第8章 投资的一般原理
投资的一般原理主要体现在以下两点：(1)通过使用诸如期望值与方差等手段直接进行评估现金流；(2)通过将随机现金流量简化为其他已经评估过的现金流量的组合进行间接评估。
8．1 效用函数
假设目前你有许多不同的投资机会，这些投资机会将影响到未来你的财富价值。一旦你决定了如何在这些投资机会中分配现有资金，那么你的未来财富将由相应的随机变量确定。如果所有投资机会的收益是确定的，则很容易进行投资选择，即选择产生最大财富的投资机会。但是，在一般的随机情形下，对于投资机会的选择并非如此显而易见，你需要一定的程序来对随机的财富水平进行排列。效用函数恰好提供了这样一种程序。
通常效用函数U 定义在实数域上(代表可能的财富水平) ，并且其函数值为实数。一旦定义了效用函数，则所有可替代的随机变量——财富水平将通过评价它们的期望效用值来进行排序。不同的投资者有不同的效用函数，它随着投资者的风险承受能力与财务状况的变化而变化。
对于效用函数有一个一般性限制：它必须是一个连续增函数。即，如果x 与y (非随机) 为实数值，则当x >y 时，U (x ) >U (y ) 。下面介绍一些最常用的效用函数，如图8．1所示。
8．1．1 常见的效用函数
1．负指数效用函数。
U (x ) =−e −ax (8.1)
其中a 为大于零的某一参数。注意这个效用函数的值为负。由于对于效用函数而言只有相对值是重要的，因此，这里函数值是正是负并无关系。
2．对数效用函数。
U (x ) =ln x (8.2)
注意该效用函数仅当x >0时才有定义。当x ≈0时，该效用函数具有一个显著的负激励。
3．幂效用函数。
U (x ) =1b x (8.3) b
其中b ≤1，且b ≠0的某一参数。这一效用函数族包括风险中性效用(b＝1) 。
4．二次效用函数。
1U (x ) =x −bx 2 (8.4) 2
其中b >0。注意这一函数仅当x
图8．1 一些常用的效用函数
8．1．2 等价效用函数
由于效用函数被用来提供可替代性投资项目的排序，因而它的真实数值并没有意义。关键问题是当计算一项预期效用时如何对它进行排序。很显然效用函数可以通过某种简单的方式加以修改而并不改变它所提供排列顺序。
通常地，给定一个效用函数U (x ) ，任何具有下面形式的函数：
V (x ) =aU (x ) +b (8.5)
都是原效用函数U (x ) 的等价效用函数。等价效用函数所给出的排序与原效用函数完全相同。
8．2 风险厌恶
效用函数的主要目的是对于遵从风险厌恶的可替代性投资项目提供一个系统的排序方式。只要效用函数是凹的，则排序就可以完成。我们正式写下这个定义：
凹效用函数与风险厌恶：定义在实数区间[a , b ]上的函数U ，如果对于任意 0≤α≤1以及区间[a , b ]上的任意x , y 满足：
U [αx +(1−α) y ]≥αU (x ) +(1−α) U (y )
UE (X ) ≥EU (X ) (8.6)
则称该函数为凹函数。如果效用函数U 在[a , b ] 上是凹的，则称该函数在区间[a , b ]上是风险厌恶的。如果U 处处都是凹的，则称U 是风险厌恶的。通常我们对于U 为严格的凹函数时，即(8.6)式中的表达式对于任何x ≠y 为严格的不等式时，使用风险厌恶一词。
图8．2解释了这一定义。图中显示了一个凹的效用函数。为考察它的凹性，我们任取两点x , y 以及α,0≤α≤1。点x *=αx +(1−α) y 为x 与y 的加权平均，因此x *位于x 与y 之间。函数在点x *的值大于连接两函数值U (x ), U
(y ) 的直线在该点的值。一般地，凹性的条件为连接函数上任意两点的直线必须位于该函数图形以下或是该函数各图形之上。简而言之，递增凹函数的斜率随着函数值的增加而递减，最终趋于水平(斜率趋于零) 。
图8．2 凹性与风险厌恶
8．2．1 衍生式
我们可以从效用函数的衍生式得到有关重要的性质。首先，如果对于x ， U ' (x ) >0，则U (x ) 为增函数。其次，对于x ，如果U '' (x )
8．2．2 风险厌恶系数
效用函数的风险厌恶程度与该函数的弯曲程度有关——该函数的弯曲程
度越大，则投资者的风险厌恶程度越高。这一理念可以通过效用函数的二阶导数加以量化。
风险厌恶程度正式地以Arrow －Pratt 绝对风险厌恶系数a (x ) 和相对风险厌恶系数μ(x ) 来定义，即：
U '' (x ) xU '' (x ) a (x ) =−' , μ(x ) =−' (8.7) U (x ) U (x )
分母U ' (x ) 使系数标准化。通过标准化，a (x ) 对于所有等价效用函数都是相同的。系数函数a (x ) 基本上表明了随着财富水平的变动风险厌恶是如何改变的。对于许多投资者而言，随着财富的增加，他们的风险厌恶递减。
1．负指数效用函数U (x ) =−e −ax , a >0
a (x ) =a , μ(x ) =ax
2．对数效用函数U (x ) =ln x
1a (x ) =, μ(x ) =1 x
13．幂效用函数U (x ) =x b , b ≤1，且b ≠0 b
1−b a (x ) =, μ(x ) =1−b x
14．二次效用函数U (x ) =x −bx 2，b >0 2
b b x a (x ) =, μ(x ) = 1−bx 1−bx
8．2．3确定性等价量
除了在比较可替代性投资机会外，随机财富期望效用的实际值并没有实际 意义，但是其衍生的度量单位确实具有直观的意义。这一度量称为确定性等 价量。
随机财富变量x 的确定性等价量定义为与x 的期望效用具有相同效用水平的一个确定(无风险的) 的财富量。换句话说，随机财富变量x 的确定性等价量C 满足：
U (C ) =E [U (x ) ] (8.8)
一个随机变量的确定性等价量对于所有等价效用函数都是相同的，该等价量以财富单位度量。
图8．3 确定性等价量
对于凹的效用函数而言，随机收益x 的确定性等价量总是小于或等于其期望值；即，C ≤E (x ) 。实际上，这一不等式是定义风险厌恶的又一种(等价的) 方式。图8．3解释了在两种收益为x 1, x 2的情形下的确定性等价量。收益x 1, x 2的期望效用E [U (x ) ]左移与效用曲线的交点的横坐标即为确定性等价量C 。 8．3 效用函数的说明
投资者确定一个合适的效用函数需要一套系统化的程序，其中有些相当复杂。我们简单总结一些通用方法。
8．3．1 效用的直接测量
测量投资者效用函数的一种方式是对于投资者不同的风险财富给出确定性等价量。一种特别简洁的方式为选择两个固定的财富值A 、B 作为参考点。然后假设一个彩票获得收益A 的概率为p ，获得收益B 的概率为(1－p) 。对于不同的p 值，我们询问投资者对于该彩票的替代值，他(或她) 愿意接受的确定的财富量C 是多少? 随着p 的改变C 将发生变化。注意A 、B 及C 的值并非仅仅是基于某一赌博的增加量，而是代表总财富的价值。具有概率p 的一个彩票的期望值为e =pA +(1−p ) B 。但是，风险厌恶的投资者为回避彩票所具有的风险而愿意接受小于数量e 的财富量。
图8．4(a)给出了对于不同的p 值投资者愿意接受的财富量C 的值。通过这些点所绘出的一条曲线确定了函数C (e ) 。为了从图中确定效用函数，设U (A ) =A , U (B ) =B (由于效用函数有二维定标自由度，所以这种假设是合理的) 。经过这种标准化，该彩票的期望效用为
pU (A ) +(1−p ) U (B ) =pA +(1−p ) B ，这与期望值e 恰好相同。因此，有如下关系，即U (C ) =e 。因此，C =U −1(e ) 。则由C (e ) 所确定的曲线为效用函数曲线的倒置形状。效用函数通过将U (x ) =x
轴翻转来得到，如图8．4(b)。
(a) (b)
图8．4 效用函数的经验决定
8．3．2 参数族
确定效用函数的另一种简单的方法为选择函数的一个参数族，然后确定一组合适的参数值。
这种方法通常假设效用函数为指数形式：U (x ) =−e −ax 。于是仅需要确定效
这个参数可以通过用确定性等价量估计用函数中代表风险厌恶系数的参数a 。
单一彩票的效用来确定。例如，我们可以询问投资者，对于收益为100,000元或是1,000,000元的一个随机量，当两收益的概率各为50%时，投资者可以接受的替代性等价量是多少。假设投资者认为这种情况下的随机量与确定性财富400,000元等价，则我们有：
−e −400,000a =−0.5e −100,000a −0.5e −1,000,000a
求解上式得a =1/623, 426元。
由于对数效用函数或是幂效用函数具有风险厌恶随着财富增加而减少的性质，因此，它们受到许多投资的偏爱。事实上，对于对数效用函数，风险厌恶系数为a (x ) =1/x ；而对于幂效用函数U (x ) =x b /b ，其风险厌恶系数为a (x ) =(1−b ) /x 。
通常使用一个折中的，或者说是复合的方法，即当效用为总财富的函数时，大部分投资决策与财富的相对微小的增加量有关。因此，如果x 0是初始财富，
Δb 是增加量，则精确的函数为U (x 0+Δb ) 。对于指数效用函数这可以通过直
接评价−e −a Δb 而近似得到。
8．4 效用函数与均值—方差准则
马克维茨投资组合问题中使用的均值—方差准则能够与期望效用方法在以下两种形式下一致：(1)使用二次效用函数，或者(2)假设表征收益的随机变量为标准(正态) 随机变量。这里对以上两种情形进行检验。
8．4．1 二次效用
1二次效用函数可以定义为U (x ) =ax −bx 2，其中a >0, b ≥0。图8．5显示2
这一函数。这一效用函数只有在x ≤a /b 时才真正有意义，同时注意当b >0时，该函数为严格的凹函数，说明是风险厌恶的。
图8．5 二次效用函数
假设某一投资组合具有随机财富价值y 。使用期望效用准则，我们来评估投资组合：
11E [U (y ) ]=E (ay −by 2) =aE (y ) −bE (y 2) 22 (8.9) 112=aE (y ) −b [E (y ) ]−b var(y ) 22
最优的投资组合是在所有可能的随机财富变量y 的选择中，使得上述期望值最大的那一个。
这可以被看作是与均值—方差方法等价的。首先，为了方便起见我们假设初始财富为1，则y 完全与收益R 对应。同时假设上式的解为E (y ) =μ。显然，对于所有可行的y ，E (y ) =μ=1+m (其中m 为平均收益率) ，该y 值必
须具有最小的方差。由于y=R ，则以上问题的解必然为均值—方差有效集上的一点。
选择不同的参数a 与b ，我们可以得到均值—方差有效集上的不同点。同样地，若初始财富不是1，则需要引入一个不同的因子。
若效用函数U 是二次可微的，且U ''
1U (X ) U () +(X −) ⋅U ' () +(X −) 2⋅U '' () 2
左右两边取数学期望，有
1EU (X ) U () +'' () ⋅σ2 2
8．4．2 标准正态收益
当所有收益均为标准正态随机变量时，均值—方差准则也同任何具有风险
为推导这一结论，选择效用函数U 。厌恶特征的效用函数的期望效用方法等价。
考虑一个标准财富变量y ，其均值为μ，标准差为σ。由于概率分布完全由μ、σ确定，因而可以推断出期望效用为μ、σ的函数；即
E [U (y ) ]=f (μ, σ) (8.10)
(或许无法确定f 的具体形式，但是这并不影响问题的讨论。) 如果U 为风险厌恶的，则f (μ, σ) 关于M 递增，而关于σ递减。现在假设所有资产的收益为标准正态随机变量，那么这些资产的任意线性组合也是具有某一均值与标准差的一个标准正态随机变量(这是核心性质) 。因此，这些资产的任意一个线性组合的收益将是一个标准随机变量。投资组合问题就等价于在所有可能的资产组合中选择使得函数f (μ, σ) 值最大的那一个资产组合。对一个风险厌恶的效用而言，这再次暗示对于任意一个给定的均值，方差应该最小化。换句话说，该解必然在均值—方差的有效集上。因此，当所有收益为标准正态随机变量时，均值一方差准则是合适的。
8．5 线性定价
我们现在关注证券定价的一个基本性质。
将证券正式定义为一个随机收益变量，表示为d 。收益在期末兑现(收益可以被看作是股利) 。与某一证券相关的是其价格P 。
8．5．1 A类套利
证券的线性定价遵从以下假设，即不可能存在最基本的套利形式。我们将这一套利的基本形式定义如下：如果一项投资产生了一项即期正的报酬而并没有未来支出(无论正负) ，则该项投资称为A 类套利。
换句话说，如果你投资于A 类套利，则你会立即获得报酬而不必支付任何相关款项。
在假设不存在A 类套利的情形下所引出的线性定价，证券αd 1+βd 2的价格必定等于αP 1+βP 2。这就是线性定价。
除了不存在A 类套利之外，同时假设证券可以任意分割成两部分，同时假定没有交易成本。
8．5．2 投资组合
现在假设存在n 种证券d 1, d 2, " , d n 。这些证券的一个投资组合以一个n 维向量θ=(θ1, θ2, " , θn ) 来表示。向量中的第i 个分量θi 代表投资组合中证券i 的数量。投资组合的收益为随机变量：
d =∑θi d i (8.11)
i =1n
在假设不存在A 类套利的条件下，投资组合θ的价格以线性定价获得。因此，总的价格为：
P =∑θi P i (8.12)
i =1n
该表达式为线性定价的更一般的表达式。
8．5．3 B类套利
如果一项投资的成本为非正，但是该项投资获得正收益的概率为正，而没有获得负收益的概率，则该项投资所产生的套利称为B 类套利。
换句话说，B 类套利是这样一种情形，即投资者的成本为零(或为负) ，但却有机会获得正的收益。
8．6 投资组合选择
如果x 是一个随机变量，我们以x ≥0表示变量x 不小于零；以x >0表示变量对于某些正的概率具有严格的正收益。假设投资者的效用函数U 为严格的增函数，同时拥有初始财富W 。设存在n 种证券d 1, d 2, " , d n 。投资者希望形成一个投资组合，该组合最终财富的期望效用最大。我们以θ=(θ1, θ2, " , θn ) 定义该投资组合，θi 给出了组合中不同证券的数量。投资者面临的问题是：
max E [U (x ) ]
∑θi d i =x 约束条件：
i =1n
x ≥0
∑θi P i ≤W n (8.13)
i =1
以上的规划问题表明投资者必须选择初始总成本不大于其初始财富W 的一个投资组合(最后一个约束条件) ，最终的财富值x 由投资组合的选择确定(第一个约束条件) ，每一个可能的结果中，这一最终财富必须为非负(第二个约束条件) ，同时投资者希望使得这一最终财富的期望效用最大化。
投资组合选择定理：假设U (x ) 为连续函数并且当x →∞时，U (x ) 递增并趋于无穷大。同时假设存在投资组合θ0，其满足∑θi 0d i >0。那么，当且仅当没有套利可能性时，(8.13)式所示的最优投资组合规划有一个解。
投资组合定价方程式：如果x *=∑θi *d i 是最优投资组合规划(8.13)的一个
解，那么，（注意：下式是U ' (x *) ，而不是U ' (∑θi *d i ) ，即不是复合函数）
' *E ⎡U (x ) d i ⎤⎣⎦=λP i (8.14)
其中λ>0, i =1, 2, " , n 。如果存在收益为R 的一项无风险资产，则： λ=E [U ' (x *)]⋅R ⇒P i =' *E ⎡U (x ) d i ⎤⎣⎦
RE ⎡⎣U (x ) ⎤⎦' * (8.15)
上式对于i =1, 2, " , n 成立。（对于无风险资产，d i =R , P i =1）
表8．2 电影风险投资
收益 概率 收益 概率 十分成功 3 0.3 失败 0 0.3 一般成功 1 0.4 无风险资产1.2 1 例8．5 一位投资者在考虑投资于一个风险项目：制作一部娱乐电影的可能性。他知道这类投资项目具有很高的风险。在这个项目中，他知道基本上有三种可能的收益，表8．2给出了这三种收益：(1)以0.3的概率，他的投资回报的乘数因子为3.0(为初始投资的3倍) ；(2)以0.4的概率，乘数因子为1.0；
(3)以0.3为概率，他将丧失全部初始投资。这三种可能收益的一种将在2年后
发生。在这一期间，他也有机会获得20%的无风险收益。他想知道他是否应该投资于这一风险项目；如果是的话，应该投资多少资金?
这是一个真实情况的简单化例子。该项目的期望收益为0.3×3+0.4×1+0.3×0=1.3，它优于无风险投资会获得的收益。你应该投资于这个项目多少资金呢？投资者决定使用U (x ) =ln x 作为效用函数。
⎧⎪3θ1+1.2θ2 p=0.3⎪⎪⎪x =⎪⎨θ1+1.2θ2 p=0.4 ⎪⎪⎪1.2θ2 p=0.3⎪⎪⎩
他的问题是选择两种可用证券的数量θ1, θ2——电影投资项目与无风险资产的投资机会，每一种单位价格为1。因此，他的问题是选择(θ1, θ2) ) 来求解：
max [0.3ln(3θ1+1.2θ2) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
约束条件为： θ1+θ2=W
从(8.14)式，或是通过直接计算，我们得到必要条件为：
0.3×
0.3×111×3+0.4××1+0.3××0=λθ1+1.2θ23θ1+1.2θ21.2θ2111×1.2+0.4××1.2+0.3××1.2=λθ1+1.2θ23θ1+1.2θ21.2θ2
这两个方程式与θ1+θ2=W 一起构成的方程组，可以解出未知量θ1, θ2, λ (必须求解一个二次方程式) 。结果为θ1=0.089W , θ2=0.911W , λ=1/W 。换句话
说，投资者应该将他的财富的8.9%投资于电影风险项目；而他的剩余资产应投资于无风险证券。
例8．6 当考虑前述投资于电影制作项目的可行性时，一位投资者发现，投资于电影剩余权也是可能的。这种投资在电影十分成功时收益颇丰，每元的投资会产生6元的收益，但其他两种情况下收益为零。现在投资者应该如何进行投资呢?
引入这一新的信息，他必须重新求解投资组合的最优规划。现在存在三个选择，最初的电影投资项目、无风险资产以及剩余权利投资。
⎧⎪3θ1+1.2θ2+6θ3 p=0.3⎪⎪⎪x =⎪⎨θ1+1.2θ2 p=0.4 ⎪⎪⎪1.2θ2 p=0.3⎪⎪⎩
他将分别投资于θ1, θ2, θ3。必要条件方程式为：
max [0.3ln(3θ1+1.2θ2+6θ3) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
约束条件为： θ1+θ2＋θ3=W
从(8.14)式，或是通过直接计算，我们得到必要条件为：
111×3+0.4××1+0.3××0=λ0.3×θ1+1.2θ23θ1+1.2θ2+6θ31.2θ2
0.3×
0.3×111×1.2+0.4××1.2+0.3××1.2=λ3θ1+1.2θ2+6θ31.2θ2θ1+1.2θ2111×6+0.4××0+0.3××0=λ3θ1+1.2θ2+6θ31.2θ2θ1+1.2θ2
解上述方程组得θ1=−1.0W , θ2=1.5W , θ3=0.5, λ=1/W 。换句话说，投资者应该以等于其资产总量的数额卖空电影投资项目以投资于另两个投资机会。 8．7 对数最优定价
上一部分所得出的投资组合定价公式：
' *E ⎡U (x ) d i ⎤⎣⎦=λP i , i =1, 2, " , n
是个一般性的结果，它有许多重要的衍生结果。它能够转化为许多特殊的、也是很方便的定价公式。这里介绍其中一种特别简洁的形式。
定价关系式的主要思想是以方程形式给出价格P i 的表达式。由于价格已
知，因而可以应用这些关系式求解出最优的x *，将使用最优的x *反推出价格。
我们选择U (x ) =ln x 以及W =1这一特例开始研究。最终财富变量x *即为与投资组合相关的，而且使最终财富的期望效用最大的财富量。由于R *是对数效用最优的收益，因此在这一特例中，以R *表示x *，称R *为对数最优收益。
由于d ln(x ) /dx =1/x ，因此，定价方程式(8.14) 变为：
⎛d ⎞E ⎜i
*⎟=λP i (8.16) ⎝R ⎠
上式对于所有i 成立。由于上式对于所有证券i 都是有效的，因而对于对数最
优投资组合本身它也是线性有效的。这一投资组合的价格为1，因此，我们发现：
⎛R *⎞ 1=E ⎜*⎟=λ (8.17) ⎝R ⎠
因此，在这种情况下得到了λ的值。
如果存在一项无风险资产，投资组合定价公式(8.14)也同样有效。无风险资产的价格为1，收益为R ，其中R 为总的无风险资产收益。因此，我们得到：
E (1/R *) =1/R (8.18)
从而知道1/R *的期望值应该等于1/R 。使用λ=1，定价公式(8.16)变为： ⎛d ⎞P i =E ⎜i
*⎟ (8.19) ⎝R ⎠
由于这一等式对于任何证券i 都是成立的，因此，对于任何投资组合它也是线性成立的。从而，我们得到如下的一般定价结果：
对数最优定价：股利为d 的任意证券(或投资组合) 的价格为：
⎛d ⎞P =E ⎜*⎟ (8.20) ⎝R ⎠
其中R *为对数最优投资组合的收益。
上述公式看起来与表达式P =d /R 很相似，当d 为确定量时P =d /R 是成立的。在随机情形下，我们需要用R *代替R ，并求期望。
例8．7 假设依赖电影投资项目的可能收益发行一项新的债券，该债券即使在电影投资项目失败时也会获得一些收益。这种类型的证券其一般收益情况为d 1, d 2, d 3，分别与电影投资项目非常成功、一般成功及失败相对应。我们通过运用例8．6中的对数最优投资组合可以发现这一证券的合适价格。
由于例8．6中第一个例子仅考虑了电影投资项目及无风险证券的情形，因此，不能使用该例中简单的对数—最优投资组合。如果一项新的证券由上述两种资产组合而成，则我们可以使用简单的对数—最优投资组合进行定价。但是，如果新证券为一个一般化证券，由于它包括了三种可能性的证券，因而我们必须使用第二个例子中的对数—最优投资组合。任何一个新的证券将是这三种可能证券的一个组合。
对数最优投资组合具有如下收益：
非常成功 一般成功 失败
R * 1.8 0.8 1.8 这些收益由剩余权利的例子中得到的θi 计算得出。例如，
在非常成功的情况下，R *=3θ1+1.2θ2+6θ3=−1.0×3+1.2×1.5+6×0.5=1.8
一般成功 R *=θ1+1.2θ2=−1.0+1.2×1.5=0.8
失败 R *=1.2θ2=1.2×1.5=1.8
收益为d 1, d 2, d 3的证券的价格为E (d /R *) ，即
d 2d 3d 1
P =0.3×+0.4×+0.3× 1.80.81.8
我们可以使用以前用过的三种证券对上式进行计算；它们价格的计算结果应该都等于1。例如，对于初始的风险投资：
31P =0.3×+0.4×=1 1.80.8
起初用证券的价格来发现x *，现在用x *去发现证券的价格。但是，由于定价是线性的，我们可以发现任何一项证券的价格是运用同一公式得到的初始证券价格的线性组合。
公式仅仅对推导出该公式的证券是有效的，或者说仅仅对那些初始证券的线性组合有效。
8．8 有限状态模型
假设存在一个有限数量的可能状态来描述一项特定投资项目的可能收益。初始时我们仅知道这些状态中的一种将会发生，期末才会清楚具体哪一种状态发生。我们要得出的主要结论是，即使不考虑这些可能状态的概率，这些状态本身也能够说明很多问题。一个重要的结论是概率与定价关系无关。
一项证券定义为在有限可能状态下的一组收益——每一个收益对应一种可能状态(这里依然没有考虑概率)
。因此，一项证券由一个向量d 1, d 2, "
, d s 来代表。我们以符号来表示向量，该向量的组成部分为状态的收益。这种情况下，d s (s =1, 2, " , S ) 代表如果状态S 发生会获得的收益。同前面一样，与一项证券相关的是其价格P 。
8．8．1 状态价格
一项特殊形式是证券只在一种状态下有收益。事实上，我们可以定义形如e s =0, " ,0,1,0, " ,0的证券S 为基础性状态证券，其中1为可能的状态s , s =1, 2, " , S 。如果这样的证券存在，我们将它的价格表示为Ψs 。
如果一组完整的基础状态证券存在，则很容易确定其他证券的
价格。证券d =d 1, d 2, " , d s 可以通过基础证券的一个组合表示为d =∑d s e s ，因此，由
定价的线性特征可知，d 的价格必然为
P =∑d s Ψs (8.21)
s =1S
设现有S 种状态，N 种证券（S ≤N ），其支付矩阵为D , D =(D ij ) N ×S ，P , P N ×1为价格向量。若存在基础状态证券e s , s =1, " , S , e S ×S ，Ψ, ΨS ×1，则有
P =D Ψ
当市场时完备的，即rank (D ) =S 时，存在状态证券，此时可能会有多余证券。x , x N ×S 表示市场组合，有：
D ' x =e ⇒x ' D =e
P =D Ψ⇒x ' P =x ' D Ψ，可得x ' P =Ψ 如果基础状态证券不存在，则我们能够通过现存的证券构造出这些基础状态证券。例如，在两种状态的领域里，如果与−存在，则这两个证券之和的1/2即与第一个基础状态证券等价。
8．8．2 正的状态价格
如果存在一组完整的基础状态证券，或者可以通过现存的证券构造出基础状态证券，则这组基础证券价格必须为正，否则将存在套利机会。 正状态价格定理：当且仅当没有套利机会时，存在一组正的状态价格。 由前可得，P =1
λ⎡U ' (x *) d ⎦⎤=E ⎣p ∑λs 1' *s s () ⋅U x ⋅d 。我们定义： s
Ψs =p s U ' (x *) s λ>0 (8.22)
其中U ' (x *) s 为U ' (x *) 在状态s 的值。因此，
P =∑Ψs d s (8.23)
s =1S
例8．8 再次考虑初始电影投资项目。有三种状态，但仅有两个证券：投资项目本身以及无风险证券。因此，状态价格不是惟一的。
我们通过使用(8.22)式可以发现一组正的状态价格，同时根据在例8．5中得到的θi 值及λ=1(W =1) 。我们有：
0.3Ψ1==0.2213θ1+1.2θ2
Ψ2=
Ψ3=0.4=0.338 θ1+1.2θ20.3=0.2741.2θ2
例8.5中max [0.3ln(3θ1+1.2θ2) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
例8.6中max [0.3ln(3θ1+1.2θ2+6θ3) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
这些状态价格仅可以用来确定初始两种证券组合的价格。它们不能用来确定购买剩余权利的价格。我们验证初始投资项目的价格，得P =3×0.221+1×0.338+0×0.274=1。
无风险资产价格P =(0.221+0.338+0.274) ×1.2=1
例8．9 现在考虑例8．6中讨论的具有三种可用证券的电影投资项目，它引入了剩余权利。由于存在三种状态及三种证券，因此，状态价格是惟一的。事实上可以通过设定三种证券的价格为1而得到状态价格，即：
3Ψ1+Ψ2+0Ψ3=1
1.2Ψ1+1.2Ψ2+1.2Ψ3=1
6Ψ1=1
解上述方程组，得：Ψ1=1/6, Ψ2=1/2, Ψ3=1/6
因此，收益为d 1, d 2, d 3的一项证券的价格为：
P =1/6d 1+1/2d 2+1/6d 3
将这一结果与例8．7中给出的价格P 的公式相比较，发现它们是完全相同的。另一种方法求解：
Ψ1=
Ψ2=
Ψ3=0.3=1/63θ1+1.2θ2+6θ30.4=1/2θ1+1.2θ20.3=1/61.2θ2
同时我们看到虽然这些状态价格与上一例子中得到的状态价格不同，但是对于由初始电影投资项目的两个证券所组合成的证券的价格，它得出的结论与上一例相同。例如，基础投资项目本身的价格为P =3/6+1/2=1。 8．9 风险中性定价
假设存在正的状态价格Ψs , s =1, 2, " , S 。则任何证券d =d 1, d 2, " , d s 的价格可以由下式得到：
S
P =∑Ψs d s
s =1
现在对这些状态价格进行标准化以使其之和等于1，我们设Ψ0=∑Ψs , q s =Ψs /Ψ0。则可以将上述公式定价为：
s =1S
P =Ψ0∑q s d s (8.24)
s =1S
其中，q s (s =1, 2, " , S ) 可以被看作是概率，这是由于它们之和为1且均为正。 使用这些概率，可以将定价公式写作：
ˆ(d ) (8.25) P =Ψ0E
ˆ表示在主观概率q 下的期望值。 其中E s
Ψ0的值有着有益的解释。由于Ψ0=∑Ψs ，我们可知Ψ0是证券" s =1S
的价格，该证券的每一状态(无风险证券) 支付1。由定义，它的价格为1/R（Ψ0=1/R ⇒q s =Ψs ⋅R ），其中R 为无风险收益，因此可将价格公式写为：
P =1ˆE (d ) (8.26) R
这个公式表明证券的价格等于在主观概率下它的期望收益值的贴现。我们称这个定价公式为风险中性定价，因为如果q s 是真实概率，这个公式就是将要使用的，而且我们没有考虑投资者的风险偏好，也把q s 称为风险中性概率。
下面是获得风险中性概率q s 的三种方式：
(1)风险中性概率可以通过正的状态价格与由无风险利率得到的价格相乘得到。Ψ0=1/R ⇒q s =Ψs ⋅R
(2)如果正的状态价格由投资组合规划求解得到，并且存在一项无风险资
（由定义得到）即： 产，则可以使用(8.22)式来确定q s ，
q s =p s U ' (x *) s
∑p U (x ) ' S (8.27) *t
t
t =1
(3)如果存在n 种状态，至少n 种价格已知的相互独立的证券，同时没有套利可能性，则风险中性概率可以通过求解下面有关几个未知的q s 的方程组而直接得到，即：
1S
P i =∑q s d i s , i =1, 2, " , n (8.28) R s =1
例8．10 我们前面得到了在三种证券的情况下，电影投资项目的状态价格，它们是：
Ψ1=1/6, Ψ2=1/2, Ψ3=1/6
将它们与无风险利率1.2相乘，我们得到了风险中性概率：
q 1=0.2, q 2=0.6, q 3=0.2 因此，收益为d 1, d 2, d 3的证券的价格为：
0.2d 1+0.6d 2+0.2d 3
P = 1.2
同样，这一定价公式仅对这些证券的线性组合有效。对于风险中性概率的推导很显然是用来确定初始证券的价格。
这一风险中性定价结果可以推广到不需要假定存在有限数量状态的一般情况。
8．10 定价选择
让我们回顾一些替代性的定价方法。假设存在几种价格已知的证券，然后引入一项新的债券，该债券由期末获得的(随机) 现金流量d 界定。这一债券的正确价格是多少呢? 以下列举了五种可能用于确定该债券价格的方式。每一种情况下，R 为单一时期的无风险收益。
(1)期望值贴现。
P =
(2)CAPM定价。 E (d ) R
P =E (d ) R +β(M −R )
其中β是资产与市场有关的风险度量，R M 是市场投资组合的收益。假设市场投资组合等价于马克维茨风险基金。
(3)CAPM的确定性等价形式。
2E (d ) −cov(R M , d )(M −R ) /σM P = R
(4)对数最优定价。
⎛d ⎞P =E ⎜*⎟ ⎝R ⎠
(5)风险中性定价。
ˆ(d ) E P = R
ˆ由风险中性概率获得。 其中期望值E
方法1是确定性情形的最简单的延伸。但是，一般来讲由这种方式确定的价格过高(至少对于那些与其他资产正相关的资产如此) ，该价格通常必须降低。方法2通过增大分母的值从而降低了由方法1所得到的价格，这种方法的本质是增加贴现率。方法3通过减小分子从而降低方法1所得到的价格，它通过将分子以确定性等价量替代来实现。方法4通过在期望内加入R *而对1进行修正。虽然E (1/R *) =1/R ，但是方法4得到的结果通常小于方法1。方法5
则是通过改变计算期望值所使用的概率来对方法1进行修正。
方法2—5代表着为了获得更加精确的结果，对方法1进行修正的四种不同的方式。如果新的证券为原有n 个证券的一个线性组合，则所有四种修正方法将会得到同一的价格，每一种方法都是表达线性定价的一种方式。
如果d 不是初始n 个证券的线性组合，则由不同公式所确定的价格可能会有所差异，因为这时上述公式已经超出了它们的使用范围。方法2与3将总是得到同一的结果。方法4与5在用对数最优公式计算风险中性概率时会得到相同的结果，否则它们所得到的结论会有所差异。如果现金流量d 与n 个初始债券完全无关，则所有五种方法将会获得相同的价格。
我们可以通过在最优投资组合规划中指定其他效用函数来得到其他方法。对于n 个初始证券而言，所获得的价格与使用的效用函数是独立的。但是，这里所列举的方法似乎是最有效的。
第8章 投资的一般原理
投资的一般原理主要体现在以下两点：(1)通过使用诸如期望值与方差等手段直接进行评估现金流；(2)通过将随机现金流量简化为其他已经评估过的现金流量的组合进行间接评估。
8．1 效用函数
假设目前你有许多不同的投资机会，这些投资机会将影响到未来你的财富价值。一旦你决定了如何在这些投资机会中分配现有资金，那么你的未来财富将由相应的随机变量确定。如果所有投资机会的收益是确定的，则很容易进行投资选择，即选择产生最大财富的投资机会。但是，在一般的随机情形下，对于投资机会的选择并非如此显而易见，你需要一定的程序来对随机的财富水平进行排列。效用函数恰好提供了这样一种程序。
通常效用函数U 定义在实数域上(代表可能的财富水平) ，并且其函数值为实数。一旦定义了效用函数，则所有可替代的随机变量——财富水平将通过评价它们的期望效用值来进行排序。不同的投资者有不同的效用函数，它随着投资者的风险承受能力与财务状况的变化而变化。
对于效用函数有一个一般性限制：它必须是一个连续增函数。即，如果x 与y (非随机) 为实数值，则当x >y 时，U (x ) >U (y ) 。下面介绍一些最常用的效用函数，如图8．1所示。
8．1．1 常见的效用函数
1．负指数效用函数。
U (x ) =−e −ax (8.1)
其中a 为大于零的某一参数。注意这个效用函数的值为负。由于对于效用函数而言只有相对值是重要的，因此，这里函数值是正是负并无关系。
2．对数效用函数。
U (x ) =ln x (8.2)
注意该效用函数仅当x >0时才有定义。当x ≈0时，该效用函数具有一个显著的负激励。
3．幂效用函数。
U (x ) =1b x (8.3) b
其中b ≤1，且b ≠0的某一参数。这一效用函数族包括风险中性效用(b＝1) 。
4．二次效用函数。
1U (x ) =x −bx 2 (8.4) 2
其中b >0。注意这一函数仅当x
图8．1 一些常用的效用函数
8．1．2 等价效用函数
由于效用函数被用来提供可替代性投资项目的排序，因而它的真实数值并没有意义。关键问题是当计算一项预期效用时如何对它进行排序。很显然效用函数可以通过某种简单的方式加以修改而并不改变它所提供排列顺序。
通常地，给定一个效用函数U (x ) ，任何具有下面形式的函数：
V (x ) =aU (x ) +b (8.5)
都是原效用函数U (x ) 的等价效用函数。等价效用函数所给出的排序与原效用函数完全相同。
8．2 风险厌恶
效用函数的主要目的是对于遵从风险厌恶的可替代性投资项目提供一个系统的排序方式。只要效用函数是凹的，则排序就可以完成。我们正式写下这个定义：
凹效用函数与风险厌恶：定义在实数区间[a , b ]上的函数U ，如果对于任意 0≤α≤1以及区间[a , b ]上的任意x , y 满足：
U [αx +(1−α) y ]≥αU (x ) +(1−α) U (y )
UE (X ) ≥EU (X ) (8.6)
则称该函数为凹函数。如果效用函数U 在[a , b ] 上是凹的，则称该函数在区间[a , b ]上是风险厌恶的。如果U 处处都是凹的，则称U 是风险厌恶的。通常我们对于U 为严格的凹函数时，即(8.6)式中的表达式对于任何x ≠y 为严格的不等式时，使用风险厌恶一词。
图8．2解释了这一定义。图中显示了一个凹的效用函数。为考察它的凹性，我们任取两点x , y 以及α,0≤α≤1。点x *=αx +(1−α) y 为x 与y 的加权平均，因此x *位于x 与y 之间。函数在点x *的值大于连接两函数值U (x ), U
(y ) 的直线在该点的值。一般地，凹性的条件为连接函数上任意两点的直线必须位于该函数图形以下或是该函数各图形之上。简而言之，递增凹函数的斜率随着函数值的增加而递减，最终趋于水平(斜率趋于零) 。
图8．2 凹性与风险厌恶
8．2．1 衍生式
我们可以从效用函数的衍生式得到有关重要的性质。首先，如果对于x ， U ' (x ) >0，则U (x ) 为增函数。其次，对于x ，如果U '' (x )
8．2．2 风险厌恶系数
效用函数的风险厌恶程度与该函数的弯曲程度有关——该函数的弯曲程
度越大，则投资者的风险厌恶程度越高。这一理念可以通过效用函数的二阶导数加以量化。
风险厌恶程度正式地以Arrow －Pratt 绝对风险厌恶系数a (x ) 和相对风险厌恶系数μ(x ) 来定义，即：
U '' (x ) xU '' (x ) a (x ) =−' , μ(x ) =−' (8.7) U (x ) U (x )
分母U ' (x ) 使系数标准化。通过标准化，a (x ) 对于所有等价效用函数都是相同的。系数函数a (x ) 基本上表明了随着财富水平的变动风险厌恶是如何改变的。对于许多投资者而言，随着财富的增加，他们的风险厌恶递减。
1．负指数效用函数U (x ) =−e −ax , a >0
a (x ) =a , μ(x ) =ax
2．对数效用函数U (x ) =ln x
1a (x ) =, μ(x ) =1 x
13．幂效用函数U (x ) =x b , b ≤1，且b ≠0 b
1−b a (x ) =, μ(x ) =1−b x
14．二次效用函数U (x ) =x −bx 2，b >0 2
b b x a (x ) =, μ(x ) = 1−bx 1−bx
8．2．3确定性等价量
除了在比较可替代性投资机会外，随机财富期望效用的实际值并没有实际 意义，但是其衍生的度量单位确实具有直观的意义。这一度量称为确定性等 价量。
随机财富变量x 的确定性等价量定义为与x 的期望效用具有相同效用水平的一个确定(无风险的) 的财富量。换句话说，随机财富变量x 的确定性等价量C 满足：
U (C ) =E [U (x ) ] (8.8)
一个随机变量的确定性等价量对于所有等价效用函数都是相同的，该等价量以财富单位度量。
图8．3 确定性等价量
对于凹的效用函数而言，随机收益x 的确定性等价量总是小于或等于其期望值；即，C ≤E (x ) 。实际上，这一不等式是定义风险厌恶的又一种(等价的) 方式。图8．3解释了在两种收益为x 1, x 2的情形下的确定性等价量。收益x 1, x 2的期望效用E [U (x ) ]左移与效用曲线的交点的横坐标即为确定性等价量C 。 8．3 效用函数的说明
投资者确定一个合适的效用函数需要一套系统化的程序，其中有些相当复杂。我们简单总结一些通用方法。
8．3．1 效用的直接测量
测量投资者效用函数的一种方式是对于投资者不同的风险财富给出确定性等价量。一种特别简洁的方式为选择两个固定的财富值A 、B 作为参考点。然后假设一个彩票获得收益A 的概率为p ，获得收益B 的概率为(1－p) 。对于不同的p 值，我们询问投资者对于该彩票的替代值，他(或她) 愿意接受的确定的财富量C 是多少? 随着p 的改变C 将发生变化。注意A 、B 及C 的值并非仅仅是基于某一赌博的增加量，而是代表总财富的价值。具有概率p 的一个彩票的期望值为e =pA +(1−p ) B 。但是，风险厌恶的投资者为回避彩票所具有的风险而愿意接受小于数量e 的财富量。
图8．4(a)给出了对于不同的p 值投资者愿意接受的财富量C 的值。通过这些点所绘出的一条曲线确定了函数C (e ) 。为了从图中确定效用函数，设U (A ) =A , U (B ) =B (由于效用函数有二维定标自由度，所以这种假设是合理的) 。经过这种标准化，该彩票的期望效用为
pU (A ) +(1−p ) U (B ) =pA +(1−p ) B ，这与期望值e 恰好相同。因此，有如下关系，即U (C ) =e 。因此，C =U −1(e ) 。则由C (e ) 所确定的曲线为效用函数曲线的倒置形状。效用函数通过将U (x ) =x
轴翻转来得到，如图8．4(b)。
(a) (b)
图8．4 效用函数的经验决定
8．3．2 参数族
确定效用函数的另一种简单的方法为选择函数的一个参数族，然后确定一组合适的参数值。
这种方法通常假设效用函数为指数形式：U (x ) =−e −ax 。于是仅需要确定效
这个参数可以通过用确定性等价量估计用函数中代表风险厌恶系数的参数a 。
单一彩票的效用来确定。例如，我们可以询问投资者，对于收益为100,000元或是1,000,000元的一个随机量，当两收益的概率各为50%时，投资者可以接受的替代性等价量是多少。假设投资者认为这种情况下的随机量与确定性财富400,000元等价，则我们有：
−e −400,000a =−0.5e −100,000a −0.5e −1,000,000a
求解上式得a =1/623, 426元。
由于对数效用函数或是幂效用函数具有风险厌恶随着财富增加而减少的性质，因此，它们受到许多投资的偏爱。事实上，对于对数效用函数，风险厌恶系数为a (x ) =1/x ；而对于幂效用函数U (x ) =x b /b ，其风险厌恶系数为a (x ) =(1−b ) /x 。
通常使用一个折中的，或者说是复合的方法，即当效用为总财富的函数时，大部分投资决策与财富的相对微小的增加量有关。因此，如果x 0是初始财富，
Δb 是增加量，则精确的函数为U (x 0+Δb ) 。对于指数效用函数这可以通过直
接评价−e −a Δb 而近似得到。
8．4 效用函数与均值—方差准则
马克维茨投资组合问题中使用的均值—方差准则能够与期望效用方法在以下两种形式下一致：(1)使用二次效用函数，或者(2)假设表征收益的随机变量为标准(正态) 随机变量。这里对以上两种情形进行检验。
8．4．1 二次效用
1二次效用函数可以定义为U (x ) =ax −bx 2，其中a >0, b ≥0。图8．5显示2
这一函数。这一效用函数只有在x ≤a /b 时才真正有意义，同时注意当b >0时，该函数为严格的凹函数，说明是风险厌恶的。
图8．5 二次效用函数
假设某一投资组合具有随机财富价值y 。使用期望效用准则，我们来评估投资组合：
11E [U (y ) ]=E (ay −by 2) =aE (y ) −bE (y 2) 22 (8.9) 112=aE (y ) −b [E (y ) ]−b var(y ) 22
最优的投资组合是在所有可能的随机财富变量y 的选择中，使得上述期望值最大的那一个。
这可以被看作是与均值—方差方法等价的。首先，为了方便起见我们假设初始财富为1，则y 完全与收益R 对应。同时假设上式的解为E (y ) =μ。显然，对于所有可行的y ，E (y ) =μ=1+m (其中m 为平均收益率) ，该y 值必
须具有最小的方差。由于y=R ，则以上问题的解必然为均值—方差有效集上的一点。
选择不同的参数a 与b ，我们可以得到均值—方差有效集上的不同点。同样地，若初始财富不是1，则需要引入一个不同的因子。
若效用函数U 是二次可微的，且U ''
1U (X ) U () +(X −) ⋅U ' () +(X −) 2⋅U '' () 2
左右两边取数学期望，有
1EU (X ) U () +'' () ⋅σ2 2
8．4．2 标准正态收益
当所有收益均为标准正态随机变量时，均值—方差准则也同任何具有风险
为推导这一结论，选择效用函数U 。厌恶特征的效用函数的期望效用方法等价。
考虑一个标准财富变量y ，其均值为μ，标准差为σ。由于概率分布完全由μ、σ确定，因而可以推断出期望效用为μ、σ的函数；即
E [U (y ) ]=f (μ, σ) (8.10)
(或许无法确定f 的具体形式，但是这并不影响问题的讨论。) 如果U 为风险厌恶的，则f (μ, σ) 关于M 递增，而关于σ递减。现在假设所有资产的收益为标准正态随机变量，那么这些资产的任意线性组合也是具有某一均值与标准差的一个标准正态随机变量(这是核心性质) 。因此，这些资产的任意一个线性组合的收益将是一个标准随机变量。投资组合问题就等价于在所有可能的资产组合中选择使得函数f (μ, σ) 值最大的那一个资产组合。对一个风险厌恶的效用而言，这再次暗示对于任意一个给定的均值，方差应该最小化。换句话说，该解必然在均值—方差的有效集上。因此，当所有收益为标准正态随机变量时，均值一方差准则是合适的。
8．5 线性定价
我们现在关注证券定价的一个基本性质。
将证券正式定义为一个随机收益变量，表示为d 。收益在期末兑现(收益可以被看作是股利) 。与某一证券相关的是其价格P 。
8．5．1 A类套利
证券的线性定价遵从以下假设，即不可能存在最基本的套利形式。我们将这一套利的基本形式定义如下：如果一项投资产生了一项即期正的报酬而并没有未来支出(无论正负) ，则该项投资称为A 类套利。
换句话说，如果你投资于A 类套利，则你会立即获得报酬而不必支付任何相关款项。
在假设不存在A 类套利的情形下所引出的线性定价，证券αd 1+βd 2的价格必定等于αP 1+βP 2。这就是线性定价。
除了不存在A 类套利之外，同时假设证券可以任意分割成两部分，同时假定没有交易成本。
8．5．2 投资组合
现在假设存在n 种证券d 1, d 2, " , d n 。这些证券的一个投资组合以一个n 维向量θ=(θ1, θ2, " , θn ) 来表示。向量中的第i 个分量θi 代表投资组合中证券i 的数量。投资组合的收益为随机变量：
d =∑θi d i (8.11)
i =1n
在假设不存在A 类套利的条件下，投资组合θ的价格以线性定价获得。因此，总的价格为：
P =∑θi P i (8.12)
i =1n
该表达式为线性定价的更一般的表达式。
8．5．3 B类套利
如果一项投资的成本为非正，但是该项投资获得正收益的概率为正，而没有获得负收益的概率，则该项投资所产生的套利称为B 类套利。
换句话说，B 类套利是这样一种情形，即投资者的成本为零(或为负) ，但却有机会获得正的收益。
8．6 投资组合选择
如果x 是一个随机变量，我们以x ≥0表示变量x 不小于零；以x >0表示变量对于某些正的概率具有严格的正收益。假设投资者的效用函数U 为严格的增函数，同时拥有初始财富W 。设存在n 种证券d 1, d 2, " , d n 。投资者希望形成一个投资组合，该组合最终财富的期望效用最大。我们以θ=(θ1, θ2, " , θn ) 定义该投资组合，θi 给出了组合中不同证券的数量。投资者面临的问题是：
max E [U (x ) ]
∑θi d i =x 约束条件：
i =1n
x ≥0
∑θi P i ≤W n (8.13)
i =1
以上的规划问题表明投资者必须选择初始总成本不大于其初始财富W 的一个投资组合(最后一个约束条件) ，最终的财富值x 由投资组合的选择确定(第一个约束条件) ，每一个可能的结果中，这一最终财富必须为非负(第二个约束条件) ，同时投资者希望使得这一最终财富的期望效用最大化。
投资组合选择定理：假设U (x ) 为连续函数并且当x →∞时，U (x ) 递增并趋于无穷大。同时假设存在投资组合θ0，其满足∑θi 0d i >0。那么，当且仅当没有套利可能性时，(8.13)式所示的最优投资组合规划有一个解。
投资组合定价方程式：如果x *=∑θi *d i 是最优投资组合规划(8.13)的一个
解，那么，（注意：下式是U ' (x *) ，而不是U ' (∑θi *d i ) ，即不是复合函数）
' *E ⎡U (x ) d i ⎤⎣⎦=λP i (8.14)
其中λ>0, i =1, 2, " , n 。如果存在收益为R 的一项无风险资产，则： λ=E [U ' (x *)]⋅R ⇒P i =' *E ⎡U (x ) d i ⎤⎣⎦
RE ⎡⎣U (x ) ⎤⎦' * (8.15)
上式对于i =1, 2, " , n 成立。（对于无风险资产，d i =R , P i =1）
表8．2 电影风险投资
收益 概率 收益 概率 十分成功 3 0.3 失败 0 0.3 一般成功 1 0.4 无风险资产1.2 1 例8．5 一位投资者在考虑投资于一个风险项目：制作一部娱乐电影的可能性。他知道这类投资项目具有很高的风险。在这个项目中，他知道基本上有三种可能的收益，表8．2给出了这三种收益：(1)以0.3的概率，他的投资回报的乘数因子为3.0(为初始投资的3倍) ；(2)以0.4的概率，乘数因子为1.0；
(3)以0.3为概率，他将丧失全部初始投资。这三种可能收益的一种将在2年后
发生。在这一期间，他也有机会获得20%的无风险收益。他想知道他是否应该投资于这一风险项目；如果是的话，应该投资多少资金?
这是一个真实情况的简单化例子。该项目的期望收益为0.3×3+0.4×1+0.3×0=1.3，它优于无风险投资会获得的收益。你应该投资于这个项目多少资金呢？投资者决定使用U (x ) =ln x 作为效用函数。
⎧⎪3θ1+1.2θ2 p=0.3⎪⎪⎪x =⎪⎨θ1+1.2θ2 p=0.4 ⎪⎪⎪1.2θ2 p=0.3⎪⎪⎩
他的问题是选择两种可用证券的数量θ1, θ2——电影投资项目与无风险资产的投资机会，每一种单位价格为1。因此，他的问题是选择(θ1, θ2) ) 来求解：
max [0.3ln(3θ1+1.2θ2) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
约束条件为： θ1+θ2=W
从(8.14)式，或是通过直接计算，我们得到必要条件为：
0.3×
0.3×111×3+0.4××1+0.3××0=λθ1+1.2θ23θ1+1.2θ21.2θ2111×1.2+0.4××1.2+0.3××1.2=λθ1+1.2θ23θ1+1.2θ21.2θ2
这两个方程式与θ1+θ2=W 一起构成的方程组，可以解出未知量θ1, θ2, λ (必须求解一个二次方程式) 。结果为θ1=0.089W , θ2=0.911W , λ=1/W 。换句话
说，投资者应该将他的财富的8.9%投资于电影风险项目；而他的剩余资产应投资于无风险证券。
例8．6 当考虑前述投资于电影制作项目的可行性时，一位投资者发现，投资于电影剩余权也是可能的。这种投资在电影十分成功时收益颇丰，每元的投资会产生6元的收益，但其他两种情况下收益为零。现在投资者应该如何进行投资呢?
引入这一新的信息，他必须重新求解投资组合的最优规划。现在存在三个选择，最初的电影投资项目、无风险资产以及剩余权利投资。
⎧⎪3θ1+1.2θ2+6θ3 p=0.3⎪⎪⎪x =⎪⎨θ1+1.2θ2 p=0.4 ⎪⎪⎪1.2θ2 p=0.3⎪⎪⎩
他将分别投资于θ1, θ2, θ3。必要条件方程式为：
max [0.3ln(3θ1+1.2θ2+6θ3) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
约束条件为： θ1+θ2＋θ3=W
从(8.14)式，或是通过直接计算，我们得到必要条件为：
111×3+0.4××1+0.3××0=λ0.3×θ1+1.2θ23θ1+1.2θ2+6θ31.2θ2
0.3×
0.3×111×1.2+0.4××1.2+0.3××1.2=λ3θ1+1.2θ2+6θ31.2θ2θ1+1.2θ2111×6+0.4××0+0.3××0=λ3θ1+1.2θ2+6θ31.2θ2θ1+1.2θ2
解上述方程组得θ1=−1.0W , θ2=1.5W , θ3=0.5, λ=1/W 。换句话说，投资者应该以等于其资产总量的数额卖空电影投资项目以投资于另两个投资机会。 8．7 对数最优定价
上一部分所得出的投资组合定价公式：
' *E ⎡U (x ) d i ⎤⎣⎦=λP i , i =1, 2, " , n
是个一般性的结果，它有许多重要的衍生结果。它能够转化为许多特殊的、也是很方便的定价公式。这里介绍其中一种特别简洁的形式。
定价关系式的主要思想是以方程形式给出价格P i 的表达式。由于价格已
知，因而可以应用这些关系式求解出最优的x *，将使用最优的x *反推出价格。
我们选择U (x ) =ln x 以及W =1这一特例开始研究。最终财富变量x *即为与投资组合相关的，而且使最终财富的期望效用最大的财富量。由于R *是对数效用最优的收益，因此在这一特例中，以R *表示x *，称R *为对数最优收益。
由于d ln(x ) /dx =1/x ，因此，定价方程式(8.14) 变为：
⎛d ⎞E ⎜i
*⎟=λP i (8.16) ⎝R ⎠
上式对于所有i 成立。由于上式对于所有证券i 都是有效的，因而对于对数最
优投资组合本身它也是线性有效的。这一投资组合的价格为1，因此，我们发现：
⎛R *⎞ 1=E ⎜*⎟=λ (8.17) ⎝R ⎠
因此，在这种情况下得到了λ的值。
如果存在一项无风险资产，投资组合定价公式(8.14)也同样有效。无风险资产的价格为1，收益为R ，其中R 为总的无风险资产收益。因此，我们得到：
E (1/R *) =1/R (8.18)
从而知道1/R *的期望值应该等于1/R 。使用λ=1，定价公式(8.16)变为： ⎛d ⎞P i =E ⎜i
*⎟ (8.19) ⎝R ⎠
由于这一等式对于任何证券i 都是成立的，因此，对于任何投资组合它也是线性成立的。从而，我们得到如下的一般定价结果：
对数最优定价：股利为d 的任意证券(或投资组合) 的价格为：
⎛d ⎞P =E ⎜*⎟ (8.20) ⎝R ⎠
其中R *为对数最优投资组合的收益。
上述公式看起来与表达式P =d /R 很相似，当d 为确定量时P =d /R 是成立的。在随机情形下，我们需要用R *代替R ，并求期望。
例8．7 假设依赖电影投资项目的可能收益发行一项新的债券，该债券即使在电影投资项目失败时也会获得一些收益。这种类型的证券其一般收益情况为d 1, d 2, d 3，分别与电影投资项目非常成功、一般成功及失败相对应。我们通过运用例8．6中的对数最优投资组合可以发现这一证券的合适价格。
由于例8．6中第一个例子仅考虑了电影投资项目及无风险证券的情形，因此，不能使用该例中简单的对数—最优投资组合。如果一项新的证券由上述两种资产组合而成，则我们可以使用简单的对数—最优投资组合进行定价。但是，如果新证券为一个一般化证券，由于它包括了三种可能性的证券，因而我们必须使用第二个例子中的对数—最优投资组合。任何一个新的证券将是这三种可能证券的一个组合。
对数最优投资组合具有如下收益：
非常成功 一般成功 失败
R * 1.8 0.8 1.8 这些收益由剩余权利的例子中得到的θi 计算得出。例如，
在非常成功的情况下，R *=3θ1+1.2θ2+6θ3=−1.0×3+1.2×1.5+6×0.5=1.8
一般成功 R *=θ1+1.2θ2=−1.0+1.2×1.5=0.8
失败 R *=1.2θ2=1.2×1.5=1.8
收益为d 1, d 2, d 3的证券的价格为E (d /R *) ，即
d 2d 3d 1
P =0.3×+0.4×+0.3× 1.80.81.8
我们可以使用以前用过的三种证券对上式进行计算；它们价格的计算结果应该都等于1。例如，对于初始的风险投资：
31P =0.3×+0.4×=1 1.80.8
起初用证券的价格来发现x *，现在用x *去发现证券的价格。但是，由于定价是线性的，我们可以发现任何一项证券的价格是运用同一公式得到的初始证券价格的线性组合。
公式仅仅对推导出该公式的证券是有效的，或者说仅仅对那些初始证券的线性组合有效。
8．8 有限状态模型
假设存在一个有限数量的可能状态来描述一项特定投资项目的可能收益。初始时我们仅知道这些状态中的一种将会发生，期末才会清楚具体哪一种状态发生。我们要得出的主要结论是，即使不考虑这些可能状态的概率，这些状态本身也能够说明很多问题。一个重要的结论是概率与定价关系无关。
一项证券定义为在有限可能状态下的一组收益——每一个收益对应一种可能状态(这里依然没有考虑概率)
。因此，一项证券由一个向量d 1, d 2, "
, d s 来代表。我们以符号来表示向量，该向量的组成部分为状态的收益。这种情况下，d s (s =1, 2, " , S ) 代表如果状态S 发生会获得的收益。同前面一样，与一项证券相关的是其价格P 。
8．8．1 状态价格
一项特殊形式是证券只在一种状态下有收益。事实上，我们可以定义形如e s =0, " ,0,1,0, " ,0的证券S 为基础性状态证券，其中1为可能的状态s , s =1, 2, " , S 。如果这样的证券存在，我们将它的价格表示为Ψs 。
如果一组完整的基础状态证券存在，则很容易确定其他证券的
价格。证券d =d 1, d 2, " , d s 可以通过基础证券的一个组合表示为d =∑d s e s ，因此，由
定价的线性特征可知，d 的价格必然为
P =∑d s Ψs (8.21)
s =1S
设现有S 种状态，N 种证券（S ≤N ），其支付矩阵为D , D =(D ij ) N ×S ，P , P N ×1为价格向量。若存在基础状态证券e s , s =1, " , S , e S ×S ，Ψ, ΨS ×1，则有
P =D Ψ
当市场时完备的，即rank (D ) =S 时，存在状态证券，此时可能会有多余证券。x , x N ×S 表示市场组合，有：
D ' x =e ⇒x ' D =e
P =D Ψ⇒x ' P =x ' D Ψ，可得x ' P =Ψ 如果基础状态证券不存在，则我们能够通过现存的证券构造出这些基础状态证券。例如，在两种状态的领域里，如果与−存在，则这两个证券之和的1/2即与第一个基础状态证券等价。
8．8．2 正的状态价格
如果存在一组完整的基础状态证券，或者可以通过现存的证券构造出基础状态证券，则这组基础证券价格必须为正，否则将存在套利机会。 正状态价格定理：当且仅当没有套利机会时，存在一组正的状态价格。 由前可得，P =1
λ⎡U ' (x *) d ⎦⎤=E ⎣p ∑λs 1' *s s () ⋅U x ⋅d 。我们定义： s
Ψs =p s U ' (x *) s λ>0 (8.22)
其中U ' (x *) s 为U ' (x *) 在状态s 的值。因此，
P =∑Ψs d s (8.23)
s =1S
例8．8 再次考虑初始电影投资项目。有三种状态，但仅有两个证券：投资项目本身以及无风险证券。因此，状态价格不是惟一的。
我们通过使用(8.22)式可以发现一组正的状态价格，同时根据在例8．5中得到的θi 值及λ=1(W =1) 。我们有：
0.3Ψ1==0.2213θ1+1.2θ2
Ψ2=
Ψ3=0.4=0.338 θ1+1.2θ20.3=0.2741.2θ2
例8.5中max [0.3ln(3θ1+1.2θ2) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
例8.6中max [0.3ln(3θ1+1.2θ2+6θ3) +0.4ln(θ1+1.2θ2) +0.3ln(1.2θ2) ]
这些状态价格仅可以用来确定初始两种证券组合的价格。它们不能用来确定购买剩余权利的价格。我们验证初始投资项目的价格，得P =3×0.221+1×0.338+0×0.274=1。
无风险资产价格P =(0.221+0.338+0.274) ×1.2=1
例8．9 现在考虑例8．6中讨论的具有三种可用证券的电影投资项目，它引入了剩余权利。由于存在三种状态及三种证券，因此，状态价格是惟一的。事实上可以通过设定三种证券的价格为1而得到状态价格，即：
3Ψ1+Ψ2+0Ψ3=1
1.2Ψ1+1.2Ψ2+1.2Ψ3=1
6Ψ1=1
解上述方程组，得：Ψ1=1/6, Ψ2=1/2, Ψ3=1/6
因此，收益为d 1, d 2, d 3的一项证券的价格为：
P =1/6d 1+1/2d 2+1/6d 3
将这一结果与例8．7中给出的价格P 的公式相比较，发现它们是完全相同的。另一种方法求解：
Ψ1=
Ψ2=
Ψ3=0.3=1/63θ1+1.2θ2+6θ30.4=1/2θ1+1.2θ20.3=1/61.2θ2
同时我们看到虽然这些状态价格与上一例子中得到的状态价格不同，但是对于由初始电影投资项目的两个证券所组合成的证券的价格，它得出的结论与上一例相同。例如，基础投资项目本身的价格为P =3/6+1/2=1。 8．9 风险中性定价
假设存在正的状态价格Ψs , s =1, 2, " , S 。则任何证券d =d 1, d 2, " , d s 的价格可以由下式得到：
S
P =∑Ψs d s
s =1
现在对这些状态价格进行标准化以使其之和等于1，我们设Ψ0=∑Ψs , q s =Ψs /Ψ0。则可以将上述公式定价为：
s =1S
P =Ψ0∑q s d s (8.24)
s =1S
其中，q s (s =1, 2, " , S ) 可以被看作是概率，这是由于它们之和为1且均为正。 使用这些概率，可以将定价公式写作：
ˆ(d ) (8.25) P =Ψ0E
ˆ表示在主观概率q 下的期望值。 其中E s
Ψ0的值有着有益的解释。由于Ψ0=∑Ψs ，我们可知Ψ0是证券" s =1S
的价格，该证券的每一状态(无风险证券) 支付1。由定义，它的价格为1/R（Ψ0=1/R ⇒q s =Ψs ⋅R ），其中R 为无风险收益，因此可将价格公式写为：
P =1ˆE (d ) (8.26) R
这个公式表明证券的价格等于在主观概率下它的期望收益值的贴现。我们称这个定价公式为风险中性定价，因为如果q s 是真实概率，这个公式就是将要使用的，而且我们没有考虑投资者的风险偏好，也把q s 称为风险中性概率。
下面是获得风险中性概率q s 的三种方式：
(1)风险中性概率可以通过正的状态价格与由无风险利率得到的价格相乘得到。Ψ0=1/R ⇒q s =Ψs ⋅R
(2)如果正的状态价格由投资组合规划求解得到，并且存在一项无风险资
（由定义得到）即： 产，则可以使用(8.22)式来确定q s ，
q s =p s U ' (x *) s
∑p U (x ) ' S (8.27) *t
t
t =1
(3)如果存在n 种状态，至少n 种价格已知的相互独立的证券，同时没有套利可能性，则风险中性概率可以通过求解下面有关几个未知的q s 的方程组而直接得到，即：
1S
P i =∑q s d i s , i =1, 2, " , n (8.28) R s =1
例8．10 我们前面得到了在三种证券的情况下，电影投资项目的状态价格，它们是：
Ψ1=1/6, Ψ2=1/2, Ψ3=1/6
将它们与无风险利率1.2相乘，我们得到了风险中性概率：
q 1=0.2, q 2=0.6, q 3=0.2 因此，收益为d 1, d 2, d 3的证券的价格为：
0.2d 1+0.6d 2+0.2d 3
P = 1.2
同样，这一定价公式仅对这些证券的线性组合有效。对于风险中性概率的推导很显然是用来确定初始证券的价格。
这一风险中性定价结果可以推广到不需要假定存在有限数量状态的一般情况。
8．10 定价选择
让我们回顾一些替代性的定价方法。假设存在几种价格已知的证券，然后引入一项新的债券，该债券由期末获得的(随机) 现金流量d 界定。这一债券的正确价格是多少呢? 以下列举了五种可能用于确定该债券价格的方式。每一种情况下，R 为单一时期的无风险收益。
(1)期望值贴现。
P =
(2)CAPM定价。 E (d ) R
P =E (d ) R +β(M −R )
其中β是资产与市场有关的风险度量，R M 是市场投资组合的收益。假设市场投资组合等价于马克维茨风险基金。
(3)CAPM的确定性等价形式。
2E (d ) −cov(R M , d )(M −R ) /σM P = R
(4)对数最优定价。
⎛d ⎞P =E ⎜*⎟ ⎝R ⎠
(5)风险中性定价。
ˆ(d ) E P = R
ˆ由风险中性概率获得。 其中期望值E
方法1是确定性情形的最简单的延伸。但是，一般来讲由这种方式确定的价格过高(至少对于那些与其他资产正相关的资产如此) ，该价格通常必须降低。方法2通过增大分母的值从而降低了由方法1所得到的价格，这种方法的本质是增加贴现率。方法3通过减小分子从而降低方法1所得到的价格，它通过将分子以确定性等价量替代来实现。方法4通过在期望内加入R *而对1进行修正。虽然E (1/R *) =1/R ，但是方法4得到的结果通常小于方法1。方法5
则是通过改变计算期望值所使用的概率来对方法1进行修正。
方法2—5代表着为了获得更加精确的结果，对方法1进行修正的四种不同的方式。如果新的证券为原有n 个证券的一个线性组合，则所有四种修正方法将会得到同一的价格，每一种方法都是表达线性定价的一种方式。
如果d 不是初始n 个证券的线性组合，则由不同公式所确定的价格可能会有所差异，因为这时上述公式已经超出了它们的使用范围。方法2与3将总是得到同一的结果。方法4与5在用对数最优公式计算风险中性概率时会得到相同的结果，否则它们所得到的结论会有所差异。如果现金流量d 与n 个初始债券完全无关，则所有五种方法将会获得相同的价格。
我们可以通过在最优投资组合规划中指定其他效用函数来得到其他方法。对于n 个初始证券而言，所获得的价格与使用的效用函数是独立的。但是，这里所列举的方法似乎是最有效的。