解析几何中建立目标函数的十种策略

  �解析几何最值问题能有机地综合中学数学各科知识,一直是高考的一个重要内容,是中学数学的一个难点,也是考生的一个主要失分点. 总体上讲,求解解析几何最值问题不外乎两种方法:一是代数方法,即建立目标函数(目标函数是指所关心的目标(某一变量)与相关的因素(某些变量)的函数关系)求解;二是几何方法,即利用图形直观求解.大多数解析几何最值问题可通过建立目标函数求解,那么应当如何建立目标函数?首先,建立目标函数时,应根据题意分清题中的量哪些是变量,哪些是常量; 其次,选择因变量和自变量的关系,即根据所给条件建立函数关系式.目标函数建立得当,常能简化解题过程. 笔者通过实践,归纳总结了建立目标函数求解解析几何最值问题的十种常用策略.�   1 以形助数,直观简明�   建立目标函数是代数方法,但数与形不能隔裂分家.只有数与形的完美结合,才能领会数学的真谛.�   例1 已知椭圆长轴长4,以y轴为准线,且左顶点在抛物线y�2=x-1上,求离心率最大时的椭圆方程.�   解:设左顶点为A(x�0,y�0),设椭圆的中心为O�1,如图1, 连结O�1A, 并延长交y轴于N,�   则O�1A=a=2, NA=x�0.�   因为y�2�0=x�0-1≥0, 所以x�0≥1.�   所以e=aa�2c=2|O�1N|=2x�0+2≤23.�   所以e���max��=23,此时椭圆方程为�   (x-3)�24+9y�220=1.�      图1      图2   2 巧妙分割,化整为零�   分割是一种化整为零的转化方法.在解析几何中某些与面积有关的最值问题,恰当使用分割法,往往会获得独具特色的简捷解法.�   例2 椭圆x�2a�2+y�2b�2=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,在第一象限内的椭圆上找一点C,使四边形OACB的面积最大,最大面积是多少?�   解:如图3, 连结OC,设C(a�cos�θ,b�sin�θ),�   则 S��四边形OACB�=S��△OAC�+S��△OBC�=12ab(�sin�θ+�cos�θ)=22ab�sin�(θ+π4).�   当θ=π4时,S��四边形OACB�有最大面积22ab,�   此时C点坐标为(22a,22b).�      图3      图4   3 巧用对称,不算而解�   圆、椭圆、双曲线、抛物线、都具有对称性,在求解有关最值问题时,挖掘潜在的对称性解题,可减少运算量,简明、快捷、优美地获解.�   例3 设AB为过椭圆x�225+y�216=1的中心的弦,F�1为椭圆左焦点,求△ABF�1的面积的最大值.�   解:设F�2为椭圆右焦点. 如图4, 连结AF�2,BF�2.�   由椭圆的对称性易知四边形AF�1BF�2是平行四边形.�   所以S��△ABF�1�=12S���AF�1BF�2�=S��△AF�1F�2�=�   12|F�1F�2|・|y�A|=3|y�A|≤12.�   所以S��△ABF�1�的最大值为12.�   4 巧用圆心,合理转化�   圆是解析几何的基本图形之一,它既是中心对称图形,也是轴对称图形.在解决与圆有关的问题时,善于抓住圆心,可使问题迅速得到解决.�   例4求抛物线y=x�2与圆x�2+(y-2)�2=1上最近两点的距离.�   解:设抛物线上一点P(x�0,y�0),则y��0� = x�2��0�.�   如图4, 只要求出圆心O�1与点P的最近距离即可.�   因为|PO�1|=x�2�0+(y�0-2)�2=�   (y�0-32)�2+74.�   所以当y�0=32时,|PO�1|的最小值为72,�   故抛物线与圆上最近两点的距离为72-1.�   5 方程搭桥,迅速沟通�   直线、圆、椭圆、双曲线的参数方程都是三角形式,因此有关最值问题,可以借助它们的参数方程,把问题转化为三角函数最值问题,灵活运用三角函数知识,问题迎刃而解.�   例5 过点P(1,2)作直线l交x轴、y轴的正半轴于点A、B,求|PA|・|PB|取得最小值时的直线l方程.�   解:设直线l的参数方程为x=1+t�cos�θ�y=2+t�sin�θ �(t为参数,π2<θ<π).�   将其代入xy=0并整理得�   t�2�sin�θ�cos�θ+(2�cos�θ+�sin�θ)t+2=0.�   所以|PA|・|PB|=-t�1t�2=-4�sin�2θ.�   当θ=135°时,|PA|・|PB|取得最小值4.�   此时直线l的方程为y-2=-(x-1),�   即 x+y-3=0.�   6 细察结构,平面几何开路�   把解几最值问题转化为平面几何中的最值问题,能充分利用平面几何技巧性强,运算量小的特点.�   例6 已知A(-1,0),B(1,0),P是圆周(x-3)�2+(y-4)�2=4上一点,求|AP|�2+|BP|�2的最小值.�   解:设P(3+2�cos�θ,4+2�sin�θ). 因AB的中点是原点,�   如图5, 连结PO,根据平行四边形各边平方和等于其对角线平方和,�   得|AP|�2+|BP|�2=2(|PO|�2+|OB|�2)=2+2|PO|�2=�   60+8(3�cos�θ+4�sin�θ).�   故|AP|�2+|BP|�2的最小值为20.�      图5      图6   7 借助射影,降维处理�   利用点或线段在坐标轴上的正投影来解题,化两点间的距离(二维)为有向线段的数量的绝对值(一维),思路简捷、运算简便.�   例7 (同例5)�   解:如图6,作PC⊥y轴于C, 作PD⊥x轴于D, 设∠PBO=θ,则�   |PA|・|PB|=|PC|�cos�θ・|PD|�sin�θ=4�sin�2θ.�   当θ=π4时,|PA|・|PB|取得最小值4.�   此时直线l的方程为x+y-3=0.�   8 借助定义,化难为易�   圆锥曲线的定义刻画了动点与定点(或定直线)距离之间的定量关系,因此与距离有关的解析几何最值问题,借助定义,往往能化难为易.�   例8如图7,已知双曲线x�24-y�2=1,过右焦点F�2作直线l与双曲线交于A、B两点,设左焦点为F�1,求|F�1A|・|F�1B|的最小值.�   解:由双曲线的定义得|F�1A|-|F�2A|=4,|F�1B|-|F�2B|=4.�   所以 |F�1A|・|F�1B|=�   (4+|F�2A|)(4+|F�2B|)=�   16+4|AB|+|F�2A|・|F�2B|.�   由题设知F�1(-5,0),F�2(5,0).�   设直线l的参数方程为x=5+t�cos�θ�y=t�sin�θ (t为参数).�   将其代入双曲线方程并整理得�   (5�cos��2θ-4)t�2+25t�cos�θ+1=0.�   显然5�cos��2θ-4≠0,�   所以t�1+t�2=-25�cos�θ5�cos��2θ-4,�   t�1t�2=15�cos��2θ-4<0.�   所以|AB|=|t�1-t�2|=�   (t�1+t�2)�2-4t�1t�2=44-5�cos��2θ.�   所以|F�1A|・|F�1B|=16+174-5�cos��2θ.�   当且仅当θ=π2时,|F�1A|・|F�1B|取得最小值814.�      图7      图8      9 借助复数,化解旋转�   与旋转有关的解析几何最值问题,借助复数建立目标函数,往往是很方便的.�   例9 如图8,A(2,0),B为半圆x�2+y�2=1(y≥0)上一动点,点C在x轴上方且△ABC是BC为斜边的等腰直角三角形,问B在何处时,O、C两点距离最远,最远距离是多少?�   解:设∠AOB=θ(0≤θ≤π).�   视坐标平面为复平面.�   设点A、B、C对应的复数分别为z�A、z�B、z�C,�   则z�A=2, z�B=�cos�θ+i�sin�θ,�   z�C-z�A=-�i�(z�B-z�A)=�   -�i�(�cos�θ-2+�i��sin�θ)=�   �sin�θ+�i�(2-�cos�θ),�   所以z�C=2+�sin�θ+�i�(2-�cos�θ).�   所以|OC|=|z�C|=�   (2+�sin�θ)�2+(2-�cos�θ)�2=�   9+42�sin�(θ-π4).�   当�sin�(θ-π4)=1,即θ=3π4时,�   |OC|���max��=9+42=1+22.�   故当OB与OA成3π4角时,O、C两点距离最远,最远距离为1+22.�   10 二元目标,整体把握�   解析几何中的许多最值问题,可建立二元目标函数,归结为几个正变量的和的最小值或积的最大值,创造性地利用基本不等式,直达彼岸.�   例10 求圆x�2+y�2=1的切线方程,使这条切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短.�   解:设切点为(x�0,y�0),则切线方程为�   xx�0+yy�0=1.�   切线与两坐标轴正半轴的交点A(1x�0,0), B(0,1y�0)(x�0>0,y�0>0).�   又因为x�2�0+y�2�0=1,所以|AB|=(1x�0)�2+(1y�0)�2=1x�0y�0≥2x�2�0+y�2�0=2.�   在x�0=y�0时,上式取等号,代入解得�   x�0=y�0=22.�   故所求切线方程为22x+22y=1,�   即x+y-2=0.

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  �解析几何最值问题能有机地综合中学数学各科知识,一直是高考的一个重要内容,是中学数学的一个难点,也是考生的一个主要失分点. 总体上讲,求解解析几何最值问题不外乎两种方法:一是代数方法,即建立目标函数(目标函数是指所关心的目标(某一变量)与相关的因素(某些变量)的函数关系)求解;二是几何方法,即利用图形直观求解.大多数解析几何最值问题可通过建立目标函数求解,那么应当如何建立目标函数?首先,建立目标函数时,应根据题意分清题中的量哪些是变量,哪些是常量; 其次,选择因变量和自变量的关系,即根据所给条件建立函数关系式.目标函数建立得当,常能简化解题过程. 笔者通过实践,归纳总结了建立目标函数求解解析几何最值问题的十种常用策略.�   1 以形助数,直观简明�   建立目标函数是代数方法,但数与形不能隔裂分家.只有数与形的完美结合,才能领会数学的真谛.�   例1 已知椭圆长轴长4,以y轴为准线,且左顶点在抛物线y�2=x-1上,求离心率最大时的椭圆方程.�   解:设左顶点为A(x�0,y�0),设椭圆的中心为O�1,如图1, 连结O�1A, 并延长交y轴于N,�   则O�1A=a=2, NA=x�0.�   因为y�2�0=x�0-1≥0, 所以x�0≥1.�   所以e=aa�2c=2|O�1N|=2x�0+2≤23.�   所以e���max��=23,此时椭圆方程为�   (x-3)�24+9y�220=1.�      图1      图2   2 巧妙分割,化整为零�   分割是一种化整为零的转化方法.在解析几何中某些与面积有关的最值问题,恰当使用分割法,往往会获得独具特色的简捷解法.�   例2 椭圆x�2a�2+y�2b�2=1与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B,在第一象限内的椭圆上找一点C,使四边形OACB的面积最大,最大面积是多少?�   解:如图3, 连结OC,设C(a�cos�θ,b�sin�θ),�   则 S��四边形OACB�=S��△OAC�+S��△OBC�=12ab(�sin�θ+�cos�θ)=22ab�sin�(θ+π4).�   当θ=π4时,S��四边形OACB�有最大面积22ab,�   此时C点坐标为(22a,22b).�      图3      图4   3 巧用对称,不算而解�   圆、椭圆、双曲线、抛物线、都具有对称性,在求解有关最值问题时,挖掘潜在的对称性解题,可减少运算量,简明、快捷、优美地获解.�   例3 设AB为过椭圆x�225+y�216=1的中心的弦,F�1为椭圆左焦点,求△ABF�1的面积的最大值.�   解:设F�2为椭圆右焦点. 如图4, 连结AF�2,BF�2.�   由椭圆的对称性易知四边形AF�1BF�2是平行四边形.�   所以S��△ABF�1�=12S���AF�1BF�2�=S��△AF�1F�2�=�   12|F�1F�2|・|y�A|=3|y�A|≤12.�   所以S��△ABF�1�的最大值为12.�   4 巧用圆心,合理转化�   圆是解析几何的基本图形之一,它既是中心对称图形,也是轴对称图形.在解决与圆有关的问题时,善于抓住圆心,可使问题迅速得到解决.�   例4求抛物线y=x�2与圆x�2+(y-2)�2=1上最近两点的距离.�   解:设抛物线上一点P(x�0,y�0),则y��0� = x�2��0�.�   如图4, 只要求出圆心O�1与点P的最近距离即可.�   因为|PO�1|=x�2�0+(y�0-2)�2=�   (y�0-32)�2+74.�   所以当y�0=32时,|PO�1|的最小值为72,�   故抛物线与圆上最近两点的距离为72-1.�   5 方程搭桥,迅速沟通�   直线、圆、椭圆、双曲线的参数方程都是三角形式,因此有关最值问题,可以借助它们的参数方程,把问题转化为三角函数最值问题,灵活运用三角函数知识,问题迎刃而解.�   例5 过点P(1,2)作直线l交x轴、y轴的正半轴于点A、B,求|PA|・|PB|取得最小值时的直线l方程.�   解:设直线l的参数方程为x=1+t�cos�θ�y=2+t�sin�θ �(t为参数,π2<θ<π).�   将其代入xy=0并整理得�   t�2�sin�θ�cos�θ+(2�cos�θ+�sin�θ)t+2=0.�   所以|PA|・|PB|=-t�1t�2=-4�sin�2θ.�   当θ=135°时,|PA|・|PB|取得最小值4.�   此时直线l的方程为y-2=-(x-1),�   即 x+y-3=0.�   6 细察结构,平面几何开路�   把解几最值问题转化为平面几何中的最值问题,能充分利用平面几何技巧性强,运算量小的特点.�   例6 已知A(-1,0),B(1,0),P是圆周(x-3)�2+(y-4)�2=4上一点,求|AP|�2+|BP|�2的最小值.�   解:设P(3+2�cos�θ,4+2�sin�θ). 因AB的中点是原点,�   如图5, 连结PO,根据平行四边形各边平方和等于其对角线平方和,�   得|AP|�2+|BP|�2=2(|PO|�2+|OB|�2)=2+2|PO|�2=�   60+8(3�cos�θ+4�sin�θ).�   故|AP|�2+|BP|�2的最小值为20.�      图5      图6   7 借助射影,降维处理�   利用点或线段在坐标轴上的正投影来解题,化两点间的距离(二维)为有向线段的数量的绝对值(一维),思路简捷、运算简便.�   例7 (同例5)�   解:如图6,作PC⊥y轴于C, 作PD⊥x轴于D, 设∠PBO=θ,则�   |PA|・|PB|=|PC|�cos�θ・|PD|�sin�θ=4�sin�2θ.�   当θ=π4时,|PA|・|PB|取得最小值4.�   此时直线l的方程为x+y-3=0.�   8 借助定义,化难为易�   圆锥曲线的定义刻画了动点与定点(或定直线)距离之间的定量关系,因此与距离有关的解析几何最值问题,借助定义,往往能化难为易.�   例8如图7,已知双曲线x�24-y�2=1,过右焦点F�2作直线l与双曲线交于A、B两点,设左焦点为F�1,求|F�1A|・|F�1B|的最小值.�   解:由双曲线的定义得|F�1A|-|F�2A|=4,|F�1B|-|F�2B|=4.�   所以 |F�1A|・|F�1B|=�   (4+|F�2A|)(4+|F�2B|)=�   16+4|AB|+|F�2A|・|F�2B|.�   由题设知F�1(-5,0),F�2(5,0).�   设直线l的参数方程为x=5+t�cos�θ�y=t�sin�θ (t为参数).�   将其代入双曲线方程并整理得�   (5�cos��2θ-4)t�2+25t�cos�θ+1=0.�   显然5�cos��2θ-4≠0,�   所以t�1+t�2=-25�cos�θ5�cos��2θ-4,�   t�1t�2=15�cos��2θ-4<0.�   所以|AB|=|t�1-t�2|=�   (t�1+t�2)�2-4t�1t�2=44-5�cos��2θ.�   所以|F�1A|・|F�1B|=16+174-5�cos��2θ.�   当且仅当θ=π2时,|F�1A|・|F�1B|取得最小值814.�      图7      图8      9 借助复数,化解旋转�   与旋转有关的解析几何最值问题,借助复数建立目标函数,往往是很方便的.�   例9 如图8,A(2,0),B为半圆x�2+y�2=1(y≥0)上一动点,点C在x轴上方且△ABC是BC为斜边的等腰直角三角形,问B在何处时,O、C两点距离最远,最远距离是多少?�   解:设∠AOB=θ(0≤θ≤π).�   视坐标平面为复平面.�   设点A、B、C对应的复数分别为z�A、z�B、z�C,�   则z�A=2, z�B=�cos�θ+i�sin�θ,�   z�C-z�A=-�i�(z�B-z�A)=�   -�i�(�cos�θ-2+�i��sin�θ)=�   �sin�θ+�i�(2-�cos�θ),�   所以z�C=2+�sin�θ+�i�(2-�cos�θ).�   所以|OC|=|z�C|=�   (2+�sin�θ)�2+(2-�cos�θ)�2=�   9+42�sin�(θ-π4).�   当�sin�(θ-π4)=1,即θ=3π4时,�   |OC|���max��=9+42=1+22.�   故当OB与OA成3π4角时,O、C两点距离最远,最远距离为1+22.�   10 二元目标,整体把握�   解析几何中的许多最值问题,可建立二元目标函数,归结为几个正变量的和的最小值或积的最大值,创造性地利用基本不等式,直达彼岸.�   例10 求圆x�2+y�2=1的切线方程,使这条切线夹在两坐标轴正半轴间的线段长最短.�   解:设切点为(x�0,y�0),则切线方程为�   xx�0+yy�0=1.�   切线与两坐标轴正半轴的交点A(1x�0,0), B(0,1y�0)(x�0>0,y�0>0).�   又因为x�2�0+y�2�0=1,所以|AB|=(1x�0)�2+(1y�0)�2=1x�0y�0≥2x�2�0+y�2�0=2.�   在x�0=y�0时,上式取等号,代入解得�   x�0=y�0=22.�   故所求切线方程为22x+22y=1,�   即x+y-2=0.

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