质的思考　　　　　　　　　　　第19卷・　　　　　　　　　　　　　　52・

的有界性决定了无数个点(整个数列)的有界性;由这一个极限点的保号性决定了无数个点(存在正数N0,使得当n>N0时)的保号性;由这一个极限点的不等式决定了无数个点(存在正数N0,使得当n>N0时)的不等式性质.

参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]李盘林,李丽双,李　洋,等.离散数学[M].北京:高等教育出版社,1999.

[3]王国俊.数理逻辑引论与归结原理[M].北京:科学出版社[责任编辑　詹歆睿]

OnandItsInequality

N2gang,ZHAOZheng2bo

WeinanTeachersCollege,714000Weinan,China)

Abstract:Themethodoffunctionalconceptisintroducedhere,andformulizedmethodforwritingalltypesoffunctionlimitsisgiventoo.Therelationoflimitpropertyofinequalityisdiscussedandthenatureofobtainingthispropertyispro2vided.

KeyWords:limit;firstorderpredicate;property

(上接第48页)

低于种群y对x产生的环境替b

代量时,最终种群x趋于其环境容纳量,种群y趋于灭绝;当ace>bd时,x的环境容纳量高于种群cebb

y对x产生的环境替代量时,两种群互相不能构成威胁,于是两种群都将保存下来而不会绝灭.ce条件ace

参考文献:

[1]杨秀香1离散系统的两种群同时捕获的最优化问题[J].工程数学学报,2004,21(1):81～851

[2]徐胜林,肖冬梅1一类捕食与被捕食系统的定性分析[J]1华中师范大学报报(自然科学版),1999,33(1):11～151

[3]毛　凯,李日华1种群竞争模型的稳定性分析[J].生物数学学报,1999,14(3):288～2921

[4]王　联,王慕秋1常差分方程[M].乌鲁木齐:新疆大学出版社,19911275～2921

[5]马知恩1种群生态学的数学建模与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996141～451

[6]姜启源1数学模型[M].北京:高等教育出版社,19931185～2171

[责任编辑　牛怀岗]

StabilityAnalysisofthePredator2PreyDiscreteModelwith

FunctionalResponse

YANGXiu2xiang

(DepartmentofMathematics,WeinanTeachersCollege,714000Weinan,China)

Abstract:Applyingthestabilityofthediscretedifferentialequations,aspeciesofpredator2preymodelwithfunctionalre2sponseisconsidered.Itprovesthatthemodelhasauniquestablepositiveequilibriumpointandasymptoticstabilityoftwoequilib2riumpointsinsomeparametricrangeandthusecologicallyobtainsnecessaryconditionsforthepersistentsurvivaloftwospeciesofpredator2prey.

KeyWords:predator2prey;discretemodel;equilibriumpoint;stability